Estimação das Taxas de Infecção e Cura no Processo de Contato

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Universidade Federal do Rio de Janeiro

Estima¸

c˜

ao das taxas de infec¸

c˜

ao e cura no

Processo de Contato

Felipe Rafael Ribeiro Melo

Rio de Janeiro 2008

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Felipe Rafael Ribeiro Melo

Estima¸cão das taxas de infeçcão e cura no Processo de Contato

Disserta¸cão de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-gradua¸cão em Estat´ıstica do Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio de Janeiro como parte dos requisitos necessários à obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Estat´ıstica.

Orientador:

Glauco Valle da Silva Coelho

Departamento de M´etodos Estat´ısticos Instituto de Matem´atica

Universidade Federal do Rio de Janeiro

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Folha de exame

Disserta¸cão de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-gradua¸cão em Estat´ıstica do Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio de Janeiro como parte dos requisitos necessários à obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Estat´ıstica.

Banca examinadora:

Glauco Valle da Silva Coelho Instituto de Matem´atica - UFRJ

Nei Carlos dos Santos Rocha Instituto de Matem´atica - UFRJ

Valentin Sisko

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(5)

Agradecimentos

´

E com muito orgulho que escrevo esta página, pois sozinhos não somos nada. Em primeiro lugar, agrade¸co a Deus, for¸ca suprema e causa primária de todas as coisas, e todas as for¸cas invis´ıveis que contribu´ıram comigo para que este trabalho chegasse ao ponto que chegou; e minha fam´ılia, a base de tudo, pela confian¸ca no meu potencial, pelo apoio e incentivo que nunca deixaram de existir, e pela paciência em lidar com meu stress e, por vezes, perfeccionismo, fruto do esfor¸co para obter um bom rendimento na disserta¸cão.

Aos professores que passaram na minha vida, dos quais extra´ı grande parte da base intelectual que hoje possuo, desde a Tia Aldinéia no C.A. ao meu orientador Glauco Valle. A este, um agradecimento especial, por todo o entrosamento obtido nesses aproximadamente 15 meses trabalhando juntos, pela aten¸cão dedicada e pela paciência com minha relativa falta de forte base matemática (e também de Processos Estocásticos). Agrade¸co ao pessoal do corpo discente da pós-gradua¸cão, em particular aos meus companheiros da turma de Mestrado de 2006, que souberam como foi viver toda a pressão do primeiro ano de curso. Assim como eu, Luiz, Léo e Fábio (grande companheiro desde os tempos de UERJ, que seria de nós se não fossem as ajudas que um oferecia ao outro nas disciplinas do Mestrado!?) continuaram para o segundo ano, mas não poderia me esquecer de companheiros que não estão mais no curso, como Simone, Cleide e Flavinha. Também agrade¸co em especial a Val (que me ofereceu o preâmbulo para o relatório e me deu dicas para edi¸cão do texto); o Vin´ıcius, com o qual tive meu primeiro contato com o Latex no minicurso que ele ministrou, além do divertido conv´ıvio (mesmo que em pequena escala) e da aceita¸cão em otimizar meu algoritmo em C (acabou não sendo necessário, mas valeu a inten¸cão!); o Joaquim, que veio com o minicurso de Ox na hora

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em que eu mais precisava e que me tirou algumas dúvidas a respeito deste software; e a todos que tiveram paciência com meus programas rodando no laboratório, pois sei que foram muitos!

Aos meus amigos Giselli, Luciana e Douglas, pessoas que mais me ajudaram quando estive fraco e desmotivado com a vida, momento que coincidiu com o come¸co da disserta¸cão. A melhor forma de agradecer a vocês é mostrar que estou aqui, renascido e com uma disserta¸cão pronta, pronto para me tornar Mestre!

Ao povo da sala 714 da Escola Nacional de Saúde Pública, mas em especial quero destacar a professora Mariane Branco Alves, sempre presente em minha vida acadêmica desde 2003, seja como aluno, orientando de Projeto de Extensão, orientando de monografia de Gradua¸cão ou assistente de pesquisa. Alguém que admiro muito como pessoa e profissional e que, sem ela, minha vida acadêmica não seria a mesma. Também a todas as outras pessoas importantes que surgiram no meu caminho gra¸cas a Funda¸cão Oswaldo Cruz.

A CAPES, pelo apoio financeiro.

Aos membros da comunidade do Latex no Orkut, na qual retirei muitas d´uvidas em rela¸c˜ao a esta linguagem.

Por fim, agrade¸co a todos que torceram por mim, desde os que estão no Rio aos que estão a muitos quilômetros de distância. Muito Obrigado!

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Resumo

Os processos de contato são modelos interessantes e úteis para uma variedade de problemas em Probabilidade Aplicada, como modelos que tratam de propaga¸cão de epidemias, infeçcões de ordem biológica em determinada estrutura celular ou crescimento de sistemas ecológicos. Essencialmente, são processos de Markov a tempo cont´ınuo, onde cada ponto (s´ıtio) em uma grade d-dimensional de valores inteiros possui um de dois poss´ıveis estados: sadio ou infectado. O processo inicia-se com um conjunto não-vazio de s´ıtios infectados e desenvolve-se com a infeçcão sendo transmitida para vizinhos dos s´ıtios infectados e, independentemente, cura de s´ıtios infectados, ao longo do tempo transcorrido.

O presente trabalho traz o embasamento teórico desta classe de processos, incluindo uma série de resultados, e alternativas para a estima¸cão dos parâmetros de infeçcão e cura. Também foi avaliada uma diferente classe de processos de contato onde há imuniza¸cão de s´ıtios, uma vez que estes foram curados da infeçcão. Sugerimos uma alternativa para a estima¸cão dos parâmetros deste modelo. Simula¸cões computacionais foram realizadas para verificarmos empiricamente diversos pontos analisados na teoria que se desenrola ao longo dos cap´ıtulos desta disserta¸cão para o processo de contato usual, assim como realizamos simula¸cões dos processos com imuniza¸cão, objetivando verificar se o estimador sugerido é razoável.

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Abstract

The contact processes are interesting and useful models for a variety of applied probability problems, such as models concerned with spread of epidemics, biological infection on a cellular structure or growth of ecological systems. Essentially, the contact processes are Markov processes in continuous time, which every point in a d-dimensional integer lattice is in one of two possible states: healthy or infected. The process starts with a nonempty set of infected sites and evolves with infection being transmitted to neighboring sites of infected sites and independently infected sites being cured along the time.

This dissertation brings the theoretical framework for this class of processes, including some important theoretical results and alternatives for the parameters estimation. We also study a class of models with immunization of sites once cured of its infection. We propose an alternative for the estimation of the infection parameter for this model. Computational simulations were made to check empirically various points viewed in theory over the chapters in this dissertation for the usual contact process, and the process with immunization to verify whether the proposed estimators are reasonable.

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Sum´

ario

Introdu¸c˜ao 1

1 Defini¸c˜oes e Resultados Preliminares 8

1.1 Constru¸c˜ao dos processos . . . 8

1.2 Sobrevivência da infeçcão: casos supercr´ıtico e subcr´ıtico . . . 14

1.3 O Teorema da Convergˆencia Completa . . . 16

1.4 O Teorema da Forma . . . 20

2 Estimadores de M´axima Verossimilhan¸ca 22 2.1 Defini¸c˜oes preliminares . . . 22

2.2 Fun¸c˜ao de Verossimilhan¸ca . . . 25

2.3 Estimadores e suas propriedades . . . 27

3 Estima¸cão via um método de contagem 34 3.1 Metodologia de estima¸cão . . . 34

3.2 O uso do envolt´orio convexo . . . 36

3.3 Comportamento assint´otico . . . 37

3.4 Estabelecendo o teorema . . . 40

3.5 Compara¸c˜ao de estimadores . . . 49

3.6 Resultados . . . 51

4 Processos com imuniza¸c˜ao 59 4.1 Dinˆamica do processo . . . 59

4.2 Percola¸c˜ao . . . 60

4.3 Teorema da Forma . . . 64

4.4 Resultados . . . 65 5 Conclus˜oes e Compara¸c˜oes 70

(10)

Apêndice A: Algoritmo em Ox para simula¸cões de Processos de Contato de parâmetros

(λ, 1) 75

Apêndice B: Algoritmo em Ox para simula¸cões de Processos com imuniza¸cão de

(11)

Lista de Figuras

1.1 Representa¸c˜ao gr´afica do cilindro RC

(−1,1)∩ R(−3,2)∩ R(3,2). . . 9

1.2 Representa¸c˜ao gr´afica dos processos de contato no caso unidimensional. . . 13 3.1 Exemplo de contorno L1 _{do envolt´}_{orio convexo da configura¸}_c˜_{ao de s´ıtios infectados em}

um determinado instante de tempo. . . 39 3.2 Amostra da configura¸c˜ao de um processo de contato com parˆametros λ = 2 e µ = 1 no

instante T = 20. . . 51 3.3 Amostra da configura¸c˜ao de um processo de contato com parˆametros λ = 3 e µ = 1 no

instante T = 20. . . 52 3.4 Amostra de um processo de contato de parˆametros (2, 1) para instantes de tempo T = 5,

T = 10 e T = 20. . . 53 3.5 Amostra de um processo de contato de parˆametros (3, 1) para instantes de tempo T = 5,

T = 10 e T = 20. . . 54 3.6 Amostra de um processo de contato de parˆametros (5, 1) para instantes de tempo T = 5

e T = 10. . . 54 3.7 Distribui¸cões emp´ıricas para as estimativas sem peeling. . . 57 3.8 Distribui¸cões emp´ıricas para as estimativas com peeling. . . 58 4.1 Exemplo de percola¸cão para processos com imuniza¸cão com infeçcão come¸cando na origem. 62 4.2 Representa¸cão gráfica de processos com imuniza¸cão no caso unidimensional. . . 63 4.3 Amostra da configura¸cão de um processo com imuniza¸cão de parâmetro λ = 3 no instante

