Muitas vezes precisamos representar formas não planas no papel. Para isso, podemos usar, por exemplo, desenhos em perspectiva. A perspectiva é uma técnica que permite representar figuras tridimensionais, como poliedros, no plano (representado pelo papel).
Vamos começar desenhando um bloco retangular em perspectiva. A malha quadriculada nos ajudará nessa tarefa.
Desenhe a face do bloco retan- gular que ficará
“de frente”.
Assinale os vértices da face oposta. Lembre-se de que as faces opostas do bloco retangular são idênticas.
Usando régua, trace as arestas visíveis com linha contínua e as demais com
linha pontilhada.
Use papel quadriculado e desenhe um bloco retangular e um cubo em perspectiva.
Faça como Marcela: experimente desenhar outros poliedros usando perspectiva. Mostre seus desenhos aos colegas, troquem ideias. Ao fazer cada desenho, anote ao lado dele:
• os nomes dos polígonos que formam suas faces; • quantas são as faces;
• qual é o número de vértices e arestas. Desenhar poliedros em
perspectiva é bem legal! Veja como eu desenhei outros poliedros no papel quadriculado.
Hélio Senatore
Ilustr
ações:
128
E o que são vistas?
Veja ao lado um exemplo de planta baixa de um apartamento, retirada de um anúncio de jornal. Essa planta representa uma vista superior do imóvel. Observe que as paredes, as portas, os móveis estão representados no plano como se fossem vistos “de cima”. Essa representação é útil, pois nos dá uma boa ideia do espaço e da disposição dos ambientes.
A embalagem da foto tem a forma de um poliedro. Podemos representar sua vista superior e sua vista frontal no papel:
vista superior
vista frontal Tente desenhar em papel quadriculado como seria sua casa vista de cima se ela não tivesse telhado. Localize cada cômodo, procurando representar os móveis no plano, como na planta do exemplo acima.
Agora, faça dupla com um colega. Ob- servem os objetos da foto. Que formas cada um deles nos lembra?
Desenhem em seus cadernos como se- ria a vista planificada frontal e superior de cada um deles.
Cilindro, esfera e cone. Frontal: Superior: Anselmo Jr Misto Quente Hélio Senatore DAE
praticando matemÁtica edição renovada 6º ano – pnLd 2014 – mac 4
Exercícios
7 Observe os poliedros:
8 Observe a figura e responda.
Quais e quantos desses polígonos são necessá- rios para forrar os “esqueletos” destes poliedros? Construa uma tabela como esta em seu cader- no e complete-a.
cubo paralelepípedo pirâmide de base quadrada
10 Copie em seu caderno os pontos A, B, C e D.
a) Trace três retas que passem pelo ponto A. É possível traçar mais? Quantas?
b) Quantas retas que passam pelos pontos B e D você consegue traçar?
c) Existe uma reta que passa por três dos pon- tos indicados?
Sim; Infinitas.
Uma.
Sim, a reta que passa por A, B e C.
11 (Encceja-MEC) Observe o esquema com a lo- calização de uma escola e de um supermercado.
Se, nesse esquema, o supermercado pode ser indicado pelo ponto (1, A), então a escola pode ser indicada pelo ponto.
a) (1, C) xb) (3, C) c) (C, 0) d) (C, 2)
12 Qual das peças deve ser encaixada neste objeto para que ele fique com a forma de um bloco retangular? a) xc) b) d) D C B A 1 2 3 4 0 Supermercado Escola A D C B a) b) c) 6, 8, 12 6, 8, 12 5, 5, 8
a) A figura é plana ou não plana?
b) Qual é o número de vértices?
c) Quantas são as arestas?
d) Qual é o número de faces?
e) Quantas faces são retangulares?
f) Quantos lados tem cada uma das faces que não são retangulares?
Não plana. 12 vértices 18 arestas 8 faces 6 faces 6 lados 9 Observe os polígonos: A B C A B D I II III IV
Poliedro Quantas faces? vértices?Quantos Quantas arestas?
