Princ´ıpio variacional

´

e cobertura aberta. Lembremos que a entropia de uma parti¸c˜ao ´e sempre menor ou igual ao logaritmo do n´umero de elementos n˜ao-vazios, ent˜ao

H_µ(

n−1

_

i=0

T⁻ⁱη)≤log](

n−1

_

i=0

T⁻ⁱη). Vejamos como entram a coberturaβ e seus refinamentosWn−1

i=0 T⁻ⁱβ. Queremos relacionar N(Wn−1

i=0 T⁻ⁱβ) com ](Wn−1

i=0 T⁻ⁱη).

Todo elemento de Wn−1

i=0 T⁻ⁱβ ´e da forma

(B₀∪B_k0)∩T⁻¹(B₀∪B_k1)∩. . .∩T⁻ⁿ⁺¹(B₀∪B_kn−1). Um elemento deste cont´em qualquer elemento deWn−1

i=0 T⁻ⁱη da forma B_j0 ∩T⁻¹B_j1 ∩. . .∩T⁻ⁿ⁺¹B_jn ,

onde j_i = k_i ou j_i = 0, ∀i = 0, . . . , n−1, e n˜ao pode conter qualquer outro. Ent˜ao existem no m´aximo 2ⁿ elementos de Wn−1

i=0 T⁻ⁱη em cada elemento de Wn−1

i=0 T⁻ⁱβ. Agora tome uma subcobertura de Wn−1

i=0 T⁻ⁱβ com o n´umero m´ınimo N = N(Wn−1

i=0 T⁻ⁱβ) de elementos. Todos os elementos de Wn−1

i=0 T⁻ⁱη est˜ao contidos em algum elemento dessa subcobertura, portanto seu n´umero n˜ao pode exceder N2ⁿ. Da´ı conclu´ımos que

H_µ(

n−1

_

i=0

T⁻ⁱη)≤nlog 2 + logN(

n−1

_

i=0

T⁻ⁱβ), e dividindo por n e levando ao limite obtemos

h_µ(T, η)≤h(T, β) + log 2≤h(T) + log 2. Por outro lado,

h_µ(T, ξ)≤h_µ(T, η) +H_µ(ξ|η)≤h(T) + log 2 + 1, pela estimativa anterior, logo

h_µ(T)≤h(T) + log 2 + 1.

Observe que essa desigualdade independe da transforma¸c˜ao cont´ınuaT. Sendoµ proba-bilidade invariante para Tⁿ, obtemos tamb´em

h_µ(Tⁿ)≤h(Tⁿ) + log 2 + 1 . Logo

nhµ(T)≤nh(T) + log 2 + 1 ,

de onde, dividindo porn e tomando o limite, sai a desigualdade procurada.

Para a outra desigualdade, precisaremos do seguinte Lema.

Lema 7.14. Seja X espa¸co m´etrico compacto e µ probabilidade de Borel. Ent˜ao 1. Se x∈X e δ >0 ent˜ao existe δ⁰ < δ tal que µ(∂B(x;δ⁰)) = 0.

2. Dadoδ >0, existeξ={A₁, . . . , A_r}parti¸c˜ao deX tal que diam(A_i)< δ eµ(∂A_i) = 0, ∀i.

Demonstra¸c˜ao. A primeira afirma¸c˜ao ´e evidente. Ela implica que existe uma cobertura β = {B₁, . . . , B_r} de X por bolas de raio menor do que ^δ₂ com µ(∂B_i) = 0, ∀i. Tome A₁ =B₁,A₂ =B₂\B₁, A₃ =B₃\(B₁∪B₂), etc. Assim, o diˆametro de cadaA_i ´e menor do que δ, e como ∂A_i est´a contido em Sr

j=1∂B_j ent˜ao µ(∂A_i) = 0.

Teorema 7.15. Sejam X espa¸co m´etrico compacto e T transforma¸c˜ao cont´ınua. Ent˜ao sup

µ

h_µ(T)≥h(T).

