Revis˜ ao de Teoria da Medida

Sum´ ario

1 Revis˜ao de Teoria da Medida 3

1.1 Espa¸cos de medida . . . 3

1.2 Algebras, semi-´´ algebras e parti¸c˜oes . . . 4

1.3 Extens˜ao . . . 10

1.4 Integra¸c˜ao . . . 15

1.5 Medidas absolutamente cont´ınuas . . . 17

1.6 Formas de volume . . . 17

1.7 Medidas regulares . . . 20

2 Transforma¸c˜oes que preservam medida 23 2.1 Defini¸c˜oes e motiva¸c˜ao . . . 23

2.2 Exemplos . . . 27

2.3 Isomorfismos . . . 51

2.4 Teorema da Recorrˆencia de Poincar´e . . . 55

2.4.1 O Teorema da Recorrˆencia de Poincar´e . . . 55

2.4.2 Recorrˆencia m´etrica . . . 56

2.5 O conjunto das medidas invariantes . . . 57

2.5.1 Transforma¸c˜ao sem medida invariante . . . 57

2.5.2 M´etrica em M(X) . . . 58

2.5.3 Compacidade de M(X) . . . 61

2.5.4 N˜ao-vacuidade de M_T(X) . . . 61

2.5.5 Gerando medidas invariantes . . . 62

3 O Teorema Erg´odico de Birkhoff 65 3.1 Vers˜ao simplificada do Teorema Erg´odico . . . 65

3.2 Teorema Erg´odico L^p de Von Neumann . . . 69 1

4 Ergodicidade 71

4.1 Ergodicidade . . . 71

4.2 Exemplos . . . 75

4.3 Ergodicidade em shifts de Markov . . . 79

4.4 Pontos extremais . . . 82

4.5 Ergodicidade ´unica . . . 84

4.6 O suporte . . . 89

4.7 Sobre a decomposi¸c˜ao erg´odica . . . 90

5 Mixing 93 5.1 Defini¸c˜oes . . . 93

5.2 Mixing em shifts de Markov . . . 98

5.3 Ergodicidade e mixing na forma funcional . . . 99

5.4 Propriedades espectrais . . . 103

6 Entropia 109 6.1 Entropia de uma parti¸c˜ao: defini¸c˜ao . . . 109

6.2 Entropia de uma transforma¸c˜ao . . . 110

6.3 Existˆencia do limite . . . 111

6.4 Propriedades . . . 114

6.4.1 Parti¸c˜oes e sub-σ-´algebras . . . 114

6.4.2 Entropia de uma parti¸c˜ao e entropia condicional: propriedades . . 114

6.4.3 Entropia de uma transforma¸c˜ao: propriedades . . . 117

6.4.4 Dependˆencia da medida . . . 121

6.5 M´etodos para calcular a entropia . . . 123

6.5.1 Fatos b´asicos . . . 123

6.5.2 Geradores . . . 125

6.5.3 Exemplos . . . 126

6.6 O Teorema de Shannon-McMillan-Breiman . . . 130

7 Entropia topol´ogica 135 7.1 Defini¸c˜oes . . . 135

7.1.1 Defini¸c˜ao original . . . 136

7.1.2 Defini¸c˜ao de Bowen . . . 138

7.2 Equivalˆencia das defini¸c˜oes . . . 141

7.3 Exemplos . . . 142

7.4 Princ´ıpio variacional . . . 147

Cap´ıtulo 1

Revis˜ ao de Teoria da Medida

Reuniremos os conceitos de Teoria da Medida necess´arios para o desenvolvimento da Teoria Erg´odica.

1.1 Espa¸ cos de medida

Uma medida ´e uma fun¸c˜ao dos subconjuntos (ou partes) de algum conjunto X, que associa “massas” a cada uma dessas partes. Evidentemente, uma medida deve satisfazer certas propriedades intuitivas que idealizamos para uma fun¸c˜ao “massa”.

A rigor, dificilmente uma medida se define no conjunto P(X) (ou 2^X) de todas as partes de X, porque isso j´a foi demonstrado n˜ao levar a propriedades interessantes, na maioria dos casos. Da´ı a necessidade de se definir classes de subconjuntos com proprie- dades m´ınimas que tornem vi´avel uma teoria.

Defini¸c˜ao 1.1. Seja X um conjunto qualquer. B ⊂ P(X) ´e uma σ-´algebra se 1. ∅ ∈ B

2. A∈ B implica A^c ∈ B

3. A_i ∈ B, ∀i= 1,2, . . ., implica ∪^∞_i=1A_i ∈ B

O par(X,B)´e chamado deespa¸co mensur´avel, enquanto um elementoB ∈ B´e referido como um conjunto mensur´avel.

Defini¸c˜ao 1.2. Uma medida em (X,B) ´e uma fun¸c˜ao µ:B → [0,∞] que ´e contavel- mente aditiva, isto ´e, se {B_i}i∈N for uma cole¸c˜ao dois a dois disjunta de elementos de

3

B ent˜ao

µ(

∞

[

i=1

B_i) =

∞

X

i=1

µ(B_i).

Em particular, se houver um elemento B de medida finita, ent˜ao µ(B) =µ(B ∪ ∅) =µ(B)∪µ(∅),

logo µ(∅) = 0. ´E claro que esse ser´a sempre o caso, sen˜ao n˜ao h´a muito interesse na medida.

Se a medida tiver imagem em [0,∞) ent˜ao diz-se que ela ´efinita. Se for finita, pode ser normalizada para queµ(X) = 1, e neste caso ´e chamada de medida de probabilidade, ou simplesmente de probabilidade.

A tripla (X,B, µ) ´e chamada de espa¸co de medida, ou de espa¸co de probabili- dade, se µ(X) = 1.

1.2 Algebras, semi-´ ´ algebras e parti¸ c˜ oes

O processo de defini¸c˜ao (ou identifica¸c˜ao) de uma medida ´e facilitado da seguinte forma:

define-se a medida para certos subconjuntos daσ-´algebra e depois estende-se a medida a toda ela. Algumas observa¸c˜oes e defini¸c˜oes se fazem necess´arias.

Em primeiro lugar, uma fun¸c˜ao pode ser simplesmente finitamente aditiva em seu dom´ınio, formado por subconjuntos de X (desde que a uni˜ao dos subconjuntos conside- rado tamb´em esteja no dom´ınio da fun¸c˜ao).

Em segundo lugar, observamos que P(X) ´e uma σ-´algebra. Al´em disso, ´e f´acil ver que a interse¸c˜ao de duas σ-´algebras ´e uma σ-´algebra. Isto define uma ordem parcial nas σ-´algebras, e faz sentido definir a menor σ-´algebra que cont´em um subconjunto S de P(X). Ela ´e chamada a σ-´algebra gerada por S, e denotada por B(S).

N˜ao ´e necess´ario, no entanto, que as subclasses consideradas sejam sempreσ-´algebras.

Definiremos os conceitos de semi-´algebra e ´algebra, que acabam por ser muito ´uteis no exame de casos concretos e na prova de teoremas.

Defini¸c˜ao 1.3. S ⊂ P(X) ´e uma semi-´algebra se: (i) ∅ ∈ S, (ii) A, B ∈ S implica A∩B ∈ S; (iii) seA∈ S ent˜aoA^c ´e uma uni˜ao finita de elementos dois a dois disjuntos de S.

O conjunto X pode n˜ao ser um elemento da semi-´algebra, mas certamente ser´a uma uni˜ao finita de elementos dois a dois disjuntos da semi-´algebra.

Defini¸c˜ao 1.4. A ⊂ P(X) ´e uma ´algebra se: (i) ∅ ∈ A, (ii) A, B ∈ A implica A∩B ∈ A; (iii) se A∈ A ent˜ao A^c ∈ A.

Uma ´algebra ´e uma semi-´algebra, de maneira ´obvia. A diferen¸ca ´e que na primeira o complementar de um conjunto da ´algebra est´a na ´algebra, enquanto que na segunda o complementar de um conjunto da semi-´algebra ´e apenas uma uni˜ao finita de elementos da semi-´algebra.

Sejam A, B ∈ A. Temos A∪B = (A^c ∩B^c)^c, logo A∪B ∈ A. Segue que uni˜oes finitas de elementos da ´algebra pertencem `a ´algebra. Por outro lado, fazendo o mesmo racioc´ınio, podemos substituir o item (ii) da defini¸c˜ao de ´algebra por (ii’): se A, B ∈ A ent˜aoA∪B ∈ A(assim como uni˜oes finitas de elementos da ´algebra est˜ao na ´algebra).Em particular, toda σ-´algebra ´e uma ´algebra, a ´unica diferen¸ca ´e que na primeira se permite tomar uni˜oes enumer´aveis e na segunda apenas uni˜oes finitas.

