Nesta se¸c˜ao trataremos dos resultados obtidos em simula¸c˜ao. O algoritmo, feito no programa Ox, encontra-se no Apˆendice A da presente disserta¸c˜ao. Tal algoritmo utiliza o parˆametro de infec¸c˜ao λ e o instante de tempo T como suas entradas. O processo de contato em Z2 de parˆametros (λ, 1) com A = {(0, 0)} desenvolve-se at´e o instante T , e assim temos a configura¸c˜ao neste instante de tempo como dado de sa´ıda. Esta sa´ıda possibilita a gera¸c˜ao da figura da configura¸c˜ao, conforme vemos nas Figuras 3.2 e 3.3. Para os s´ıtios que encontram-se no estado infectado no instante T , quadrados de lado unit´ario centrados nestes s´ıtios s˜ao plotados e preenchidos na cor preta (id´eia similar a usada na Se¸c˜ao 1.4).
Figura 3.2: Amostra da configura¸c˜ao de um processo de contato com parˆametros λ = 2 e µ = 1 no instante T = 20.
Para cada par de entradas (λ, T ), foram realizadas 15 replica¸c˜oes do processo de contato de parˆametros (λ, 1) em um determinado intervalo [0, T ]. Cada replica¸c˜ao est´a sujeita a uma representa¸c˜ao gr´afica diferente, pois ´e caracterizada pela mudan¸ca da semente (ranseed) no programa, a qual ´e respons´avel pela gera¸c˜ao dos tempos de infec¸c˜ao e cura. Portanto, temos uma amostra de 15 observa¸c˜oes (configura¸c˜oes) para cada par
Figura 3.3: Amostra da configura¸c˜ao de um processo de contato com parˆametros λ = 3 e µ = 1 no instante T = 20.
de entradas. Os valores de λ escolhidos foram: λ = 2, λ = 3 e λ = 5. Como a dimens˜ao da grade ´e d = 2, temos que o valor cr´ıtico est´a situado no intervalo 13 ; 1, e portanto os valores escolhidos para λ remetem que todas as simula¸c˜oes realizadas est˜ao situadas no caso supercr´ıtico, ou seja, a probabilidade da infec¸c˜ao nunca se exting¨uir ´
e estritamente positiva. Os instantes escolhidos para observarmos a configura¸c˜ao dos processos simulados foram: T = 5, T = 10 e T = 20 (este ´ultimo exceto para λ = 5). Como a condi¸c˜ao de sobrevivˆencia da infec¸c˜ao ´e essencial para nossos prop´ositos, simula¸c˜oes nas quais a infec¸c˜ao n˜ao sobreviveu foram descartadas e outras sementes foram utilizadas no lugar das sementes relativas aos processos que vieram a se exting¨uir. Esta situa¸c˜ao ocorreu apenas em simula¸c˜oes com λ = 2, em duas replica¸c˜oes, onde a configura¸c˜ao ξT{0} = ∅ ocorre para T = 5, e obviamente tamb´em ocorre para T = 10 e T = 20.
Pela Figuras 3.2 e 3.3, temos a id´eia da forma do conjunto U apresentado no Teorema da Forma (Teorema 1.2), pois a regi˜ao de s´ıtios infectados deve ter a forma aproximada de 20U , com probabilidade alta. Conforme comentado no Cap´ıtulo 3, o conjunto U depende de λ, e empiricamente vemos que, no segundo caso (λ = 3), tal conjunto ´e
maior quando comparado ao primeiro caso (λ = 2). O crescimento da infec¸c˜ao ´e linear e tem simetria radial em torno da origem da mesma, ou seja, a ´area de infec¸c˜ao cresce em todos os sentidos. As Figuras 3.4, 3.5 e 3.6 transmitem a id´eia da evolu¸c˜ao da infec¸c˜ao com o passar do tempo (para cada uma das trˆes figuras, a mesma semente foi utilizada para todas as configura¸c˜oes). Como o desenvolvimento da infec¸c˜ao ´e governado pela aleatoriedade dos processos de Poisson segundo a representa¸c˜ao gr´afica de Harris, ´
e importante refor¸car que a figura gerada pode apresentar um comportamento no qual o centro da ´area de s´ıtios infectados esteja, de maneira mais percept´ıvel, fora da origem da infec¸c˜ao. Todavia, esta distˆancia ´e de ordem oP(t) sob o condicionamento da infec¸c˜ao sobreviver para sempre. Este contratempo pode afetar o estimador quando ´e realizado o encolhimento pelo fator (1 − δ), mas ´e indiferente se utilizarmos a t´ecnica de peeling. As Tabelas 3.1 e 3.2 descrevem m´edia e desvio padr˜ao amostral dos processos simulados, com e sem peeling. Seguindo a proposta em Fiocco & van Zwet [9], programamos o peeling para retirar em torno de 30% dos s´ıtios infectados mais pr´oximos da regi˜ao de fronteira da configura¸c˜ao ξ{0}T .