Demonstra¸c˜ao. Lembremos que s_n() ´e a m´axima cardinalidade dos conjuntos (n, )-separados, e s() = lim sup_{n→∞ n}¹ logs_n(). A entropia topol´ogica sendo o limite (cres-cente) de s() quando vai a zero, mostraremos que para todo >0 existe uma medida invarianteµ tal que h_µ(T)≥s().

Para definir µ, seja E_n um conjunto (n, )-separado com cardinalidade m´axima, isto

´

e, com sn() elementos. Seja

σ_n= 1 sn()

X

x∈En

δ_x e defina

µ_n = 1 n

n−1

X

i=0

T˜ⁱσ_n .

No Teorema 2.27 mostramos que qualquer ponto de acumula¸c˜ao da seq¨uˆencia {µ_n}_n ´e medida invariante. Seja {n_j}_j seq¨uˆencia tal que µ_nj converge e seja µ a probabilidade limite. Passando a uma subseq¨uˆencia, imponha ainda que

j→∞lim 1

n_j logs_nj() =s().

Para mostrar ques()≤h_µ(T) encontraremos uma parti¸c˜aoξtal ques()≤h_µ(T, ξ).

N˜ao ser´a preciso restringir muito a parti¸c˜ao ξ ={A₁, . . . , A_k}, basta que cada elemento tenha diˆametro menor do que e a medida do bordo de cada elemento seja nula.

Como nenhum membro de Wn−1

i=0 T⁻ⁱξ cont´em mais do que um ponto de E_n ent˜ao H_σn

n−1

_

i=0

T⁻ⁱξ

!

= logs_n(), pois sn() elementos tˆem medida _s¹

n() e os outros tˆem medida zero.

A desigualdade crucial a mostrar ´e que para q < nvale 1

nH_σn

n−1

_

i=0

T⁻ⁱξ

!

≤ 1 qH_µn

q−1

_

i=0

T⁻ⁱξ

! +2q

n logk (7.1)

(k ´e o n´umero de elementos da parti¸c˜ao ξ). Substituindo n por nj e fazendo j ir para infinito, comq fixo, obtemos

s() = lim

j→∞

1

n_j logs_nj()≤ 1 qH_µ

q−1

_

i=0

T⁻ⁱξ

!

q→∞−→ h_µ(T, ξ),

usando o fato de queH_µnj(η)→H_µ(η) se todos os elementos deηtˆem bordo com medida nula (ver Teorema 2.25).

Passemos a demonstrar a Inequa¸c˜ao 7.1. Seja q < n. Como a medida µ_n ´e uma combina¸c˜ao convexa das medidas ˜T^pσn,p= 0,1, . . . , n−1, podemos usar o Teorema 6.2, obtendo

H_µn

q−1

_

i=0

T⁻ⁱξ

!

≥ 1 n

n−1

X

p=0

HT˜^pσn

q−1

_

i=0

T⁻ⁱξ

!

= 1

n

n−1

X

p=0

H_σn T^−p

q−1

_

i=0

T⁻ⁱξ

!!

.

A pr´oxima etapa depende de um bom rearranjo da ´ultima soma. Por exemplo, con-sidere apenas os termos p = 0, q,2q,3q, . . . ,(a −1)q, onde a ´e o maior inteiro tal que aq ≤n. Reunindo-os temos

a−1

X

r=0

Hσn T^−rq

q−1

_

i=0

T⁻ⁱξ

!!

≥Hσn

aq−1

_

i=0

T⁻ⁱξ

! ,

por causa do Teorema 6.4(8). Por outro lado, H_σn

n−1

_

i=0

T⁻ⁱξ

!

≤H_σn

aq−1

_

i=0

T⁻ⁱξ

! +

n−1

X

j=aq

H_σn(T⁻ⁱξ).

Pelo Teorema 6.4(10), H_σn(T⁻ⁱξ) = H_σn(ξ), que por sua vez ´e certamente menor do que logk (ver coment´arios que se seguem ao Lema 6.2). H´a no m´aximo q n´umeros de aq a n−1, de modo que

H_σn

aq−1

_

i=0

T⁻ⁱξ

!

≥H_σn

n−1

_

i=0

T⁻ⁱξ

!

−qlogk .