A B C Ilustr ações: DAE C
130
130
13 Observe as figuras:
Use uma malha quadriculada para:
a) reproduzir as duas figuras da parte inferior do quadro;
b) reduzir o comprimento de todas as arestas do bloco retangular à metade.
Ver solução em Respostas dos Exercícios.
15 Observe as caixas cúbicas empilhadas. a) Quantas já foram colocadas? b) Quantas faltam na segunda camada? E na terceira?
c) Quantas caixas faltam ser colocadas para construir um bloco retangular de 5 camadas?
23
3; 11
37
14 Se esta figura fosse recortada e depois do- brada de forma conveniente nas linhas traceja- das, que forma espacial resultaria? Bloco retangular.
16 A figura mostra uma das 11 possibilidades de planificação do cubo.
Será que as figuras a seguir também represen- tam planificações do cubo?
a)Sim.
b)Sim. c)Não.
Uma dica!
Se necessário, copie e recorte um modelo em
papel para verificar.
17 Evaldo desenhou uma planificação em car- tolina para construir uma caixa com a forma de um bloco retangular. Escreveu a mesma letra em cada par de faces opostas. Anote no caderno qual é a caixa de Evaldo.
a) b) c) x d) C A B B C A C B B A C A B C A C A B C A A B C C Ilustr ações: DAE
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Para finalizar, criem novas formas combinando as figuras que você construiu. Vocês podem expor as composições obtidas para os demais alunos da escola!
Vocês devem produzir e recortar vários polígonos de cada tipo
para ter mais opções de combinação das formas.
Veja um exemplo de modelo de poliedro que pode ser construído:
Construindo poliedros
Forme dupla com um colega.
Vimos que as faces dos poliedros são polígonos. Nas páginas finais deste livro, nos “Moldes para Atividades”, há moldes de polígonos: quadrados, retângulos e triângulos. Vocês devem reproduzir os polígonos com capricho, em cartolina, recortá-los e, com auxílio de fita adesiva, construir modelos de poliedros.
Em cada modelo de poliedro, observem e registrem no caderno:
•forma e número de faces;
•número de vértices;
•número de arestas.
Misto Quente
Este é um poliedro com 5 faces: 2 triângulos e 3 retângulos. Ele possui 6 vértices e 9 arestas.
132
132
Revisando
18 Acompanhe, nas figuras, esta montagem.
a) A figura do primeiro desenho é plana?
b) E a do último?
Sim.
Não.
19 Imagine que você está conversando com um amigo ao telefone. Descreva-lhe a figura abaixo de modo que seu amigo descubra o que é. Não vale utilizar a palavra cubo.
Resposta pessoal.
20 Usando cubos podemos fazer as seguintes construções:
Na primeira usamos 1 cubo; na segunda, 6 cubos; e na terceira, 11 cubos.
• Quantos cubos usaremos na oitava cons- trução? 36 cubos. A sequência é 1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36.
21 Gustavo fez com seis cubos a seguinte construção:
Observe as diferentes vistas e identifique abaixo qual delas é a:
a) vista de cima; B
b) vista de lado; A
c) vista de frente. C
22 Observe as figuras, copie e preencha a ta- bela em seu caderno:
132
a) b) c) d) e) A B C D E 5 7 5 9 15 8 6 10 5 1 A B C D E Poliedro Não é poliedro Quantas faces? Quantas arestas? Quantas vértices? A B C E D A B C Ilustr a Cartoon Ilustr a Cartoon Ilustr ações: DAEpraticando matemÁtica edição renovada 6º ano – pnLd 2014 – mac 4
Desafios
23 Observe estes dois objetos:
a) Quantos vértices tem o cubo? E a caixa?
b) Quantas arestas tem o cubo? E a caixa?
c) Quantas faces tem o cubo? E a caixa? Todas são planas?
d) Que conclusão se pode tirar observando o cubo e a caixa?
e) Qual é a diferença entre as faces do cubo e as faces da caixa?
