Passo 7 (PROCESSO DOS ESFORÇOS): Cálculo dos esforços

0 2 2 2 _{2 3 4} 1 − Δ − Δ − Δ = Δl l l l Verifica eq.(2.24) 0 4 2 _{2 4} 1− N − N = N eq.(2.27) 0 2 2 2 _{2 3 4} 1− N + N − N = N eq.(2.28)

Solucionando-se o sistema linear da seção 2.2.1.9, obtém-se:

2.3. Conceitos de modelagem hierárquica de estruturas

Os conceitos envolvendo a utilização de modelos matemáticos hierárquicos através da análise de elementos finitos foram sintetizados por Bathe, Lee e Bucalem (1990) e, posteriormente, compiladas por Bathe (1996).

Segundo Bathe, Lee e Bucalem (1990), a idealização de um problema físico – “estrutura real” - por um modelo matemático envolve a adoção de certas hipóteses que, em conjunto, levam às equações diferenciais que governam o modelo matemático, sendo estas solucionadas pelas análises envolvendo o método dos elementos finitos.

Entretanto, ainda segundo a mesma referência, sendo a solução do modelo matemático obtido pelo método dos elementos finitos, é necessário verificar a acurácia dos resultados obtidos, uma vez que esse método trata-se de um procedimento numérico. Assim, determinando-se o critério de verificação de acurárcia, caso este não seja atingido, o método dos elementos finitos deve ser repetido refinando-se os parâmetros, tais quais: refinamento da malha e a utilização de elementos hierarquicamente superiores. A titulo de exemplo, apresenta-se o

P N₁ ≅−0,3077 eq.(2.29) P N₂ =≅0,6154 eq.(2.30) P N₃ =≅0,3846 eq.(2.31) P N₄ =−0,3846 eq.(2.32)

Fluxograma 3 proposto por Bathe, Lee e Bucalem (1990), contendo as principais etapas do processo de elementos finitos.

Fluxograma 3 – Principais etapas do processo de elementos finitos (Fonte: Bathe, Lee e Bucalém, 1990, p. 6)

Os referidos autores destacaram que, ainda que seja impossível a obtenção da resposta exata do problema físico, dada a impossibilidade de se reproduzir todas as suas informações, mesmo que no modelo matemático mais refinado, a solução obtida pode ser demasiadamente prejudicada pela adoção de hipóteses inadequadas para o modelo matemático, pois os resultados do modelo matemático refletem, obviamente, as hipóteses ali assumidas, afetando os resultados desejados:

“Nós não podemos esperar qualquer informação adicional na análise da variável do fenômeno físico que aquela contida no modelo matemático. Consequentemente, a escolha de um modelo matemático apropriado é crucial e decide completamente a compreensão sobre o modelo físico que

desejamos obter resposta através das análises [...] [assim] o passo chave nas análises de engenharia é conseqüentemente a escolha de modelos matemáticos apropriados” (BATHE; LEE; BUCALEM, 1990, p.5, tradução nossa).

Os mesmos autores ainda destacaram que as definições desses modelos matemáticos estão na dependência do fenômeno, devendo estes, portanto, serem confiáveis e eficazes, definidos da seguinte forma:

• modelos matemáticos eficazes: fornecem a resposta desejada com acurácia suficiente e menor custo compucional;

• modelos matemáticos confiáveis: a resposta desejada é passível de ser obtida com um determinado nível de acurácia, medido a partir da resposta de um “modelo matemático muito-compreensivo14”.

Assim, definiu-se o conceito do uso de modelos hierárquicos, ou seja, modelagem

hierárquica, como sendo a “seqüência de modelos matemáticos que inclui o incremento seqüencial de efeitos mais complexos” (Bathe; Lee; Bucalem, 1990,

p.7, tradução nossa). Para exemplificar o conceito exposto, os autores destacaram uma possível seqüência de modelos a serem desenvolvidos para as análises de uma estrutura de barra (“viga”):

“Uma estrutura de barra (usando a terminlogia de engenharia) pode ser primeiro analizada usando a teroria de barra de Bernoulli, posteriormente, a teoria de Timoshenko, depois, a teoria 2-D [bidimensional] do estado plano de tensão e, finalmente, usando a análise de um modelo contínuo e completo 3-D [tridimensional], com todos os efeitos de não-linearidade podendo ser incluídos” (Bathe; Lee; Bucalém, 1990, p.7, tradução nossa).

14 _{Tradução nossa de very-comprehensive mathematical model. Bathe, Lee e Bucalem (1990, p.5) o}

definem como um modelo abrangente podendo considerar-se hipóteses modeladoras complexas tratando-se, portanto, no caso geral de um modelo completamente tridimensional que inclui efeitos de não-linearidade. Importante destacar que os resultados deste modelo podem, ou não, serem conhecidos, todavia, deve-se sempre conhecer o comportamento deste modelo.

