Pensamento funcional antes da experiência

A entrevista inicial teve duas fases. Na primeira fase, foram colocadas diversas questões a cada um dos alunos, separadamente, tendo em vista criar um ambiente onde se sentissem confortáveis e, ao mesmo tempo, compreender o modo como se viam a si próprios face ao seu desempenho escolar. Na segunda fase, e já na presença do colega de grupo, foi proposta a resolução de uma tarefa constituída por três questões. As duas primeiras tinham como objectivo recordar a representação de pontos num referencial cartesiano e identificar pares ordenados que correspondem a pontos já representados, usando a simbologia e terminologia adequadas. Na terceira questão, os alunos são con- frontados com um problema tendo em vista saber se tinham presentes os conhecimento adquiridos no ano anterior no que respeita à proporcionalidade directa.

6.2.1. Conceito de função

Apesar de ainda não terem estudado formalmente a noção de função, os alunos conseguem identificar uma situação de proporcionalidade directa, ou seja, intuitivamen- te, conseguem identificar uma função que representa uma situação de proporcionalidade directa. Este tópico foi trabalhado no ano lectivo anterior (como tópico do 7.º ano de escolaridade) onde foi pedido que reconhecessem situações de proporcionalidade direc- ta, indicando a constante de proporcionalidade e interpretando-a à luz do problema. Aprenderam, ainda, dada uma representação gráfica, a identificar se a situação nela des- crita representa uma situação de proporcionalidade directa.

Durante a realização da questão 3, Joana e Joaquim mostram recordar-se destas noções e justificam que o preço é directamente proporcional ao número de jogos, fazen- do referência à existência de uma constante de proporcionalidade e interpretando o seu significado no contexto do problema, como é ilustrado no diálogo seguinte:

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Professora: O preço a pagar é directamente proporcional ao número de

jogos a efectuar. Porquê?

Joaquim: É proporcional porque temos uma constante de proporcionali-

dade…

Professora: Que é…?

Joaquim: Que é igual… A constante de proporcionalidade é igual a 3

euros e 75 e significa o preço de um jogo.

Professora: Muito bem.

6.2.2. Mudança de representação (verbal, gráfica, simbólica e tabular)

Na questão 3, é apresentada uma situação, através da representação verbal, que relaciona o preço a pagar com o número de jogos realizados. Nas várias perguntas que compõem esta questão é necessário fazer uma interpretação do enunciado (representa- ção verbal) de modo a poder completar uma tabela (3.3.), construir um gráfico (3.6.) e identificar uma expressão algébrica que a representa (3.5.), respectivamente, representa- ção tabular, gráfica e simbólica.

Para completar a tabela apresentada na pergunta 3.3., é necessário determinar uma imagem dado um objecto ou um objecto dada uma imagem. Existem vários proces- sos que permitem realizar essa determinação e Joana e Joaquim recorrem frequentemen- te à utilização da regra de três simples, explicando o procedimento usado. De facto, a aplicação da regra de três simples é usualmente apresentada aos alunos no final do 2.º ciclo, e a sua utilização é reforçada durante o 7.º ano de escolaridade. Por exemplo, para calcular o custo de 9 jogos, os alunos explicam:

Joaquim: Então, por nove jogos… Fazemos assim… Se por um jogo

eles vão pagar 3,75, por 9 jogos têm de pagar x. Então x igual 9 vezes 3,75 a dividir por 1 que é igual…

Professora: O que é que utilizaram para fazer o cálculo?

Joaquim: Utilizámos a regra do 3 simples… Que é igual a 33,75… Professora: Então terá de pagar …

Joaquim: O Jorge… Se quisessem realizar 9 jogos teria de pagar 33,75

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No entanto, os alunos não utilizam apenas este processo. No preenchimento da tabela da pergunta 3.3., para calcular os dois primeiros pares de números, utilizam a regra de três simples, mas nos seguintes pares de números utilizam um processo basea- do na constante de proporcionalidade. Percebem que, através da divisão ou multiplica- ção, o uso dessa constante lhes facilita os cálculos:

Joaquim: 37 euros e 50 a dividir por 3 euros e 75 é igual… Dá para rea-

lizar 10 jogos.

Professora: Joana…

Joana: 4… Se 2 jogos dão 7 euros e meio… 4 jogos irá ser 15 euros. Professora: Joaquim…

Joaquim: Agora… Para sabermos quantos jogos é que podemos realizar

com 18 euros e 75… Repetimos novamente o mesmo processo que foi usado já em… Em perguntas anteriores… Fazemos 18 euros 75 a dividir por 3 euros e 75 que vai dar 5 jogos.

