Principais conceitos da teoria dos sistemas dinâmicos

O primeiro conceito a ser abordado é justamente aquele dá origem à teoria. Como podemos, então, definir um sistema dinâmico?

Van Gelder (1998, p. 618) apresenta sete definições de sistemas dinâmicos, dentre as quais as mais importantes são as seguintes:

a) um sistema de equações diferenciais de primeira ordem, campo vetorial ou variedade.

b) qualquer espécie de mapeamento, equação ou regra.

c) variações de padrões que ocorrem com o tempo, ou seja, submetidas à temporalidade.

Já Paul Thagard (1996, p. 169) afirma que “[…] Um sistema dinâmico é aquele em que as mudanças de estados ocorrem no tempo. Deste modo, as variáveis do sistema podem ser mapeadas por conjuntos de equações que descrevem sua evolução”. O termo “evolução” destaca, portanto, o caráter temporal dos sistemas mapeados.

Laurence Shapiro (2011, p. 116) apresenta a seguinte conceito de sistema dinâmico que nos fornece não só uma definição dos sistemas, mas também da teoria que os mapeia:

Um sistema dinâmico é qualquer sistema que muda ao longo do tempo. A teoria dos sistemas dinâmicos (TSD) é o aparato matemático que descreve como os sistemas mudam ao longo do tempo. O primeiro passo para descrever o comportamento de um sistema dinâmico é identificar as partes que mudam. O segundo passo é mapear todas as formas possíveis em que estas peças podem mudar. Qualquer mudança é descrita em TSD como uma alteração no estado, de modo que o mapa de todas as alterações possíveis é conhecido como o espaço de estados.

Por fim, os sistemas dinâmicos podem ser classificados em simples e complexos. Sistemas simples são aqueles lineares, mapeáveis por um conjunto de equações também lineares. Já os sistemas complexos, não lineares77, são aqueles que derivam de uma multiplicidade, com pluralidade de dimensões funcionando como elementos que evoluem em

77 _{Não-linear é todo sistema cujo input não é diretamente proporcional ao output, em oposição a um sistema linear} em que o output pode ser simplesmente representado como uma soma ponderada dos componentes de input. sistemas dinâmicos complexos são não-linear neste sentido, de modo que o seu comportamento não é meramente a soma do comportamento dos componentes. (RICHARDSON e CHEMERO, 2014, p. 41)

paralelo. Conforme Richardson e Chemero (2014, p. 39), os sistemas dinâmicos complexos, que podem ser classificados em homogêneos e heterogêneos, compreendem três características principais:

1. O sistema é composto por conjunto de componentes que interagem, ou atores. Este sistema pode ser homogêneo ou heterogêneo: uma coleção de áreas corticais ou agentes artificiais simples pode compreender um sistema dinâmico complexo homogêneo; um cérebro num corpo em um ambiente podem compreender um sistema dinâmico complexo heterogêneo.

2. O sistema exibe comportamento emergente: na medida em que o seu comportamento coletivo exibe um padrão coerente, que não pode ser previsto a partir do comportamento dos componentes separadamente.

3. O comportamento emergente é auto-organizado: na medida em que não resulta de um componente que age como controlador.

Os sistemas que me interessam particularmente são os complexos, pois só é possível falar em percepção e cognição como propriedades emergentes quando partimos da complexidade. A partir desta perspectiva, sistemas perceptivo-cognitivos serão sistemas

complexos.

Se é certo afirmar, portanto, que a teoria dos sistemas dinâmicos tem como objetivo explicitar fenômenos que acontecem no mundo (fenômenos meteorológicos, econômicos, populacionais) e, para tanto, “[utiliza-se] de uma multiplicidade de variáveis que estão na origem, que compõe estatisticamente o objeto estudado” (THAGARD, 1996, p 169), esta teoria deverá valer-se de um conjunto de conceitos que tornem possível pensar não só a complexificação, como também as propriedades emergentes, as totalidades que emergem como resultado da determinação de um conjunto de partes subdeterminadas.

O primeiro conceito utilizado pela teoria dos sistemas dinâmicos é conceito matemático de variedade. Variedade, como ressalta Delanda, é um termo pertencente à geometria diferencial, desenvolvida por Friedrich Gauss e Bernard Riemann. A ideia básica expressa pelo termo é a criação de um espaço relacional para solver problemas envolvendo mudanças em duas ou mais quantidades utilizando o cálculo diferencial/integral.

Assim, o termo variedade expressa a ideia de uma inscrição puramente relacional, uma abstração que porta múltiplas dimensões capazes de mapear e encontrar valores para uma taxa de variação entre quantidades78_.