Por outro lado, uma ´algebra ser´a sempre uma σ-´algebra se for finita.

A interse¸c˜ao de duas ´algebras ´e uma ´algebra. Chamamos de A(S) a ´algebra gerada pela semi-´algebraS (a interse¸c˜ao de todas as ´algebras que contˆem a semi-´algebra S).

O seguinte Teorema explicita melhor o que ´e a ´algebra gerada por uma semi-´algebra.

Teorema 1.5. A ´algebra A(S)consiste exatamente de todos as uni˜oes finitas de elemen- tos dois a dois disjuntos de S.

Demonstra¸c˜ao. Seja C o conjunto de todas as uni˜oes finitas de elementos dois a dois disjuntos de S. Isto ´e, se C ∈ C ent˜ao C =Sn

i=1E_i, comE_i ∈ S eE_i∩E_j =∅ se i6=j. Primeiro observamos que C ⊂ A(S). A(S) certamente cont´em S (por defini¸c˜ao) e, por ser ´algebra, ´e fechado pela uni˜ao (finita). Ent˜ao um elemento C como o descrito acima tem que pertencer a A(S).

Como A(S) ´e a menor ´algebra que cont´em S e como S ⊂ C, basta mostrarmos que C

´

e uma ´algebra para conclu´ırmos queC =A(S).

Seja C ∈ C. Queremos mostrar que o complementar de C est´a em C, isto ´e, ´e uma uni˜ao disjunta finita de elementos de S. Mas se C =Sn

i=1E_i ent˜aoX\C =Tn

i=1X\E_i. Por´em E_i ∈ S implica que X\E_i ´e uma uni˜ao finita e disjunta de elementos de S:

X\E_i =

mi

[

j=1

D_ij ,

de forma que

X\C =

n

\

i=1 mi

[

j=1

D_ij .

Este conjunto, por´em, ´e uma uni˜ao de conjuntos da forma D_1j1 ∩D_2j2 ∩. . .∩D_njn ,

pois os D_ij’s s˜ao disjuntos para i fixo. Cada um deles ´e um elemento de S, pois S ´e fechada por interse¸c˜oes finitas. Al´em disso, s˜ao todos disjuntos entre si, mostrando que X\C est´a em C.

Da mesma forma, ´e f´acil mostrar que a interse¸c˜ao de dois conjuntos deC tamb´em est´a em C. (EXERC´ICIO)

J´a a descri¸c˜ao de umaσ-´algebra gerada por uma ´algebra ´e melhor compreendida com o conceito de classe mon´otona.

Defini¸c˜ao 1.6. Uma cole¸c˜aoM de subconjuntos deX ´e dita ser umaclasse mon´otona se: (i) S∞

i=1E_i pertence a M sempre que a seq¨uˆencia dos E_i’s for crescente; (ii) T∞ i=1E_i pertence a M sempre que a seq¨uˆencia dos Ei’s for decrescente.

A interse¸c˜ao de duas classes mon´otonas ´e uma classe mon´otona, de forma que podemos falar na classe mon´otona gerada por uma classe qualquer.

Teorema 1.7. A σ-´algebra e a classe mon´otona geradas por uma ´algebra coincidem.

Demonstra¸c˜ao. Sejam A ´algebra, B = B(A) a σ-´algebra gerada por A e M= M(A) a classe mon´otona gerada por A.

Uma σ-´algebra ´e sempre uma classe mon´otona, pois cont´em todas as suas uni˜oes e interse¸c˜oes enumer´aveis (em particular as mon´otonas). Logo B ⊃ M.

Por outro lado, n˜ao necessariamente uma classe mon´otona ´e uma σ-´algebra. No entanto, se soubermos que a classe mon´otona M ´e uma ´algebra ent˜ao saberemos que

´

e tamb´em uma σ-´algebra. Para ver isso, basta mostrar que o fechamento por uni˜oes finitas implica o fechamento por uni˜oes infinitas. Ora, seE_i ∈ M eMfor ´algebra, ent˜ao F_n =Sn

i=1E_i pertencer´a aM. A seq¨uˆencia{F_n}´e mon´otona, logoS∞

n=1F_n pertencer´a a M. Por outro lado,S∞

n=1F_n´e igual aS∞

i=1E_i, de forma que esta uni˜ao pertencer´a a M.

Para mostrar que M´e uma ´algebra, introduzimos a classe L(F) ={E ∈ P(X);E\F, F \E, E∪F ∈ M}, definida para qualquer F ⊂X.

Observe que se para todoE ∈ M valerM ⊂ L(E), ent˜ao para todo par de conjuntos E, F ∈ Mvaler´a queE\F,F\E eE∪F pertencem aM, implicando queM´e ´algebra.

Pela simples manipula¸c˜ao de conjuntos, ´e f´acil ver que se L(F) ´e n˜ao vazio ent˜ao ´e uma classe mon´otona. No caso em que F ∈ A, ´e imediato ver que L(F) cont´em A,

portanto cont´em a classe mon´otonaM gerada por A. Em outras palavras, se E ∈ M e F ∈ A ent˜aoE ∈ L(F).

Por´em pela simetria da defini¸c˜ao, seE ∈ L(F) ent˜aoF ∈ L(E). Podemos dizer ent˜ao que para quaisquer F ∈ A e E ∈ Mvale F ∈ L(E). Logo L(E) ´e uma classe mon´otona que cont´em A, para todoE ∈ M, e conseq¨uentementeL(E) ´e uma classe mon´otona que cont´em M, para qualquerE ∈ M, mostrando o que quer´ıamos.

Vejamos alguns poucos exemplos, aos quais retornaremos adiante para ilustrar espa¸cos de medida. Olharemos para aqueles que nos ser˜ao ´uteis nos exemplos relevantes. Outros exemplos podem ser encontrados nos livros de Teoria da Medida. Falaremos mais das semi-´algebras, sendo evidente o que s˜ao as ´algebras geradas por elas, a partir do Teorema acima. Quanto `asσ-´algebras, ficam um pouco mais dif´ıceis de serem caracterizadas. No entanto, em todos os exemplos do curso adotaremos as σ-´algebras geradas pelas semi-

´

algebras mencionadas abaixo.

Reta real TomemosX =R, e consideremos os subconjuntos da forma (a, b] (coma≤b;

se a =b ent˜ao (a, b] =∅), juntamente com os subconjuntos da forma (a,∞) e (−∞, b].

Essa classe de subconjuntos ´e uma semi-´algebra, `a qual chamaremos desemi-´algebra dos intervalos semi-abertos da reta.

Uma semi-´algebra maior, por exemplo, ´e o conjunto de todos os intervalos da reta, abertos, fechados ou semi-abertos, incluindo os casos degenerados (pontos ou o conjunto vazio).

Pode-se tomar tamb´em X = [0,1] e definir a semi-´algebra dos intervalos de [0,1].

(EXERC´ICIO: as σ-´algebras geradas por essas semi-´algebras contˆem os abertos?)

Espa¸co real de dimens˜ao n Para X = Rⁿ, escolhe-se uma semi-´algebra S em R e toma-se a cole¸c˜ao de conjuntos da forma

C₁ ×C₂×. . .×C_n ,

comC_j ∈ S,j = 1, . . . , n. Esses conjuntos s˜ao chamados de retˆangulos. (EXERC´ICIO:

´

e realmente semi-´algebra?)

Seq¨uˆencias com um n´umero finito de s´ımbolos SejaX ={0,1, . . . , d−1}^Z (resp.

X = {0,1, . . . , d −1}^N). Denotaremos X por Σ_d (resp. Σ⁺_d). Um elemento de X ´e denotado por x = (. . . x−2x−1x₀x₁x₂. . .) (resp. por x = (x₀x₁x₂. . .)). Considere agora os cilindros ouretˆangulos

C(n;y−n. . . y−1y0y1. . . yn) =

{x∈Σ_d ; x−n =y−n, . . . , x−1 =y−1, x₀ =y₀, x₁ =y₁, . . . , x_n =y_n}

(resp. C(n;y₀. . . y_n)). O conjunto dos cilindros ´e uma semi-´algebra (EXERC´ICIO).

Outro tipo de elemento, cuja defini¸c˜ao inclui a dos cilindros, ´e o bloco, que ´e um conjunto da forma

j[y_j. . . y_l]_l={x; x_j =y_j, . . . , x_l =y_l}.

