Para cada s´ıtio x ∈ Zd, sejam as vari´aveis aleat´orias independentes e identicamente
distribu´ıdas Tx ∼ Exp(1) denotando o tempo de permanˆencia da infec¸c˜ao no s´ıtio x.
Em outras palavras, Tx ´e o tempo decorrente do instante em que o s´ıtio x recebe a
infec¸c˜ao de um vizinho at´e o instante em que x se torna imune. Definamos tamb´em, para x, y ∈ Z2 tal que |x − y| = 1, vari´aveis aleat´orias independentes e identicamente
distribu´ıdas e(x, y) ∼ Exp(λ), que denotam o tempo decorrente do instante em que o s´ıtio x torna-se infectado at´e o intante no qual este tenta infectar o s´ıtio y (com a infec¸c˜ao de fato ocorrendo se y estiver no estado sadio e x n˜ao estiver imune). Portanto, seja
τ (x, y) =
e(x, y) se Tx > e(x, y),
∞ se Tx ≤ e(x, y).
Dizemos que a aresta orientada (x, y) ´e aberta se τ (x, y) < ∞ (caso contr´ario, a aresta orientada (x, y) ´e fechada). A primeira situa¸c˜ao refere-se `a possibilidade de ocorrˆencia de infec¸c˜ao de y pelo s´ıtio x, pois a infec¸c˜ao em x dura tempo suficiente a ponto de x emitir a infec¸c˜ao na dire¸c˜ao de y. No segundo caso, o tempo da infec¸c˜ao em x se encerra antes de x emiti-la na dire¸c˜ao de y e, a grosso modo, ∞ representa o fato de que x n˜ao passa a infec¸c˜ao para y durante o per´ıodo que se encontra infectado (como cura implica em imunidade, x nunca mais voltar´a a ser infectado e, conseq¨uentemente, n˜ao poder´a mais ser transmissor da infec¸c˜ao). Assim, a vari´avel τ (x, y) define o tempo decorrente
do instante em que o s´ıtio x torna-se infectado at´e o intante no qual este tenta infectar o s´ıtio y, tomando o valor ∞ caso isto nunca ocorra. Para um modelo com apenas um s´ıtio infectado em t = 0 (digamos, a origem), a probabilidade da aresta orientada que liga o par (0, 0) a um de seus quatro vizinhos estar aberta, denotada por p, pode ser usada como um parˆametro do modelo epidˆemico, e ´e definida por
p = P(T0 > e(0, y)) =
Z ∞
0
P (T0 > e(0, y) | e(0, y) = s) fe(0,y)(s)ds
= Z ∞ 0 e−sλe−λsds = λ Z ∞ 0 e−(λ+1)sds = λ λ + 1,
onde y ´e um dos quatro vizinhos do s´ıtio (0, 0), este denotado apenas por 0. Agora, seja
C0 = {x : x pode ser alcan¸cado por (0, 0) por um caminho de arestas abertas}. (4.1)
Claramente, a express˜ao acima denota o conjunto de todos os s´ıtios para os quais h´a liga¸c˜ao com a origem (0, 0) atrav´es de arestas abertas. No processo com imuniza¸c˜ao (ou modelo epidˆemico, como ´e diversas vezes mencionado em Cox & Durrett [3]), C0 denota
o conjunto de s´ıtios que podem ser infectados uma vez que a configura¸c˜ao η0 possua
a coordenada (0, 0) no estado 1 (infectado) e todos os outros s´ıtios em Z2 no estado 0
(sadio), ou seja, a configura¸c˜ao inicial do processo ηt{0}.
Definida a express˜ao em (4.1), o interesse volta-se para o estudo da existˆencia de um “caminho infinito” de arestas abertas, que remete `a percola¸c˜ao. Conforme fora descrito na Se¸c˜ao 1.1, a quest˜ao de sobrevivˆencia da infec¸c˜ao com probabilidade n˜ao-nula do processo de contato definido no Cap´ıtulo 1 est´a ligada `a existˆencia de ao menos um “caminho ativo infinito”. No caso do processo com imuniza¸c˜ao, precisamos analisar de maneira um pouco diferenciada essa existˆencia de caminho infinito. No modelo com imuniza¸c˜ao, s´ıtios que se curam tornam-se imunes, e portanto bloqueiam a passagem de infec¸c˜ao pelas suas respectivas arestas. A Figura 4.1 ilustra a id´eia a ser passada. Neste exemplo, se o s´ıtio (−3, 0) se curar antes de passar infec¸c˜ao para pelo menos um de seus vizinhos sadios (neste caso, (−4, 0) ou (−3, −1)), todos os outros s´ıtios ainda no estado infectado estar˜ao cercados por s´ıtios imunes ou infectados. Logo, eles n˜ao tem
Figura 4.1: Exemplo de percola¸c˜ao para processos com imuniza¸c˜ao com infec¸c˜ao come¸cando em (0, 0). Os pontos preenchidos em preto denotam s´ıtios infectados, os pontos brancos representam s´ıtios sadios e as marcas ××× representam s´ıtios imunes.
