3.6.1
A Fenomenologia
Em 1983, David Wilkinson e Jorge F. Willensen[26] propuseram uma nova forma de percola¸c˜ao a qual eles denominaram percola¸c˜ao por invas˜ao. Esta nova forma de percola¸c˜ao foi motivada pelo estudo do fluxo de dois fluidos imisc´ıveis em um meio poroso. Vamos inicialmente descrever o contexto em que se insere este modelo, em seguida o descreveremos.
Muitos meios porosos podem ser representados convenientemente como uma rede de poros conectados por gargantas estreitas. Em um meio idealizado as redes podem ser vistas como uma rede regular na qual os s´ıtios e liga¸c˜oes da rede representam poros e gargantas respectivamente. A aleatoriedade do meio pode ser incorporada atrav´es da associa¸c˜ao de um n´umero aleat´orio aos s´ıtios e liga¸c˜oes para representar o tamanho desses poros e gargantas. Vamos considerar o processo de um fluido n˜ao ´umido, o ´oleo por exemplo, sendo deslocado por meio de um fluido ´umido, a ´agua por exemplo, numa taxa constante mas infinitessimal. Neste limite as for¸cas vicosas s˜ao completamente dominadas pelas for¸cas capilares agindo na interface ´agua-´oleo. As for¸cas capilares s˜ao tais que para fazer a ´agua deslocar o ´oleo, e de fato manter o fluxo numa taxa infinitessimal um gradiente negativo de press˜ao deve ser aplicado atrav´es do sistema. As for¸cas capilares s˜ao mais fortes em lugares estreitos. Assim, se todas as gargantas s˜ao menores que todas os poros, a interface ´agua-´oleo move rapidamente atrav´es da garganta, mas demora para atravessar poros largos. ´E consistente com as observa¸c˜oes experimentais representar o movimento da interface, isto ´e, do fluido atrav´es do meio poroso como uma s´erie de passos discretos no qual em cada passo a ´agua desloca o ´oleo do menor poro dispon´ıvel.
3.6.2
O Modelo
Como j´a dissemos, David Wilkinson e Jorge F. Willensen idealizaram um meio poroso como uma rede regular quadrada, onde a matriz representativa do meio estaria ocupada com valores que representariam o diˆametro do poro correspondente. Na Fig (3.12) temos
uma ilustra¸c˜ao desse processo. A invas˜ao realiza-se da seguinte forma. Escolhe-se um s´ıtio
Figura 3.12: Modelagem de um meio poroso. `A direita: Representa¸c˜ao idealizada de um meio poroso. Cada poro ´e conectado por gargantas estreitas a outros quatro vizinhos. `A esquerda: Modelo representativo do meio poroso.
para a inser¸c˜ao da ´agua. Este s´ıtio ´e ent˜ao marcado como invadido. No pr´oximo instante de tempo outro s´ıtio ser´a invadido pela ´agua, de acordo com a fenomenologia descrita acima. O s´ıtio a ser invadido ser´a o vizinho de menor diˆametro. Os dois s´ıtios invadidos agora formam um aglomerado (ainda que inicialmente s´o conta com dois s´ıtios) e este aglomerado tem um vizinhan¸ca composta por s´ıtios n˜ao invadidos. Em cada instante o poro com menor dimens˜ao linear pertecente `a vizinhan¸ca do aglomerado, isto ´e, o s´ıtio com menor valor, ser´a invadido passando a fazer parte do aglomerado. O processo encerra- se quando um ponto pr´e-determinado ´e atingido. Geralmente o ponto inicial ´e um s´ıtio numa margem do sistema e o processo ´e terminado quando qualquer s´ıtio na margem oposta ´e atingido. Este modelo gera apenas um aglomerado. E este aglomerado possui as mesmas propriedades estruturais do aglomerado infinito da percola¸c˜ao convencional com p = pc. Na Fig. (3.13) temos os quatro primeiros passos da invas˜ao na rede exibida na
Fig. (3.12). No primeiro passo, foi escolhido um s´ıtio ao acaso na borda esquerda.