Os blocos n˜ao formam uma semi-´algebra (EXERC´ICIO), mas est˜ao na ´algebra gerada pela semi-´algebra dos cilindros (EXERC´ICIO).

Espa¸cos m´etricos Seja X um espa¸co m´etrico. O conjunto de todos os abertos de X n˜ao ´e necessariamente uma semi-´algebra, pois o complementar de um aberto n˜ao tem que ser uma uni˜ao finita de abertos (basta pensar na reta real). Tomar a cole¸c˜ao de abertos e fechados resolveria o problema do complementar, mas n˜ao da interse¸c˜ao entre dois conjuntos: a interse¸c˜ao de dois abertos ´e aberta, a interse¸c˜ao de dois fechados ´e fechada, mas a interse¸c˜ao de um aberto e um fechado n˜ao ´e necessariamente nem uma coisa nem outra.

A σ-´algebra de Borel(ou dos boreleanos) de X ´e a menor σ-´algebra que cont´em os abertos de X. Em geral, ´e aσ-´algebra adotada quando se fala em espa¸cos m´etricos.

Nos dois primeiros exemplos, a semi-´algebra mencionada gera a σ-´algebra de Borel.

No terceiro tamb´em podemos definir uma m´etrica. Seja X = Σ⁺_d e seja ρ(x, y) =

∞

X

i=0

|x_i−y_i| (d+ 1)ⁱ .

N˜ao ´e dif´ıcil ver que ρ´e uma m´etrica. Vale tamb´em que ρ(x, y)< _(d+1)¹ n se e somente se x₀ =y₀, x₁ =y₁, . . .,x_n =y_n. (EXERC´ICIO) (EXERC´ICIO: tente definir uma m´etrica com propriedade semelhante em Σ_d)

Observe que todo aberto de Rⁿ pode ser escrito como uma uni˜ao enumer´avel de retˆangulos (tome retˆangulos centrados em racionais com lados de tamanhos racionais).

Isto significa que todo aberto est´a contido na σ-´algebra gerada pela semi-´algebra dos retˆangulos. Por sua vez, isto implica que a σ-´algebra gerada pelos retˆangulos no m´ınimo cont´em a σ-´algebra de Borel de Rⁿ. Por outro lado, n˜ao ´e dif´ıcil mostrar que todo retˆangulo est´a contido na σ-´algebra de Borel deRⁿ, da´ı que a σ-´algebra de Borel cont´em a σ-´algebra gerada pelos retˆangulos.

No caso de Σ_de Σ⁺_d, os cilindros s˜ao bolas abertas, e todo aberto de um espa¸co m´etrico pode ser escrito como uma reuni˜ao de bolas abertas. No entanto s´o h´a uma quantidade enumer´avel de cilindros, implicando que todo aberto ´e uma reuni˜ao enumer´avel de cilin- dros. Ent˜ao os abertos est˜ao contidos na σ-´algebra gerada pelos cilindros. Ao mesmo tempo os cilindros s˜ao abertos, portanto a σ-´algebra de Borel coincide com a σ-´algebra gerada pelos cilindros.

Espa¸cos topol´ogicos Evidentemente a defini¸c˜ao de σ-´algebra de Borel se aplica para espa¸cos topol´ogicos (´e que na maioria das vezes os espa¸cos topol´ogicos tamb´em ser˜ao m´etricos). Exemplos s˜ao os grupos topol´ogicos e os grupos de Lie.

Um grupo topol´ogico ´e um espa¸co topol´ogico de Hausdorff G que tamb´em ´e um grupo, isto ´e, existe uma opera¸c˜ao de grupo

·:G×G−→G

que leva (x, y) em x·y, cont´ınua, e tal que a fun¸c˜aox7→x⁻¹ tamb´em ´e cont´ınua.

Um grupo de Lie´e uma variedade C^∞ tamb´em com uma estrutura de grupo, onde a composi¸c˜ao ´e uma opera¸c˜ao infinitamente diferenci´avel em G×G(que x7→x⁻¹ ´e C^∞ sai como conseq¨uˆencia).

Exemplos de grupos de Lie s˜ao

1. S¹ ={z ∈C;|z|= 1}, com a opera¸c˜ao induzida pelo produto em C. 2. Tⁿ= (S¹)ⁿ, com a opera¸c˜ao produto, isto ´e,

(z1, z2, . . . , zn)·(w1, w2, . . . , wn) = (z1w1, . . . , znwn). 3. GL(n), o conjunto dos isomorfismos lineares de Rⁿ.

4. SL(n) ={A ∈GL(n) ; det(A) = 1}.

5. O(n) = {A∈GL(n) ; AA^T =Id}.

6. SO(n) ={A ∈GL(n) ; AA^T =Id,det(A) = 1}.

7. Rⁿ ou Cⁿ, com a opera¸c˜ao de adi¸c˜ao.

8. {x∈R;x >0}, com a opera¸c˜ao de multiplica¸c˜ao.

9. C\ {0}, com a opera¸c˜ao de multiplica¸c˜ao.

10. Qualquer produto cartesiano de grupos de Lie, com a opera¸c˜ao induzida.

N˜ao usaremos t˜ao cedo o conceito de parti¸c˜ao, mas ´e interessante introduzir o assunto, uma vez que fornece mais exemplos de semi-´algebras e ´algebras.

Seja (X,B) espa¸co mensur´avel. Uma parti¸c˜ao ξ de X ´e uma cole¸c˜ao de conjuntos mensur´aveis dois a dois disjuntos cuja uni˜ao ´e X. Falaremos em geral de parti¸c˜oes finitas.

Observe que uma parti¸c˜ao finita n˜ao ´e uma semi-´algebra, mas passa a ser se for acrescida do conjunto vazio.

Portanto, se tomarmos todas as uni˜oes poss´ıveis de elementos de uma parti¸c˜ao finita, formaremos uma ´algebra finita (portanto tamb´em uma σ-´algebra) contida em B, isto ´e, uma sub-σ-´algebra finita de B.

Por outro lado, suponha que A = {A₁, . . . , A_k} seja uma sub-σ-´algebra finita de B.

Para cada x ∈ X podemos decidir se x ∈ A_j ou x ∈ X \ A_j, e associar um c´odigo (i₁, . . . , i_k), onde i_j = 0 se x∈ A_j e i_j = 1 caso contr´ario. O ponto x est´a na interse¸c˜ao dos A_j’s ou seus complementares, dependendo dos i_j’s. H´a 2^k conjuntos desses, alguns possivelmente vazios. Eles cobremX e s˜ao dois a dois disjuntos, formando portanto uma parti¸c˜ao (pode-se excluir o conjunto vazio).

Portanto h´a uma associa¸c˜ao biun´ıvoca entre parti¸c˜oes finitas e sub-σ-´algebras finitas deB.

Quando discutirmos o conceito de entropia falaremos um pouco mais sobre parti¸c˜oes.

1.3 Extens˜ ao

J´a definimos uma medida como uma fun¸c˜ao contavelmente aditiva numaσ-´algebra. Con- sideremos agora fun¸c˜oes τ definidas em semi-´algebras, ´algebras e σ-´algebras, e como elas se estendem de uma para outra. Isso nos permitir´a definir medidas com mais facilidade.

Teorema 1.8. Se τ : S → [0,∞) ´e finitamente aditiva ent˜ao se estende unicamente a τ₁ :A(S) →[0,∞), com τ₁ finitamente aditiva. Se τ for contavelmente aditiva ent˜ao τ₁ tamb´em ser´a.

Demonstra¸c˜ao. Se A for um conjunto de A(S), ent˜ao A = Sn

k=1E_k, onde os E_k’s s˜ao conjuntos dois a dois disjuntos de S. A fun¸c˜ao τ₁ ´e definida como

τ₁(A) =

n

X

k=1

τ(E_k).

No entanto, para mostrar que τ1 est´a bem definida, ´e preciso verificar que τ1(A) n˜ao depende da decomposi¸c˜ao deA. Ent˜ao suponha que

A=

n

[

k=1

E_k =

m

[

j=1

F_j ,

onde osF_j’s s˜ao conjuntos dois a dois disjuntos deS. Defina os conjuntosH_kj =E_k∩F_j, que pertencem aS porqueS ´e semi-´algebra. Al´em disso, os conjuntosH_kj s˜ao dois a dois

disjuntos. Temos ainda que

E_k=

m

[

j=1

H_kj , F_j =

n

[

k=1

H_kj .