Conforme ressaltado, Gauss e Riemann desenvolveram esta ideia. O primeiro, com a ideia de espaço relacional, sem “nenhuma referência a um espaço global e envolvente” (espaço diferencial, não algébrico). O segundo, levando adiante a ideia das superfícies ou espaços N-dimensionais, sem a necessidade de inscreve-lo num espaço mais elevado (N+1).

Esta concepção de N-dimensionalidades, não totalizáveis, não abrangidas por uma dimensão superior englobante ou suplementar, está diretamente relacionada ao conceito de espaço de estados (ou espaço fásico).

Devemos a Henri Poincaré o desenvolvimento da ideia de espaço de estados (BONTA e PROTEVI, 2006, p. 17; DELANDA, 2013, p. 5; THOMPSON, 2010, p. 40). Esta ideia possibilita uma representação visual do comportamento dos sistemas dinâmicos. Assim, o espaço de estados é a ferramenta utilizada para definir o grau de liberdade apresentado por um sistema abstratamente considerado. Dois exemplos utilizados por Delanda são os modelos do pêndulo e da bicicleta, o primeiro constituído por um espaço de estados bidimensional (pode variar apenas a posição e o momentum), o segundo constituído por um espaço de estados de dez dimensões (compostas pelos vários componentes como guidão, rodas, conjunto de transmissão, pedais etc.). O grau de liberdade varia em conformidade com a quantidade de dimensões do sistema. Estas dimensões, por seu turno, estão diretamente relacionadas às variáveis que estão sendo mapeadas, ou seja, dependem do interesse, do recorte dado por quem está analisando determinado sistema. O certo é que, uma vez definido o grau de liberdade, podemos passar para a análise das trajetórias do sistema.

Reduzimos o grau de abstração quando passamos a monitorar as mudanças de

estados apresentadas pelo sistema, descrevendo uma curva ou uma trajetória das variáveis

definidas (uma “evolução” no tempo, uma tendência). Somos capazes, então, de capturar o

78 _{Como esclarece Delanda (2013, p. 3-4): “Especificamente, se estas relações fossem expressas como taxa de} variação de uma quantidade em relação a outra, o cálculo nos permitiria encontrar um valor instantâneo para a referida taxa. Por exemplo, se as quantidades em mudança fossem posição no espaço e temporalidade, seríamos capazes de encontrar valores instantâneos para a taxa de variação de uma quantidade em relação à outra, isto é, para a velocidade. Utilizar esta ideia como um recurso em geometria depende de que possamos conceber que um objeto geométrico, uma superfície curva ou linear, por exemplo, possa ser caracterizado, também, como pela taxa de variação de algumas de suas propriedades. Por exemplo, a média pela qual a curvatura varia entre diferentes pontos. Utilizando as ferramentas do cálculo, os matemáticos agora podiam encontrar valores “instantâneos” para esta taxa de variação, isto é, o valor da curvatura num ponto infinitesimal.”

processo de mudança de um sistema dado (uma trajetória, ou linha de fuga, é o caminho traçado

por um objeto movente através de um espaço em função de um tempo).

Lawrence Shapiro refere-se a este conceito como o de “órbita ou trajetória”, fazendo uso do exemplo do pêndulo para ressaltar o vínculo do conceito de trajetória com conceitos de determinação, de emergentismo e de temporalidades inerentes ao sistema:

Se você pegar como um estado inicial a velocidade e posição particulares do pêndulo, a órbita ou trajetória deste estado é o conjunto de todos os estados que emergem ao longo do tempo. (SHAPIRO, 2011, p. 116-117)

As trajetórias determinam-se em direção aos atratores (ou singularidades). Os atratores são tendências, flutuações ou estabilizações para as quais os sistemas eventualmente convergem. Um sistema pode ter múltiplos atratores e, portanto, apresentar vários estados de estabilidade (THAGARD, 1996, p. 170). Em conformidade com Delanda (2013, p. 7), trajetórias distintas podem convergir para o mesmo atrator desde que tenham começado sua trajetória dentro da zona de influência deste. Ainda conforme Delanda (2013, p. 8), as três principais características de um atrator ou singularidade são:

1. determinar tendências de longo prazo e estruturar as possibilidades que formam um estado de espaços.

2. por conseguinte, estruturar as possibilidades abertas aos processos físicos modelados.

3. tendência a ser recorrentes, ou seja, os atratores tendem a atribuir características próprias a processos independentemente de seus mecanismos físicos particulares.

Estas três características só são possíveis em razão da existência de bacias de

atração que são justamente esta “esfera de influência” que faz com que o atrator (ou

singularidade) represente a tendência de longo termo (intrínseca ou inerente) de um sistema79_. Certos atratores (os simples) tornam-se, portanto, estados estacionários.