T = 20. . . 66 4.4 Amostra de um processo de contato com imuniza¸c˜ao de parˆametro λ = 3 para instantes

de tempo T = 5, T = 10 e T = 20. . . 67 4.5 Amostra de um processo com imuniza¸c˜ao de parˆametro λ = 5 para instantes de tempo

T = 5 e T = 10. . . 68 4.6 Distribui¸cões emp´ıricas para as estimativas do parâmetro de infeçcão do processo com

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Lista de Tabelas

3.1 Médias e desvios padrões amostrais das estimativas de cada grupo de amostras de processos simulados com os mesmos valores de λ e T considerando toda a grade bidimensional. . . 55 3.2 Médias e desvios padrões amostrais das estimativas de cada grupo de amostras de

processos simulados com os mesmos valores de λ e T utilizando peeling. . . 55 4.1 M´edias e desvios padr˜oes amostrais das estimativas de cada grupo de amostras de

(13)

Introdu¸

c˜

ao

Os processos de contato – e, mais genericamente, sistemas de part´ıculas interagentes – foram primeiramente estudados e apresentados por Harris [10]. O rigoroso embasamento teórico de tais processos mostra-se útil no tocante a provar teorias, em especial nas áreas da F´ısica e da Biologia Teórica. Além disto, são modelos interessantes e úteis para uma variedade de problemas em Probabilidade Aplicada. Os exemplos mais comuns são: modelos que tratam de propaga¸cão de epidemias; infeçcões de ordem biológica em determinado tecido/órgão; crescimento de sistemas ecológicos.

Para compreens˜ao do processo, primeiramente considere a grade d-dimensional de valores inteiros Zd _{= {x = (x}

1, . . . , xd) : xi ∈ Z, i = 1, . . . , d}. Na linguagem

de sistemas de part´ıculas, tais pontos s˜ao denominados s´ıtios. Cada um desses s´ıtios possui um de dois poss´ıveis estados: sadio ou infectado. Sendo assim, tem-se, a cada instante t ≥ 0, uma configura¸c˜ao em {0, 1}Zd_{. No instante inicial (t = 0) o conjunto}

de s´ıtios infectados é não-vazio e definido através de uma distribui¸cão de probabilidade no espa¸co de configura¸cões poss´ıveis. A dinâmica do processo ocorre da seguinte forma: com o decorrer do tempo, a infeçcão se transmite de um s´ıtio infectado para um s´ıtio sadio (independentemente entre estes tipos de pares de vizinhos) segundo um processo de Poisson de taxa λ; por outro lado, de modo independente, cada s´ıtio infectado, independentemente um do outro, torna-se sadio segundo um processo de Poisson de taxa µ. Aqui, taxa se refere ao parâmetro da distribui¸cão exponencial que representa a distribui¸cão do intervalo de tempo entre a ocorrência de dois pontos consecutivos no processo de Poisson. Entende-se por vizinhos dois s´ıtios tal que a distância L1 _{entre estes}

´

(14)

Zd ´e dada por |x − y| := d X i=1 |xi− yi|.

Temos assim um modelo paramétrico: o processo de contato de parâmetros (λ, µ). O principal interesse neste projeto é a estima¸cão dos parâmetros de infeçcão λ e cura µ do referido processo. A obten¸cão de tais estimadores é realizada através de diferentes maneiras vistas na literatura. Em algumas situa¸cões, considera-se o parâmetro de cura conhecido e igual a 1, e o interesse volta-se somente à estima¸cão do parâmetro de infeçcão (isto não é uma grande perda, porque com uma renormaliza¸cão temporal apropriada pode-se transformar qualquer processo de contato em outro processo de contato com µ = 1). Segue abaixo os principais objetivos deste trabalho.

• Compreensão da teoria dos processos de contato, envolvendo desde no¸cões contidas em processos estocásticos até o desenvolvimento presente, passando pelo estudo de distribui¸cões de equil´ıbrio, critérios de convergência (processos limite), entre outros conceitos.

• Estimar o parâmetro de infeçcão e o parâmetro de cura através de diferentes maneiras vistas na literatura, bem como a compara¸cão destes diferentes métodos de estima¸cão e estimadores.

• Estudo da consistência e comportamento assintótico dos estimadores encontrados. • Elabora¸cão de rotinas para simula¸cões de processos de contato, desta forma verificando empiricamente a teoria estudada e refor¸cando as abordagens construtivas usadas nas descri¸cões de processos estocásticos.

• Discutir estima¸cão dos parâmetros em modelos com imuniza¸cão.

• Por fim, um apanhado de conclusões obtidas após todo o trabalho realizado envolvendo estima¸cões de parâmetros em processos de contato, além de perspectivas de trabalhos futuros.

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A abordagem deste texto é principalmente teórica e nossa análise estat´ıstica é freqüentista. Em termos de aplica¸cão e inferência bayesiana, faz-se pertinente citar (em linha de racioc´ınio semelhante à dinâmica dos processos de contato no que diz respeito aos relógios exponenciais que governam instantes de infeçcão e cura) o modelo de mistura a dois n´ıveis (two-levels mixing models) de Demiris & O’Neil [4], que é baseado na constru¸cão de grafos aleatórios tra¸cados entre indiv´ıduos dentro da mesma residência e entre indiv´ıduos de diferentes residências, utilizando abordagem bayesiana na estima¸cão dos parâmentros de infeçcão (local e global). No estudo mencionado é realizada aplica¸cão utilizando os dados provenientes do surto do v´ırus influenza A(H3N2) na cidade de Tecumseh, no estado de Michigan, Estados Unidos.

A existência de resultados teóricos em modelos com imuniza¸cão – como o modelo de incêndio em florestas em Cox & Durrett [3] – tem prerrogativas semelhantes ao processo de contato, com a diferen¸ca da utiliza¸cão de três diferentes estados (além de sadio e infectado, tal modelo possui o estado imune, ou seja, um indiv´ıduo que, uma vez infectado, se cura, não se torna novamente sadio, mas sim imune, e permanece neste estado para sempre no sistema). Por fim, em estudos na chamada Biologia Teórica, também existem possibilidades para aplica¸cão de modelos de part´ıculas interagentes do ponto de vista probabil´ıstico. O estudo de propaga¸cão célula a célula (spread cell-to-cell) do v´ırus da herpes em Lodmell et al [14] menciona que há pelo menos três diferentes maneiras pelas quais v´ırus podem se espalhar de uma célula a outra: (i) propaga¸cão para células próximas ou distantes através de rotas extracelulares; (ii) célula infectada pelo v´ırus, ao entrar em processo de divisão celular, gera duas células infectadas; e (iii) propaga¸cão do v´ırus para células adjacentes através de pontes intercelulares. Esta última é a forma pela qual o v´ırus da herpes se propaga. Interpretando células como s´ıtios, células adjacentes como s´ıtios vizinhos e logo pontes intercelulares como elos ligando células adjacentes, temos um modelo semelhante ao processo de contato e, por conseguinte, caminhos para aplica¸cão de modelos de part´ıculas interagentes. Além disto, a partir do momento no qual uma célula infectada se cura (pela a¸cão de anticorpos), esta célula permanece imune a infeçcão devido ainda a a¸cão destes anticorpos. Equivalentemente, do ponto de vista da evolu¸cão da infeçcão, poder´ıamos ter no lugar desta imuniza¸cão permanente a ocorrência de morte

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celular ocasionada pela permanência do v´ırus na referida célula. Dessa forma, temos o modelo semelhante a Cox & Durrett [3], uma vez que esta a¸cão imunizadora dure para sempre (caso contrário, temos um modelo de maior complexibilidade).

Esta disserta¸cão se organiza da seguinte forma. A defini¸cão, dada de maneira mais formal e matemática, e a apresenta¸cão dos principais resultados e caracter´ısticas dos processos de contato serão destacadas no primeiro cap´ıtulo do presente trabalho. Inicialmente apresentaremos o gerador infinitesimal que implica na existência de um processo de Markov chamado de processo de contato. A representa¸cão gráfica dos processos de contato, desenvolvida por Harris [10], será descrita a seguir. Através desta, a dinâmica do processo de contato pode ser compreendida, assim como é poss´ıvel verificar empiricamente carater´ısticas inerentes deste tipo de processo, como a atratividade e a auto-dualidade. O evento que denota o tempo de sobrevivência da infeçcão também será apresentado. Uma vez que este evento é definido e o conjunto inicial de s´ıtios infectados possui cardinalidade finita, a ênfase direciona-se para os casos onde a infeçcão no sistema permanece para sempre com probabilidade não-nula (caso supercr´ıtico) e onde a infeçcão desaparece (em determinado instante de tempo) com probabilidade 1 (caso subcr´ıtico). Estas ramifica¸cões dependem de um valor cr´ıtico ρd que depende da

dimens˜ao d da grade de inteiros onde o processo est´a definido de forma que se λ/µ > ρd

o processo é supercr´ıtico, caso contrário é subcr´ıtico. Se a infeçcão desaparecer em um determinado instante de tempo (que acontece quase certamente no caso subcr´ıtico e ocorre com probabilidade positiva no caso supercr´ıtico), a configura¸cão do sistema neste instante será nenhum s´ıtio infectado, e assim permanecerá para qualquer instante de tempo a seguir. Portanto, esta configura¸cão sem s´ıtios infectados é chamada de ponto de absor¸cão de um processo de contato. Quando a cardinalidade do conjunto inicial de s´ıtios infectados é infinita, em ambos os casos (supercr´ıtico e subcr´ıtico) a infeçcão sobrevive para sempre com probabilidade 1. Ainda no mesmo cap´ıtulo, são apresentados dois dos principais teoremas referentes aos processos de contato: o Teorema da Convergência Completa e o Teorema da Forma. O Teorema da Convergência Completa diz que para um instante de tempo relativamente grande, a distribui¸cão do processo converge fracamente para uma distribui¸cão que é combina¸cão convexa de duas medidas extremais,