Na mesma referência, os autores apresentaram um estudo, através de modelagem hierárquica, de uma placa dobrada submetida a um carregamento uniformemente distribuído na linha de simetria, conforme indica a Figura 2.8. Notar que, em todas as análises, foram utilizadas as propriedades da dupla simetria da estrutura.

Figura 2.8 – Estrutura de placa dobrada (Fonte: Bathe, Lee e Bucalem, 1990, p. 18)

A Tabela 2.3 apresenta a descrição dos modelos matemáticos desenvolvidos para a análise hierárquica da estrutura destacada na Figura 2.8. Nota-se que este trabalho tem apenas o objetivo de exemplificar alguns resultados que se valeram da análise de modelagem hierárquica, de forma que, conforme se observa, os detalhes e os critérios adotados pelos autores na escolha dos modelos matemáticos a seguir descritos serão propositalmente omitidos.

No referido trabalho, selecionaram-se algumas variáveis de interesse, a fim de comparar seus resultados e apresentar algumas conclusões e demais considerações acerca dos modelos desenvolvidos e apresentados na Tabela 2.3.

Dentre as análises apresentadas, destacam-se os deslocamentos verticais da seção de aplicação do carregamento nos três modelos (eixo z – vide Figura 2.8), os quais se encontram apresentados na Figura 2.14,onde se observa:

• Deslocamentos maiores no contorno dos modelos de casca e 3-D do que no centro;

• O modelo de barra fornece os maiores deslocamentos e o 3-D os menores deslocamentos.

Tabela 2.3 – Modelos matemátcos desenvolvidos por Bathe, Lee e Bucalem para a análise hierárquica da estrutura da Figura 2.8

Modelo

matemático Descrição Figuras

Modelo de barra de Timoshenko

Considerando a dupla simetria da estrutura, modelaram-se os elementos de placa horizontais e verticais com elementos de barra isoparamétricos.

-

Modelo de casca

Considerado a dupla simetria, a teoria de placa Reissner/Mindlin e o estado plano de tensão, modelou-se a estrutura da Figura 2.8, utilizando elementos de casca com 16 nós. - Figura 2.9 - Figura 2.10 - Figura 2.11 Modelo 3-D

Considerando a dupla simetria, construiu-se um modelo misto com:

- 960 elementos tridimensionais de 20 nós na junção entre as placas verticias e horizontal;

- 300 elementos de casca de 16 nós em região afastada da junção em região afastada à junção das placas;

- Equações de restrição (compatibilidade) utilizadas na junção entre os elementos de casca e trimidimensionais; Objetivo: Estudar o compoartamento na junção das placas.

- Figura 2.12

- Figura 2.13

Figura 2.9 – Modelo de casca utilizados na análise hierárquica da estrutura da Figura 2.8 (Fonte: Bathe, Lee e Bucalem, 1990, p. 19).

Figura 2.10 – Malha com os elementos de casca de 16 nós utilizados na análise hierárquica da estrutura da Figura 2.8 (Fonte: Bathe, Lee e Bucalem, 1990, p. 20).

Figura 2.11 – Detalhe da malha na junção entre elementos verticais e horizontais da estrutura da Figura 2.8 (Fonte: Bathe, Lee e Bucalem, 1990, p. 20).

Figura 2.12 – Detalhe do modelo 3-D: elementos tridimensionais na junção das placas vertical e horizontal e dos elementos de casca afastados da junção para estrutura da Figura 2.8 (Fonte: Bathe, Lee e Bucalem, 1990, p. 21).

Figura 2.13 – Detalhe da discretização da malha do modelo 3-D (Fonte: Bathe, Lee e Bucalem, 1990, p. 21).

Assim, considerando o modelo 3-D como um “modelo matemático muito-

compreensivo” e um nível de acurácia para deslocamentos inferiores a 10% obtidos

neste modelo, conclui-se que o modelo de barra é um modelo eficaz e confiável para obtenção do campo de deslocamentos.

Endossando a conceituação apresentada até então, Bathe (1996, p. 4-9), apresenta um estudo de caso de um suporte metálico de pequena espessura, fixado por dois parafusos a uma coluna metálica espessa, de modo a ser considerada rígida. A Figura 2.15 apresenta as características geométricas, reológicas e de carregamento do suporte metálico.

Figura 2.14 – Deslocamento na seção de aplicação do carregamento da estrutura da Figura 2.8 dos modelos de barra, casca e tridimensional (Fonte: Bathe, Lee e Bucalem, 1990, p. 21).

Tendo-se o objetivo de selecionar o modelo matemático adequado para modelar o suporte metálico, selecionaram-se, inicialmente, como variáveis de análise ouembasamento, o momento fletor na seção A-A ( M ) e o deslocamento vertical no ponto de aplicação da força vertical W (δ ), apresentados na Figura 2.15.

