PRESS ˜ AO, TEMPERATURA E VELOCIDADE M ´ EDIA QUADR ´ ATICA

onde N ´e o n´umero total de mol´eculas que existem na caixa.

Como N = nNA, ent˜ao temos nNA parcelas na soma entre parˆenteses. Podemos substituir a soma por N (v_x2)med = nNA(v2x)med, onde (vx2)med ´e a m´edia do quadrado das velocidades. Logo,

p = mnNA L3 (v

2

x)med. (7.10)

Mas como M = mNA´e a massa molar do g´as e L3 ´e o volume da caixa podemos escrever ainda:

p = nM V (v 2 x)med= nM V ⟨v 2 x⟩ (7.11)

onde usamos uma nota¸c˜ao mais compacta para a m´edia do quadrado. Para qualquer mol´ecula temos que:

v2 = v_x2+ v_y2+ v2_z.

Como existem muitas mol´eculas e elas est˜ao se movendo em dire¸c˜oes aleat´orias, os valores m´edios dos quadrados das velocidades s˜ao iguais para todas as dire¸c˜oes, i.e., ⟨v2_x⟩ = ⟨v_y2⟩ = ⟨v_z2⟩ logo

⟨v2_{⟩ = ⟨v}2

x⟩ + ⟨vy2⟩ + ⟨v2z⟩ = 3⟨vx2⟩

e substituindo este resultado na Eq. (7.11) segue que:

p = nM

3V ⟨v

2_{⟩ (7.12)}

A ra´ız quadrada de⟨v2⟩ ´e um tipo de m´edia chamada velocidade m´edia quadr´atica das mol´eculas e ´e representada por vrms1. Assim, podemos escrever:

vrms = √

⟨v2_⟩ e podemos escrever a Eq. (7.12) para a press˜ao na forma:

p = nM

3V v 2

rms (7.13)

Combinando a Eq. (7.13) com a lei dos gases ideais, podemos escrever vrmsem termos da temperatura:

pV = nRT ou seja, nM 3V v 2 rmsV = nRT 1

G´as Massa Molar (10−3 kg/mol) vrms (m/s)

H2 2,02 1920

O2 32 483

SO2 64,1 342

Tabela 7.1: Tabela mostrando alguns valores da velocidade rms para alguns gases.

ou ainda:

vrms= √

3RT

M . (7.14)

Na tabela7.1temos alguns valores de velocidades rms. Notamos que, por exemplo, para o g´as H2, a velocidade ´e extremamente alta, de 1920 m/s que equivale a aproximadamente 6900 km/h. Assim, desde que as mol´eculas movem-se t˜ao depressa ´e natural perguntar porque levamos quase um minuto para sentir o cheiro de um perfume quando abrimos o frasco do outro lado de uma sala? A resposta ´e que, apesar da velocidade elevada, as mol´eculas do perfume se afastam muito lentamente do frasco por causa da colis˜ao entre as mol´eculas.

7.3.1 Livre Caminho M´edio

A velocidade rms ´e bem elevada, conforme mostrado na tabela acima. No entanto, quando as mol´eculas colidem umas com as outras, a velocidade das mol´eculas muda de dire¸c˜ao de modo que o movimento de qualquer mol´ecula em um g´as ´e completamente aleat´orio conforme mostrado na Fig. 7.3.

Este tipo de movimento ca´otico ´e chamado de movimento difusivo ou simplesmente difus˜ao. Desta forma, vemos que a alta velocidade das mol´eculas existe apenas entre duas colis˜oes e a cada colis˜ao a velocidade muda de dire¸c˜ao. Com isso, a velocidade m´edia efetiva ´e muito menor do que a velocidade entre duas colis˜oes.

Desde que as colis˜oes s˜ao aleat´orias, a distˆancia percorrida pela mol´ecula ´e vari´avel. No entanto, podemos definir uma distˆancia m´edia entre colis˜oes que chamamos de “livre caminho m´edio”, (simbolizado por l).

Se consideramos que as mol´eculas possam ser aproximadas por esferas de diˆametro d, ´e de se esperar que l diminua com d e tamb´em com a concentra¸c˜ao de mol´eculas (N/V ). Para estimar o livre caminho m´edio notamos que duas mol´eculas (representado por esferas) v˜ao colidir quando a distˆancia entre seus centros ´e menor ou igual a d como mostrado na Fig. 7.4a. De maneira equivalente, podemos representar

7.3. PRESS ˜AO, TEMPERATURA E VELOCIDADE M ´EDIA QUADR ´ATICA 211

Figura 7.3: Diagrama mostrando a trajet´oria descrita por uma mol´ecula do g´as. Devido as colis˜oes com as outras mol´eculas do g´as a trajet´oria ´e aleat´oria.

(a)

(b)

(c)

Figura 7.4: (a) Uma colis˜ao ocorre quando a distˆancia entre os centros das mol´eculas est˜ao a uma distˆancia menor do que o diˆametro das mol´eculas. (b) representa¸c˜ao equivalente, por´em mais conveniente, ´e pensar na mol´ecula em movimento como tendo raio d e em todas as outras sendo pontos. (c) No intervalo de tempo t a mol´ecula descreve um volume cil´ındrico de raio d e comprimento ⟨v⟩t.

esta mesma situa¸c˜ao considerando que a mol´ecula tem um diˆametro 2d e as demais s˜ao pontuais como mostrado na Fig. 7.4b. A esfera de raio d ´e chamada de esfera de exclus˜ao e possui um volume 8 vezes

maior do que o volume da mol´ecula, V = 4 3πd 3 _{= 8×}4 3π ( d 2 )3 = 8Vmolec..

Quando a mol´ecula percorre sua trajet´oria a sua esfera de exclus˜ao varre um volume cil´ındrico com eixo centrado na trajet´oria descrita pelo centro O (veja a Fig. 7.4c).

O no m´edio de colis˜oes sofridas pela mol´ecula ´e igual ao no de mol´eculas contidas neste volume cil´ındrico. Note que a ´area da se¸c˜ao transversal do cilindro

σ = πd2

´

e a ´area efetiva da mol´ecula que chamamos de se¸c˜ao de choque. Esta ´area desempenha um papel im- portante no c´alculo da taxa de colis˜oes. Para estimar o livre caminho m´edio, vamos considerar que as demais mol´eculas contidas no volume varrido s˜ao pontuais e que a ´unica mol´ecula em movimento ´e a que tem centro em O. Assim, num tempo t, a mol´ecula varre um volume dado por,

V = σ⟨v⟩t

Agora, o n´umero de colis˜oes sofridas ser´a dada pelo n´umero de mol´eculas contidas neste volume, assim, se N/V ´e a concentra¸c˜ao de mol´eculas ent˜ao o n´umero de colis˜oes ser´a

no de colis˜oes = N

V × σ⟨v⟩t

A freq¨uˆencia com que a mol´ecula sofre colis˜oes ser´a

f = n

o _{de colis˜oes}

t =

N

V × σ⟨v⟩

Dividindo a distˆancia percorrida por unidade de tempo, que ´e a pr´opria velocidade m´edia, pelo n´umero de colis˜oes por unidade de tempo, obtemos l:

l = ⟨v⟩ f =

1 (N/V )πd2

E vemos ent˜ao que l → 0 quando N/V, d → ∞. Este c´alculo n˜ao leva em conta o movimento das mol´eculas. Assim, em um c´alculo mais preciso deve-se considerar a velocidade relativa da mol´ecula no lugar de ⟨v⟩. Neste caso, obtemos um resultado ligeiramente diferente,

l = ⟨v⟩ f =

1

√