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ponderadas por probabilidades relativas a sobrevivência da infeçcão no sistema. A medida de probabilidade concentrada na configura¸cão com nenhum s´ıtio infectado é ponderada pela probabilidade da infeçcão desaparecer; e, ponderada pela probabilidade da infeçcão não se extingüir, temos a chamada medida de equil´ıbrio superior, no sentido de que qualquer outra medida de equil´ıbrio do sistema é estocasticamente dominada por ela. Tal medida (também chamada de medida invariante superior, devido a estacionaridade desta) será amplamente citada e estudada no decorrer deste trabalho. O Teorema da Forma (ver Bezuidenhout & Grimmett [1], Durrett [5]) assegura que, a partir de um determinado instante de tempo t suficientemente grande, para um conjunto inicial de s´ıtios infectados unitário e sob a condi¸cão de sobrevivência do processo (situa¸cão poss´ıvel apenas no caso supercr´ıtico), a infeçcão se propaga linearmente a uma taxa constante e que a região de s´ıtios infectados tem aproximadamente a forma tU no tempo t, onde U ⊂ Rd é um conjunto convexo, limitado e com a origem como um ponto interior. Sob a condi¸cão de sobrevivência do processo, a distribui¸cão limite do processo é ν, portanto logo após a infeçcão chegar em um s´ıtio, a distribui¸cão na vizinhan¸ca deste s´ıtio converge para a medida de equil´ıbrio superior.

Fortemente baseado na representa¸cão gráfica dos processos de contato, constru´ımos um algoritmo que fornece amostras de um processo de contato de parâmetros (λ, 1) em um instante de tempo imputado no programa. A idéia é fazer este algoritmo rodar em um tempo suficientemente grande a ponto de atingir a distribui¸cão limite e as respectivas propriedades assintóticas. Além da figura com a configura¸cão, o programa constru´ıdo retorna o valor do estimador baseado no equil´ıbrio das taxas de crescimento/decrescimento segundo Fiocco & van Zwet [9]. Através da figura gerada pela simula¸cão feita pelo algoritmo constru´ıdo, também tem-se a idéia da forma do conjunto U citado no Teorema da Forma (ver Figuras 3.2 e 3.3). O algoritmo também é adaptável ao processo com imuniza¸cão de Cox & Durrett [3].

O segundo cap´ıtulo desta disserta¸cão trata dos estimadores de máxima verossimilhan¸ca dos parâmetros de infeçcão e de cura para o processo que inicia com apenas a origem infectada. Estes estimadores são dados em fun¸cão de processos de contagem (que denotam o número de transi¸cões de sadio para infectado e de infectado

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para sadio do referido processo de contato até um determinado instante de tempo); e de certas taxas integradas referentes ao processo. Grandezas como a taxa de mudan¸ca em um s´ıtio e taxa total de mudan¸ca em qualquer s´ıtio são também definidas neste cap´ıtulo, e a verossimilhan¸ca do processo observado até determinado instante de tempo t é descrita de maneira anal´ıtica, considerando que o processo no intervalo [0, t] passa por exatas N transi¸cões. Dado que o processo não se extingüe, distribui¸cão e propriedades assintóticas dos estimadores são citadas. Os estimadores de máxima verossimilhan¸ca são consistentes, assintoticamente não-viciados e eficientes, e a distribui¸cão conjunta dos estimadores de infeçcão e cura (após devida normaliza¸cão) é assintoticamente normal bivariada.

No terceiro cap´ıtulo, apresentamos a técnica de estima¸cão via um método de contagem. Primeiramente, seja o processo de contato de parâmetros (λ, 1) com apenas a origem infetada no instante inicial. A estimativa de λ com base na realiza¸cão do processo até um determinado instante t depende apenas da configura¸cão do processo no instante t. A idéia principal deste estimador está baseada na suposi¸cão de equil´ıbrio do processo para um instante de tempo suficientemente grande, ou seja, a taxa média de crescimento do processo (s´ıtios sadios tornando-se infectados) é aproximadamente igual a taxa média de decrescimento (s´ıtios infectados tornando-se sadios). Todavia, se considerarmos estas taxas em todo reticulado, o estimador sofre um v´ıcio negativo. Simula¸cões computacionais confirmam que este estimador subestima λ substancialmente. O estimador não é calculado baseado em todo reticulado, mas no conjunto que define o envoltório convexo do conjunto de s´ıtios infectados no instante t. Ainda assim, os s´ıtios próximos da região de fronteira deste conjunto ainda não estão no equil´ıbrio desejado, e portanto são desconsiderados na contagem. A remo¸cão de certa propor¸cão de s´ıtios em geral produz estimativas convincentes para λ. Assim como os estimadores de máxima verossimilhan¸ca, este estimador também possui propriedades assintóticas (condicional à sobrevivência do processo): consistência e normalidade assintótica.

No quarto cap´ıtulo desta disserta¸cão, abandonaremos em parte o contexto visto até o momento sobre os processos de contato e apresentaremos um modelo diferente de propaga¸cão de epidemias, baseado em Cox & Durrett [3]. Será apresentada a idéia deste processo e alguns resultados relevantes. Em tal modelo, além dos estados sadio

(19)

e infectado, temos tamb´em o estado imune. A dinˆamica ocorre da seguinte maneira: cada s´ıtio z ∈ Z2 _est´_{a em um dentre trˆ}_{es estados: sadio, infectado ou imune. Como}

nos processos de contato vistos até aqui, este processo se inicia com um conjunto não-vazio de s´ıtios infectados, estando todos os outros no estado sadio. Conforme o passar do tempo, um s´ıtio infectado, independentemente de qualquer outro s´ıtio, espera tempos exponencias independentes de parâmetro λ associados a cada um de seus vizinhos próximos e, após cada um desses tempos, se ainda infectado, transmite a infeçcão ao respectivo s´ıtio vizinho, o qual se torna infectado caso esteja no estado sadio. Independentemente, um s´ıtio infectado permanece neste estado por um tempo aleatório com distribui¸cão exponencial de parâmetro 1. Uma vez terminado este per´ıodo de infeçcão, o s´ıtio torna-se imune e não pode mais contrair a infeçcão.

Por fim, o último cap´ıtulo traz uma série de conclusões referentes a todo o estudo realizado, e compara¸cões pertinentes, no que diz respeito às diferentes maneiras de obter estimadores e simula¸cões realizadas com diferentes taxas de infeçcão e diferentes dura¸cões, inclusive dos processos vistos no Cap´ıtulo 4. Em Apêndice, temos os algoritmos, em Ox, que geram as configura¸cões das simula¸cões obtidas.

(20)

Cap´ıtulo 1

Defini¸

c˜

oes e Resultados Preliminares

1.1 Constru¸

c˜

ao dos processos

Os processos de contato s˜ao processos que apresentam espa¸co de estados definido por Ω = {0, 1}Zd_{, onde cada configura¸c˜}_{ao ξ ∈ Ω tem a seguinte interpreta¸c˜}_{ao: um}

s´ıtio x é definido como infectado se ξ(x) = 1 ou sadio se ξ(x) = 0, para todo x ∈ Zd. Em Ω, estamos sempre considerando a σ-álgebra B gerada pelos conjuntos Rx = {ξ ∈ Ω : ξ(x) = 1} (esta é, de fato, a σ-álgebra de Borel associada a topologia

produto), ou seja, a menor σ-´algebra contendo (Rx)x∈Zd. Todo conjunto de configura¸c˜oes

determinado pela especifica¸cão da configura¸cão em um número finito de s´ıtios é chamada de cilindro. Os conjuntos Rx são cilindros e todo cilindro é interseçcão de cilindros Rx

ou seus complementares.

Exemplo 1.1: O cilindro {ξ ∈ Ω : ξ(x1) = 0, ξ(x2) = 1, ξ(x3) = 1} pode ser escrito como

RC

x1∩ Rx2∩ Rx3. Para facilitar a interpreta¸c˜ao, podemos imaginar que, neste caso acima,

estamos em Z2 e os s´ıtios s˜ao x1 = (−1, 1), x2 = (3, 2) e x3 = (−3, 2), conforme exibe a

Figura 1.1. Assim, através do uso de cilindros, complementares de cilindros, uniões e/ou interseçcões, podemos definir qualquer configura¸cão ξ poss´ıvel que exija certo número (finito) de s´ıtios infectados e/ou sadios.

Como o espa¸co de estados em questão Ω é não-enumerável, definimos o processo de contato através do gerador infinitesimal aplicado em fun¸cões cil´ındricas, ou

(21)

Figura 1.1: Representa¸c˜ao gr´afica do cilindro RC_(−1,1)∩ R_(−3,2)∩ R_(3,2). Os pontos preenchidos em preto representam s´ıtios infectados, e o ponto em branco representa s´ıtio sadio. Todos os outros s´ıtios em Z2 podem estar em qualquer estado.

seja, f : Ω → R que seja determinada por um conjunto finito de coordenadas, isto ´e, ∃ A ⊂ Zd_{finito tal que se ξ(x) = η(x), para todo x ∈ A, ent˜}_{ao f (ξ) = f (η). Assim, se f}

´

e cil´ındrica, define-se Lf em cada configura¸c˜ao ξ ∈ Ω por

(Lf )(ξ) = X x∈Zd X y:|x−y|=1 λ ξ(x)[1 − ξ(y)][f (ξy) − f (ξ)] + + X x∈Zd µ ξ(x)[f (ξx) − f (ξ)], (1.1) onde, para z ∈ Zd_, ξx(z) =    ξ(z) , z 6= x, 1 − ξ(z) , z = x.