Professora: Joana…

Joana: Com 11 euros e 25… 1 jogo são 3 euros e 75… 11 euros e 25 dá

para 3 jogos.

Utilizando um destes processos para calcular objectos/imagens, os alunos deter- minam todos os pontos correspondentes ao preenchimento da tabela, não apresentando dificuldades. No que diz respeito à mudança da representação tabular para a representa- ção gráfica, usam os pares ordenados encontrados, marcando-os num sistema de eixos ortonormados.

6.2.3. Representação de funções lineares e afins

6.2.3.1. Representação gráfica. No ano lectivo anterior, os alunos desta turma

realizaram um trabalho em grupo que consistia na representação e identificação de coordenadas de pontos num referencial cartesiano. Deste modo, trabalharam as noções de referencial cartesiano, pontos, coordenadas, eixo das abcissas e das ordenadas. Durante a entrevista, Joana e Joaquim mostraram ter conhecimento destes termos:

Professora: Lembram-se como é que se representa um ponto num refe-

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Joana: Através das coordenadas.

Professora: Através das coordenadas… Então, imaginem que um ponto

é dado pelas coordenadas x e y.

Joaquim: Se…

Joana: O x é horizontal e o y é vertical.

Professora: Marcam o ponto partindo sempre de que outro ponto? Joaquim: Da origem.

Professora: Da origem, certo!… A que eixo é que corresponde o x?

(Joana aponta para o eixo horizontal)

Professora: Qual é o nome, lembram-se?... É o eixo das… Joana: Abcissas.

Professora: E o y no eixo das … Joana: Ordenadas.

Joaquim: Ordenadas, pois é!

Deste modo, os dois alunos mostram ter conhecimento da terminologia relativa à representação de pontos num referencial cartesiano. No entanto, no que respeita à sua marcação, não respondem imediatamente, sendo necessária a ajuda da professora no sentido de encaminhar os seus raciocínios:

Professora: Expliquem como é que fazem para marcar os pontos que aí

estão. Como é que marcam o ponto A [A(1,0)]?

Joaquim: Então… Como é que marcaria o ponto A?

Professora: O ponto A está aqui. Como é que fazem para marcar o pon-

to?

Joaquim: Então… Iríamos… Primeiro ver o eixo das abcissas… Que é

o… no eixo das abcissas é um…

Professora: Sim…

Joaquim: E depois… No eixo das ordenadas… Professora: Que é…

Joana: É zero. Joaquim: É zero.

Professora: É zero. Então como é que vocês se deslocam em termos de

horizontal e vertical?

Joaquim: Então, na horizontal deslocávamo-nos para a direita. Professora: Quantas unidades?

Joana: Uma…

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Professora: Uma unidade.

Joaquim: Uma unidade… E na vertical… Deixávamo-nos estar na mes-

ma unidade.

Após esta dificuldade inicial, onde relembraram como representar pontos num referencial cartesiano, os dois alunos responderam correctamente às questões seguintes, não evidenciando dificuldades na escrita das coordenadas dos restantes pontos.

Em relação à representação gráfica da situação de proporcionalidade directa, apresentada na questão 3, os alunos identificam os eixos onde devem representar os valores das variáveis mas mostram dificuldades na escolha da escala apropriada para os eixos, tendo feito várias tentativas para encontrarem a escala mais adequada. De segui- da, marcam os pontos resultantes do preenchimento de uma tabela onde constam núme- ro de jogos e respectivo preço. No entretanto, quando elaboram a representação gráfica, representam dois eixos ortogonais mas apenas representam o quadrante resultante do cruzamento dos semi-eixos positivos, não indicando a sua orientação nem prolongando a linha resultante da união dos pontos.

Figura 35. Resposta à pergunta 3.6. da entrevista inicial.

6.2.3.2. Representação algébrica. Após a leitura da pergunta 3.5., onde é sugeri-

do que completem a expressão algébrica y=___×x, que traduz a relação de proporciona- lidade, os dois alunos mostram não sentir dificuldades na sua realização e justificam dizendo:

Joaquim: y igual … Professora: A quê? Joana: … 3,75 vezes x.

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Joaquim: 3,75 vezes x porque 3,75 é o preço que custa 1 jogo e depois,

conforme o número de jogos que nós queremos jogar… É o dinheiro que nós vamos gastar.

Apesar de ainda não terem aprendido formalmente a noção de expressão algébri- ca de uma função, os dois alunos conseguem determinar a expressão que define a situa- ção apresentada, tendo em conta o significado atribuído às variáveis x e y.