3.5.1
Dimens˜ao Fractal do Aglomerado Percolante
A estrura do aglomerado percolante pode ser descrita por conceitos fractais. Quem primeiro observou isso foi Stanley [22]. Abaixo e acima de pc, o tamanho m´edio dos
aglomerados finitos do sistema s˜ao descritos pelo comprimento de correla¸c˜ao ξ. Em pc,
ξ diverge e buracos ocorrem no aglomerado infinito em todas as escalas. Acima de pc,
ξ tamb´em representa o tamanho linear dos buracos no cluster infinito. Como ξ ´e finito acima de pc, o aglomerado infinito pode ser auto-similar apenas nas escalas de tamanho
menores que ξ. Podemos ent˜ao interpretar ξ(p) como um comprimento t´ıpico para o qual o aglomerado ´e auto-similar e pode ser entendido como um fractal. Pode-se mostrar que a dimens˜ao fractal df se relaciona com os expoentes cr´ıticos β e ν. A probabilidade de que
um s´ıtio arbitr´ario dentro de um c´ırculo de raio r menor que ξ perten¸ca ao aglomerado infinito ´e a raz˜ao entre o n´umero de s´ıtios no aglomerado infinito e o n´umero total de
Rede pc hexagonal 0.6962 quadrada 0.592746 triangular 0.5 diamante 0.43 c´ubica 0.3116 BCC 0.246 FCC 0.198 Hipercubo d=4 0.197 Hipercubo d=5 0.141 Hipercubo d=6 0.107 Hipercubo d=7 0.089
Tabela 3.1: Valores de pc da percola¸c˜ao por s´ıtio para diversos tipos de redes regulares.
s´ıtios
P∞ ∝ r
df
rd r < ξ (3.4)
Esta equa¸c˜ao tamb´em ´e v´alida para r = aξ com 0 < a < 1. Assim P∞∝ ξ
df
ξd (3.5)
tamb´em ´e uma express˜ao v´alida. Substituindo a Eq. (3.3) e a Eq. (3.1) em Eq. (3.5) n´os obtemos
df = d−
β
ν. (3.6)
Esta rela¸c˜ao, que j´a havia sido mostrada mas n˜ao provada, mostra que dimens˜ao fractal do aglomerado infinito em pc n˜ao ´e um novo expoente independente, mas depende de β e
3.5.2
Distˆancia M´ınima e Dimens˜ao Qu´ımica
Al´em da massa do aglomerado percolante se comportar como um fractal h´a outras propriedades associadas ao aglomerado infinito que tamb´em se comportam como fractal. Uma delas ´e a distˆancia m´ınima entre dois pontos. Seja l o comprimento do menor caminha entre dois pontos e r a distˆancia euclidiana entre estes dois pontos, podemos mostrar que
l∝ rdmin, (3.7)
onde dmin´e a dimens˜ao fractal associada `a distˆancia min´ıma. A distˆancia min´ıma tamb´em
´e chamada distˆancia qu´ımica.
A dimens˜ao qu´ımica ´e o parˆametro associado com a lei de escala que rege a forma como a massa M do cluster varia com a distˆancia qu´ımica l
M (l)∝ ldl. (3.8)
A medida de dl ´e realizada da seguinte maneira. Escolhe-se um s´ıtio arbitr´ario do aglom-
erado e determina-se a massa M (l), que ´e a massa de todos os s´ıtios que est˜ao conectados por um caminhor menor ou igual a l.
Das equa¸c˜oes M (r) ∝ rd, l∝ rdmin e M (l)∝ ldl n´os obtemos: dl=
df
dmin
. (3.9)
Algoritmo para C´alculo da Distˆancia M´ınima
O algoritmo para determina¸c˜ao da distˆancia m´ınima entre dois s´ıtios ´e chamado “algoritmo de queima”. Ele funciona da seguinte forma. Vamos chamar um dos s´ıtios em quest˜ao de s´ıtio origem e o outro de s´ıtio destino. O primeiro passo consiste em marcar (queimar) o s´ıtio origem com o n´umero 0. Todo os seus vizinhos habilitados, isto ´e, que pertencente ao aglomerado em quest˜ao, s˜ao ent˜ao marcados com o n´umero 1. Os vizinhos dos s´ıtios marcados com 1 e que ainda n˜ao est˜ao marcados, o ser˜ao com o n´umero 2. E assim por diante. O n´umero com o qual se marca o s´ıtio destino ´e o tamanho da distˆancia entre os s´ıtios origem e destino. Na Fig. (3.10) temos a ilustra¸c˜ao da aplica¸c˜ao do algoritmo de queima a um aglomerado pertecente a um rede 4× 4. Na Fig. (3.11)
temos o menor caminho entre dois pontos de um aglomerado percolante. Notem que o menor caminho ´e maior (ou no m´ınimo igual) que distˆancia euclidiana entre os pontos.
Figura 3.10: Ilustra¸c˜ao da aplica¸c˜ao do algoritmo de queima.
Figura 3.11: Menor caminho entre dois s´ıtios de uma rede 64× 64.
3.5.3
Sub-estruturas fractais
O aglomerado infinito possui dentro de si algumas sub-estruturas que tamb´em obde- cem a leis de potˆencia. Dentre estas sub-estruturas podemos destacar a espinha-dorsal (backbone) que ´e o conjunto de s´ıtios atrav´es do qual o fluxo associado ao modelo (fluxo
Sub-Estruturas df Aglomerado percolante 91/48 Dist. M´ınima 1.13 ± 0.004 Dim. Qu´ımica 1.678 ± 0.005 Pont. Vermelhos 3/4 Esp. Dorsal 1.62 ± 0.02 Esp. Dorsal El´astica 1.678 ± 0.005
Tabela 3.2: Dimens˜oes fractais associadas com sub-estruturas[20] pertencentes ao aglomerado percolante.
de ´oleo, corrente el´etrica, etc) realmente ocorre. Os demais aglomerados, que n˜ao fazem parte da espinha dorsal, mas no entanto pertencem ao aglomerado infinito s˜ao chama- dos aglomerados terminais. Os pontos vermelhos [33] s˜ao todos os pontos da espinha dorsal cujas ausˆencias impediriam todo o fluxo. Eles tamb´em formam um fractal. Se estiv´essemos tratando de um circuito percolante condutor dir´ıamos que a espinha dorsal s˜ao os s´ıtios por onde a corrente flui e os pontos vermelhos seriam aqueles s´ıtios por onde toda a corrente flui.
O per´ımetro externo, o esqueleto e a espinha dorsal el´astica s˜ao tamb´em exemplos de sub-estruturas com dimens˜ao fractal. O per´ımetro externo ´e composto por todos os s´ıtios que pertencem ao aglomerado infinito e est˜ao ligados aos vazios exteriores. J´a o per´ımetro total inclui al´em dos s´ıtios do per´ımetro externo, os s´ıtios do per´ımetro dos buracos internos ao aglomerado. O esqueleto [34] ´e definido como sendo a uni˜ao de todos os caminhos mais curtos de um dado s´ıtio a todos os s´ıtios numa determinada distˆancia qu´ımica l. A espinha dorsal el´astica [35] ´e a uni˜ao de todos os caminhos mais curtos entre dois s´ıtios. Em Tab.(3.2) vemos os valores das dimens˜oes fractais associados com as estruturas supracitadas para a rede quadrada.