Como τ ´e aditiva em S (desde que a uni˜ao perten¸ca aS), temos τ(E_k) =

m

X

j=1

τ(H_kj), τ(F_j) =

n

X

k=1

τ(H_kj). Logo

n

X

k=1

τ(Ek) =

n

X

k=1 m

X

j=1

τ(Hkj) =

m

X

j=1 n

X

k=1

τ(Hkj) =

m

X

j=1

τ(Fj).

O segundo passo ´e mostrar que τ₁ ´e finitamente aditiva em A(S). Se A, B s˜ao con- juntos disjuntos de A(S) ent˜aoA=Pn

k=1E_k eB =Pm

j=1F_j, como acima. ComoA eB s˜ao disjuntos, a cole¸c˜ao conjunta dos Ek’s e Fj’s ´e dois a dois disjunta, e forma A∪B.

Portanto

τ₁(A∪B) =

n

X

k=1

τ(E_k) +

m

X

j=1

τ(F_j) =τ₁(A) +τ₁(B).

O terceiro passo ´e mostrar a unicidade. Suponha queχseja uma extens˜ao finitamente aditiva de τ. Se A ∈ A(S), ent˜ao A = Sn

k=1E_k, portanto χ(A) = Pn

k=1χ(E_k) = Pn

k=1τ(E_k) = τ₁(A), onde a igualdade do meio decorre do fato de χ e τ serem ambas extens˜oes.

Finalmente, devemos mostrar que se τ ´e contavelmente aditiva ent˜ao o mesmo vale para τ₁. Seja E =S∞

k=1E_k ∈ A(S), onde os E_k’s s˜ao elementos dois a dois disjuntos de A(S). Ao mesmo tempo,E pode ser escrito como uma uni˜ao disjunta finita de elementos deS: E =Sn

r=1A_r. O mesmo vale para cadaE_k: E_k=Snk

i=1B_ki.

Os conjuntos D_rki =A_r∩B_ki pertencem a S, pois s˜ao interse¸c˜oes de dois elementos deS. Para cadak temos

τ₁(E_k) =

nk

X

i=1

τ(B_ki) =

nk

X

i=1 n

X

r=1

τ(D_rki),

pois cada B_ki ´e a uni˜ao disjunta dos D_rki, com r = 1, . . . , n. A ordem das somas pode ser trocada (s˜ao finitas), de forma que, somando em k, temos

∞

X

k=1

τ₁(E_k) =

∞

X

k=1 n

X

r=1 nk

X

i=1

τ(D_rki).

Como os termos s˜ao todos positivos, a ordem de soma na s´erie n˜ao importa, portanto

∞

X

k=1

τ1(Ek) =

n

X

r=1

∞

X

k=1 nk

X

i=1

τ(Drki). Observe agora queS∞

k=1

Snk

i=1D_rki´e uma decomposi¸c˜ao deA_r ∈ S em infinitos conjuntos disjuntos de S. Como estamos supondo que τ ´e contavelmente aditiva, as duas ´ultimas somas resultam emτ(A_r). Logo

∞

X

k=1

τ₁(E_k) =

n

X

r=1

τ(A_r) = τ₁(E).

O pr´oximo Teorema fala de extens˜ao da ´algebra para a σ-´algebra, mas requer um argumento mais intrincado em sua demonstra¸c˜ao, do qual exibimos apenas um esbo¸co.

Para mais detalhes, ver [Taylor].

Teorema 1.9. Se τ₁ : A → [0,∞) ´e contavelmente aditiva e τ₁(X) = 1 ent˜ao τ₁ se estende unicamente a uma medida de probabilidade τ₂ :B(A)→[0,∞).

Roteiro da demonstra¸c˜ao. O primeiro passo para a demonstra¸c˜ao desse Teorema ´e a de- fini¸c˜ao de medida exterior. Uma medida exterior ´e uma fun¸c˜ao µ^∗ : P(X) → [0,∞]

com as seguintes propriedades: (i) µ^∗(∅) = 0; (ii) µ^∗ ´e mon´otona, isto ´e, E ⊂ F im- plica µ^∗(E) ≤ µ^∗(F); (iii) µ^∗ ´e contavelmente subaditiva, isto ´e, se E ⊂ S∞

i=1Ei ent˜ao µ(E)≤P∞

i=1µ(E_i).

Diremos que um subconjunto E de X ´e mensur´avel com respeito a µ^∗ se para todoA ⊂X vale

µ^∗(A) = µ^∗(A∩E) +µ^∗(A\E),

isto ´e, E n˜ao ‘quebra’ nenhum conjunto A em dois subconjuntos nos quais µ^∗ n˜ao ´e aditiva.

Pode-se demonstrar que se µ^∗ ´e uma medida exterior e M ´e a classe dos conjuntos mensur´aveis com respeito a µ^∗ ent˜ao M´e σ-´algebra e a restri¸c˜ao de µ^∗ a Mdefine uma medida em M.

Dada τ₁ :A → [0,∞) contavelmente aditiva, definimos uma fun¸c˜ao µ^∗ dada por µ^∗(E) = inf

∞

X

i=1

τ₁(F_i),

onde o ´ınfimo ´e tomado sobre todas as seq¨uˆencias{F_i} ⊂ Atais queE ⊂S∞

i=1F_i (sempre existe uma, pois X ∈ A).

O passo seguinte ´e mostrar que µ^∗ ´e realmente uma medida exterior. Em seguida, mostrar que a classe Mdos conjuntos mensur´aveis com respeito a µ^∗ cont´em A. Como M´e σ-´algebra, isso implicar´a que Mcont´em B(A).

Como µ^∗|M ´e medida, ent˜ao µ ≡ µ^∗|B(A) tamb´em ´e. Finalmente, mostra-se que µ coincide comτ₁ em A.

Para mostrar a unicidade, sejam µ₁ e µ₂ duas extens˜oes de τ₁ para B(A). Considere I a subclasse de B(A) onde µ₁ e µ₂ coincidem. Essa subclasse ´e uma classe mon´otona (ver Corol´ario 1.13 abaixo) que cont´em A, logo I =B(A).

Pode ser dif´ıcil checar que uma fun¸c˜ao ´e contavelmente aditiva numa ´algebra. O resultado abaixo pode ajudar.

Teorema 1.10. A ´algebra,τ₁ :A →[0,∞) finitamente aditiva, com τ₁(X) = 1. Se para toda seq¨uˆencia decrescente F1 ⊃F2 ⊃ · · · de membros deA com interse¸c˜ao vazia se tem τ₁(F_n)→0 ent˜ao τ₁ ´e contavelmente aditiva.

Demonstra¸c˜ao. SejaE ∈ AcomE =S∞

i=1E_i, onde osE_i’s formam uma cole¸c˜ao disjunta de elementos deA. Os conjuntos

F_n=E\

n

[

i=1

E_i pertencem a A, e T∞

n=1F_n = ∅. Por hip´otese, τ₁(F_n) → 0 quando n → ∞. Por outro lado,

τ₁(E) =

n

X

i=1

τ₁(E_i) +τ₁(F_n), pela aditividade (finita) de τ₁, de maneira que

τ₁(E) = lim

n→∞

n

X

i=1

τ₁(E_i) =

∞

X

i=1

τ₁(E_i).

O Teorema acima resvala na no¸c˜ao de continuidade de uma medida.

Defini¸c˜ao 1.11. Uma medida µ : B → [0,∞] ´e cont´ınua por baixo se para toda seq¨uˆencia crescente {E_i} ⊂ B tal que S∞

i=1E_i = E vale lim_n→∞µ(E_i) = µ(E). Ela ´e cont´ınua por cima se para toda seq¨uˆencia decrescente {E_i} ⊂ B tal que T∞

i=1E_i =E vale limn→∞µ(E_i) =µ(E). Ela ´e cont´ınua se ´e cont´ınua por baixo e por cima.

Teorema 1.12. Se µ´e finita ent˜ao ´e cont´ınua.

Demonstra¸c˜ao. Seja E ∈ B e E₁ ⊂ E₂ ⊂ . . . seq¨uˆencia crescente em B cujo limite ´e E.

Ent˜aoE pode ser escrito como uma uni˜ao disjunta:

E =E1∪

∞

[

i=1

(Ei+1\Ei). Portanto

µ(E) =µ(E₁) +

∞

X

i=1

µ(E_i+1−E_i) =µ(E₁) + lim

N→∞

N

X

i=1

µ(E_i+1)\µ(E_i) = lim

N→∞µ(E_N). Isso mostra que µ´e cont´ınua por baixo em E.

