Otimiza¸cão Utilizando PSO - Estima¸cão de Parâmetros com Modelos Polinomiais NARX

3.2 Estima¸c˜ao de Parˆametros com Modelos Polinomiais NARX

3.2.4 Otimiza¸c˜ao Utilizando PSO

Um dos problemas mais importantes na computa¸cão cient´ıfica é na solu¸cão de sistemas de equa¸cões. Entre eles é poss´ıvel citar aproxima¸cão de fun¸cões, solu¸cão de sistemas não lineares, condi¸cões de contorno entre outras (SANTOS; SILVA,2006). Em problemas de otimiza¸cão é poss´ıvel perceber que freqüentemente está envolvida a procura de m´ınimo ou máximo global. Algumas vezes uma rela¸cão matemática pode não ser encontrada e para se obter os valores de uma fun¸cão é necessário efetuar uma experiência ou uma seqüência de cálculo. Isto significa que, nesse caso, é necessário manter o número de estimativas com erro m´ınimo (BAJPAI et al., 1978).

A seguir será abordado o algoritmo básico de PSO (Particle Swarm Optimization) cujo objetivo é a procura de um m´ınimo e que pode ser aplicado em problemas de identifica¸cão, sintonia de controladores e para controlar sistemas. Esses algoritmos serão utilizados neste trabalho para otimizar os resultados obtidos com as técnicas de estima¸cão de parâmetros tradicionais e para a sintonia dos controladores escolhidos.

O PSO é uma técnica estocástica baseada em popula¸cões cuja inspira¸cão é o comportamento social dos pássaros e peixes. Ele foi inicialmente introduzido por Kennedy e Eberhart (1995). Nesse algoritmo cada part´ıcula ajusta sua trajetória em dire¸cão a seu melhor ´ındice, obtido na itera¸cão anterior. As part´ıculas estão dispersas em um espa¸co de busca multidimensional, onde a posi¸cão de cada part´ıcula é ajustada de acordo com sua própria experiência e a de seus vizinhos. A busca do melhor ´ındice é continuada até que seja percebido um estado relativamente estático ou que extrapole os limites computacio- nais (MALIK et al., 2007).

O algoritmo básico para otimiza¸cão utilizando PSO pode ser observado a seguir: • Inicializar a popula¸cão de part´ıculas com posi¸cões e velocidades randômicas no

d-´esimo espa¸co de busca do problema.

• Comparar as avalia¸c˜oes escolhendo a part´ıcula com menor ´ındice (M).

• Comparar a avalia¸c˜ao de cada part´ıcula com sua anterior e substituir pela melhor (PM).

• Atualizar a velocidade e posi¸c˜ao das part´ıculas de acordo com as equa¸c˜oes 3.22 e3.23 respectivamente:

V_ik+1 = V_ik+1+ c1r1(P Mik− Xik) + c2r2(Mi− Xik) (3.22)

Onde:

V_ik+1 - Velocidade das i part´ıculas no instante k+1; c1, c2 - Constantes de acelera¸c˜ao das part´ıculas;

r1, r2 - N´umeros aleat´orios pertencentes ao intervalo de 0 a 1;

M - Part´ıcula cuja fun¸c˜ao objetivo retorna o menor ou maior valor; Xk

i - i Part´ıculas dispersas num espa¸co multidimensional e no instante k;

PM - Vetor com as melhores part´ıculas encontradas desde o instante 0 at´e o k, representando o melhor valor de cada part´ıcula, ou seja um m´ınimo ou m´aximo local.

X_ik+1 = Xk i + V

k+1

i (3.23)

Através das equa¸cões mostradas é poss´ıvel perceber que o algoritmo relaciona cada part´ıcula dispersa em um espa¸co, suas velocidades, melhores locais e globais com certa aleatoriedade. Em suma, as part´ıculas estão dispersas no espa¸co, e através da equa¸cão 3.22 pode-se encontrar a dire¸cão que cada part´ıcula deve se mover, para minimizar ou maximizar a fun¸cão objetivo. Após encontradas as velocidades, elas são integradas, ou somadas, às posi¸cões reposicionando as part´ıculas como na equa¸cão3.23.

Nas técnicas encontradas na literatura é poss´ıvel perceber desenvolvimentos para aprimorar a busca. Algumas dessas técnicas incorporam ao algoritmo coeficientes de inér- cia, divisão celular, mudan¸cas na atualiza¸cão da velocidade o que pode especializar o algoritmo para determinados tipos de fun¸cões como identifica¸cão, buscando minimizar o erro quadrático médio, sintonia de parâmetros PID, maximizando desempenho com restri- ¸cões, e controle preditivo, minimizando os erros futuros e varia¸cões nos sinais de controle.