Da mesma maneira, podemos escolherj entre 0 eq−1 e tomar apenas os termos com p=j, j +q, . . . , j+ (a(j)−1)q. Entre 0 e j−1 e entre a(j)q e n−1 h´a no m´aximo 2q termos, ent˜ao a soma desses termos ser´a maior ou igual a

H_σn

n−1

_

i=0

T⁻ⁱξ

!

−2qlogk .

A cada escolha de j valores diferentes de p s˜ao considerados, e h´a q escolhas de j.

Portanto

H_µn

q−1

_

i=0

T⁻ⁱξ

!

≥ q nH_σn

n−1

_

i=0

T⁻ⁱξ

!

− 2q²

n logk , e a Inequa¸c˜ao 7.1 est´a demonstrada.

Princ´ıpio Variacional: coment´arios e implica¸c˜oes Algumas observa¸c˜oes e co-rol´arios relativos ao Princ´ıpio Variacional se fazem pertinentes. Assumiremos, eviden-temente, nas afirma¸c˜oes abaixo que T ´e uma transforma¸c˜ao cont´ınua.

A entropia topol´ogica pode ser obtida pelo supremo das entropias das medidas erg´odicas.

Para ver isso seja, pelo Princ´ıpio Variacional, uma medida µ∈ M_T(X) tal que h_µ(T)>

h(T)−₂ (no caso h(T)<∞, o caso h(T) = ∞´e an´alogo). Pela Decomposi¸c˜ao Erg´odica da Se¸c˜ao 4.7, escrevemos

µ(A) = Z

µ_x(A)dµ(x) = Z

Σ

µ_x(A)dµ(x), onde Σ tem probabilidade total e se x∈Σ ent˜ao existe µ_x tal que

Z

f dµ_x = lim

n→∞

1 n

n−1

X

i=0

f(Tⁱx),

para toda f ∈ C⁰(X), com µ_x invariante, erg´odica e tal que x ∈ supp(µ_x). Como a fun¸c˜ao entropia µ7→h_µ(T) ´e afim, temos

hµ(T) = Z

Σ

hµx(T)dµ(x). Logo hµx(T)> hµ(T)−₂ para algum x∈Σ, e ent˜ao

h_µx(T)> h(T)− .

Outra observa¸c˜ao importante ´e que a entropia topol´ogica de T coincide com a en-tropia topol´ogica da restri¸c˜ao de T ao conjunto n˜ao-errante Ω(T) (x ´e errante se existe vizinhan¸ca U de x tal que TⁿU ∩U =∅, ∀n ≥1, e n˜ao-errante se n˜ao ´e errante). Basta observar que toda probabilidade invarianteµtem suporte contido em Ω(T), em particular µ(Ω(T)) = 1 (na verdade, deixamos como exerc´ıcio na Se¸c˜ao 4.6 ao leitor mostrar que o suporte de qualquer probabilidade de Borel invariante est´a contido no fecho dos pontos recorrentes, que por sua vez est´a contido no conjunto n˜ao-errante).

Ent˜ao a toda medida invariante µ ∈ M_T(X) corresponde outra em M_T|Ω(T)(Ω(T)), da´ı pelo Princ´ıpio Variacional

h(T)≤h(T|Ω(T)). Por outro lado TΩ(T) = Ω(T), e ent˜aoh(T|Ω(T))≤h(T).

O mesmo argumento mostra que

h(T) =h(T|

∞

\

n=0

TⁿX).

S´o ´e preciso mostrar que T∞

n=0TⁿX tem probabilidade total, mas isso decorre de µ(TⁿX) =µ(T⁻ⁿTⁿX) =µ(X) = 1,

para todaµ∈ M_T(X).

A entropia topol´ogica ´e mais do que um invariante topol´ogico. Se T_i : X_i → X_i

´

e tranforma¸c˜ao cont´ınua, i = 1,2, e φ : X₁ → X₂ ´e uma bije¸c˜ao bimensur´avel com φT₁ = φT₂ ent˜ao h(T₁) = h(T₂). Isso ocorre porque µ ∈ M_T1(X₁) se e somente se µ◦φ⁻¹ ∈ M_T2(X₂). Como h_µ(T₁) =hµ◦φ⁻¹(T₂) ent˜ao do Princ´ıpio Variacional segue que h(T₁) = h(T₂).