A configura¸cão ξx denota a mesma configura¸cão ξ exceto no s´ıtio x. O gerador descreve a varia¸cão infinitesimal do processo com rela¸cão ao tempo quando em determinada configura¸cão. Quando situados em processos de Markov homogêneos a tempo cont´ınuo com espa¸co de estados finito, temos o semigrupo de matrizes de transi¸cão indexado pelo tempo representando, para cada instante de tempo t, as probabilidades de transi¸cão entre os diferentes estados, e o seu gerador infinitesimal L consiste na matriz obtida da derivada

(22)

no instante t = 0 em cada termo deste semigrupo de transi¸cão. Mais a frente, veremos uma constru¸cão mais intuitiva e geométrica. O gerador em (1.1) implica a existência de um processo de Markov com espa¸co de estados Ω (ver Teorema 3.9 em Liggett [13]), que denotaremos por (ξt)t≥0 e chamaremos de processo de contato de parâmetros (λ, µ).

Denota-se o estado do processo no s´ıtio x em um dado instante t ≥ 0 através da variável aleatória ξt(x), dada por

ξt(x) =

 



1 , se o s´ıtio x est´a infectado no instante t, 0 , se o s´ıtio x est´a sadio no instante t.

Também é comum representar o processo através da evolu¸cão do conjunto de s´ıtios infectados. Assim como a fun¸cão descrita acima ξt : Zd → {0, 1}, este conjunto é,

abusando um pouco da nota¸c˜ao, denotado por ξt, na forma

ξt= {x ∈ Zd: ξt(x) = 1}.

Aqui, retrata-se de uma bije¸c˜ao na seguinte fun¸c˜ao:

Ω → P(Zd)

ξ 7→ B(ξ) = {x ∈ Zd: ξ(x) = 1}.

A medida de probabilidade π em Ω = {0, 1}Zd ´e equivalente a medida de probabilidade, digamos, ˜_{π, em P(Z}d_{) (conjunto das partes de Z}d_{), ou seja,}

˜ π(B ⊂ Zd : B ⊃ F ) = π(ξ ∈ {0, 1}Zd : ξ(x) = 1, ∀ x ∈ F ) = π \ x∈F Rx ,

para todo conjunto finito F , com B ∈ B.

Exemplo 1.2: Seja d = 2 e a fam´ılia de configura¸c˜oes com os s´ıtios (−2, 1) e (0, 3) infectados, ou seja, ξ ∈ R(−2,1) ∩ R(0,3). Logo, temos o conjunto F = {(−2, 1), (0, 3)}.

(23)

Ent˜ao, para todo conjunto B(ξ) ⊃ F ,

π(ξ ∈ Ω : ξ(−2, 1) = ξ(0, 3) = 1) = ˜

π(B ⊂ Zd: B ⊃ {(−2, 1), (0, 3)}) = π(R(−2,1)∩ R(0,3)).

A distribui¸c˜ao do processo de contato ξt depende de sua distribui¸c˜ao inicial, que

pode ser qualquer probabilidade no espa¸co Ω. Denotando esta distribui¸c˜ao por ξ0 ∼ π,

tem-se {ξ_tπ : t ≥ 0} como o processo de contato de parâmetros (λ, µ) com conjunto inicial de s´ıtios infectados distribu´ıdos conforme π. Esta distribui¸cão é independente do desenvolvimento futuro do processo. No caso do conjunto inicial de s´ıtios infectados ser dado de forma determin´ıstica, denotaremos tal conjunto inicial por A e o processo referido por {ξ_tA : t ≥ 0}. Este é um caso particular quando π é a distribui¸cão concentrada na configura¸cão ξ₀A(x) =    1 , se x ∈ A, 0 , caso contrário.

Temos assim um modelo paramétrico: o processo de contato de parâmetros (λ, µ). Formalmente, o processo de contato é um processo de Markov com espa¸co de estados Ω = {0, 1}Zd _{e configura¸c˜}_{ao ξ ∈ Ω. Definido o estado inicial A ⊂ Z}d _{de s´ıtios infectados,}

a cada instante t ≥ 0, temos uma configura¸c˜ao ξA

t ∈ Ω. Obviamente, ξ0A = A. A

dinˆamica do processo ocorre da seguinte forma: com o decorrer do tempo, um s´ıtio sadio ´

e infectado independentemente por cada s´ıtio infectado entre seus 2d vizinhos segundo um processo de Poisson de taxa λ; independentemente, um s´ıtio infectado torna-se sadio segundo um processo de Poisson de taxa µ. Tal dinâmica pode ser compreendida pela representa¸cão gráfica de Harris [10]. Para descrever esta constru¸cão, considere o espa¸co (d + 1)-dimensional Zd_{× [0, ∞), onde as semi-retas {x} × [0, ∞) denotam o tempo}

para o correspondente s´ıtio x ∈ Zd. Para cada s´ıtio x ∈ Zd define-se na semi-reta {x} × [0, ∞) marcas conforme um processo de Poisson com parâmetro µ; e para cada par de s´ıtios vizinhos x e y, define-se setas perpendiculares partindo de {x} × [0, ∞) em dire¸cão a {y} × [0, ∞) conforme um processo de Poisson com parâmetro λ. Todos estes

(24)

processos de Poisson s˜ao independentes.

No instante t = 0, seja A ⊂ Zd _{o conjunto inicial de s´ıtios infectados. Mudan¸cas no}

sistema só ocorrem de duas formas: a medida que o tempo passa, o estado de um s´ıtio infectado se modifica para sadio quando encontra uma marca do processo de Poisson de parametro µ; ou um s´ıtio y sadio passa ao estado infectado se receber uma seta de um s´ıtio x infectado. A Figura 1.2 traz um exemplo de representa¸cão gráfica no caso mais simples, com d = 1.

Digamos que para x0_{, x ∈ Z}d_{, e t ≥ 0, um caminho ativo de x}0 _{no instante t =}

0 para o s´ıtio x no instante t = T é um caminho orientado no sentido crescente do tempo na representa¸cão gráfica do processo cujos segmentos verticais não contêm pontos nos processos de Poisson de parâmetro µ. Na Figura 1.2, estes caminhos ativos estão demarcados em negrito. Os caminhos ativos representam as formas pelas quais a infeçcão pode chegar do s´ıtio x0 no instante t = 0 até o s´ıtio x no instante, digamos, t = T . Para qualquer conjunto A ⊂ Zd_{, defina ξ}A

t como o conjunto de s´ıtios x para os quais existe

um caminho ativo do s´ıtio x0 ∈ A no tempo t = 0 para o s´ıtio x no tempo t = T . Claramente, {ξA

t : t ≥ 0} est´a distribu´ıdo como um proceso de contato com estado inicial

A (escolhendo um conjunto inicial aleatório com distribui¸cão π, tem-se {ξ_tπ : t ≥ 0} como referido processo). De fato, podemos assumir que esta é a defini¸cão do processo de contato de parâmetros (λ, µ).

A questão de sobrevivência da infeçcão com probabilidade não-nula está ligada à existência de um “caminho ativo infinito” partindo de x ∈ A em t = 0. Isto é o que estuda a área da probabilidade chamada de Percola¸cão (ver Cap´ıtulo VI em Liggett [13]). Dizemos que o sistema percola se e somente se existe tal caminho com probabilidade positiva. Como a mudan¸ca de estado de um s´ıtio sadio para infectado só acontece devido `

a existência de pelo menos um s´ıtio vizinho anteriormente infectado, para a infeçcão não se extingüir deve haver, em qualquer que seja o instante de tempo, ao menos um caminho ativo que parta de um s´ıtio infectado em t = 0 na dire¸c˜_{ao de algum s´ıtio x ∈ Z}d_.

Entretanto, o sistema percola se e somente se a probabilidade de sobrevivência do sistema come¸cando com um único s´ıtio infectado é estritamente positiva, e isto é conseqüência da invariância por transla¸cão, isto é, a probabilidade de existir um caminho infinito partindo

(25)

Figura 1.2: Representa¸cão gráfica dos processos de contato para d = 1: processo com estado inicial ξ0 = {..., 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, ...} e configura¸cão ξT = {..., 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, ...}. As marcas

representam os pontos onde um s´ıtio infectado se cura, e as setas partindo de s´ıtios infectados denotam infeçcão chegando ao s´ıtio que a recebe. Os caminhos ativos estão representados em negrito.

do s´ıtio x ´e igual a probabilidade de existir um caminho infinito partindo do s´ıtio y, pois os processos de Poisson em cada semi-reta {z} × [0, ∞), com z ∈ Zd_{, s˜}_{ao independentes}

e est˜ao sujeitos a mesma parametriza¸c˜ao.

Uma das grandes vantagens da representa¸cão gráfica de Harris se dá no tocante `

a compara¸cão de processos através de acoplamento. Definindo ξ_tA e ξ_tB como dois processos de contato de parâmetros (λ, µ), ambos estarão sujeitos a mesma representa¸cão gráfica. Assumiremos que todos os processos de contato são acoplados de acordo com a representa¸cão gráfica, ou seja, usaremos os mesmos processos de Poisson que definem os tempos de cura e infeçcão. Dizemos assim que os processos estão acoplados conforme a representa¸cão gráfica. Com o acoplamento, temos os processos definidos em um mesmo espa¸co de probabilidade e é poss´ıvel verificar empiricamente propriedades dos processos de contato, como atratividade e auto-dualidade.

Lema 1.1 (Atratividade): Sejam (ξA

t )t≥0 e (ξBt )t≥0 dois processos de contato acoplados

conforme a mesma representa¸cão gráfica. Se A ⊂ B, então ξA

t ⊂ ξBt para todo t ≥ 0.