Figura 3.4: Amostra de um processo de contato de parˆametros (2, 1) para instantes de tempo T = 5, T = 10 e T = 20.
A id´eia principal dos resultados de nossas simula¸c˜oes ´e verificar se o estimador estudado no Cap´ıtulo 3 produz de fato estimativas confi´aveis para o parˆametro de infec¸c˜ao, ou em outras palavras, nosso objetivo principal ´e verificar empiricamente
Figura 3.5: Amostra de um processo de contato de parˆametros (3, 1) para instantes de tempo T = 5, T = 10 e T = 20.
Figura 3.6: Amostra de um processo de contato de parˆametros (5, 1) para instantes de tempo T = 5 e T = 10.
o estimador apresentado no Cap´ıtulo 3. Primeiramente, note que ao compararmos as Tabelas 3.1 e 3.2, verifica-se que o estimador tomando por base toda a grade Z2
subestima o valor real do parˆametro de infec¸c˜ao, ao passo que utilizando peeling, os valores computados para o estimador est˜ao claramente mais pr´oximos de λ. Note tamb´em que na Tabela 3.2 temos o erro absoluto entre o parˆametro e a m´edia amostral das estimativas decrescendo conforme o tempo T aumenta. Portanto, os resultados obtidos mostram forte ind´ıcio no tocante `a consistˆencia do estimador (interessante notar que tal comportamento
Tabela 3.1: M´edias e desvios padr˜oes amostrais das estimativas de cada grupo de amostras de processos simulados com os mesmos valores de λ e T considerando toda a grade bidimensional.
Parˆametro Tempo M´edia Amostral D.P. Amostral
5 1,4086 0,0933 λ = 2 10 1,6305 0,0735 20 1,8222 0,0376 5 2,1209 0,1313 λ = 3 10 2,4848 0,0745 20 2,7352 0,0679 λ = 5 5 3,5488 0,1708 10 4,1477 0,0752
Tabela 3.2: M´edias e desvios padr˜oes amostrais das estimativas de cada grupo de amostras de processos simulados com os mesmos valores de λ e T utilizando peeling.
Parˆametro Tempo M´edia Amostral D.P. Amostral
5 1,8996 0,1917 λ = 2 10 1,9550 0,1019 20 2,0132 0,0488 5 2,9562 0,2949 λ = 3 10 2,9854 0,1192 20 3,0105 0,0564 λ = 5 5 4,8876 0,3021 10 4,9279 0,1385
tamb´em ocorre quando n˜ao utilizamos t´ecnica de encolhimento, conforme Tabela 3.1). Outro fator de destaque nas tabelas em quest˜ao reside nos desvios das estimativas sem peeling serem menores do que os desvios das estimativas com peeling. Esta situa¸c˜ao foi mencionada na Se¸c˜ao 3.3, ao relatar que t´ecnicas de encolhimento diminuem o v´ıcio negativo, mas aumentam a variˆancia. Tal comportamento s´o n˜ao foi observado no caso λ = 3 e T = 20, mas com diferen¸ca relativamente pequena comparada aos demais casos. Analisando as tabelas separadamente, em ambas o desvio padr˜ao diminui conforme o tempo cresce. Portanto, pelas simula¸c˜oes realizadas, o estimador se aproxima do valor real do parˆametro – consistˆencia – conforme o passar do tempo, enquanto o desvio padr˜ao das estimativas observadas decresce. Ainda em rela¸c˜ao ao desvios, se fixarmos o tempo, em ambas as tabelas o desvio aumenta conforme o parˆametro de infec¸c˜ao cresce.
As distribui¸c˜oes emp´ıricas do estimador para λ = 2, λ = 3 e λ = 5 nos instantes de tempo analisados podem ser verificadas nos histogramas das Figuras 3.7 (sem peeling) e 3.8 (com peeling). O comportamento das estimativas sem o uso de peeling mostra maior concetra¸c˜ao em torno de valores menores que o valor do parˆametro. Conforme o passar do tempo, esta concentra¸c˜ao est´a se aproximando ao valor real do parˆametro. Todavia, tal convergˆencia ´e demorada, conforme comentado na Se¸c˜ao 3.3. A dispers˜ao das estimativas tende a decrescer com o passar do tempo, pois tanto o valor m´aximo quanto o valor m´ınimo entre as estimativas aumentam, e o primeiro sofre maior incremento. No caso das estimativas com o uso de peeling, espera-se que a maior concentra¸c˜ao de pontos esteja pr´oxima ao valor do parˆametro (o final do ultimo par´agrafo remete a esse comportamento). De fato, isto se observa na maior parte dos histogramas na Figura 3.8. Nestes, repare que a dispers˜ao das estimativas em torno da m´edia decresce conforme o passar o tempo em todos os casos (λ = 2, λ = 3 e λ = 5), e esta concentra¸c˜ao est´a cada vez mais pr´oxima do valor real do parˆametro. Diferentemente do caso sem peeling, o valor m´ınimo cresce ao passo que o valor m´aximo decresce no tocante `a redu¸c˜ao da dispers˜ao atrav´es do tempo.