A finitude da medida deE foi admitida na segunda passagem, mas o mesmo resultado vale se µ(E) =∞, portanto nessa demonstra¸c˜ao n˜ao ´e necess´ario admitir que µ´e finita.

J´a para mostrar que ´e cont´ınua por cima em E basta passar ao complementar, mas a´ı ´e preciso usar a finitude.

O Corol´ario abaixo foi usado na demonstra¸c˜ao da unicidade da extens˜ao, no Teo- rema 1.9.

Corol´ario 1.13. Sejam µ₁ e µ₂ medidas finitas definidas em B e seja I a subclasse de B definida por

I ={E ∈ B;µ₁(E) =µ₂(E)}. Ent˜ao I ´e uma classe mon´otona.

Demonstra¸c˜ao. SeE ´e o limite de uma seq¨uˆencia mon´otona emI ent˜aoµ1(E) =µ2(E), pois pelo Teorema acima ambas as medidas s˜ao cont´ınuas. Segue que E ∈ I.

Finalmente, um teorema de “aproxima¸c˜ao”, bastante ´util em demonstra¸c˜oes. Do ponto de vista de medida, pode-se dizer que as ´algebras s˜ao “densas” na σ-´algebra que geram.

Teorema 1.14. (X,B, µ) espa¸co de probabilidade, A uma ´algebra tal que B(A) = B.

Ent˜ao para cada >0 e B ∈ B existe A∈ A tal que µ(A4B)< .

Demonstra¸c˜ao. Usaremos o fato obtido na demonstra¸c˜ao do Teorema 1.9 de que µ(B) = inf{X

i

µ(E_i);B ⊂[

i

E_i, E_i ∈ A,∀i}.

Isto implica que existe uma seq¨uˆencia disjunta {E_i} ⊂ A tal que B ⊂S∞ i=1E_i e µ(B) +

2 >

∞

X

i=1

µ(Ei). Agora escolha n tal que

∞

X

i=n+1

µ(E_i)<

2 e tome A=Sn

i=1E_i ∈ A.

Como A\B ⊂S∞

i=1E_i\B, ent˜ao µ(A\B)≤µ(

∞

[

i=1

E_i)−µ(B)<

2 . Por outro lado, B\A⊂S∞

i=1E_i\Sn

i=1E_i, logo, pela escolha de n, µ(B \A)< ₂. A desigualdade µ(A4B)< implica, em particular, em |µ(A)−µ(B)|< .

1.4 Integra¸ c˜ ao

Defini¸c˜ao 1.15. Seja (X,B) espa¸co mensur´avel. Diz-se que f :X →R ´e mensur´avel se para todo boreleano B de R valer f⁻¹(B)∈ B.

A mensurabilidade pode ser testada com conjuntos da forma B = (c,∞), pois eles geram a σ-´algebra dos boreleanos de R. Se X for espa¸co topol´ogico e B for a σ-´algebra de Borel deX ent˜ao qualquer fun¸c˜ao cont´ınua ser´a mensur´avel.

Denotaremos por χ_A a fun¸c˜ao caracter´ıstica de A: χ_A(x) = 1 se x ∈ A e χ_A(x) = 0 caso contr´ario.

Defini¸c˜ao 1.16. Seja(X,B, µ)espa¸co de probabilidade. Diz-se quef :X →R´esimples se

f =

n

X

i=1

a_iχ_Ai , onde os A_i’s s˜ao elementos dois a dois disjuntos de B.

A integral de uma fun¸c˜ao simples f =Pn

i=1a_iχ_Ai ´e dada por Z

f dµ=

n

X

i=1

aiµ(Ai)

E f´´ acil ver quequalquer fun¸c˜ao mensur´avel n˜ao-negativapode ser aproximada, por baixo e monotonamente, por uma seq¨uˆencia de fun¸c˜oes simples. A integral def´e definida como sendo o limite das integrais das fun¸c˜oes simples (provando-se que independe da seq¨uˆencia escolhida). Diz-se que f ´e integr´avel seR

f dµ <∞.

Para fun¸c˜oes reais basta decomporf =f₊−f− e dizer que f ´e integr´avel sef₊ e f−

forem integr´aveis. A fun¸c˜ao f ser´a integr´avel se e somente se|f| for integr´avel.

Teorema 1.17 (da Convergˆencia Mon´otona). Seja seq¨uˆencia {f₁ ≤ f₂ ≤ . . .}

de fun¸c˜oes reais integr´aveis em (X,B, µ). Se {R

f_ndµ} for seq¨uˆencia limitada ent˜ao limn→∞f_n existe em quase todo ponto e R

(limf_n)dµ = limR

f_ndµ. Se a seq¨uˆencia n˜ao for limitada ent˜ao ou limf_n n˜ao existe num conjunto de medida positiva oulimf_n existe num conjunto de medida total mas n˜ao ´e integr´avel.

Teorema 1.18 (Lema de Fatou). Seja {f_n}_n seq¨uˆencia de fun¸c˜oes reais mensur´aveis, limitadas inferiormente por uma fun¸c˜ao integr´avel. Selim inf_nR

f_ndµ < ∞ent˜aolim inf_nf_n

´

e integr´avel e

Z

(lim inf

n f_n)dµ≤lim inf

n

Z

f_ndµ .

Um exemplo que ilustra um pouco esse Teorema e mostra que n˜ao precisa haver igualdade ´e dado pelas fun¸c˜oesf_n: [0,1]→R com

fn(x) =







n²x , 0≤x≤ _n¹ 2n−n²x , _n¹ ≤x≤ _n² 0 , _n² ≤x≤1

,

onde as integrais s˜ao sempre iguais a 1, as fun¸c˜oes s˜ao limitadas inferiormente por qual- quer fun¸c˜ao integr´avel n˜ao-positiva, e a fun¸c˜ao limite ´e a fun¸c˜ao nula (embora este exem- plo seja incompleto, pois n˜ao ´e preciso que exista o limite das fun¸c˜oes para que o Teorema seja verdadeiro).

O seguinte teorema ´e corol´ario do anterior.

Teorema 1.19 (da Convergˆencia Dominada). Se g ´e integr´avel e {f_n}_n ´e seq¨uˆencia de fun¸c˜oes mensur´aveis com |fn| ≤ g q.t.p. e limfn = f q.t.p. ent˜ao f ´e integr´avel e limR

f_ndµ=R f dµ.

1.5 Medidas absolutamente cont´ınuas

Seja (X,B) espa¸co mensur´avel, eµ, ν medidas de probabilidade. A medida ν ´e absolu- tamente cont´ınua com rela¸c˜ao a µ(ν << µ) seν(A) = 0 sempre que µ(A) = 0. As medidas s˜ao equivalentes se µ << ν e ν << µ.

Teorema 1.20 (Teorema de Radon-Nikodym). Se ν, µ s˜ao probabilidades, ν << µ

´

e equivalente a existir f ∈ L¹(µ) (isto ´e, integr´avel), n˜ao-negativa e com R

f dµ = 1 tal que ν(A) =R

Af dµ. A fun¸c˜ao f ´e ´unica q.t.p.

Nota¸c˜ao: f ´e a derivada de ν com respeito a µ e ´e denotada por dν/dµ.

As probabilidades ν eµ s˜ao ditas mutuamente singulares (ν ⊥µ) se existe B ∈ B tal que ν(B) = 0 e µ(B^c) = 0.

Teorema 1.21. Como acima, sejam ν, µ medidas de probabilidade. Ent˜ao existe ´unica decomposi¸c˜ao ν =pµ₁+ (1−p)µ₂, com µ₁ << µ e µ₂ ⊥µ.

1.6 Formas de volume

O determinante´e uma aplica¸c˜ao det : (Rⁿ)ⁿ →Rcom as seguintes propriedades:

1. det(e₁, . . . , e_n) = +1;

2. det(u₁, . . . , u_i, . . . , u_j, . . . , u_n) = −det(u₁, . . . , u_j, . . . , u_i, . . . , u_n);

3. det(αu+βv, u₂, . . . , u_n) =αdet(u, u₂, . . . , u_n) +βdet(v, u₂, . . . , u_n).

O determinante de (u₁, . . . , u_n) ´e o (hiper)volume do (hiper)paralelep´ıpedo formado por esses vetores, com um sinal, de acordo com a orienta¸c˜ao da n-upla em rela¸c˜ao `a base canˆonica (e₁, . . . , e_n). Essas trˆes propriedades determinam univocamente o valor do de- terminante.