mais como transmitir infec¸c˜ao, e apenas permanecer˜ao neste estado infectado por um tempo aleat´orio governado por uma distribui¸c˜ao exponencial de parˆametro 1. Assim, quando todos estes s´ıtios infectados tornarem-se imunes, a configura¸c˜ao atinge um ponto de absor¸c˜ao: todos os s´ıtios que foram infectados at´e o confinamento do aglomerado de s´ıtios ligados a origem por caminhos abertos permanecer˜ao no estado imune e todos os outros s´ıtios em Z2 no estado sadio. Portanto, neste caso, o sistema n˜ao percola. Para
que o sistema percole, precisamos de ao menos um caminho aberto infinito que passe pela origem da infec¸c˜ao, pois dessa forma ´e imposs´ıvel que todos os s´ıtios infectados tornem-se imunes antes de ao menos um destes transmitir a infec¸c˜ao. Isto equivale a P(|C0| = ∞) > 0. Portanto, sejam λc = inf{λ : P(|C0| = ∞) > 0} e pc= 1 − ET0e−λcs = λc λc+ 1
respectivamente os parˆametros cr´ıticos relativos `a taxa de infec¸c˜ao e `a probabilidade da infec¸c˜ao de um determinado vizinho de (0, 0) ocorrer em virtude da aresta partindo deste. Cox & Durrett [3] enunciam o paramˆetro cr´ıtico pc∈ [0, 5; 0, 5927], o que implica
em λc ∈ [1; 1, 4552]. Quando λ > λc, o sistema percola com probabilidade positiva,
e assim tra¸camos um paralelo com o caso supercr´ıtico dos processo de contato sem uso de imuniza¸c˜ao. Assim como neste tipo de processo, tamb´em podemos adaptar a representa¸c˜ao gr´afica de Harris para o modelo com imuniza¸c˜ao. As setas de infec¸c˜ao que partem das semi-retas {z} × [0, ∞) ap´os o s´ıtio z estar no estado imune s˜ao obsoletas, representando desta forma as arestas (orientadas) fechadas. Tamb´em temos que um s´ıtio imune bloqueia o recebimento de infec¸c˜ao vinda de qualquer um de seus vizinhos, conforme a dinˆamica do processo em quest˜ao. A partir do momento que todos os s´ıtios infectados na representa¸c˜ao gr´afica n˜ao encontrarem vizinhos para os quais podem transmitir a infec¸c˜ao (ou seja, encontrarem apenas vizinhos no estado infectado ou imune), a infec¸c˜ao se extinguir´a nestes s´ıtios, ficando assim no estado imune e atingindo ponto de absor¸c˜ao, conforme explicado atrav´es da Figura 4.1. A Figura 4.2 ´e uma vers˜ao da Figura 1.2 para o processo com imuniza¸c˜ao.
Figura 4.2: Representa¸c˜ao gr´afica dos processos de contato para d = 1: processo com estado inicial η0 = {..., 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, ...} e configura¸c˜ao ηT = {..., 1, 1, i, i, 1, 1, i, ...}. As marcas
representam os pontos onde um s´ıtio infectado se cura e torna-se imune, e as setas partindo de s´ıtios infectados denotam infec¸c˜ao chegando ao s´ıtio que a recebe (caso esteja sadio). A seta tracejada representa tentativa de infec¸c˜ao atrav´es de um aresta fechada.
´
E pertinente observar que, na representa¸c˜ao gr´afica de Harris, as marcas conforme o processo de Poisson de parˆametro 1 em todas as semi-retas {z} × [0, ∞) s˜ao tra¸cadas partindo de t = 0, n˜ao levando em conta se o s´ıtio est´a infectado, sadio ou imune. O tempo aleat´orio exponencialmente distribu´ıdo de permanˆencia da infec¸c˜ao n˜ao come¸ca a
ser computado a partir do momento da infec¸c˜ao, mas sim a partir da ´ultima marca em {x} × [0, ∞) antes da ocorrˆencia da infec¸c˜ao de x (ou a partir de t = 0, caso a infec¸c˜ao em x ocorra antes da ocorrˆencia de marcas de cura na semi-reta {x} × [0, ∞)). Logo, nesta adapta¸c˜ao, as marcas conforme o processo de Poisson de parˆametro 1 poderiam ser tra¸cadas apenas a partir da ocorrˆencia da infec¸c˜ao, sendo necess´ario apenas uma marca para cada semi-reta.