Lema 1.2 (Auto-dualidade): Se, na representa¸cão gráfica, o tempo corre de maneira inversa e todas as setas revertem o sentido, esta nova representa¸cão gráfica tem precisamente a mesma estrutura probabil´ıstica da original. Em particular, temos a

(26)

seguinte equa¸c˜ao:

P (ξ_tA∩ B = ∅) = P (ξB

t ∩ A = ∅), para todo A, B ⊂ Z

d_{, t ≥ 0.} _(1.2)

1.2 Sobrevivˆ

encia da infec¸

c˜

ao: casos supercr´ıtico e

subcr´ıtico

Uma questão pertinente no estudo dos processos de contato é o conhecimento em rela¸cão à sobrevivência do referido processo. Definimos então a variável

τA = inf{t : ξ_tA = ∅}

como o tempo de extin¸cão da infeçcão, ou seja, o tempo que a infeçcão permanece no sistema. Se esta infeçcão sobrevive para sempre (ou seja, sempre haverá ao menos um s´ıtio infectado para todo t ≥ 0), usamos a nota¸cão τA _{= ∞. Logo, a nota¸c˜}_ao

τA _{< ∞ denota morte da infec¸c˜}_{ao, mesmo n˜}_{ao definindo o exato instante da extin¸c˜}_ao

desta. Término da infeçcão remete em término de evolu¸cão do processo, pois a partir do momento que a configura¸cão não possui nenhum s´ıtio infectado, o processo permanecerá desta forma para todo instante de tempo subseqüente (a infeçcão é transmitida apenas por s´ıtios infectados, não existem fatores externos ao sistema que causam infeçcão). A configura¸cão com todos os s´ıtios sadios é chamada de ponto de absor¸cão do processo. Matematicamente falando, se o conjunto ξA

s = ∅, temos que ξtA= ∅, para todo t ≥ s.

Nota 1.1 : Seja ρ = λ/µ a razão entre as taxas de infeçcão e cura do processo. Existe um valor ρd ∈ h 1 2d−1 ; 2 d i

, chamado de parâmetro cr´ıtico do processo de contato tal que, se ρ > ρd, a infeçcão permanece para sempre no sistema com probabilidade n˜

ao-nula. Esta situa¸c˜ao ´e chamada de caso supercr´ıtico. Se ρ ≤ ρd, temos o chamado

caso subcr´ıtico: a infeçcão se extinguirá com probabilidade 1 se |A| < ∞, e quando |A| = ∞, a infeçcão dentro de uma caixa finita qualquer (porém fixada) desaparecerá com alta probabilidade para t suficientemente grande. No caso supercr´ıtico, a probabilidade de sobrevivência da infeçcão depende da dimensão d e do conjunto A (ver Cap´ıtulo VI em

(27)

Liggett [13]). No caso particular da cardinalidade de A, denotada por |A|, ser infinita (por exemplo, A = Zd_{), a probabilidade do processo sobreviver para sempre ´}_{e igual a 1.}

A questão da sobrevivência da infeçcão com probabilidade 1 quando o processo tem inicialmente um número infinito de s´ıtios infectados pode ser demonstrada via Lema de Borel-Cantelli. Tal demonstra¸cão não faz diferencia¸cão entre os casos supercr´ıtico e subcr´ıtico, isto é, a probabilidade de haver ao menos um s´ıtio infectado para todo t ≥ 0 também é verdadeira para o segundo caso, pois a infeçcão se extingüe com alta probabilidade para t suficientemente grande apenas no interior de caixas finitas, e não em toda a grade. Representemos o evento de interesse {τA_{= ∞} como uma interseçc˜}_ao

infinita de eventos decrescentes em t, ou seja,

{τA_{= ∞} =} \ t>0

{τA_{> t}.}

Assim, temos que P(τA _{= ∞) = lim} t→∞P(τ

A

> t), e basta mostrarmos que P(τA _{> t) =}

1, para todo t > 0. Sejam Tn

∞

n=1 vari´aveis aleat´orias independentes e identicamente

distribu´ıdas que representem os tempos que o s´ıtios xn ∈ A levam para se curar pela

primeira vez. Sabemos que Tn ∼ Exp(µ). Podemos ent˜ao definir a seguinte rela¸c˜ao de

inclus˜ao: {τA> t} ⊃ ∞ [ n=1 {Tn> t}, e partindo desta, {τA > t} ⊃ ∞ [ n=1 {Tn> t} ⊃ ∞ \ n=1 [ m≥n {Tm > t} = = lim sup t→∞ {Tn > t} = [{Tn> t} infinitas vezes].

Pelo Lema de Borel-Cantelli, P(Tn > t infinitas vezes) = 1, pois ∞

X

n=1

P(Tn > t) = ∞, j´a

que os termos da soma s˜ao positivos e iguais para todo n, e dependem apenas de t e do parˆametro µ. Assim, para qualquer t ≥ 0,

(28)

ou seja, P(τA > t) = 1. Portanto, se |A| = ∞, P(τA= ∞) = lim

t→∞P(τ

A_{> t) = 1.}

1.3 O Teorema da Convergˆ

encia Completa

Uma questão inerente em Probabilidade e Processos Estocáticos é o estudo de critérios de convergência em distribui¸cão e caracteriza¸cão das distribui¸cões limites. Seja πt a

distribui¸c˜ao do processo ξπ

t. Esta distribui¸c˜ao convergir´a fracamente para uma medida

limite, digamos β, quando t → ∞? Dizemos que uma fam´ılia de medidas (πt) em

(Ω, B) converge fracamente para uma outra distribui¸c˜ao β, ou seja, πt f → β, se lim t→∞πt{B ⊂ Z d : B ⊃ F } = β{B ⊂ Zd: B ⊃ F }, (1.3)

para todo conjunto finito F ⊂ Zd_{, com B ∈ B. Portanto, por (1.3), convergˆ}_{encia fraca}

no espa¸co de probabilidades sobre (Ω, B) é equivalente a convergência em distribui¸cão de suas proje¸cões finito-dimensionais. A proje¸cão finito-dimensional {ξA

t (x) : x ∈ F } ´e

a configura¸cão do processo apenas em um número finito de coordenadas (os elementos do conjunto F ). Dada uma configura¸cão em F , ela ocorre com certa probabilidade. A distribui¸cão dos s´ıtios em F depende do tempo e converge em distribui¸cão se pi(t)

converge para todo i = 1, ..., 2|F |(existem 2|F |configura¸c˜oes poss´ıveis em F , e pi(t) denota

a medida de probabilidade de, no instante t, o processo situar-se na i-ésima configura¸cão), isto é, ∃ qi tal que pi(t) → qi quando t → ∞. Então

2|F |

X

i=1

qi = 1 e q = (q1, ..., q2|F |) ´e a

distribui¸cão limite. Esta distribui¸cão é a finito dimensional de β nos s´ıtios x ∈ F . Como vimos na Se¸cão 1.2, no caso subcr´ıtico, a infeçcão desaparece quase certamente (em toda grade quando |A| < ∞ e no interior de uma caixa finita fixada quando |A| = ∞). Já no caso supercr´ıtico (genericamente falando), a probabilidade do processo nunca se extingüir tem probabilidade postitiva, e não quase certa. Para ambos os casos, a distribui¸cão limite é apresentada pelo Teorema da Convergência Completa. Seja δ∅ a

medida que assegura probabilidade 1 ao conjunto vazio (nenhum s´ıtio infectado); e νρ a chamada medida de equil´ıbrio superior (ou medida invariante superior),

(29)

Teorema 1.1 (Teorema da Convergˆencia Completa, Liggett [13]): Quando t → ∞, a distribui¸c˜ao do processo ξA

t converge fracamente para a distribui¸c˜ao limite

P(τA< ∞)δ∅+ P(τA= ∞)νρ.

Para simplificar a nota¸cão, vamos denotar a medida de equil´ıbrio superior simplesmente por ν, o que não causa problema tendo em vista que os parâmetros estão fixados. Como seu próprio nome relata, a medida ν é invariante, ou seja, o processo ξν

t (que

possui inicialmente conjunto aleatório de s´ıtios infectados distribu´ıdos conforme ν) é estacionário, distribu´ıdo conforme ν para todo t ≥ 0. Matematicamente falando, ξ_tν ∼ ν, para todo t ≥ 0. Obviamente, pela estacionariedade, podemos representar a distribui¸cão do processo ξν

t para qualquer que seja t ≥ 0 como ξν ∼ ν, ou seja,

desprezando t no tocante à nota¸cão de distribui¸cão (o processo não é constante ao longo do tempo, e sim sua distribui¸cão!). Temos que ν é uma medida de equil´ıbrio superior no sentido de que qualquer outra medida de equil´ıbrio do sistema é estocasticamente dominada por ela. Dizemos que uma medida de probabilidade µ é estocasticamente dominada por (ou estocasticamente menor que) uma medida de probabilidade ˜µ, o que é denotado por µ≤ ˜st µ, se

Eµ[f (η)] ≤ Eµ˜[f (η)] , para qualquer fun¸c˜ao n˜ao-decrescente f. (1.4)

Quando µ ≤ ˜st µ, podemos construir um par de configura¸cões aleatórias (ζ, η) em um mesmo espa¸co de probabilidade tal que ζ tem distribui¸cão µ, η tem distribui¸cão ˜µ e com probabilidade 1 temos que ζ ⊂ η. Baseado nisto, em certos momentos abusaremos da nota¸cão escrevendo ζ ≤ η quando o par de configura¸c˜st oes aleatórias (ζ, η) está definido em um mesmo espa¸co de probabilidade e com probabilidade 1 temos que ζ ⊂ η.

Como já citado, o Teorema 1.1 é válido para qualquer ρ ∈ (0, ∞). Para processos de contato com conjunto inicial de s´ıtios infectados com cardinalidade infinita, temos P(τA = ∞) = 1, portanto a convergência da distribui¸cão deste processo para a medida ν de fato acontece. Quando ρ ≤ ρd(caso subcr´ıtico) e |A| < ∞, temos que P(τA< ∞) = 1.

(30)

conjunto inicial de s´ıtios infectados finito ´e δ∅. Em contrapartida, se |A| < ∞ e o

processo sobrevive para sempre – o que só é poss´ıvel no caso supercr´ıtico – a distribui¸cão do processo converge fracamente para a medida de equil´ıbrio superior ν.