Uma aplica¸c˜ao n-linear alternada ω : (Rⁿ)ⁿ →R satisfaz as duas ´ultimas propri- edades do determinante. Pode-se mostrar que

ω(u₁, . . . , u_n) =cdet(u₁, . . . , u_n), onde

c=ω(e₁, . . . , e_n).

Em outras palavras, o espa¸co de aplica¸c˜oes n-lineares alternadas de (Rⁿ)ⁿ em R ´e de dimens˜ao um.

Uman-forma(ou forma de volume)ωem Rⁿ´e uma aplica¸c˜ao (cont´ınua) que para cada x associa uma aplica¸c˜aon-linear alternadaω(x) de (Rⁿ)ⁿ em R.

Numa variedade M de dimens˜ao n orientada, a forma de volume ´e uma fun¸c˜ao que para cada p associa uma aplica¸c˜ao n-linear alternada de (T_pM)ⁿ em R. Se a variedade (orient´avel) ´e abstrata a forma em geral ´e definida nas cartas, de forma compat´ıvel nas interse¸c˜oes. Isto ´e, para cada cartaφ :U →φ(U)⊂M, define-se

ω_φ(x)·(u₁, . . . , u_n) =c(x) det(u₁, . . . , u_n) =c(x)dx(u₁, . . . , u_n),

de maneira que se ψ :V →ψ(V) for outra carta e ω_ψ for a forma definida emV ter-se-´a ω_φ(x)·(u₁, . . . , u_n) = ω_ψ(ξ(x))·(Dξ·u₁, . . . , Dξ·u_n),

onde ξ=ψ⁻¹◦φ, com dom´ınio em φ⁻¹(φ(U)∩ψ(V)).

Para integrar uma forma de volume numa variedade ´e preciso um procedimento que n˜ao dependa demais das cartas. Isso ´e feito com parti¸c˜oes da unidade, subordinadas ao atlas que define a variedade.

Uma parti¸c˜ao da unidade subordinada `a cobertura (do atlas) {φ_λ(U_λ)}_λ ´e uma cole¸c˜ao de fun¸c˜oes reais {α_λ}_λ de classe C¹, indexadas pelo mesmo parˆametro do atlas, com dom´ınio na variedade, que tem ainda as seguintes propriedades:

1. Para cadaλ, o suporte deα_λ (isto ´e, o conjunto ondeα_λ n˜ao se anula) est´a contido em φλ(Uλ).

2. Para cada x ∈ M, existe apenas um n´umero finito de λ’s para os quais α_λ(x) n˜ao se anula.

3. P

λα_λ(x) = 1, para todo x ∈ M (soma bem definida, por causa da propriedade anterior).

O nome parti¸c˜ao da unidade vem, evidentemente, do fato de que a fun¸c˜ao constante e igual a 1 est´a sendo escrita como uma soma de fun¸c˜oes criteriosamente escolhidas. Pode- se mostrar tamb´em sua existˆencia, para qualquer cobertura (ver [Elon], por exemplo).

A formaαλω´e tamb´em uma forma de volume cont´ınua emM, com suporte emφλ(Uλ).

Sua integral ´e definida usando a carta correspondente:

Z

M

α_λω≡ Z

φλ(Uλ)

α_λω≡ Z

Uλ

α_λ(φ_λ(x))c_λ(x)dx , onde c_λ(x)dx ´e a express˜ao da forma ω na carta de ´ındice λ.

A integral da forma de volume ω em M ´e definida por Z

M

ω=X

λ

Z

M

α_λω ,

e de fato ´e bem definida porque (pode-se mostrar) o resultado n˜ao depende da parti¸c˜ao da unidade escolhida.

A integral de uma fun¸c˜ao cont´ınua f em M, segundo a forma de volume ω, ´e sim- plesmente a integral da forma f ·ω. Com isso, podemos falar tamb´em em integrais de fun¸c˜oes caracter´ısticas sobre boreleanos de M, e da´ı definir uma medida nos boreleanos deM.

Em conclus˜ao, a forma de volume ω define uma medida emM.

Muitas vezes falamos em “medida de Lebesgue” de uma determinada variedade. Isso pode ter dois significados, mas n˜ao h´a muito perigo de confus˜ao.

Se a variedade est´a mergulhada em R^m, para algum m ≥ n, a forma canˆonica de volume emR^m (o determinante) induz uma forma de volume emM, da seguinte maneira.

Seja p ∈ M e considere T_pM como subespa¸co de R^m. Se (u₁, . . . , u_n) ´e uma n-upla de vetores em T_pM, completa-se a n-upla com vetores u_n+1, . . . , u_m, todos unit´arios, ortogonais entre si e ortogonais a TpM, e toma-se

ω(u₁, . . . , u_n)≡det(u₁, . . . , u_n, u_n+1, . . . , u_m).

Outra possibilidade ´e quando a variedade ´e definida de maneira abstrata, mas em cada carta a forma de volume se expressa como a forma de volume canˆonica emRⁿ (isto

´

e, c_λ(x)≡ 1, para todo λ). Este ´e o caso de Tⁿ visto como o quociente Rⁿ/Zⁿ, onde as cartas s˜ao naturalmente dadas por aplica¸c˜oes do tipo x7→x mod 1.

Se T : U → V ´e um difeomorfismo, e ω ´e uma forma de volume definida em V, definimos o pullbackde ω (por T) como sendo a forma dada por

T^∗ω(x)·(u₁, . . . , u_n) =ω(T(x))·(DT(x)·u₁, . . . , DT(x)·u_n). N˜ao ´e dif´ıcil mostrar que

Z

V

ω=± Z

U

T^∗ω ,

onde o sinal ´e determinado de acordo com T: “+” se T preserva e “-” se T reverte orienta¸c˜ao.

Essa f´ormula cont´em a f´ormula de mudan¸ca de vari´aveis da integral. Se ω = f dx, ent˜ao

T^∗ω(x)·(u1, . . . , un) = f(T x)dx·(DT(x)·u1, . . . , DT(x)·un)

= f(T x) detDT(x)dx·(u₁, . . . , u_n),

logo T^∗ω= (f◦T) detDT dx. Portanto Z

V

f(x)dx= Z

U

f(T x)|detDT(x)|dx .

1.7 Medidas regulares

O seguinte Teorema pode ser ´util quando lidarmos com medidas cujo dom´ınio ´e a σ-

´

algebra de Borel.

Teorema 1.22. Uma probabilidade de Borel µ num espa¸co m´etrico X ´e regular, isto ´e, para todo A∈ B(X) e >0 existe um conjunto abertoU e um conjunto fechado C tais que C ⊂B ⊂U e µ(U\C)< .

Demonstra¸c˜ao. Seja R a cole¸c˜ao de conjuntos onde vale a regularidade, isto ´e,

R={A∈ B;∀ >0∃U aberto eC fechado comC ⊂A⊂U e µ(U\C)< }. Primeiramente mostramos que R´e uma σ-´algebra. Evidentemente X∈ R, pois ´e aberto e fechado, servindo comoU eC para todo >0. SeA ∈ Rent˜aoX\A∈ R, poisX\U

´

e fechado,X\C ´e aberto e (X\C)\(X\U) =U\C. Para mostrar queR´e fechado por uni˜oes enumer´aveis, sejam A₁, A₂, . . . ∈ R e, para todo i = 1,2, . . . ,, os conjuntos U_,i aberto, C_,i fechado tais queC_,i ⊂A_i ⊂U_,i e µ(U_,i\C_,i)< ₃i. Chamando de A a uni˜ao dos A_i’s, definimosU como sendo a uni˜ao dosU_,i’s, que ´e um aberto, e ˜C a uni˜ao dos C_,i’s, que n˜ao ´e necessariamente um fechado. Como µ ´e medida de probabilidade ent˜ao ´e cont´ınua (Teorema 1.12), logo existe k tal queµ( ˜C\Sk

i=1C_,i)< ₂. Tome ent˜ao C=Sk

i=1C_,i, que ´e fechado. ´E f´acil ver que C ⊂A⊂U e µ(U\C)< .

A prova se completa se mostrarmos que R cont´em todos os fechados de X. Tome C fechado e >0. Defina C =C. Por outro lado, defina os abertos

Un={x∈X;d(C, x)< 1 n}, n ≥ 1, de forma que T∞

n=1U_n = C. Pela continuidade da medida, existe k tal que µ(U_k\C)< . Ent˜ao basta escolher U =U_k.

O pr´oximo Teorema mostra que em espa¸cos m´etricos uma medida ´e determinada pela maneira como ela integra fun¸c˜oes cont´ınuas.

