Proposição 3.6. Nenhum empacotamento por esferas no espaço Euclidiano R24 tem densidade maior que o empacotamento do reticulado Leech ou Λ24 cuja densidade é
∆24
π12
12! 0.00193.
3.5
Problemas em aberto
• Como já foi dito o problema de encontrar o melhor empacotamento em conjuntos discretos gerais continua em aberto para dimensões diferentes de 1, 2, 3, 8 e 24.
• Uma pergunta interessante a ser feita sobre os empacotamentos mais densos já conhecidos seria analisar a possibilidade de uma demonstração semelhante a feita em (VIAZOVSKA,2017) e (COHN H.; VIAZOVSKA et al.,2017), usando formas modu-
lares, para resolver o problema para outras dimensões, inclusive para as dimensões em que já são conhecidas as melhores densidades para reticulados.
• Ainda sobre empacotamentos de esferas, o problema muda bastante se permitimos esferas de diferentes raios. Uma abordagem recente (LAAT, 2016) por exemplo, mostra que para esferas de dois raios distintos em R3 podemos atingir densidade 0.9326 (ao invés da densidade 0.7404 do FCC) se a razão entre os raios das esferas tende ao infinito.
• Outro problema em aberto muito conhecido é o do kissing number. Temos que o valor do maior kissing number é desconhecido para n¡ 4, exceto para as dimensões especiais n 8 onde este kissing number é 240 e n 24 com kissing number 196560 (KABATIANSKY; LEVENSHTEIN, 1978) e (ODLYZKO A.; SLOANE,1979).
O problema de encontrar o maior kissing number do espaço surgiu em um debate entre Isaac Newton e David Gregory em 1694. Para visualizar este problema no plano, basta imaginar uma moeda colocada em uma superfície: quantas outras moedas (de mesmo tamanho) podem ser organizadas no seu entorno de modo que todas toquem a moeda central? A resposta é seis. No espaço, o problema pode ser traduzido como: Dada uma bola fixa no espaço quantas outras bolas de mesmo raio podem ser colocadas em torno dessa de modo que todas toquem a bola central? A nomenclatura “kissing” vem do termo kiss usado no bilhar quando duas bolas se tocam. Newton acreditava que a resposta seriam 12 bolas enquanto David Gregory afirmava ser possível organizar 13 bolas, pois na configuração com 12 sobrava espaço.
Em 1953, Van der Waerden e Schütte deram a primeira prova detalhada de que Newton estava certo. Outra prova mais elegante foi feita por Leech três anos depois. Este não é um problema trivial. Observamos que existem infinitas maneiras de organizar 12 bolas ao redor de outra, uma dessas formas é tomar como centro das
bolas pontos do reticulado FCC, ou seja o maior kissing number em R3 pode ser realizado por um empacotamento reticulado.
Para quatro dimensões, por algum tempo soube-se que a resposta seria 24 ou 25. Não é difícil produzir um empacotamento com 24 bolas, podemos usar como bolas centrais os pontos do reticulado D4. Como no caso tridimensional, há muito espaço sobrando
(muito mais do que para o R3) então a situação fica cada vez mais complicada. Em 2003, Oleg Musin provou que o número máximo de bolas vizinhas para n 4 em qualquer empacotamento é 24 (MUSIN, 2003) e (PFENDER F.; ZIEGLER,2004).
Restringindo os arranjos a reticulados, isto é, tomando as bolas centrais como pontos de um reticulado então o kissing number é conhecido para as dimensões 1 a 9 e na dimensão 24, para dimensões diferentes dessas, não temos solução nem para arranjos reticulados nem para não reticulados.
• O problema de se encontrar a melhor cobertura em diferentes dimensões ainda tem menos resultados que o do empacotamento. Para distribuições gerais de esferas não se conhece cobertura ótima para n ¥ 3. Dos resultados conhecidos para estruturas gerais tem-se demonstrações para as dimensões de 1 a 5.
Em 1939, Keshmer mostrou que a melhor cobertura que se pode obter do espaço bidimensional é aquela cujos círculos estão centrados no reticulado hexagonal A2.
Para o espaço R3, Bambah, em 1954, mostrou que a melhor cobertura possível pode ser obtida através do reticulado BCC - Body centred cubic lattice (Figura 4), que é o reticulado “dual” do FCC (taxa de cobertura 1.4635).
Para o R4 a melhor cobertura foi obtida por Ryskov em 1963 e para o R5, em 1975 por Ryskov e Baranovskii. Para demais dimensões conhece-se apenas algumas das melhores taxas para reticulados, mas não foi demonstrado que estas são as melhores coberturas conhecidas para cada arranjos em geral, os resultados conhecidos podem ser encontrados em (SCHURMANN A.; VALLENTIN,2006) e (COSTA S.; OGGIER et al., 2017).
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