4 CONTROLE PREDITIVO

O controle preditivo remete a uma classe de controladores que tem por caracter´ıstica principal o uso de um modelo para prever o comportamento futuro de suas variáveis con- troladas. O controlador se utiliza dessa informa¸cão para buscar uma resposta otimizada de acordo com um critério pré-definido (NUNES,2001). A principal caracter´ıstica do controlador preditivo é a utiliza¸cão de um modelo de processo utilizado para prever futuras sa´ıdas determinadas por um horizonte de previsão determinado. A figura 12 mostra um esquema de como funciona um controlador preditivo.

Figura 12 - Estrat´egia de Controle Preditivo. Fonte: (NUNES_,₂₀₀₁₎

No gráfico apresentado existem dois sinais em fun¸cão do tempo, um respectivo a entrada de controle u(t) e o outro corresponde a sa´ıda do sistema. No instante t são realizadas ˆy_{(t + i|t) previsões futuras, que é o horizonte de previsão. A partir das previsões} são calculados os sinais de controle futuros, que é o horizonte de controle u(t+i).

O controle preditivo, segundo Bai e Coca(2008), é uma das estratégias de controle mais largamente utilizada devido a utiliza¸cão de um modelo de processo que prediz as respostas futuras de uma planta agregada a capacidade de trabalhar com restri¸cões no sinal de controle aplicado e na sa´ıda. Porém, os sistemas encontrados nas aplica¸cões de controle são freqüentemente não lineares, por isso, a maioria dos sistemas de controle preditivo deveriam trabalhar com modelos não lineares.

O controle de sistemas não lineares tem sido destaque nas recentes pesquisas. Os métodos regulares, que tratam os sistemas não lineares, consistem em aproximar tais

sistemas a um ponto de opera¸c˜ao atrav´es do qual o problema pode ser convertido em um sistema linear (SHI et al.,2007).

Para que seja poss´ıvel implementar um controle preditivo que utilize modelos não lineares existem algumas dificuldades a serem superadas, dentre elas, a baixa exatidão dos preditores baseados em modelos lineares, e uma maneira eficiente para otimiza¸cão da fun¸cão de custo que resulte em estabilidade e robustez (BAI; COCA, 2008)). O modelo matemático do Controlador GPC segue como descrito em Yan et al. (2009), e o modelo não linear para o preditor de n passos a frente é o NARX (3.2).

Tendo em vista um modelo não linear do sistema identificado, o NARX, é necessário realizar a lineariza¸cão no ponto de opera¸cão. Em um processo recursivo de predi¸cão vários passos a frente é inevitável a existência de diferen¸cas entre as sa´ıdas da predi¸cão e as sa´ıdas futuras reais, porém essa diferen¸ca é minimizada pela existência de um modelo não linear que foi identificado a partir de dados reais do processo, Yan et al. (2009). Expandindo as sa´ıdas reais do processo em séries de Taylor no ponto u(k) = u(k-1), e retendo os termos de primeira ordem é poss´ıvel obter:

y_{(k|k) = F}l_{(y(k − 1), y(k − 2), ..., y(k − n}y), u(k − d), u(k − d − 1), ...,

u_{(k − d − n}u+ 1), e(k − 1), e(k − 2), ..., e(k − ne)) + e(k)

= ˆy_{(k|k) +}∂ˆ_∂u(k)y(k|k)

u(k)=u(k−1)[u(k) − u(k − 1)]

(4.1)

Onde:

y_{(k|k) - predi¸c˜ao de um passo a frente real;} ˆ

y_{(k|k) - predi¸c˜ao de um passo a frente recursiva.} Definindo: g11 = ∂ˆ_∂u(k)y(k|k) u(k)=u(k−1) (4.2)

O sistema pode ser reescrito da seguinte forma:

y_{(k|k) = ˆy(k|k) + g}11[u(k) − u(k − 1)] (4.3)

Similarmente ´e poss´ıvel obter a previs˜ao dois passos a frente conforme 4.4.

y_{(k + 1|k) = ˆy(k + 1|k) + g}21[u(k) − u(k − 1)] + g22[u(k + 1) − u(k − 1)] (4.4)

g21 = ∂ˆy(k+1|k)_∂u(k) u(k+1)=u(k−1) u(k)=u(k−1) (4.5) g22 = ∂ˆ_∂u(k+1)y(k+1|k) u(k+1)=u(k−1) u(k)=u(k−1) (4.6)

Generalizando ´e poss´ıvel obter:

y_{(k + N − 1|k) = ˆy(k + N − 1|k) + g}N1[u(k) − u(k − 1)] + · · · +

gN M[u(k + M − 1) − u(k − 1)] (4.7) Tendo: gN M = ∂_{∂u(k+M −1)}y(k+N −1|k)ˆ u(k+M −1)=u(k−1) ... u(k)=u(k−1) (4.8)