Teorema 1.23. SejaX espa¸co m´etrico, µeν probabilidades de Borel. SeR

f dµ=R f dν para toda fun¸c˜ao cont´ınua f :X →R ent˜ao µ=ν.

Demonstra¸c˜ao. Por causa da regularidade das duas medidas, basta mostrar que elas coincidem em conjuntos fechados. Sejam C um conjunto fechado e >0. Seja U aberto contendoC, de forma queν(U)< ν(C) +, o que ´e garantido tamb´em pela regularidade.

Defina a fun¸c˜aof :X →R como zero fora de U e f(x) = d(x, X \U)

d(x, X \U) +d(x, C)

para x∈U. A fun¸c˜aof ´e cont´ınua, n˜ao-negativa, vale um emC e zero fora deU. Ent˜ao µ(C)<

Z

f dµ= Z

f dν < ν(U)< ν(C) + .

Como isso vale para todo > 0, ent˜ao µ(C) ≤ ν(C). E trocando os pap´eis de µ e ν, conclu´ımos que µ(C) =ν(C).

A toda probabilidade de Borel de um espa¸co m´etrico compacto podemos associar um funcional linearξ =ξ_µ :C⁰(X)→R dado porξ(f) = R

f dµ.

Defini¸c˜ao 1.24. ξ :C⁰(X) →R ´e funcional linear positivo se ´e linear, ξ(f)≥ 0 se f ≥0 e ξ(1) = 1.

Assim f 7→R

f dµ ´e funcional linear positivo. O Teorema acima mostra que se duas probabilidades induzem o mesmo funcional ent˜ao elas s˜ao iguais, o que caracteriza injeti- vidade da aplica¸c˜ao que leva probabilidades em funcionais. O pr´oximo Teorema garante a sobrejetividade da aplica¸c˜ao (sua prova se encontra nos textos cl´assicos de An´alise).

Teorema 1.25 (da Representa¸c˜ao de Riesz). Se X ´e espa¸co m´etrico compacto e se ξ :C⁰(X)→R ´e funcional linear positivo, ent˜ao existe ´unica probabilidade µ tal que

Z

X

f dµ =ξ(f), para toda f ∈C⁰(X).

Cap´ıtulo 2

Transforma¸ c˜ oes que preservam medida

2.1 Defini¸ c˜ oes e motiva¸ c˜ ao

Sejam (X₁,B₁, µ₁) e (X₂,B₂, µ₂) espa¸cos de probabilidade, eT :X₁ →X₂ transforma¸c˜ao.

Dizemos que T ´e mensur´avel se para todo A ∈ B₂ se tem T⁻¹(A) ∈ B₁. Dizemos que T preserva medida se µ₁(T⁻¹A) =µ₂(A).

O caso que mais nos interessa ´e quando X₁ = X₂ = X, B₁ = B₂ = B, µ₁ = µ₂ = µ, para podermos fazer itera¸c˜oes.

O seguinte Teorema ajuda a verificar se uma transforma¸c˜ao preserva medida.

Teorema 2.1. (X1,B1, µ1) e (X2,B2, µ2), T : X1 → X2 transforma¸c˜ao. Seja S2 uma semi-´algebra que gera B₂. Se para todoA∈ S₂ se temT⁻¹(A)∈ B₁ e µ₁(T⁻¹A) =µ₂(A), ent˜ao T ´e mensur´avel e preserva medida.

Demonstra¸c˜ao. A prova usa os resultados de extens˜ao da Se¸c˜ao 1. Considere C₂ ={A∈ B₂ ; T⁻¹(A)∈ B₁ , µ₁(T⁻¹A) =µ₂(A)}.

Queremos mostrar queC₂ =B₂. Em primeiro lugar, por hip´otese a semi-´algebraS₂ est´a contida em C₂. Como B₂ ´e a menor σ-´algebra que cont´em S₂, ent˜ao basta mostrar que C₂ ´e uma σ-´algebra.

Com um argumento simples mostra-se que uni˜oes finitas e disjuntas de elementos de S₂ est˜ao em C₂, ou seja, a ´algebra A(S₂) est´a contida em C₂. Se mostrarmos que C₂ ´e uma classe mon´otona, ent˜ao teremos terminado.

23

Tome uma cole¸c˜ao de conjuntos E₁, E₂, . . . de C₂, crescente: E₁ ⊂ E₂ ⊂ . . .. Cada E_i tem a propriedade de que T⁻¹E_i ∈ B₁ e µ₁(T⁻¹E_i) =µ₂(E_i). Temos T⁻¹(S∞

i=1E_i) = S∞

i=1T⁻¹E_i, e como cada T⁻¹E_i est´a em B₁ ent˜ao a uni˜ao tamb´em est´a. A preserva¸c˜ao da medida ´e demonstrada escrevendo-se a uni˜ao como uma uni˜ao disjunta:

∞

[

i=1

E_i =E₁ ∪

∞

[

i=2

E_i\Ei−1 . Com respeito `a interse¸c˜ao o racioc´ınio ´e o mesmo.

Em nossa investiga¸c˜ao, ser´a importante o seguinte Lema.

Lema 2.2. Se f :X →R ´e mensur´avel e µ´e T-invariante, ent˜ao R

Xf◦T dµ=R

Xf dµ, no sentido de que se uma das integrais existe ent˜ao a outra tamb´em existe, e neste caso elas s˜ao iguais.

Demonstra¸c˜ao. Como f pode ser escrita comof₊−f−, subtra¸c˜ao de duas fun¸c˜oes men- sur´aveis positivas, podemos suporf ≥0. Al´em disso, o Lema ´e obviamente verdade para fun¸c˜oes simples. Se{fn}n´e uma seq¨uˆencia crescente de fun¸c˜oes simples convergindo para f, ent˜ao

Z

X

f◦T dµ = lim

n→∞

Z

X

fn◦T dµ= lim

n→∞

Z

X

fndµ= Z

X

f dµ .

Evidentemente, se R

f ◦T dµ =R

f dµ,∀f ∈L¹ ent˜ao µ´eT-invariante, simplesmente pelo fato de que as fun¸c˜oes caracter´ısticas s˜ao integr´aveis.

O pr´oximo Lema diz garante a invariˆancia da medida com menos fun¸c˜oes, por´em com hip´oteses mais restritivas.

Lema 2.3. Seja X espa¸co m´etrico, B a σ-´algebra de Borel e µ medida de probabilidade.

Seja T transforma¸c˜ao cont´ınua. SeR

f◦T dµ =R

f dµ para toda fun¸c˜ao cont´ınuaf ent˜ao µ´e medida invariante.

Demonstra¸c˜ao. Basta provar que µ ´e invariante para um conjunto fechado C qualquer.

Seja {U_n}_n seq¨uˆencia decrescente de abertos tal que T∞

n=1U_n = C. Isso implica que {T⁻¹U_n}_n ´e seq¨uˆencia decrescente de abertos tal que T∞

n=1T⁻¹U_n = T⁻¹C. Tome f_n cont´ınua que valha 1 em C e zero fora de U_n. Ent˜ao f_n ◦T vale um em T⁻¹C e zero fora de T⁻¹U_n. Como µ´e probabilidade, µ(U_n) converge aµ(C) e µ(T⁻¹U_n) converge a µ(T⁻¹C).

Al´em disso, como µ(C) ≤ R

f_ndµ ≤ µ(U_n) ent˜ao R

f_ndµ converge a µ(C). Ana- logamente, R

f_n ◦T dµ converge a µ(T⁻¹C). Mas pela hip´otese R

f_ndµ = R

f_n ◦T dµ, implicando queµ(C) =µ(T⁻¹C).

Podem-se apontar v´arias raz˜oes para estudarmos transforma¸c˜oes que preservam me- dida. Em sistemas dinˆamicos a motiva¸c˜ao aparece invertida, pois muitas vezes interessa estudar, para uma dada transforma¸c˜ao T de um certo conjunto X quais s˜ao as medidas que T preserva. Em geral X ´e um espa¸co topol´ogico e B´e a σ-´algebra de Borel.

O estudo das medidas invariantes por T ´e ´util para se investigar a estat´ıstica das

´

orbitas: dado um conjunto A∈ B, qual ´e a freq¨uˆencia com que a ´orbita {x, T x, T²x, . . .}

visita o conjunto A? Ou seja, quanto vale (se existir) o limite de 1

n]{0≤j < n; T^jx∈A}?