Diz-se que uma medida ´e de m´axima entropia se h_µ(T) = h(T). Chamaremos de M^max_T (X) o conjunto das medidas de m´axima entropia.

O conjunto M^max_T (X) ´e convexo, j´a que a fun¸c˜ao entropia ´e afim.

Se h(T) < ∞ ent˜ao os pontos extremos de M^max_T (X) s˜ao exatamente as medidas erg´odicas de M^max_T (X). Evidentemente as medidas erg´odicas de M^max_T (X) s˜ao pontos extremos de M_T(X), logo s˜ao pontos extremos de M^max_T (X). Por outro lado, suponha que µ seja ponto extremo de M^max_T (X). Sejam µ₁, µ₂ ∈ M_T(X) tais que µ = pµ₁ + (1−p)µ₂, com 0 < p < 1. Ent˜ao obrigatoriamente h_µ1(T) = h_µ2(T) = h_µ(T) = h(T), pois h_µ1(T), h_µ2(T) ≤ h(T). Isto significa que µ₁, µ₂ ∈ M^max_T (X), mas como µ ´e ponto extremo de M_T(X) logo ´e erg´odica.

Al´em disso a hip´otese h(T) < ∞ implica tamb´em que se M^max_T (X) 6= ∅ ent˜ao M^max_T (X) cont´em pelo menos uma medida erg´odica. Isto segue diretamente da De-composi¸c˜ao Erg´odica.

Por outro lado, se h(T) = ∞ ent˜ao necessariamente M^max_T (X) 6= ∅. Para ver isso, considere medidas µ_n ∈ M_T(X) com h_µn(T)>2ⁿ. Seja

µ=

∞

X

n=1

1

2ⁿµ_n∈ M_T(X). A medidaµ pode ser escrita como

µ=

N

X

n=1

1 2ⁿµn+

∞

X

n=N+1

1 2ⁿµn=

N

X

n=1

1

2ⁿµn+ 1 2^Nν , com ν ∈ M_T(X). Logo

h_µ(T)≥

N

X

n=1

1

2ⁿh_µn(T)> N . Como N ´e qualquer, segue que h_µ(T) =∞.

Suponha que a fun¸c˜ao entropia seja semi-cont´ınua superiormente (i.e. quaisquer µ∈ M_T(X) e >0 existeδ >0 tal qued(µ,µ)˜ < δimplicah_µ˜(T)< h_µ(T) +, ou: seµ_n →µ ent˜ao lim sup_n→∞h_µn(T)≤h_µ(T)). Ent˜ao se µ_n ∈ M^max_T (X) eµ_n→µ∈ M_T(X) segue que

h(T) = lim sup

n→∞

h_µn(T)≤h_µ(T),

logo µ ∈ M^max_T (X). Al´em disso, M^max_T (X) ´e n˜ao-vazio porque fun¸c˜oes semi-cont´ınuas superiormente em compactos tˆem m´aximo.

Se T tem ´unica medida com entropia maximal ent˜ao diz-se que ´e intrinsecamente erg´odica.

E claro que se´ T ´e unicamente erg´odica ent˜ao ´e intrinsicamente erg´odica.

Por outro lado, se h(T) = ∞ e T ´e intrinsecamente erg´odica ent˜ao ´e unicamente erg´odica. Pois seja µ₀ a ´unica medida tal que h_µ0(T) = ∞. Se houvesse outra probabili-dade invarianteµ₁ ela teria que satisfazer h_µ1(T)<∞. Mas µ= ¹₂µ₀+¹₂µ₁ teria entropia h_µ(T) = ¹₂h_µ0(T) + ¹₂h_µ1(T) = ∞, contradi¸c˜ao.

Se T ´e intrinsicamente erg´odica ent˜ao a ´unica medida µ tal que h_µ(T) = h(T) ´e erg´odica. Isto segue imediatamente do par´agrafo anterior se h(T) = ∞. Se h(T) < ∞ isto segue do fato de que se M^max_T (X) ´e n˜ao-vazio ent˜ao deve conter pelo menos uma medida erg´odica.