Lema 1.3 (Durrett [5]): Considere os processos ξ_t{0} e ξZd

t , come¸cando com a infec¸c˜ao

apenas na origem e em todos os s´ıtios em Zd respectivamente. A velocidade da convergˆencia em distribui¸c˜ao de ξZd

t para ξtν pode ser expressa em termos da probabilidade

do processo ξ_t{0} se extingüir após o instante t, isto é,

0 ≤ P(ξZd

t (x) = 1) − P(ξ ν

(x) = 1) = P(t < τ{0} < ∞) ≤ Ce−γt, (1.5)

com C e γ constantes positivas.

Para demonstrarmos o Lema 1.3, seja A = {0} e B = Zd em (1.2):

P(τ{0} < t) = P(ξt{0} = ∅) = P(ξ {0} t ∩ Zd= ∅) = P(ξZd t ∩ {0} = ∅) = P(ξZ d t (0) = 0). Portanto, 1 − P(ξZd t (0) = 0) = 1 − P(τ {0} < t) = P(ξZd t (0) = 1) = P(t < τ {0} _{≤ ∞).} (1.6)

Usando racioc´ınio an´alogo para t → ∞, temos

P(τ{0} < ∞) = lim t→∞P(τ {0} < t) = lim t→∞P(ξ Zd t ∩ {0} = ∅) = P(ξν ∩ {0} = ∅) = P(ξν(0) = 0). Logo, 1 − P(ξν(0) = 0) = 1 − P(τ{0}< ∞) ⇒ ⇒ P(ξν (0) = 1) = P(τ{0} = ∞). (1.7)

(31)

acoplar os processos ξZd

t e ξtν de forma que, pela atratividade, ξtν ⊂ ξZ

d

t para todo t ≥ 0,

o que implica em P(ξν_{(x) = 1) ≤ P(ξ}Zd

t (x) = 1), para todo x ∈ Zd. Dotados desta

informa¸c˜ao e das equa¸c˜oes (1.6) e (1.7), facilmente chegamos em

0 ≤ P(ξZd

t (0) = 1) − P(ξ ν

(0) = 1) = P(t < τ{0} < ∞). (1.8)

Os processos ξZd

t e ξtν são espacialmente invariantes, isto é, suas distribui¸cões não

mudam se um incremento inteiro for aplicado nos s´ıtios em Zd_{, ou seja, a distribui¸c˜}_ao

de {z ⊕ ξt : t ≥ 0} ´e independente do incremento z ∈ Zd. Finalmente, fazendo z = x,

provamos que a velocidade da convergˆencia em distribui¸c˜ao de ξZd

t para ξtν pode ser

expressa em termos da probabilidade do processo ξ_t{0} se exting¨uir ap´os o instante t, ou seja,

0 ≤ P(ξZd

t (x) = 1) − P(ξ ν

(x) = 1) = P(t < τ{0} < ∞).

Além de poder ser expressa em termos da probabilidade do processo ξ_t{0} se extingüir após o instante t, a velocidade da convergêngia de ξZd

t para ξtν ´e de ordem exponencial,

conforme descreve a ´ultima desigualdade em (1.5). Isto ´e assegurado pelo lema a seguir. Lema 1.4 (Fiocco & van Zwet [7]): No caso supercr´ıtico, existem constantes positivas C e γ tais que para todo instante t > 0 e conjunto inicial de infectados A ⊂ Zd _com

cardinalidade |A|,

P(t < τA< ∞) ≤ Ce−γt, (1.9)

P(τA< ∞) ≤ Ce−γ|A|. (1.10)

A interpreta¸cão da equa¸cão em (1.9) é que a probabilidade da infeçcão se extingüir após um instante de tempo t decai exponencialmente conforme t cresce. A equa¸cão (1.10) diz respeito a rela¸cão entre desaparecimento da infeçcão e a cardinalidade do conjunto inicial de s´ıtios infectados. A probabilidade da infeçcão se extingüir decai exponencialmente conforme aumentamos o número inicial de s´ıtios infectados. Em particular, se |A| é infinita, então a infeçcão sobreviverá para sempre quase certamente

(32)

(Fiocco & van Zwet [7]), conforme provamos anteriormente, na Se¸cão 1.2. Pela equa¸cão em (1.9), completamos a demonstra¸cão do Lema 1.3. Ainda nesta discussão, o valor esperado do processo ξ_tν no s´ıtio x é igual a probabilidade do processo ξ_t{0} sobreviver para sempre.

1.4 O Teorema da Forma

Outro resultado de interesse nos processos de contato ´e o chamado Teorema da Forma. Antes de enunci´a-lo, precisamos definir algumas quantidades inseridas no teorema. Defina

Ht= [ s≤t ξs⊕ [−1/2, 1/2]d , Kt= {x ∈ Zd : ξ {0} t (x) = ξZ d t (x)} ⊕ [−1/2, 1/2]d, (1.11)

ou seja, Ht ´e a uni˜ao dos cubos de hipervolume 1 centrados nos s´ıtios que, por algum

instante no intervalo [0, t], estiveram infectados no processo ξ_t{0}; e Kt descreve a uni˜ao

dos hipercubos centrados nos s´ıtios que apresentam o mesmo estado no instante t dos processos que come¸cam com apenas a origem infectada e com todos os s´ıtios infectados. Teorema 1.2 (Teorema da Forma, Bezuidenhout & Grimmett [1], Durrett [5]): Existe um conjunto convexo limitado U ⊂ Rdcom a origem como um ponto interior tal que para ε ∈ (0, 1) e t suficientemente grande,

(1 − ε)tU ⊂ Ht∩ Kt ⊂ Ht ⊂ (1 + ε)tU (1.12)

quase certamente no conjunto {τ{0} = ∞}.

Portanto, a idéia que este teorema passa é que, no caso da infeçcão persistir para sempre, para t suficientemente grande, Ht crescerá linearmente em todas as dire¸cões e,

reescalonado por t−1, assumirá a forma aproximada de U . Este crescimento é radial em torno da origem da infeçcão. As rela¸cões de continência deste teorema também nos dizem que os processos ξZd

t e ξ {0}

t se distribuem aproximadamente conforme a medida de

equil´ıbrio superior ν no conjunto (1 − ε)tU para t suficientemente grande, ou seja, os s´ıtios inclu´ıdos neste conjunto j´a se encontram em equil´ıbrio. Se acoplarmos os processos

(33)

ξ_t{0} e ξZd

t temos, pela atratividade, ξ {0} t ⊂ ξZ

d

t para todo t, mas ao mesmo tempo

ξ_t{0}∩ (1 − ε)tU = ξZd

t ∩ (1 − ε)tU (1.13)

quase certamente sob a condi¸cão de sobrevivência do processo. Pela invariância por transla¸cão, podemos estender este racioc´ınio para qualquer conjunto inicial de s´ıtios infectados unit´_{ario, ou seja, para todo z ∈ Z}d, temos

ξ_t{z}∩ (1 − ε)t(U ⊕ {z}) = ξZd

t ∩ (1 + ε)t(U ⊕ {z})

quase certamente condicionado `a sobrevivˆencia do processo. Nestes casos, o conjunto U ´

e transladado, e logo sua simetria radial se dá em torno da origem da infeçcão, isto é, em torno do s´ıtio z.

O Teorema 1.2 assegura que, com conjunto inicial unitário de s´ıtios infectados, a infeçcão se espalha linearmente em torno da origem da infeçcão em todas as dire¸cões, assumindo a forma assintótica tU , e pouco tempo depois desta infeçcão chegar em um s´ıtio, sua vizinhan¸ca será aproximadamente distribu´ıda conforme ν.

(34)

Cap´ıtulo 2

Estimadores de M´

axima

Verossimilhan¸

ca

2.1 Defini¸

c˜

oes preliminares

Neste cap´ıtulo apresentaremos a estima¸cão via máxima verossimilhan¸ca dos parâmetros λ e µ do processo de contato. Antes de apresentar a fun¸cão de verossimilhan¸ca e os estimadores provindos desta, é necessário definir algumas quantidades. Primeiramente, sejam

nA_t = X x∈Zd ξ_tA(x) , k_tA= X x∈Zd  (1 − ξ_tA(x)) X |x−y|=1 ξ_tA(y)   (2.1)

respectivamente o número de s´ıtios infectados e o número de pares de s´ıtios vizinhos próximos onde um está infectado e outro sadio no instante t do processo com conjunto inicial finito de s´ıtios infectados A. Defina os processos de contagem (Ut)t≥0 e (Dt)t≥0,

que denotam respectivamente o número de saltos ascendentes e descendentes do processo {ξ{0}s : 0 ≤ s ≤ t}. Enquanto o primeiro processo denota o número de transi¸cões

observadas do estado sadio para o estado infectado do processo com estado inicial A no intervalo [0, t], o segundo representa o n´umero de transi¸c˜oes observadas do estado infectado para o estado sadio do mesmo processo no mesmo intervalo. Sejam os processos

(35)

(Xt)t≥0 e (Yt)t≥0 definidos por

Xt = Ut− λFt , Yt = Dt− µGt, para todo t ≥ 0, (2.2)

onde λFt e µGt s˜ao os compensadores (ou taxas integradas) de respectivamente Ut e Dt,

com Ft e Gt definidos por

Ft = Z t 0 k{0}_s ds , Gt = Z t 0 n{0}_s ds.

