CAMPINAS
Instituto de Matemática, Estatística e
Computação Científica
JULIANA GOMES FERREIRA DE SOUZA
O Problema do Empacotamento de Esferas no
Espaço n-Dimensional
Campinas
2019
Juliana Gomes Ferreira de Souza
O Problema do Empacotamento de Esferas no Espaço
n-Dimensional
Dissertação apresentada ao Instituto de Mate-mática, Estatística e Computação Científica da Universidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Mestra em Matemática Aplicada e Computacional.
Orientadora: Sueli Irene Rodrigues Costa
Este exemplar corresponde à
ver-são final da Dissertação defendida
pela aluna Juliana Gomes Ferreira de
Souza e orientada pela Profa. Dra.
Su-eli Irene Rodrigues Costa.
Campinas
2019
Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Ana Regina Machado - CRB 8/5467
Souza, Juliana Gomes Ferreira de,
So89p SouO problema do empacotamento de esferas no espaço n-dimensional / Juliana Gomes Ferreira de Souza. – Campinas, SP : [s.n.], 2019.
SouOrientador: Sueli Irene Rodrigues Costa.
SouDissertação (mestrado profissional) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.
Sou1. Empacotamento de esferas. 2. Teoria dos reticulados. 3. Códigos corretores de erros (Teoria da informação). I. Costa, Sueli Irene Rodrigues. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. III. Título.
Informações para Biblioteca Digital
Título em outro idioma: The sphere packing problem in the n-dimensional space Palavras-chave em inglês:
Sphere packings Lattice theory
Error-correcting codes (Information theory)
Área de concentração: Matemática Aplicada e Computacional Titulação: Mestra em Matemática Aplicada e Computacional Banca examinadora:
Sueli Irene Rodrigues Costa [Orientador] Grasiele Cristiane Jorge
Lígia Rodrigues Bernabé Naves Data de defesa: 15-03-2019
Programa de Pós-Graduação: Matemática Aplicada e Computacional
Identificação e informações acadêmicas do(a) aluno(a)
- ORCID do autor: https://orcid.org/0000-0002-6050-181
- Currículo Lattes do autor: http://lattes.cnpq.br/3351053280349699
Dissertação de Mestrado Profissional defendida em 15 de março de 2019 e
aprovada pela banca examinadora composta pelos Profs. Drs.
Prof(a). Dr(a). SUELI IRENE RODRIGUES COSTA
Prof(a). Dr(a). GRASIELE CRISTIANE JORGE
Prof(a). Dr(a). LÍGIA RODRIGUES BERNABÉ NAVES
A Ata da Defesa, assinada pelos membros da Comissão Examinadora, consta no SIGA/Sistema de Fluxo de Dissertação/Tese e na Secretaria de Pós-Graduação do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.
Agradecimentos
O ato de agradecer por vezes não é suficientemente capaz de expressar o verdadeiro sentimento da gratidão. Finalizar este curso representa para mim uma superação em vários sentidos, todos que me cercam sabem o esforço dedicado a isto e muitos contribuíram para que o êxito fosse alcançado. Espero conseguir agradecer, não apenas por estas poucas palavras, mas em gestos e atitudes a todos que constam e aos que não constam nesta pequena lista.
Agradeço a Deus, pois sem fé não se vai a lugar nenhum. A minha família pelo apoio, incentivo e suporte sempre que foi necessário, cito minha mãe Ana Lucia, minha sogra Alcilene Rodrigues, minhas primas Luana, Lia, Analu e ao César, quem me deu meu maior presente e fonte de inspiração e que se dedicou a ela quando não pude estar presente.
Agradeço a professora Sueli por toda ajuda, paciência, carinho e palavras de incentivo que me inspiram a ser uma profissional tão dedicada e competente como ela.
Um agradecimento especial as professoras Lígia Naves e Grasiele Jorge por par-ticiparem da banca, pelas correções e sugestões que contribuíram bastante para aprimorar este trabalho.
Aos meus verdadeiros amigos que estiveram comigo direta ou indiretamente nessa caminhada: Daniela Peres, Rafael Peres, Diego Frizo e Veralucia Carvalho, sem vocês não teria a mesma graça. Obrigada por terem feito deste período um grande momento de crescimento e aprendizagem na minha vida.