Finalmente, observamos que se Ti :Xi →Xi ´e intrinsecamente erg´odica comµi unica´ medida de m´axima entropia,i= 1,2, eφ :X₁ →X₂´e bije¸c˜ao bimensur´avel tal queφT₁ = T₂φ ent˜ao h(T₁) = h(T₂), logo h_µ1(T₁) = h_µ2(T₂). Como tamb´em h_µ1◦φ⁻¹(T₂) = h_µ1(T₁) temos pela unicidade queµ◦φ⁻¹ =µ2. Isto mostra que φdeve ser um isomorfismo entre (X₁,B₁, µ₁) e (X₂,B₂, µ₂).

A medida de Parry SejaX = Σ_A eT =σ|Σ_A, onde A= (a_ij) ´e irredut´ıvel. J´a vimos que a entropia topol´ogica de T ´e igual a logλ, onde λ ´e o raio espectral de A (atingido por um auto-vetor positivo).

Veremos agora que existe uma medida de Markov cuja entropia vale logλ. De fato, ela ´e a ´unica medida cuja entropia iguala a entropia topol´ogica, de forma queT ´e intrin-sicamente erg´odica, mas demonstraremos esse fato apenas no caso em queA´e irredut´ıvel e aperi´odica, seguindo Ma˜n´e (ver Walters para ver a prova com a hip´otese de que A ´e apenas irredut´ıvel).

Essa medida ´e conhecida comomedida de Parry, e ´e dada explicitamente da seguinte forma. Como A ´e irredut´ıvel, o Teorema de Perron-Frobenius diz que existem (´unicos) vetores positivos u e v tal que uA = λA e Av = λv. Normalizados (sem perder a positividade), podemos supor que P

iu_iv_i = 1. Definimos ent˜aop_i =u_iv_i e p_ij = ^a_λv^ijvj

i . Em primeiro lugar, ´e preciso testar a coerˆencia da defini¸c˜ao. Para ver quep_ij ´e matriz estoc´astica precisamos mostrar que P

jp_ij = 1 para qualqueri. Mas X

j

p_ij =X

j

a_ijv_j λvi

= λv_i λvi

= 1 .

E preciso tamb´´ em testar a invariˆancia (`a esquerda) de p. Mas X

i

p_ip_ij =X

i

u_iv_ia_ijv_j

λv_i =λ⁻¹v_jX

i

u_ia_ij =u_jv_j =p_j .

Para calcular a entropia dessa medida, usamos a f´ormula h_µ(T) = −X

i,j

p_ip_ijlogp_ij =−X

i,j

u_iv_ia_ijv_j λv_i log

a_ijv_j λv_i

.

O logaritmo pode ser transformado na soma de quatro logaritmos. Como a_ij = 0 ou 1 ent˜aoa_ijloga_ij = 0. Al´em disso Av=λv e P

ip_i = 1 implicam X

i,j

u_ia_ijv_j

λ logλ= logλ .

As duas outras somas se cancelam, tamb´em pelas propriedades de autovetores de u e v.

Portantoh_µ(T) = logλ.

Agora suponhamos que A seja irredut´ıvel e aperi´odica. N˜ao ´e dif´ıcil ver que Aⁿ

λⁿ

converge a uma matriz Q. Para ver isto, escreva a forma de Jordan de A, J = SAS⁻¹. Como λ ´e autovalor simples (no sentido mais estrito poss´ıvel), seu bloco de Jordan ´e unidimensional. Al´em disso, os outros autovalores tˆem valor absoluto estritamente menor do queλ, assimλ⁻ⁿJⁿtende a uma matriz ˜Qde zeros exceto por uma entrada na diagonal igual a 1. A matriz Q´e dada por Q=S⁻¹QS. Al´˜ em disso, o tra¸co de Q´e igual a 1.

Outras propriedades s˜ao: (i) Q² =Q; (ii) AⁿQ=λⁿQ e (iii) QAⁿ =λⁿQ, para todo n >0.