Os processos Xt e Yt s˜ao martingais de m´edia 0. Entende-se por martingal um

processo (Zt)t≥0 com Zt integr´avel e seu valor esperado condicional ao hist´orico do

processo em [0, s] (com s ≤ t) ´e igual ao estado do processo no instante s. Formalmente, temos

E[Zt|Fs] = E[Zt|Zu, 0 ≤ u ≤ s] = Zs, s ≤ t, (2.3)

onde a σ-´algebra Fs = σ(Zu, 0 ≤ u ≤ s) representa toda informa¸c˜ao gerada pelo processo

no intervalo de tempo [0, s]. Se em (2.3) temos uma inequa¸c˜ao no lugar da igualdade, h´a dois casos de interesse:

Se E[Zt|Fs] ≥ Zs, para todo s < t, ent˜ao dizemos que Zt ´e um submartingal,

Se E[Zt|Fs] ≤ Zs, para todo s < t, ent˜ao dizemos que Zt ´e um supermartingal.

Como as taxas integradas s˜ao quantidades n˜ao-negativas, os processos de contagem Ut

e Dt são submartingais. Fica claro então que Ut = Xt + λFt e Dt = Yt + µGt são

respectivamente as decomposi¸c˜oes de Doob-Meyer de Ute Dt(ver Varadhan [16], Teorema

5.9).

Suponha que observamos o processo {ξ{0}s : 0 ≤ s ≤ t}, ou seja, o processo que

inicia com apenas a origem infectada. Como uma cole¸cão enumerável de processos de Poisson independentes não contém um par de processos tendo um ponto em comum, pela constru¸cão do processo de contato não ocorre mais de uma transi¸cão em um mesmo instante de tempo. Suponha também que ocorrem exatamente N transi¸cões

(36)

(sadio tornando-se infectado ou infectado tornando-se sadio) neste per´ıodo, nos instantes T1 < · · · < TN, e que no instante Ti, a mudan¸ca de estado ocorre no s´ıtio xi, i = 1, ..., N .

Observe que N = Ut+ Dt, pois a cada Ti, ocorre um salto de tamanho 1 no n´umero

de s´ıtios infectados na grade, seja este salto ascendente ou descendente. ´E conveniente adotarmos T0 = 0, TN +1 = t e ξi = ξ

{0}

Ti como a configura¸c˜ao do processo no instante Ti.

Dada a configura¸c˜ao ξi−1 no instante Ti−1, definimos a taxa de mudan¸ca no s´ıtio x,

denotada por ri(x) e dada por

ri(x) =      λ X |x−y|=1

ξi−1(y) , se ξi−1(x) = 0,

µ , se ξi−1(x) = 1.

(2.4)

A parcela X

|x−y|=1

ξi−1(y) em (2.4) refere-se ao n´umero de vizinhos do s´ıtio x que est˜ao

infectados no intervalo [Ti−1, Ti), isto ´e, λ

X

|x−y|=1

ξi−1(y) ´e a taxa com que o s´ıtio x no

estado sadio durante o intervalo [Ti−1, Ti) torna-se infectado. Da mesma forma, µ ´e a

taxa com que um s´ıtio x no estado infectado em [Ti−1, Ti) torna-se sadio. O somat´orio

das taxas de mudan¸ca de todos os s´ıtios x ∈ Zd _{no instante T}

i resulta na taxa total de

mudan¸ca no instante Ti, que denotaremos por

Ri =

X

x∈Zd

ri(x).

Note que Ri ´e finito, pois o conjunto inicial de s´ıtios infectados ´e finito. Vamos obter

uma express˜ao mais apropriada para Ri:

Ri = X x∈Zd ri(x) = X x∈Zd I{ξi−1(x)=0}λ X |x−y|=1

ξi−1(y) + I{ξi−1(x)=1}µ

= λX x∈Zd I{ξi−1(x)=0} X |x−y|=1 ξi−1(y) + X x∈Zd I{ξi−1(x)=1}µ = λX x∈Zd (1 − I{ξi−1(x)=1}) X |x−y|=1 ξi−1(y) + µX x∈Zd I{ξi−1(x)=1} = λX x∈Zd (1 − ξi−1(x)) X |x−y|=1 ξi−1(y) + µ X x∈Zd ξi−1(x) = λk {0} Ti−1+ µn {0} Ti−1. (2.5)

(37)

2.2 Fun¸

c˜

ao de Verossimilhan¸

ca

Através das defini¸cões apresentadas na se¸cão anterior, podemos construir a fun¸cão de verossimilhan¸ca. A verossimilhan¸ca do processo ξs{0} observado em [0, t] é constru´ıda

condicional às N transi¸cões que o processo sofre neste intervalo de tempo, e remete às chances relativas do processo atingir determinada configura¸cão. Temos que (Ti− Ti−1) é

uma variável aleatória que denota o intervalo de tempo que o processo permanece sem modifica¸cões dado que já sofreu i−1 transi¸cões. Este tempo aleatório é exponencialmente distribu´ıdo com parâmetro Ri, a taxa total de mudan¸ca do sistema após a (i − 1)-ésima

transi¸cão. Como ocorrem exatamente N transi¸cões e os processos de Poisson que definem infeçcão ou cura são independentes, a verossimilhan¸ca é escrita da seguinte forma:

L(λ, µ) = " _N Y i=1 Riexp{−Ri[Ti− Ti−1]} | {z } (∗) ri(xi) Ri | {z } (∗∗) # exp{−RN +1[t − TN]} | {z } (∗∗∗) . (2.6)

As express˜oes (∗) e (∗∗) em (2.6) representam a densidade dos instantes de salto condicional ao s´ıtio que muda de estado no processo, ou seja, (Ti − Ti−1) ∼ Exp(Ri)

dado que no instante Ti ocorre mudan¸ca de estado no s´ıtio xi. A express˜ao (∗ ∗ ∗) ´e

referente à densidade no intervalo [TN, t], onde não ocorre transi¸cão e, portanto, não

há condicionamento relativo a mudan¸ca de configura¸cão do processo. A fun¸cão de log-verossimilhan¸ca é dada por

log L(λ, µ) = N X i=1 log " Riexp{−Ri[Ti− Ti−1]} ri(xi) Ri # + log(exp{−RN +1[t − TN]}) = − N X i=1 Ri[Ti− Ti−1] + N X i=1 log ri(xi) − RN +1[t − TN] = − N +1 X i=1 Ri[Ti− Ti−1] + N X i=1 log ri(xi). (2.7)

Em [0, t], o processo realiza Ut mudan¸cas de sadio para infectado e Dt mudan¸cas de

(38)

N X i=1 log ri(xi) = N X i=1 logh_I{ξi−1(xi)=0}λ X |xi−y|=1

ξi−1(y) + I{ξi−1(xi)=1}µ

i = X i:ξi−1(xi)=0 log  λ X |xi−y|=1 ξi−1(y)  + X i: ξi−1(xi)=1 log µ = X i:ξi−1(xi)=0 log λ + X i:ξi−1(xi)=1 log µ + X i:ξi−1(xi)=0 log X |xi−y|=1 ξi−1(y) = Utlog λ + Dtlog µ + h(ξ{0}), (2.8)

onde h(ξ{0}) depende do processo {ξs{0}: 0 ≤ s ≤ t}, mas n˜ao depende dos parˆametros λ e

µ. Aqui, Ut e Dt s˜ao os processos de contagem definidos na Se¸c˜ao 2.1 (saltos ascendentes

e descendentes, respectivamente), que tamb´em podem ser expressos da seguinte forma:

Ut = #{1 ≤ i ≤ N : ξi−1(xi) = 0} = #{1 ≤ i ≤ N : ξi(xi) = 1},

Dt = #{1 ≤ i ≤ N : ξi−1(xi) = 1} = #{1 ≤ i ≤ N : ξi(xi) = 0}.

Como TN +1= t e a configura¸c˜ao do processo se modifica apenas em T1 < · · · < TN, ou

seja, n{0}s e k {0}

s s˜ao constantes para s ∈ [Ti−1, Ti), i = 1, ..., N + 1, por (2.5), o primeiro

termo de (2.7) pode ser escrito como

N +1 X i=1 Ri[Ti− Ti−1] = N +1 X i=1

[λk_{T i−1}{0} + µn{0}_{T i−1}][Ti− Ti−1]

= λ N +1 X i=1 k_{T i−1}{0} (Ti− Ti−1) + µ N +1 X i=1 n{0}_{T i−1}(Ti− Ti−1) = λ Z t 0 k_s{0}ds + µ Z t 0 n{0}_s ds = λFt+ µGt. (2.9)

Finalmente, aplicando (2.8) e (2.9) em (2.7), temos a log-verossimilhan¸ca dada da forma

(39)

2.3 Estimadores e suas propriedades

Derivando a expressão para log-verossimilhan¸ca obtida em (2.10) em rela¸cão ao parâmetro que se deseja estimar (λ ou µ) e igualando a zero, encontramos os estimadores de verossimilhan¸ca: d dλlog L(λ, µ) = −Ft+ Ut λ = 0 ⇒ ˆ λt= Ut Ft , (2.11) d dµlog L(λ, µ) = −Gt+ Dt µ = 0 ⇒ µˆt = Dt Gt . (2.12)

Note que, por (2.2), como E[Xt] = E[Yt] = 0 para todo t, temos

E[Ut] = E[λFt] ⇒ λ = E[U t]

E[Ft]

, (2.13)

E[Dt] = E[µGt] ⇒ µ = E[D t]

E[Gt]

, (2.14)

e como os processos de contagem Ute Dte as somas Fte Gts˜ao processos crescentes, uma

vez que a raz˜ao entre os valores esperados em (2.13) e (2.14) convirjam respectivamente para λ e µ, estes estimadores possuem um apelo intuitivo (ver Lema 2.1).

O estimador da razão entre as taxas de infeçcão e cura é a razão entre os estimadores das referidas taxas, ou seja,

ˆ ρt = ˆ λt ˆ µt = UtGt DtFt .

Após devida normaliza¸cão, os estimadores de máxima verossimilhan¸ca de infeçcão e cura possuem distribui¸cão assintótica normal bivariada, e o estimador ˆρttem distribui¸cão

assint´otica normal, conforme enuncia o teorema a seguir.