Portanto, a presente se¸c˜ao mostrou, atrav´es dos resultados obtidos em simula¸c˜ao, diversos pontos abordados da teoria estudada na literatura sobre processos de contato, como:
• A rela¸c˜ao de dependˆencia do conjunto U apresentado pelo Teorema 1.2 com o parˆametro de infec¸c˜ao λ, assim como sua forma radial em torno da origem da infec¸c˜ao;
• O crescimento da infec¸c˜ao `a taxa constante ocorrendo em todas as dire¸c˜oes, assumindo aproximadamente, no instante de tempo t, a forma de tU , o que tamb´em ´e assegurado pelo Teorema 1.2;
• A eficiˆencia do uso do peeling, retirando cerca de 30% dos s´ıtios infectados mais pr´oximos da regi˜ao de fronteira da configura¸c˜ao ξT{0}, produzindo estimativas mais convincentes de λ. Ao calcularmos o estimador sobre toda a grade bidimensional, obtivemos valores para as estimativas que claramente subestimam o valor real do
Figura 3.7: Distribui¸c˜oes emp´ıricas para as estimativas sem peeling.
parˆametro de infec¸c˜ao;
• A consistˆencia assegurada pelo Teorema 3.1, onde foi utilizada a m´edia amostral das estimativas obtidas pelas replica¸c˜oes como estat´ıstica suficiente. Ainda sobre a consistˆencia, evidencia-se que esta ainda se mant´em mesmo sem uso de t´ecnicas de encolhimento, por´em com convergˆencia mais demorada;
• Aumento da variˆancia com o uso da t´ecnica de peeling em rela¸c˜ao `a variˆancia das estimativas tomadas sem uso de encolhimento exceto em um dos casos analisados,
Figura 3.8: Distribui¸c˜oes emp´ıricas para as estimativas com peeling.
Cap´ıtulo 4
Processos com imuniza¸c˜ao
4.1
Dinˆamica do processo
Neste cap´ıtulo, apresentaremos um diferente modelo de propaga¸c˜ao de epidemias. Em tal modelo, al´em dos estados sadio e infectado, temos tamb´em o estado imune: quando um s´ıtio infectado se cura, este n˜ao se torna novamente sadio, mas sim imune (n˜ao est´a mais infectado e n˜ao pode mais contrair a infec¸c˜ao). A principal referˆencia ´e o trabalho de Cox & Durrett [3]. Como este tipo de modelo n˜ao ´e o alvo principal desta disserta¸c˜ao, apresentaremos apenas a id´eia deste processo e alguns dos resultados mais relevantes. Sugerimos tamb´em um estimador para o parˆametro de infec¸c˜ao e testamos o seu comportamento com simula¸c˜oes do processo.
Primeiramente, cada s´ıtio z ∈ Z2 est´a em um dentre trˆes estados: 0 (sadio); 1
(infectado); e i (imune). Denotaremos por ηt(x) o estado do s´ıtio x no instante t. A
dinˆamica do processo com imuniza¸c˜ao ocorre da seguinte forma: uma vez infectado, um s´ıtio x ∈ Z2, independentemente de qualquer outro s´ıtio, espera tempos exponencias independentes de parˆametro λ associados a cada um de seus quatro vizinhos mais pr´oximos e, ap´os cada um desses tempos, se ainda infectado, transmite a infec¸c˜ao ao respectivo vizinho. Quando tal infec¸c˜ao atinge um s´ıtio sadio, este torna-se infectado. Independentemente, um s´ıtio infectado permanece neste estado por um tempo aleat´orio com distribui¸c˜ao exponencial de parˆametro 1, e quando o per´ıodo de infec¸c˜ao acaba, este s´ıtio torna-se imune a qualquer infec¸c˜ao futura. O referido artigo ainda cita
uma interessante analogia do uso deste processo com um modelo probabil´ıstico para a propaga¸c˜ao de incˆendios em florestas: o estado 0 (sadio) denota uma ´arvore (ainda) n˜ao atingida pelo fogo; 1 (infectado) denota uma ´arvore que est´a em chamas, desta forma podendo “transmitir” o fogo para uma ´arvore vizinha; e i (imune) representa uma ´arvore j´a queimada, morta, que sequer tem condi¸c˜oes de transmitir o incˆendio.
De posse das descri¸c˜oes dos par´agrafos acima, vamos apresentar nas pr´oximas se¸c˜oes deste cap´ıtulo alguns dos principais resultados te´oricos da literatura relativa a processos com imuniza¸c˜ao.