3.4 Classificações atuais ou baseadas em características antagônicas
3.5.2 Planejamento com restrições diferenciais
No planejamento de caminho, a única restrição ao movimento do robô que deve ser obrigatoriamente considerada é a restrição imposta pelos obstáculos ao movimento do robô. No entanto, em aplicação reais, a maioria dos robôs possuem outros tipos de restrições causadas, por exemplo, por particularidades da aplicação ou características intrínsecas dos robôs. Essas restrições são equacionadas em função da posição, velocidade e aceleração do robô, independentemente dos obstáculos, e são chamadas de restrições diferenciais.
O planejamento com restrições diferenciais as considera explicitamente na elaboração do plano e não como uma etapa posterior de adaptação do mesmo. Os principais tipos de restrições diferenciais são apresentados a seguir.
Restrições cinemáticas
As restrições cinemáticas são restrições que impõem limitações ao movimento do robô, podendo influenciar na controlabilidade e na dimensionalidade do problema considerado. Existem dois tipos básicos de restrições cinemáticas: restrições holonômicas e não-
holonômicas. Em robótica, a holonomicidade refere-se à relação entre a controlabilidade
e o número total de graus de liberdade de um robô.
Uma restrição holonômica é uma restrição de igualdade que pode ser escrita em função das variáveis que definem completamente a configuração de um robô no ambiente sem, no entanto, levar em consideração a sua velocidade. Cada equação de restrição desse tipo pode ser utilizada para diminuir a dimensão do espaço de configurações da tarefa em uma unidade, fazendo com que o problema, do ponto de vista cinemático, torne-se mais simples e possa ser resolvido com o planejamento de caminho tradicional.
Para entender o significado físico de uma restrição holonômica, considere um robô holonômico constituído por um único corpo rígido navegando no R3. Nesse caso, a cardi-
nalidade do espaço de configurações é seis, composta por três direções de translação line- armente independentes e três ângulos de rotação também independentes. Considere agora que esse robô deve transportar um copo completamente cheio de água, sem derramá-la. Desconsiderando outras características práticas do problema, essa tarefa impõe restrições à rotação do robô, que fica impossibilitado de girar em torno de, no mínimo, dois dos ângulos que compõe o espaço de configurações. Essas restrições podem ser escritas na forma de duas equações de restrições holonômicas que podem ser utilizadas para reduzir a dimensão do problema de planejamento em duas unidades, reduzindo, de certa forma, a complexidade do problema de planejamento, mantendo a aplicabilidade da maioria dos algoritmos tradicionais.
Um outro tipo de restrição cinemática é a restrição não-holonômica, também conhecida como restrição diferencial de primeira ordem. Essa é uma restrição de igualdade (ou
inequalidade) não integrável, envolvendo as variáveis do espaço de configurações e suas derivadas (velocidades). Restrições desse tipo não reduzem a dimensão do espaço de configurações do robô, mas reduzem a dimensão do espaço de possíveis direções admissíveis em uma dada configuração [10].
Considere, como exemplo, um robô com tração diferencial navegando em um plano (R2), sem deslizamento das rodas. Em um ambiente sem obstáculos, esse robô pode
assumir, virtualmente, qualquer posição no espaço de configurações do ambiente, cuja cardinalidade é três (x, y e θ). Logo, não há restrições holonômicas associadas ao pro- blema de navegação desse robô. No entanto, um robô com tração diferencial não pode, instantaneamente, assumir quaisquer direções de movimento. Na verdade, instantanea- mente, um robô com esse tipo de tração pode mover-se apenas transladando na direção do seu vetor de orientação ou girando em torno do seu próprio eixo, nunca movendo-se na direção perpendicular à sua orientação. Essa restrição de movimento é uma restrição não-holonômica.
Restrições não-holonômicas restringem a geometria dos possíveis caminhos que conec- tam duas configurações, tornando-se um atributo do problema de planejamento que eleva a sua complexidade, o que justifica a atenção recebida por essa área dentro dos diferentes problemas de planejamento. O problema de planejamento que leva em consideração na sua formulação restrições não holonômicas é chamado de Planejamento Não-holonômico, termo introduzido por Laumond em 1986 [111] e mais detalhado posteriormente em [112]. Outra interpretação possível para a holonomicidade pode ser dada em função no nú- mero de graus de liberdade da tarefa. Se o número de graus de liberdade controláveis do robô for igual ao número de graus de liberdade da tarefa como um todo (possui apenas restrições holonômicas ou não possui restrições), então o robô é dito holonômico. Se o número de graus de liberdade controláveis do robô for menor que o número de graus de liberdade da tarefa (possui pelo menos uma restrição não-holonômica), então o robô é dito não-holonômico e, por fim, se essa relação for inversa, o robô é dito redundante. Restrições dinâmicas
Restrições dinâmicas são restrições diferenciais de segunda ordem (ou maior) que po- dem ser interpretadas como restrições de aceleração. Essas restrições criam uma depen- dência entre cada estado do sistema (robô), x, e as ações admissíveis nesse estado u, em que x é composto, no mínimo, por variáveis de posição e velocidade. O problema de planejamento que considera explicitamente restrições de segunda ordem (ou maior) em sua formulação é denominado de Planejamento Kinodinâmico [113].
O Planejamento Kinodinâmico é normalmente executado não no espaço de configura- ções, mas no espaço de estados do robô, por este considerar diretamente as variáveis de velocidade em sua construção. Esse espaço tem naturalmente o dobro da dimensão do espaço de configurações do robô, o que representa um desafio a mais para os algoritmos
de planejamento.
Vale salientar que um problema de Planejamento Kinodinâmico não é necessariamente uma forma de Planejamento Não-holonômico. Para tanto, é necessário que o problema possua restrições não-integráveis e de, pelo menos, segunda ordem, o que nem sempre é verdade [8].