Para facilitar a nota¸c˜ao adota-se:

Y _{= [y(k|k) y(k + 1|k) · · · y(k + N − 1|k)]}T _(4.9)

Y = [ˆy_{(k|k) ˆy(k + 1|k) · · · ˆy(k + N − 1|k)]}T (4.10)

∆U = [∆u(k|k) ∆u(k + 1|k) · · · ∆u(k + N − 1|k)]T _(4.11)

Onde:

∆u(k + i) = u(k + i) − u(k + i − 1), i = 0, · · · , M − 1 (4.12) E, G=        g11 0 · · · 0 g21 g22 · · · 0 ... ... ... ... gN1 gN2 ... gN M        , N = M (4.13)

Com isso, a previsão real para as sa´ıdas preditas vários passos a frente pode ser escrita na forma vetorial de acordo com a equa¸cão4.14.

Y = ˆY + G∆U (4.14)

Por causa da abrevia¸cão no cálculo da expansão em séries de Taylor e a influência de perturba¸cões não mensuradas, ainda existirá uma diferen¸ca entre o valor predito da rela¸cão4.14 e o valor real. Para corrigir essa diferen¸ca é adicionado um fator de corre¸cão

de erro mostrado na seguinte equa¸c˜ao:

y_{(k + N − 1|k) = ˆy(k + N − 1|k) + g}N1[u(k) − u(k − 1)] + · · · +

gN M[u(k + M − 1) − u(k − 1)] + ψ(N), N = M

(4.15)

Em que:

ψ_{(N ) = y(k) − ˆy(k|k − N), i = 0, · · · , M − 1} (4.16) Para facilitar a nota¸cão o fator de corre¸cão de erro é reescrito na forma de um vetor como o explicitado na equa¸cão4.17.

Ψ = [ψ(k) ψ(k + 1) · · · ψ(k + N − 1)]T _(4.17)

Portanto, a sa´ıda de previs˜ao real corrigida pode ser reescrita como:

Y = ˆY + G∆U + Ψ (4.18)

A fun¸cão de custo da predi¸cão de vários passos utilizada é:

J = 1 2 PN j=1[yr(k + j) − y(k + j|k)]2+ λ₂ PM_j=1[∆u(k + j − 1)]2 (4.19) Onde: yr(k + j) - trajetória de referência; N - horizonte de predi¸cão; M - horizonte de controle;

λ - penaliza¸c˜ao do sinal de controle.

Definindo:

Yr = [yr(k) yr(k + 1) · · · yr(k + N − 1)]T (4.20)

Com isso, a fun¸c˜ao de custo em forma vetorial pode ser escrita.

J = 1

2[Yr− Y ] T_[Y

r− Y ] + λ₂∆UT∆U (4.21)

Derivando a fun¸cão de custo em rela¸cão ao sinal U e igualando a zero é poss´ıvel obter a varia¸cão do sinal de controle que minimiza a fun¸cão de custo. Esse sinal e dado pela rela¸cão:

∆U = (λI + GT_G)−1_GT_(Y

A partir da derivada do sinal de controle obtida ´e poss´ıvel aplicar o novo sinal de controle, e, assim, o processo ´e repetido.

A partir da estrutura mostrada foi poss´ıvel sintetizar uma lei de controle preditivo baseada em modelos não lineares. As equa¸cões listadas servirão de base para a constru¸cão do algoritmo de controle preditivo utilizado.

5 METODOLOGIA

O simulador utilizado neste trabalho é resultado de uma parceria da Universidade Federal do Rio Grande do Norte com o grupo de controle da Universidade Federal de Sergipe (UFS) representado pelo Prof. D. Sc. Sotomayor. Nela, foram desenvolvidos um simulador de processos envolvendo o método de eleva¸cão por Gas-Lift, separa¸cão trifá- sica, separa¸cão por hidrociclones, identifica¸cão utilizando modelos NARX multi-variável e mono-variável, algoritmos de controle PID (linear) e preditivo utilizando os modelos não lineares NARX mono-variável e, finalmente, métodos de sintonia baseados em PSO, para otimiza¸cão dos controladores e futura compara¸cão. Um diagrama de atividades de- senvolvidas no trabalho pode ser observado na figura 13, este diagrama representa de forma resumida o que foi utilizado, os ´ıtens necessários e os algoritmos necessários para a realiza¸cão do trabalho.

Figura 13 - Diagrama de atividades do Trabalho.

algoritmos utilizados no trabalho. Após, será explicado o funcionamento do simulador de processos utilizado e em seguida apresentados os procedimentos e resultados obtidos na identifica¸cão e nos controles PI e preditivo.

No documento Identificação e comparação entre controle preditivo com modelo não linear e PI sintonizados com PSO em sistema de separação gravitacional de águia-óleo (páginas 45-53)