Agradeço também aos meus amigos professores e gestores do Sistema Modular de Ensino de Igarapé-Miri que me ajudaram a conciliar as aulas com os estudos e as viagens - são muitos para citar nomes, serei eternamente grata.
be regarded rather schematically as the exercise of a combination of two facilities, which we may call intuition and ingenuity.” (Alan Turing - “Systems of Logic Based on Ordinals”)
Resumo
Esta dissertação aborda o problema do empacotamento de esferas de mesmo raio no espaço euclidiano ndimensional, que tem como um marco a conjectura de Johannes Kepler (1611) sobre o empacotamento mais denso de esferas no espaço tridimensional. Esta proposição teve contribuições de importantes pesquisadores desde então e só foi provada em sua forma mais geral quase 4 séculos depois. No Capítulo 1 é apresentada uma breve introdução ao conceito de reticulado e suas propriedades, particularmente a densidade de um empacotamento quando os centros das esferas compõem um reticulado. Uma conexão natural entre códigos q-ários e reticulados (Construção A) e empacotamentos associados é descrita no Capítulo 2. O Capítulo 3 é dedicado ao problema do empacotamento de esferas em conjuntos discretos gerais incluindo abordagens históricas, resultados recentes (2017) para as dimensões 8 e 24 e problemas relacionados.
Palavras-chave: Empacotamentos de esferas, reticulados, códigos corretores de erro, códigos q-ários.
This dissertation approaches the problem of packing same radius spheres in the n- dimen-sional Euclidean space, which has the Johannes Kepler conjecture (1611) on the densest 3D-packing as a landmark. This proposition has had the contributions of important re-searchers since then and was proved in its general form only 4 centuries later. In Chapter 1 it is present a brief introduction to lattices and their properties, particularly packing density when the sphere centers compose a lattice. A natural connection between q-ary codes and lattices (Construction A) and associated sphere packings is depicted in Chapter 2. Chapter 3 is devoted to the sphere packing problem in general discrete sets including historical approaches, recent results (2017) for dimensions 8 and 24 and related problems.
Sumário
Introdução . . . 12
1 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE RETICULADOS . . . 14
1.1 Definições iniciais. . . 14
1.2 Empacotamento Esférico e Coberturas . . . 21
1.3 Reticulados Equivalentes . . . 26
1.4 Subreticulados . . . 29
1.5 Reticulado Dual. . . 30
1.6 Alguns Reticulados Importantes . . . 33
1.6.1 Reticulado Zn . . . 33
1.6.2 Reticulado Dn . . . 33
1.6.3 Reticulado An. . . 34
1.6.4 Reticulados E8, E7 e E6 . . . 35
1.6.5 Reticulado Leech Λ24 . . . 36
2 RETICULADOS E CÓDIGOS CORRETORES DE ERRO . . . 38
2.1 Definições Iniciais . . . 39
2.2 Códigos q-ários lineares . . . 42
2.3 Propriedades especiais para códigos lineares binários . . . 45
2.4 Códigos de Hamming . . . 46
2.5 Distância de Lee em Zq . . . 47
2.6 Construção A . . . 49
2.6.1 Construção do reticulado FCC . . . 51
2.6.2 Construção do reticulado E8 . . . 53
3 EMPACOTAMENTOS EM CONJUNTOS DISCRETOS . . . 56
3.1 Empacotamento Unidimensional . . . 56
3.2 Empacotamento Bidimensional: Lagrange, Axel Thue e Fejes Tóth. 57 3.3 Empacotamento Tridimensional: Gauss e Thomas Hales . . . 62
3.4 Empacotamento em dimensão 8 e 24: Viazovska, Cohn, Miller, Ku-mar e Radchenko . . . 73
12
Introdução
A ligação entre matemática e as demais áreas da ciência surpreende com sua sutileza na elaboração de problemas e complexidade na resolução destes.
Em uma carta publicada em 1611, Johannes Kepler (1571 - 1630) analisou o quão bela é a relação da matemática com a natureza e fez uma afirmação acerca da melhor forma de se organizar esferas no espaço. A resposta natural para este fato é reproduzida de maneira intuitiva pelos vendedores de frutas há muitos anos. Como acreditar que um fato aparentemente tão simples levou quase 400 anos para ser demonstrado?