Dessa forma, desenvolveram-se dois modelos:

• Modelo de barra elástico-linear submetido às condições de carregamento, características geométricas e físicas (materiais) da Figura 2.15, onde: E= módulo de elasticidade, A=h×t= área da seção transversal, υ Coeficiente =

de poisson e = × = 12

3 _t

h

I momento de inércia (Figura 2.16)

• Modelo bidimensional do estado plano de tensões elástico-linear regido pelas equações diferenciais do estado plano de tensões apresentado por Bathe

(1996, p. 6), com as restrições de deslocamentos nos contornos da Figura 2.17. Esse modelo foi selecionado para a presente análise como o “modelo

matemático muito-compreensivo” e foi solucionado através da discretização

do problema físico em elementos finitos do estado plano de tensões com nove nós por elemento.

O principal questionamento proposto consistiu na avaliação da adequação de se utilizar o modelo de barra da Figura 2.16 como um modelo confiável e efetivo para modelagem do problema físico da Figura 2.15.

Figura 2.15 – Problema físico do suporte metálico proposto por Bathe (1996) (Fonte: Bathe, 1996, p. 5).

Figura 2.16 – Modelo de barra desenvolvido para o problema físico do suporte metálico da Figura 2.15 (Fonte: Bathe, 1996, p. 5).

Figura 2.17 – Modelo bidimensional do estado plano de tensões para o problema físico do suporte metálico da Figura 2.15 (Fonte: Bathe, 1996, p. 6).

Figura 2.18 – Discretização do modelo bidimensional do estado plano de tensões para o problema físico do suporte metálico da Figura 2.15: elementos de 9 nós (Fonte: Bathe, 1996, p. 8).

Assim sendo, obtiveram-se para as variáveis de interesse selecionadas e descritas anteriormente os valores da Tabela 2.4:

Tabela 2.4 – Deslocamentos verticais (δ) e momentos fletores da seção A-A (M ) nos modelos de barra e do estado plano de tensões (Fonte: Bathe, 1996, p. 5 e 9)

Modelo Deslocamento vertical (δ →

[ ]

δ =cm) Momento Fletor (M →

[ ]

M =Ncm) Barra 0,053 27,5 Estado Plano de Tensão 0,064 27,5

Obtendo os resultados, Bathe (1996, p.9) concluiu:

• O modelo de barra é, sem dúvida, eficaz uma vez que os cálculos de esforços e tensões podem ser calculados com pouco esforço e custo computacional.

• Se a acurácia desejada para cálculo do momento fletor na seção A-A e da deflecção (deslocamento) no ponto de aplicação da força forem admitidas com variação de, respectivamente, até 1% e 20% o modelo de barra pode

ser considerado confiável.

• Caso a resposta desejada seja a análise das tensões máximas atuantes no suporte, o modelo de barra NÃO pode ser considerado confiável, pois, diferentemente do modelo do Estado Plano de Tensões, não contempla o contorno junto à coluna metálica: local que, pelo “modelo matemático muito-

compreensivo”, possui a maior concentração de tensões (Figura 2.19).

Por fim, Bathe (1996, p.9) apresentou suas conclusões finais acerca da confiabilidade e efetividade dos modelos hierárquicos:

“1. A seleção de um modelo matemático deve depender da resposta a ser estimada (i.e., sobre as questões levantadas sobre a natureza);

2. O mais efetivo modelo matemático é aquele que leva a resposta às questões de uma maneira confiável (i.e., com um erro aceitável) com o menor esforço;

3. A solução em elementos finitos pode solucionar somente o modelo matemático escolhido (ex., o modelo de barra ou o modelo de estado plano de tensões da Fig. 1.2 [Figura 2.17 deste trabalho]) e não pode estimar nenhuma informação adicional que aquela contida no modelo;

3. A noção de confiabilidade de um modelo matemático remete à avaliação da acurácia dos resultados obtidos com o modelo matemático escolhido (na resposta aos questionamentos feitos) frente aos resultados obtidos com o modelo matemático muito-compreensivo. Entretanto, na prática o modelo matemático muito-compreensivo usualmente não é solucionado, e, em seu lugar, a experiência de engenharia é usada, ou um modelo matemático mais refinado é solucionado, para julgar se o modelo matemático usado foi adetado (i.e., confiável) para obter-se a resposta desejada” (BATHE, 1996, p.9-10, tradução nossa).

Figura 2.19 – Distribuição das tensões máximas junto à coluna metálica de suporte: região de maior concentração de tensões do problema físico do suporte metálico da Figura 2.15 (Fonte: Bathe, 1996, p. 8).

2.4. Formulação teórica da análise de subestruturas utilizando o

No documento Sobre o uso de subestruturas na modelagem de estruturas complexas (páginas 134-147)