Ambos têm 8.
Ambos têm 12.
Ambos têm 6. Sim.
O cubo e a caixa têm o mesmo número de vértices, faces e arestas.
No cubo, todas as faces são quadradas. Na caixa, há faces retangulares.
24 Veja a planificação de um cubo. Quais são as cores das faces opostas?
Rosa e azul. Verde e vermelho. Roxo e amarelo.
25 Num dado, a soma dos valores das faces opostas é sempre 7.
Com base nessa informação, responda:
26 Esta pilha tem 2 tijolos de comprimento, 2 tijolos de largura e 3 tijolos de altura.
Valéria V
az
a) Quantos pontos tem a face oposta a ? 5
b) Quantos pontos tem a face oposta a ? 3
c) Quantos pontos tem a face oposta a ? 6
Calcule a distância percorrida pela aranha se ela seguir o percurso:
Sabe quantos pontos somam as faces dos três dados que estão
apoiadas na mesa? 11 pontos
27 Imagine que a figura abaixo seja uma sala. No ponto A temos uma aranha e, em H, uma mosca. Percorrendo a sala pelas “arestas”, a aranha pretende chegar até a mosca.
a) Qual é a forma de cada tijolo?
b) Que forma tem a pilha de tijolos?
c) Quantos tijolos formam a pilha?
A de um bloco retangular.
A de um bloco retangular.
12 pilhas
A pilha de tijolos vai ficar maior. Ela vai passar a ter 3 tijolos de comprimento, 3 de largura e 7 de altura.
d) Quantos tijolos terá a nova pilha?63 tijolos
a) A, D, C e H; 13 m b) A, B, F, E, G e H; 19 m c) A, E, G, D, C e H. 25 m C B 6 m E 4 m D A 3 m G F H Ilustr a Cartoon DAE Hélio Senatore Ilustr a Cartoon
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ExercíciosAutoavaliação
Anote, em seu caderno, o número do exercício e a letra correspondente à resposta correta.134
29 Se colocarmos o bloco retangular sobre a face ABCD, a face que fica voltada para cima é:
a) ABFH
b) CBEF
c) GHFE
d) DCEG
30 A linha vermelha mede 18 cm. O compri- mento total das arestas invisíveis do cubo é:
a) 9 cm
b) 12 cm
c) 15 cm
d) 18 cm
31 (Saresp) Bia recortou a fi- gura ao lado e, em seguida, fez uma colagem para obter um sólido de papelão.
28 Quantos cubos estão empilhados?
a) 9
b) 10
c) 11
d) 12
34 A superfície do bloco foi pin- tada de amarelo e, após, os pe- quenos cubos foram separados. O número de pequenos cubos com exatamente duas faces ama- relas é:
O sólido que Bia obteve foi:
a) 4 b) 6 c) 8 d) 10
32 (Saresp) A foto abaixo é de uma pirâmide de base quadrada, a Grande Pirâmide de Quéops, uma das Sete Maravilhas do Mundo Antigo. O número de faces desta pirâmide, incluindo a base, é:
a) igual ao número de arestas.
b) igual ao número de vértices.
c) a metade do número de arestas.
d) o dobro do número de vértices.
a) c)
b) d)
x
33 (Saresp) Abaixo estão desenhadas as vistas superior e frontal de uma figura.
a) c) b) d) E B D A H F C
vista superior vista frontal
Dentre as opções abaixo, a única figura com essas vistas é: • 18 6 3 • 3 3 9 x x x x x Luk e Daniek/iStockphoto .com x G Ilustr ações: DAE
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Ângulos
1. Falando um pouco sobre ângulos
As pontas da tesoura aberta formam entre si um ângulo.
Encontramos ângulos na natureza, nas construções e nos objetos criados pelo ser humano.
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