3.6.3
Variantes da Percola¸c˜ao Invasiva
Existem duas principais vers˜oes da percola¸c˜ao invasiva. A primeira foi descrita acima, ´e chamada percola¸c˜ao invasiva sem aprisiomento. Neste caso o fluido que est´a sendo invadido ´e compress´ıvel e o fluido invasor pode potencialmente entrar em qualquer regi˜ao na interface que ´e ocupada pelo fluido invadido (tamb´em chamado defensor). A segunda
Figura 3.13: Quatro primeiros passos de um invas˜ao
variante ´e chamada percola¸c˜ao invasiva com aprisionamento. Neste caso o fluido defensor ´e incompress´ıvel e ´e aprisionado se uma por¸c˜ao dele ´e cercada pelo fluido invasor. O aprisionamento do fluido defensor significa que naquela regi˜ao n˜ao h´a mais como o invasor penetrar.
Apesar de originalmente ter sido aplicado a uma rede quadrada, o modelo da percola¸c˜ao invasiva pode ser aplicado a qualquer tipo de rede. Isto foi feito para diversos tipos de rede e acreditou-se durante um certo tempo que a dimens˜ao fractal do aglomerado gerado pela invas˜ao com aprisionamento pertencia `a classe de universalidade bem definida, diferente da classe de universalidade da percola¸c˜ao por invas˜ao sem aprisionamento. Em 2002, Mark A. Knackstedt et al.[29] sugeriram atrav´es da an´alise de dados mais precisos sobre a dimens˜ao fractal do aglomerado em diversas redes bidimensionais que este valor talvez n˜ao seja universal. Os dados utilizados por eles foram obtidos atrav´es simula¸c˜oes num´ericas realizadas com algoritmos mais eficientes.
Sahimi e colaboradores tˆem sido os respons´aveis pelas implementa¸c˜ao das mais diversas variantes de percola¸c˜ao invasivas. Eles estudaram invas˜ao com dois fluidos inva- sores e dois fluidos defensores[23], com dois fluidos invasores e um defensor[25], invas˜ao por s´ıtios e liga¸c˜oes simultaneamente [24].
3.6.4
Percola¸c˜ao por Invas˜ao em Redes N˜ao Regulares
Num tentativa de se aproximar mais ainda da realidade dos meios porosos, J. F. McCarthy [27] propˆos a percola¸c˜ao invasiva em uma rede aleat´oria. A rede aleat´oria
´e criada da seguinte forma. Os s´ıtios da rede s˜ao pontos distribuidos aleatoriamente no plano. Estes pontos s˜ao ligados a outros s´ıtios at´e que formem triˆangulos. N˜ao ´e permitido que um s´ıtio fique dentro de um triˆangulo.
Os resultados obtidos para a dimens˜ao fractal do aglomerado gerado por invas˜ao na rede aleat´oria tanto para percola¸c˜ao por s´ıtio, como para percola¸c˜ao por liga¸c˜ao, tendem, dentro da margem de erro, a confirmar a universalidade dos parˆametros cr´ıticos associados com estes dois tipos de percola¸c˜ao.
CAP´ITULO 4
PERCOLAC¸ ˜AO NO MULTIFRACTAL
4.1
Introdu¸c˜ao
Neste cap´ıtulo trataremos da aplica¸c˜ao de alguns aspectos da teoria da percola¸c˜ao `a redes originadas a partir do objeto multifractal Qmf discutido no Cap. 2. Para isto
iniciaremos descrevendo a cria¸c˜ao das duas redes, seguida de uma apresenta¸c˜ao da t´ecnica que foi utilizada para o c´alculo dos parˆametros cr´ıticos associados com a percola¸c˜ao nas redes - escalonamento de sistemas de tamanhos finitos - e por ´ultimo apresentaremos nossos resultados (expoentes cr´ıticos, probabilidades cr´ıticas e dimens˜oes fractais) seguidos por uma breve discuss˜ao a respeito deles.