O conceito de função é considerado como um dos conceitos base da matemática por ter múltiplas interpretações e representações associadas, como o de número, o de variável, o de coordenadas e o de gráfico de uma função (Sajka, 2003). E, por inerência, o mesmo acontece com o conceito de parâmetro. O conceito de função tem uma natureza dual, porque pode ser entendido essencialmente de duas formas diferentes (Sfard, 1991): i) estruturalmente (como um objeto), onde a função é apresentada como um conjunto de pares ordenados (Kuratowski & Mostowski, 1966); e ii) operacionalmente (como um processo), onde uma função é um processo computacional ou é um método bem definido para chegar de um sistema a outro. Na sala de aula, a aprendizagem deste processo só é conseguida se forem considerados os fatores que distinguem a aprendizagem dos símbolos da sua memorização (Skemp, 2012).
Uma função pode ser representada por uma tabela, por um gráfico ou em linguagem natural e pode ser interpretada pela variação dada por expressões analíticas, por tabelas e gráficos. Pode ser manipulada, por exemplo, através de tratamentos algébricos como a factorização, a substituição, a determinação de valores como o(s) zero(s), os máximo(s)/mínimo(s), entre outros valores (Ursini & Trigueros, 2004). Na perspetiva destes autores, uma generalização de 1ª ordem é a que resulta da generalização que envolve apenas números, como, por exemplo, o termo geral de uma sequência numérica, 2n, ou o método geral de calcular a área de um quadrado de lado l, l2, ou, ainda, uma equação com
coeficientes numéricos, como 2x30. Para Ursini e Trigueros (2004), um parâmetro é um número generalizado que é usado numa composição de generalizações, ou seja, numa generalização após uma generalização precedente – designada, por eles, por generalização de segunda ordem que decorre de uma generalização de primeira ordem – como, por exemplo, na construção da família de funções racionais do tipo:
0, , , , \
0 \ , , , ,a b c IR d IR oua b d IR c IR d x c b x a y , com a, b, c, d parâmetros. (1)Nesta perspetiva, na representação algébrica da família de funções racionais dada em (1) podemos proceder ao tratamento dos parâmetros, fixando-os num ou entre valores e convertendo a representação algébrica (1) numa representação gráfica associada, ou noutro registo de representação. Ou seja, se tratarmos a representação algébrica da família de funções dada em (1) e fixarmos os parâmetros a, b, c, d em, por exemplo,
5,5
c 1 b 0, d a obtemosx
b
y
(2). Consequentemente, podemos converter a representação algébrica (2) para o seguinte registo de representação gráfica:Figura 2.2: Representação gráfica da expressão algébrica (2).
Contudo, se optarmos por tratar a representação gráfica, podemos obter, dentro do mesmo registo de representação, uma nova representação gráfica. Por exemplo, se na representação gráfica anterior aplicarmos uma translação associada ao vetor (1,0) e em seguida um produto associado à representação gráfica da função linear de declive 1, obtemos uma nova representação gráfica, dentro do mesmo registo de representações:
Figura 2.3: Representação do tratamento gráfico da Figura 2.2. x y
x y
Deste modo, se considerarmos tal família de funções racionais dada pelo quociente de duas famílias de funções afim ou lineares, representada simbolicamente por (1), obtemos diferentes famílias de funções quando fixamos o valor do(s) parâmetro(s) num valor ou num intervalo de valores e, consequentemente, atribuímos significados ao representarmos tais famílias de funções de modo algébrico, de modo gráfico, de modo tabelar, esquemático, usando linguagem natural, ou outro modo de representar.
Segundo o NCTM (2000), os programas de ensino do pré-escolar ao 12.º ano deverão habilitar todos os alunos para: compreender padrões, relações e funções; representar e analisar situações e estruturas matemáticas; usar modelos matemáticos para representar e compreender relações quantitativas; e, analisar a variação em diversos contextos (NCTM, 2000) – desenvolvendo a sua capacidade de interpretar e usar com criatividade os objetos matemáticos, na descrição, interpretação e resolução de situações, quer através da escolha dos signos algébricos adequados a cada situação, quer na sua manipulação e conversão (Carthy, 2013; NCTM, 2000). Em todos estes processos, e de modo concordante com Duval (2006), as representações semióticas resultam dos significados atribuídos de modo consciente na interpretação, no tratamento e na conversão de representações usadas no trabalho com parâmetros numa função. Esta atividade do aluno pode ser feita em vários contextos, tais como: puramente sígnicos, ou ligados à realidade, ou à semi-realidade (Alro & Skovsmose, 2006). Nestes, a qualidade do diálogo em sala de aula assume uma função determinante (Giménez, Santos, & Ponte, 2004), quer seja na resolução de problemas ou em tarefas de exploração e investigação matemática (Pereira & Saraiva, 2005; Ponte, 2007).