Figura 1 – Empilhamento intuitivo de laranjas
A conjectura feita por Kepler deslumbra a mente de matemáticos há séculos. De maneira informal: dada uma caixa retangular suficientemente grande, como devemos proceder para colocar o maior número de esferas de mesmo tamanho de maneira a cobrir o maior espaço possível da caixa? Uma forma generalizada, para espaços n-dimensionais, foi apresentada por Hilbert no ICM-1900 (Paris) que em seu 18o problema: “Building up of space from congruent polyhedra”, aborda sobre a construção de um espaço através de poliedros congruentes. Originalmente, este problema está dividido em três partes e na terceira parte é proposto encontrar o “Empacotamento de esferas mais denso” (HILBERT et al., 1902).
Este problema permanece em aberto até os dias atuais exceto para 5 dimensões especiais - 1, 2 provado por Axel Thue (1910), 3 provado por Thomas Hales (1998), 8 e 24 recentemente provado por Maryna Viazovska, Henry Cohn, Abhinav Kumar, Stephen Miller, Danylo Radchenko (2017).
As primeiras demonstrações para o melhor empacotamento no plano e no espaço foram apresentadas por Joseph L. Lagrange (1733) e Carl F. Gauss (1831), respectivamente. Estas elegantes demonstrações assumem que os centros das esferas compõe estruturas
especiais conhecidas como “reticulados”. Reticulados são estruturas matemáticas com propriedades notáveis que apresentam inúmeras aplicações em diversos ramos das ciências.
Em teoria de informação, reticulados e empacotamentos possuem diversas aplicações ((COSTA S.; OGGIER et al., 2017) e referências neste texto). Esta área está relacionada com a nossa atual era digital, na busca por meios de transmitir e receber dados de uma maneira segura e confiável com a menor possibilidade de erros possível e tem como um marco fundamental o artigo “A Mathematical Theory of Communications” (SHANNON, 1948b) do matemático, engenheiro e criptógrafo Claude Shannon.
Em química no estudo da cristalografia ((BARLOW, 1883), (CONWAY J. H.; SLOANE, 1999) e referências nestes artigos) os reticulados se apresentam como estruturas atômicas dos sólidos cristalinos (ou estrutura cristalina). Tais estruturas se relacionam diretamente com a busca da melhor densidade do empacotamento de esferas uma vez que os átomos são vistos como esferas rígidas com diâmetros bem definidos, também conhecido como modelo da esfera rígida atômica, onde as esferas que representam átomos vizinhos se tocam, quanto mais rígido o material, mais densos (empacotados) estão os átomos.
O objetivo deste texto é reunir resultados importantes acerca de estudo dos reticulados, em especial do problema de empacotamento de esferas. Para isso o Capítulo 1 se baseia nos textos de (COSTA S.; OGGIER et al., 2017) e (CONWAY J. H.; SLOANE, 2013) para desenvolver um breve estudo dos principais resultados obtidos para reticulados bem como apresentar algumas construções importantes.
O Capítulo 2 trata da relação entre reticulados e Teoria da Informação através de códigos corretores de erro e se baseia nos textos de (LAVOR CARLILE C.; ALVES et al., 2012) e (HEFEZ; VILLELA, 2008), apresentando resultados importantes sobre o assunto e em especial a “Construção A” que possibilita a construção de reticulados através de códigos lineares.
O terceiro capítulo desta dissertação tem como referência os textos (CONWAY J. H.; SLOANE, 2013), (CONWAY J. H.; SLOANE, 1999), (CONWAY et al., 1994), (HALES, 2012), (COHN, 2016)„ (VIAZOVSKA, 2018), (NAVES, 2009). Este capítulo
é dedicado a resgatar os resultados conhecidos sobre o problema do empacotamento de esferas em conjuntos discretos gerais para as dimensões 1, 2, 3, 8 e 24 apresentando um pouco da história por trás das demonstrações e relacionando resultados acerca dos limitantes inferiores e superiores conhecidos, além dos principais problemas em aberto correlacionados com o assunto. Alguns dos tópicos deste trabalho constam no trabalho (SOUZA; COSTA,2018) “O problema do empacotamento de esferas: de Johannes Kepler
14
1
Introdução ao estudo de
reticulados
Apesar de haver uma recente formalização de sua teoria, os reticulados têm sido discutidos há muitos anos com problemas que datam de meados do século XVII.