Suponhamos que valesse a seguinte hip´otese, para um dado pontox: para todoA∈ B o limite acima existe. Com isso, poder´ıamos definir uma fun¸c˜ao τ : B → [0,1], tal que τ(X) = 1, fazendo com queτ(A) fosse exatamente esse limite. A fun¸c˜aoτ seria candidata a ser uma medida de probabilidade invariante, pois a freq¨uˆencia de visita¸c˜ao a A´e igual

`

a freq¨uˆencia de visita¸c˜ao a T⁻¹(A).

No entanto n˜ao h´a chance de que a hip´otese valha. Tomando por exemplo aσ-´algebra dos boreleanos num espa¸co m´etrico, seja x um ponto qualquer n˜ao-peri´odico (isto ´e, Tⁿx 6= x, ∀n ≥ 0). Seja J ⊂ N que n˜ao tenha densidade definida, isto ´e, tal que

1

n](J ∩[0, n)) n˜ao converge, e tome A = {Tⁿx;n ∈ J}, que ´e boreleano pois ´e uni˜ao enumer´avel de pontos. Isso faz com que a freq¨uˆencia de visita¸c˜ao a A n˜ao esteja bem definida.

Poder´ıamos no entanto ter a medidaµinvariante j´a definida e perguntar se a freq¨uˆencia de visita¸c˜ao das ´orbitas a um conjunto mensur´avel coincide com sua medida (note que

´

e melhor que a pergunta seja feita para medidas invariantes, pois se a freq¨uˆencia de vi- sita¸c˜ao est´a bem definida ent˜ao ela est´a bem definida para a pr´e-imagem do conjunto e assume o mesmo valor; de fato a pergunta n˜ao est´a sendo feita para a imagem inversa do conjunto, mas faz sentido esperar que a freq¨uˆencia de visita¸c˜ao tamb´em forne¸ca sua medida). Se isso n˜ao valer para todas as ´orbitas (s˜ao raros esses casos) ent˜ao para quais

´

orbitas vale?

As vezes a estat´ıstica das ´` orbitas ´e estudada do ponto de vista de umobserv´avel, isto

´

e, uma fun¸c˜ao f :X →R mensur´avel. Mede-se ent˜ao a m´edia temporal 1

n

n−1

X

i=0

f◦Tⁱ(x),

e pergunta-se se ela converge, e se o resultado da convergˆencia ´e sempre o mesmo.

A freq¨uˆencia de visita¸c˜ao a um conjunto mensur´avel ´e um caso particular dessa m´edia

temporal, bastando tomarf como sendo a fun¸c˜ao caracter´ıstica χ_A, pois 1

n]{0≤j < n; T^jx∈A}= 1 n

n−1

X

j=0

χ_A(T^jx).

No caso da fun¸c˜ao caracter´ıstica, perguntamos se a m´edia temporal converge para µ(A), que ´e igual a R

Xχ_Adµ. Para uma fun¸c˜ao f integr´avel, podemos perguntar se a m´edia temporal converge para R

Xf dµ, sua m´edia espacial.

Ainda que a itera¸c˜ao de T sejadetermin´ıstica, a Teoria Erg´odica estuda os fenˆomenos do ponto de vista probabil´ıstico, como delineamos acima e veremos a partir de agora. No entanto, a probabilidade tamb´em pode ser enxergada do ponto de vista determin´ıstico (assim, a Teoria Erg´odica se coloca entre as teorias dos Sistemas Dinˆamicos e da Proba- bilidade).

Por exemplo, imagine uma seq¨uˆencia de lan¸camentos de uma moeda, que denotaremos pela seq¨uˆencia x ={x_n}n≥0, onde x_n = 0 denota “cara” e x_n = 1 denota “coroa” no n-

´

esimo lan¸camento. Cada seq¨uˆencia (infinita) de lan¸camentos representa um ponto no espa¸co {0,1}^N.

Poder´ıamos pensar que no momento em que come¸camos a seq¨uˆencia de lan¸camentos o futuro j´a est´a determinado (por uma entidade superior, por exemplo), mas n´os s´o poderemos conhecer esse futuro realizando os lan¸camentos em ordem, um a um. Assim, n´os vamos “puxando” os valores de x_n. Ao mesmo tempo, nossa hist´oria futura vai mudando, simplesmente pelo fato de que uma parte dela j´a ficou para tr´as: no instante inicial, ela ´e representada pela seq¨uˆencia (x₀, x₁, . . .), enquanto que no instante n ela ´e representada pela seq¨uˆencia (x_n, x_n+1, . . .).

Portanto em cada instante h´a um deslocamento da hist´oria futura em uma unidade.

Esse deslocamento, conhecido pelo seu nome original em inglˆes (shift), ´e uma trans- forma¸c˜ao

σ :{0,1}^N−→ {0,1}^N

que leva (x0, x1, x2, . . .) em (x1, x2, x3, . . .). Ou seja, foi-nos dada uma hist´oria futura no instante inicial, e `a medida em que fazemos os lan¸camentos nos deslocamos no espa¸co de hist´orias futuras atrav´es da itera¸c˜ao da transforma¸c˜aoσ.

A transforma¸c˜aoσ n˜ao ´e invert´ıvel (seria se consider´assemos seq¨uˆencias bi-infinitas).

Para cada seq¨uˆencia (x0, x1, x2, . . .) h´a as pr´e-imagens (0, x0, x1, . . .) e (1, x0, x1, . . .).

Agora podemos introduzir uma medida de probabilidade µ natural em X ≡ {0,1}^N. Essa medida deve ter rela¸c˜ao com o que esperamos a respeito da probabilidade das ocorrˆencias dos lan¸camentos. Para isso, a probabilidade de que o primeiro lan¸camento (x₀) seja 0 deve ser igual a ¹₂, igual `a probabilidade de que seja igual a 1, n˜ao importando

qual seja a hist´oria futura subseq¨uente. Isto ´e o mesmo que dizer que a medida do conjunto de pontos x∈X que come¸cam com x₀ =i ´e ¹₂, para i= 0,1. Os conjuntos s˜ao disjuntos e sua uni˜ao ´eX, de forma que isso ´e coerente com o fato de estarmos definindo uma medida de probabilidade.

No entanto, ´e preciso definir a medida em mais conjuntos, para se ter certeza de defini-la univocamente (os detalhes t´ecnicos ser˜ao desenvolvidos abaixo). Por exemplo, esperamos que a probabilidade de que x0 =i0 e x1 =i1, para dados i0 e i1, seja ¹₄. Mais ainda, que a probabilidade de que x₀ =i₀, . . .,x_k =i_k seja ₂k+1¹ . Na linguagem de Teoria da Medida, estamos supondo que o conjunto

C(k;i₀, . . . , i_k)≡ {x∈X;x₀ =i₀, . . . , x_k=i_k}

tem medida ₂k+1¹ . Esse tipo de conjunto ´e chamado de cilindro, e a classe dos cilindros forma uma semi-´algebra, junto com ∅e X.

Veremos que isso ´e o bastante para se definir a medida univocamente em X, usando os resultados da Se¸c˜ao 1. Al´em do mais, podemos ver que ela ´e invariante na semi-

´

algebra dos cilindros, (o que nos garante a invariˆancia propriamente dita, por causa do Teorema 2.1): a pr´e-imagem deC(k;i₀. . . i_k) ´e a uni˜ao disjunta

C(k+ 1; 0i0i1. . . ik)∪C(k+ 1; 1i0i1. . . ik),

que tamb´em tem medida ₂k+1¹ porque ambos os cilindros da uni˜ao tˆem medida ₂k+2¹ . Qualquer dos cilindros pode ser um conjunto para fazermos uma estat´ıstica. Por exemplo, dado (i₀, i₁, . . . , i_k), podemos nos perguntar qual ´e a probabilidade de, ao longo de nossa seq¨uˆencia infinita de lan¸camentos, encontrarmos blocos de tamanho k+ 1 exata- mente com a especifica¸c˜ao dada. Ora, isso ´e o mesmo que perguntar qual ´e a freq¨uˆencia m´edia de visita¸c˜ao ao cilindro A=C(k;i₀. . . i_k), dada pelo limite

1

n#{0≤j < n;T^jx∈A}.

Mais uma vez esperamos que essa m´edia temporal seja igual a µ(A) = ₂k+1¹ . De fato, veremos que isso vale exceto para um subconjunto de X de medida zero.

2.2 Exemplos

Passemos a analisar alguns exemplos de medidas invariantes. Assumiremos implicita- mente que a σ-´algebra ´e de Borel quando nenhuma men¸c˜ao for feita a esse respeito.