Pode-se mostrar que todas as entradas de Q s˜ao n˜ao-nulas (de fato positivas). Se houvesse q_ij = 0 ter´ıamos, por (ii), P

la⁽ⁿ⁾_il q_lj =λⁿq_ij = 0. Tomando n tal que Aⁿ > 0, segue que toda a coluna j deve ser nula. Usando (iii) conclu´ımos que toda a linhaidever ser nula. Mas essas outras entradas nulas implicariam, pela mesma raz˜ao, que toda a matriz Q´e nula, o que ´e imposs´ıvel, j´a que seu tra¸co ´e igual a 1.

A igualdade AQ = λQ implica que as colunas de Q s˜ao autovetores `a direita n˜ao negativos de A, isto ´e, devem ser todas iguais a um m´ultiplo positivo de v, ou ainda, q_ij = d_jv_i. Da mesma forma, QA = λQ implica que as linhas de Q s˜ao m´ultiplos de u, ou ainda, q_ij = c_iu_j. Ent˜ao d_jv_i = c_iu_j, logo para todo j vale d_j = ^c_v¹

1u_j. Portanto q_ij = ^c_v¹

1v_iu_j. No entanto, como P

iq_ii= 1, segue que ^c_v¹

1 = 1 e q_ij =v_iu_j.

O n´umero de pontos peri´odicos de per´ıodo n, que denotaremos por ]Fix(Tⁿ), ´e dado pelo n´umero de seq¨uˆencias que come¸cam e terminam com o mesmo s´ımbolo. Para um s´ımbolo fixo i, o n´umero de seq¨uˆencias de tamanho n que come¸cam e terminam em i ´e exatamente a⁽ⁿ⁾_ii , de forma que

]Fix(Tⁿ) = trAⁿ.

A taxa exponencial de aumento do n´umero de pontos peri´odicos ´e dada pelo limite

n→∞lim 1

nlog]Fix(Tⁿ). Como limn→∞λ⁻ⁿtrAⁿ = 1 ent˜ao

n→∞lim 1

nlog]Fix(Tⁿ) = lim

n→∞

1

n logλ⁻ⁿtrAⁿ+ lim

n→∞

1

nlogλⁿ= logλ .

Em suma, assintoticamenteo n´umero de pontos peri´odicos de per´ıodonse comporta como λⁿ.

Outra afirma¸c˜ao importante ´e quea m´edia espacial da f pode ser avaliada apenas ti-rando a m´edia def entre os pontos peri´odicos. Mais especificamente, sejaL_k :C⁰(Σ_A)→ R definido por

Lk(f) = 1 ]Fix(T^k)

X{f(x);x∈Fix(T^k)}. Afirmamos que para toda fun¸c˜ao cont´ınua f vale

k→∞lim L_kf = Z

f dµ .

Mostraremos que a afirma¸c˜ao vale para as fun¸c˜oes caracter´ısticas de cilindros (que s˜ao cont´ınuas), e um argumento de aproxima¸c˜ao pode ser facilmente feito para mostrar que vale para qualquer fun¸c˜ao cont´ınua.

Seja B = C(l;i₀, . . . , i_l) e k > l. Ent˜ao L_kχ_B ´e a fra¸c˜ao do n´umero de pontos peri´odicos de per´ıodok em B, isto ´e,

L_kχ_B = a^(k−l)_i

li0

trA^k =λ^−l λ^k trA^k

a^(k−l)_i

li0

λ^k−l , que tende a λ^−lqi_li0.

Por outro lado, a integral deχ_B´e a medida deB, que ´e igual ap_i0p_i0i1. . . p_il−1il. Ent˜ao µ(B) =u_i0v_i0

a_i0i1v_i1 λv_i0

a_i1i2v_i2 λv_i1

· · ·

a_il−1ilv_il λv_il−1

.

Como B ´e um cilindro de Σ_A ent˜ao o produto dos a_ij’s ´e igual a 1. Segue que µ(B) =λ^−lu_i0v_il =λ^−lq_ili0 ,

a ´ultima igualdade seguindo de q_ij =v_iu_j.

No documento Revis˜ ao de Teoria da Medida (páginas 147-157)