Sob esta perspetiva, Trigueros e Ursini (2003)4 classificam o trabalho com variáveis numa
função como a capacidade de: i) reconhecer as correspondências relacionadas entre as incógnitas independentemente das representações utilizadas (tabelas, gráficos, expressões analíticas, problemas verbais); ii) determinar o valor da variável dependente pelo valor dado à variável independente; iii) determinar o(s) valor(es) da variável independente dado o valor da dependente; iv) reconhecer a variação comum das variáveis envolvidas numa relação, independentemente da representação utilizada (tabelas, gráficos, expressões analíticas); v) determinar o intervalo de variação dado o intervalo de variação da outra; vi) traduzir uma relação funcional através de uma tabela, de um gráfico, de uma expressão analítica, baseado na análise de um problema (Trigueros & Ursini, 2003). Complementarmente, estes autores realçam a importância do contexto onde surgem os parâmetros, o qual assume uma função relevante na atribuição de significado(s) ao próprio parâmetro, pois cada significado pode ser alterado dentro do mesmo problema. Dão como exemplo a seguinte situação: “Quando é que
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No que refere ao uso e significado da letra inserida num contexto algébrico, Trigueros e Ursini (2003) desenvolveram o método 3UV (3 usos da variável): variável considerada como incógnita, como um número generalizado e variável em relação funcional.
a equação do segundo grau 3x2px70
tem uma única solução?”. O parâmetro p, que na equação dada representa um número geral, passará a desempenhar o papel de incógnita, pois, para responder à questão obtemos a seguinte equação p24370, cuja incógnita é p.
Encontramos com frequência a definição de parâmetro em matemática associada à ideia de letra distinta da variável, que, numa expressão matemática, pode ser substituída ou substituir um valor ou um conjunto de valores numéricos que pode(m) ser fixado(s) arbitrariamente. No âmbito da álgebra, podemos considerar um parâmetro como uma grandeza mensurável que permite apresentar, de forma mais simples, as características principais de um conjunto, em particular da expressão algébrica em que se insere e desse modo permitir avaliar uma situação ou compreender um fenómeno em detalhe.
Neste estudo, sobre o tema das funções ensinado no 11.ºano de escolaridade, assumimos que um parâmetro é um objeto matemático que, quando substituído por valores numéricos, identifica cada um dos elementos de uma determinada função ou família de funções. Numa função, um parâmetro pode ser representado por uma letra que assume diferentes significados, dependendo do contexto algébrico em que se insere (Arcavi, 2006; Pereira & Saraiva, 2008).
Para a construção dos três níveis do método de ensino aplicado aos parâmetros em funções considerámos a definição de parâmetro apresentada por Ursini e Trigueros, dado que, no primeiro nível do método presume-se que o aluno não trabalha com generalizações, pois na família de funções apresentada quer o(s) parâmetro(s), quer as variáveis dependente e independente são concretizadas por valores concretos. No segundo nível do método de ensino deste estudo ocorre uma generalização de primeira ordem (de acordo com a conceção de Ursini e Trigueros), pois intenciona-se que o aluno trabalhe num contexto em que as variáveis dependente e independente da função são genéricas, ou seja, ocorre uma generalização de primeira ordem face ao primeiro nível, e em que o(s) parâmetro(s) é(são) concretizado(s) por valores aritméticos.
No terceiro nível do método de ensino deste estudo ocorre uma generalização de segunda ordem (de acordo com a conceção de Ursini e Trigueros), pois intenciona-se que o aluno trabalhe sobre a generalização que ocorreu no segundo nível. Aqui, neste nível, intenciona-se que o aluno trabalhe num contexto totalmente algébrico do parâmetro e das variáveis, no qual, quer as variáveis dependente e independente, quer o(s) parâmetro(s), são genéricos.