Otimização Via IDP e Análise dos Resultados

Para o processo de otimização, o algoritmo IDP foi devidamente implementado

por meio da utilização do software Matlab, instalado em dois computadores. Um deles com

um processador Pentium IV de 2.5 GHz e 2 Gb de memória e o outro, com um processador Pentium IV de 2.3 GHz e 512 Mb de memória.

Durante as primeiras otimizações, para a integração das equações diferenciais,

foram utilizados os métodos numéricos representados pelas funções ODEs disponíveis no

Matlab. O principal objetivo destas otimizações foi verificar a adequabilidade das funções

ODEs ao problema de otimização do MMA. Tais funções são apresentadas a seguir:

1. Função ode45

Esta função é baseada numa fórmula implícita de Runge Kutta de passo único,

proposta por Dormand and Prince. Para integrar as equações y(t), ela necessita somente da

solução imediatamente anterior ao ponto y(t - 1). Em geral, esta função é a melhor opção a

ser aplicada como uma primeira tentativa para resolver a maioria dos problemas representados por equações diferenciais ordinárias.

2. Função ode23

Esta função é uma implementação de um método implícito de Runge Kutta também de passo único, proposta por Bogacki e Shampine. Ela pode ser mais eficiente do que a

função ode45 para tolerâncias menos rigorosas e na presença de rigidez moderada das

equações.

3. Função ode113

É uma função de ordem variável do programa PECE de Adams, Bashforth and Moulton. Ela pode ser mais eficiente do que a função ode45 para tolerâncias mais rigorosas

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e quando as equações diferenciais ordinárias são particularmente difíceis de serem resolvidas. É uma função multipasso e normalmente necessita das soluções de diversos pontos anteriores para computar a solução no ponto atual.

4. Função ode15s

É uma função de ordem variável multipasso baseada nas fórmulas de integração

numéricas (Numerical Differentiation Formulas – NDFs). Opcionalmente, ela usa as

fórmulas de integração recursivas (Backward Differentiation Formulas – BDFs, também

conhecidas como o método de Gear), que são geralmente menos eficientes do que outros

métodos de integração. Recomenda-se tentar primeiro a função ode15s quando a função

ode45 falha ou é muito ineficiente, quando há suspeita de que o sistema seja rígido, ou

quando se trata da resolução de um problema de integração algébrica. 5. Função ode23s

É uma função baseada na fórmula modificada de segunda ordem de Rosenbrock. Pelo fato de ser uma função de passo único, ela pode ser mais eficiente do que a função

ode15s para tolerâncias menos rigorosas. Ela pode resolver alguns tipos de problemas

rígidos para os quais a função ode15s não é efetiva. É baseada na implementação da regra

trapezoidal que usa um sistema de interpolação livre, sendo indicada para resolver problemas de rigidez moderada e quando se necessita da solução sem amortecimento numérico.

6. Função ode23t

É uma função baseada na regra trapezoidal indicada para resolver equações

diferenciais ordinárias (Diffrential Ordinary Equations – ODEs) e equações algébricas

diferenciais (Differrential Algebric Equations – DAEs), moderadamente rígidas.

7. Função ode23tb

É uma função baseada na implementação da fórmula implícita de Runge Kutta com o primeiro estágio executado pela regra trapezoidal e o segundo estágio pela fórmula

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Differentiation Formula). Devido a sua construção, a mesma matriz de iteração é usada

para avaliar ambos os estágios. Da mesma forma que a função ode23s, ela pode ser mais

eficiente do que a função ode15s para tolerâncias menos rigorosas.

Conforme supramencionado, as funções apresentadas são indicadas para resolver

problemas não rígidos, moderadamente rígidos e rígidos. Os algoritmos das funções ode45,

ode23 e ode113, foram estruturados para resolver sistemas não rígidos. Se durante a

aplicação de um destes métodos o processo de integração se mostrar muito lento, recomenda-se a utilização de uma das funções estruturadas para sistemas moderadamente rígidos e rígidos: ode15s, ode23s, ode23t ou ode23tb.

A análise dos resultados obtidos pela aplicação do programa IDP desenvolvido ocorrerá em três etapas, descritas em detalhes nas seções 5.4.1, 5.4.2 e 5.4.3, respectivamente. Resumidamente, estas etapas serão utilizadas para:

Etapa 1) a comparação dos resultados obtidos pela otimização IDP através da

aplicação da função ode23tb para sistemas rígidos, com os resultados de exemplos

publicados na literatura, também obtidos via o método IDP.

Etapa 2) para a otimização dinâmica da reação de polimerização do MMA, representada matematicamente pelas equações (3.1) a (3.14), além da equação (3.34) que representa o índice de performance (taxa de conversão do monômero MMA). Para o

processo de integração, serão utilizadas todas as funções odes disponíveis no Matlab

citadas anteriormente, para a verificação do desempenho e da adequação de cada uma delas à otimização do MMA, independentemente de serem indicadas para sistemas rígidos, moderadamente rígidos e não rígidos.

Etapa 3) para a realização de diversas simulações com diferentes configurações do

programa IDP desenvolvido. O objetivo é a maximização dos índices de performance

(massa molecular média ponderal, massa molecular média numérica e taxa de conversão do monômero MMA), por meio da manipulação da vazão do fluido de resfriamento e da potência das resistências elétricas usadas para o aquecimento do reator. Os resultados da otimização serão analisados em comparação com os dados experimentais extraídos dos trabalhos de Nunes (2004) e Antunes et al. (2005), de modo a verificar a sua significância.

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4. ESTRATÉGIA DE OTIMIZAÇÃO

4.1. Introdução

Este capítulo traz de forma detalhada uma descrição das etapas que envolveram a implementação do algoritmo IDP proposto por Luus (1989), e das variáveis de entrada e de saída para o processo de otimização. O capítulo é encerrado pela abordagem a respeito das etapas necessárias e dos recursos computacionais disponíveis para a implementação do algoritmo IDP desenvolvido.