Kauffman (1993, p. 176) utiliza a metáfora do sistema montanha-lago-bacia de drenagem para se referir aos estados estacionários de atratores simples:

A ideia de bacias de atração e de pontos atratores de estado estacionário é essencialmente a mesma que a ideia de uma região montanhosa com colinas, cordilheiras, vales, lagos, e um sistema de drenagem de água. Lagos correspondem ao ponto atratores; bacias de drenagem, correspondem à bacia de atração. Assim como uma região montanhosa pode ter muitos lagos e bacias de drenagem, da mesma forma pode um sistema dinâmico ter muitos atratores, cada um drenando sua própria bacia.

79 _{É importante ressaltar o caráter assintótico. Uma trajetória nunca atinge um atrator de modo exato, mas sim} anexato.

Além das famílias de atratores que conduzem a estados estacionários, há também aqueles que foram loops e funcionam como “círculos-limite” ou atratores periódicos que induzem a uma trajetória final oscilatória, induzindo à complexidade, e os caóticos, que induzem bifurcações que geram instabilidade.

Sistemas dinâmicos complexos, sobretudo aqueles longe do equilíbrio, passam por

transições fásicas que nada mais são do que as mudanças de um atrator para outro dentro do

sistema. São vários os exemplos: alterações no clima, quando a temperatura passa do clima frio e limpo para o quente e húmido, mudanças de estado da água quando atinge a temperatura de passagem do estado líquido para o sólido (THAGARD, 1996, p. 170). São alterações

qualitativas que decorrem de alterações ínfimas e locais, mas que têm a capacidade de conduzir

o sistema a uma transição de estado.

Estas alterações evidenciam o caráter intensivo das propriedades inerentes às transições fásicas. Ilya Prigogine (1967, p. 3-4) faz uma importante distinção entre propriedades extensivas e intensivas. Propriedades como massa e volume são definidas pelo sistema como totalidade e, portanto, são chamadas propriedades extensivas. São aditivas, o que significa que podemos adicionar ou subtrair quantidades sem que haja qualquer alteração na propriedade (metade da massa de uma laranja é meia laranja). Já temperatura e pressão têm valores precisos em cada ponto/momento do sistema e são consideradas intensivas. Não trabalham por adição ou subtração (a massa de uma laranja com temperatura de 20 graus centígrados pode ser dividida em duas metades sem que a temperatura seja dividida, as duas metades continuarão tendo 20 graus centígrados). Todos os sistemas dissipativos estão sujeitos a flutuações e transições fásicas decorrentes das propriedades intensivas que atuam sobre eles.

A dinâmica de transições fásicas dá-se por bifurcadores, i.e., pontos onde os sistemas alternam entre uma região e outra do estado de espaços. Assim, os bifurcadores representam limiares onde o sistema muda o padrão (BONTA e PROTEVI, 2006, p. 20), passando de estados estacionários para ciclos oscilatórios, por exemplo. Todos os sistemas dinâmicos complexos “evoluem” por bifurcadores. Os atratores são levados a atingir um limiar, quer por perturbação interna, quer por externa, onde ocorrem “eventos de quebra de simetria” (a turbulência, por exemplo) em “zonas sensíveis” onde os bifurcadores aglutinam-se e amplificam os efeitos uns dos outros. O resultado é a produção de um novo conjunto de atratores e bifurcadores. Estes eventos, por sua vez, “são oportunidades para ‘criatividade’ em resposta às ‘crises’ na história do sistema” (BONTA e PROTEVI, 2006, p. 20). Assim, podemos fazer

uma distinção e dizer que os atratores, em sentido clássico, seriam convergências ou estabilizações momentâneas do sistema80_{, ao passo em que os bifurcadores levariam à quebra} de simetria que pode fazer o sistema mover-se em direção a um padrão pré-estabelecido, ou seja, manter-se na mesma multiplicidade de que faz parte ou, ainda, pode levar o sistema a evoluir para um novo conjunto de padrões e limiares81.

Um dos conceitos mais importantes para os sistemas complexos é o caos. Sistemas complexos são caóticos, na medida em que o caos ocorre quando um sistema é extremamente sensível às condições iniciais. Conforme Thagard, se uma ínfima diferença no valor das variáveis das equações do sistema é capaz de produzir uma diferença drástica nos resultados desenvolvidos por aquele sistema, estamos diante de um sistema caótico (THAGARD, 1996, p. 170). Um exemplo de sistema caótico é o clima. A ideia básica é que pequenas alterações nos valores das variáveis iniciais têm efeitos significativos. Conforme Thagard, os sistemas caóticos apresentam mudanças abruptas (transições fásicas) difíceis de se prever pois dependentes de minúsculas alterações de muitas variáveis (THAGARD, 1996, p. 170). Daí que os sistemas não lineares podem ser vistos como a interação de muitas variáveis, que comportam transições fásicas e levam à formação de uma totalidade que não é o resultado da mera soma do movimento das partes e que, além disso, é relacional, aberta ou semi-aberta e longe do equilíbrio.