Teorema 2.1 (Fiocco & van Zwet [7]): Seja U o conjunto convexo limitado descrito no Teorema 1.2 e m(U ) sua medida de Lebesgue em Rd_{. Dado que {τ}{0} _{= ∞}, temos que,}

quando t → ∞, a distribui¸c˜ao conjunta de t(d+1)/2_{( ˆ}_λ

t − λ) e t(d+1)/2( ˆµt − µ) converge

em distribui¸c˜ao para N (0, Σ), onde a matriz de covariˆancia Σ = (σij)i=1,2

(40)

σ1,2 = σ2,1 = 0 e σ1,1 = (d + 1)λ2 µ m(U )P(τ{0} _{= ∞)} , σ2,2 = (d + 1)µ m(U )P(τ{0} _{= ∞)}. (2.15)

Sob a condi¸cão de sobrevivência do processo, a distribui¸cão limite de t(d+1)/2( ˆρt− ρ) é

N (0, σ2

ρ), onde

σ2_ρ= 2(d + 1)λ

2

µ3_{m(U )P(τ}{0}_{= ∞)}.

Demonstra¸c˜ao: Precisamos demonstrar que a distribui¸c˜ao limite de t(d+1)/2_{( ˆ}_λ

t− λ) ´e

N (0, σ1,1). O caminho para demonstrar que a distribui¸c˜ao limite de t(d+1)/2( ˆµt− µ) ´e

N (0, σ2,2) é análogo e não será feito aqui. Pela dinâmica do processo de contato, os

processos Ut e Dt s˜ao independentes, e condicional a {τ{0} = ∞}, os martingais Xt e

Yt são assintoticamente não correlacionados, pois são gerados a partir de processos de

Poisson independentes. Portanto, ˆλt e ˆµt s˜ao independentes, e logo σ1,2 = σ2,1 = 0.

Então, provar a distribui¸cão assintótica de t(d+1)/2_{( ˆ}_λ

t − λ) ´e suficiente para provar o

Teorema 2.1. Primeiramente, considere as nota¸c˜_{oes P}∗_{, E}∗ e Var∗ como respectivamante a probabilidade condicional, o valor esperado e a variˆancia dado {τ{0} = ∞}. Para C ⊂ Zd, defina nπ_t(C) =X x∈C ξπ_t(x) , k_tπ(C) = X x∈C  (1 − ξ_tπ(x)) X |x−y|=1 ξ_tπ(y)  , (2.16) ou seja, nA

t e kAt definidos em (2.1) s˜ao iguais a respectivamente nπt(Zd) e kπt(Zd) com

distribui¸c˜ao inicial π concentrada em A. Seja U o conjunto definido pelo Teorema 1.2. Por (1.12) e (1.13), temos que, para ε arbitrariamente pequeno,

lim sup t→∞ t−d−1 Ft− Z t 0 kZd s (sU )ds = 0 (2.17)

(41)

quase certamente sob P∗, pois t−d−1 Ft− Z t 0 kZd s (sU )ds = t−d−1 Z t 0 kZd s (Z d_{\ sU )ds} = t−d−1 Z t 0 kZd s ((1 + ε)sU \ sU )ds ≤ Cε

para todo t suficientemente grande sob P∗quase certamente, com C constante positiva e a segunda igualdade válida devido ao Teorema 1.2. Logo, conforme t aumenta, a expressão no lim sup tende a zero. Além disso, novamente pelo Teorema 1.2 e pelo Teorema 1.1, quando t → ∞, t−d−1 Z t 0 kZd s (sU )ds − Z t 0 E h kZd s (sU ) i ds P −→ 0. (2.18)

Combinando (2.17) e (2.18), chega-se na equa¸c˜ao abaixo:

t−d−1 Ft− Z t 0 E h kZd s (sU ) i ds P∗ −→ 0 quando t → ∞. (2.19)

De posse de (2.19), nosso foco volta-se para obter E[kν(sU )], pois pelo Teorema 1.2, as configura¸c˜oes dos processos ξZd

s e ξsν s˜ao iguais em m´edia no interior de sU para

s suficientemente grade. Quando s → ∞, o n´umero de s´ıtios em sU ´e de ordem de m(U )sd_{, e pela invariˆ}_{ancia por transla¸c˜}_{oes do processo ξ}ν

s, E[kν(sU )] = X x∈sU E   X |x−y|=1 (1 − ξν(x))ξν(y)  = X x∈sU E   X |y|=1 (1 − ξν(0))ξν(y)   = X x∈sU

E[kν({0})] ∼= m(U )sdE[kν({0})].

Para o processo ξν

s, temos que sua taxa média de crescimento é λE[kν({0})], que é igual

a sua taxa m´_{edia de decrescimento µE[n}ν_{({0})] = µE[ξ}ν_{({0})] para todo s > 0, devido a}

ν ser uma medida de equil´ıbrio. Portanto, por (1.8),

E[kν(sU )] ∼= µm(U )P(τ

{0} _{= ∞)s}d

(42)

Aplicando (2.20) em (2.19), chegamos a t−(d+1)Ft− µm(U )P(τ {0}_{= ∞)} (d + 1)λ P∗ −→ 0 quando t → ∞. (2.21)

Pelas defini¸c˜oes de Xt, Ft e ˆλt, temos ( ˆλt− λ) = Xt/Ft, e dotados desta informa¸c˜ao e da

convergˆencia de Ft expressa na equa¸c˜ao (2.21),

t(d+1)/2( ˆλt− λ) D∗ ∼ (d + 1)λ µm(U )P(τ{0} _{= ∞)}t −(d+1)/2 Xt,

onde D∼ denota equivalência assint´∗ otica em distribui¸c˜_{ao sob P}∗. Agora, precisamos mostrar que t−(d+1)/2Xt é assintoticamente normal sob a distribui¸cão condicional P∗.

Isto é feito através do uso de uma condi¸cão tipo Lindeberg, técnicas de martingais e estimativas de momentos. Sejam 0 = s0 < s1 < s2 < ... os instantes onde ocorrem

transi¸cões no processo {ξs{0} : 0 ≤ s ≤ t} e seja Fsi a σ-álgebra gerada pelo processo até o

instante aleat´orio si, i ∈ Z+. Fiocco & van Zwet [7] apresentam os seguintes resultados:

n−1 X i=0 E∗s−(d+1)/2n (Xsi+1− Xsi)|Fsi ≈ oP∗ s −(d+1)/2 n P∗ −→ 0 quando n → ∞, (2.22) n−1 X i=0 Var∗s−(d+1)/2 n (Xsi+1 − Xsi)|Fsi _−→P∗ µm(U )E[ξν({0})] d + 1 . (2.23) Como E[ξν_{({0})] = P(τ}{0} _{= ∞) e s}

n→ ∞ quando n → ∞, aplicando o valor esperado

em (2.22) e (2.23), o uso de t´ecnicas de martingais e estimativa de momentos obtemos que E∗t−(d+1)/2Xt t→∞ −→ 0, (2.24) Var∗t−(d+1)/2Xt t→∞ −→ µm(U )P(τ {0}_{= ∞)} d + 1 . (2.25)

Resta provar que a forma desta distribui¸cão assintótica é normal quando t → ∞. Seja a equa¸cão abaixo, descrita em Fiocco & vam Zwet [7]: Para todo > 0,

n−1 X i=0 s−(d+1)_n _E∗ (Xsi+1 − Xsi) 2 In |X_si+1−X_si|≥s(d+1)/2n o|F_s i P∗ −→ 0 (2.26)

(43)

quando n → ∞. Através da equa¸cão (2.26), é poss´ıvel mostrar a normalidade assintótica gra¸cas ao uso de uma condi¸cão tipo Lindeberg, e assim por (2.24) e (2.25) temos que a distribui¸cão assintótica de t(d+1)/2( ˆλt− λ) é N (0, σ1,1).

Lema 2.1 (Fiocco & van Zwet [7]): Os estimadores de máxima verossimilhan¸ca são consistentes, assintoticamente não-viciados e eficientes.

Demonstra¸cão: A consistência é conseqüência do Teorema 2.1. De fato, pelo Teorema 2.1 e o Teorema de Slutsky (ver Barry James [11], Teorema 6.4),

ˆ

λt− λ = t−(d+1)/2t(d+1)/2( ˆλt− λ) D

−→ 0 quando t → ∞,

e como ˆλt − λ converge para uma constante, convergˆencia em distribui¸c˜ao implica em

convergˆencia em probabilidade, logo ˆλt P

−→ λ, e assim a consistˆencia de ˆλt est´a provada.

A demonstra¸cão para o estimador de máxima verossimilhan¸ca ˆµt de µ é análoga. O

resultado da consistência também é valido para o estimador ˆρt de ρ.

Para demonstrarmos que os estimadores de máxima verossimilhan¸ca são assintoticamente não-viciados, utilizamos uma conseqüência do Teorema Central do Limite, pela qual os valores esperados convergem para o valor esperado da distribui¸cão normal limite, dada pelo Teorema 2.1. Então, lim

t→∞E[t (d+1)/2_{( ˆ}_λ t− λ)] = 0. Logo, para t → ∞, lim t→∞E[ ˆ λt] − λ = lim t→∞t −(d+1)/2 E[t(d+1)/2( ˆλt− λ)] = 0.

Portanto, ˆλt é um estimador assintoticamente não viciado de λ. O processo é análogo

para demonstrar que ˆµt ´e um estimador assintoticamente n˜ao-viciado de µ. Assim como

a consistência, esta caracter´ıstica também vale para o estimador da razão das taxas de infeçcão e cura.

A demostra¸cão da eficiência assintótica dos estimadores de máxima verossimilhan¸ca ´

e mais complexa, pois envolve resultados mais sofisticados em Fiocco & van Zwet [7]. Assim como na demonstra¸c˜ao do Teorema 2.1, considere as nota¸c˜_{oes P}∗_{, E}∗ e Var∗.