Para compreender tais estruturas faremos agora um levantamento de conceitos e propriedades importantes sobre a teoria de reticulados, mostrando essencialmente as caracterizações de reticulado especiais, além dos conceitos em torno do problema de encontrar o melhor empacotamento esférico em reticulados para cobrir o espaço Rn. As principais referências usadas foram (COSTA S.; OGGIER et al., 2017) (CONWAY J. H.; SLOANE, 1999).
1.1
Definições iniciais
Um reticulado no Rné um conjunto formado pelas combinações lineares inteiras de um conjunto de vetores linearmente independentes no espaço. De uma maneira mais formal, podemos dizer que dados b1, b2, . . . , bm vetores linearmente independentes em Rn,
um reticulado Λ com base tb1, . . . , bmu é definido como:
Λ tα1b1 α2b2 αmbm; α1, . . . , αm P Zu.
Dizemos ainda que o número de vetores da base é o posto do reticulado Λ. No caso de m n, dizemos que o reticulado possui posto completo.
Podemos definir o reticulado Λ de forma matricial através de sua matriz geradora B. Esta é uma matriz cujas colunas formam uma base do reticulado, isto é,
Bnm
b1 b2 bm
.
O reticulado Λ será da forma
Λ tBu; u P Zmu.
se, ele pode ser escrito como x1 x2 .. . xn b1 b2 bm u1 .. . um .
Observemos que ao longo deste texto, se não for destacado de forma diferente, considera-remos vetores escritos matricialmente como colunas.
É importante ressaltar que a matriz B não é única pois, para m ¥ 2, um reticulado possui infinitas bases (Teorema 1.2) a seguir.
Exemplo 1.1. Vamos começar ilustrando quatro reticulados. O primeiro é o
reticu-lado quadrado Z2. Uma base natural para ele é tp1, 0q, p0, 1qu. O segundo reticulado apresentado é o conhecido como reticulado hexagonal ou A2, que pode ter como base
tp1, 0q, p1{2,?3{2qu. E outros dois reticulados Λ1 com base dada por tp2, 0q, p1, 1qu e Λ2
com base tp1, 1q, p1, 2qu. (Figura 2)
(a) Reticulado Z2 (b) Reticulado A2
(c) Reticulado Λ1 (d) Reticulado Λ2 Figura 2 –Reticulados em R2
1.1. DEFINIÇÕES INICIAIS 16
Exemplo 1.2. O reticulado cúbico Zn Rn (também chamado de reticulado inteiro) é o conjunto de todas as n-uplas de inteiros. Uma base para Zn é a base canônica do Rn te1 p1, 0, . . . , 0q, . . . , en p0, 0, . . . , 1qu. O reticulado Z2 está ilustrado na Figura 2 (a).
Exemplo 1.3. O reticulado de posto completo Dn Rn, é definido como
Dn tpx1, x2, . . . , xnq P Zn; x1 x2 xn é par u.
O reticulado Λ1 (Exemplo 1.1, Figura 2 (c)) é um exemplo de D2. O
reticu-lado D3 tem como base tp2, 0, 0q, p1, 1, 0q, p1, 0, 1qu é também conhecido como reticulado
cúbico de face centrada (sigla FCC, em inglês) - Figura 3.
Figura 3 –Reticulado FCC
Exemplo 1.4. Outro reticulado conhecido no espaço é o denominado como reticulado
cú-bico de corpo centrado (sigla BCC, em inglês), que possui como basetp2, 0, 0q, p0, 2, 0q, p1, 1, 1qu
(Figura 4).
Exemplo 1.5. O conjunto A2 tpx1, x2, x3q P Z3; x1 x2 x3 0u forma um reticulado
de posto 2 no R3 e tem como base tp1, 0, 1q, p0, 1, 1qu. Mais a frente veremos que o reticulado hexagonal e A2 são equivalentes (1.3) (Exemplo 1.16).
Um conjunto A P Rn é denominado discreto se existir r ¡ 0 tal que ao centrarmos bolas de raio r em quaisquer pontos do conjunto, estas bolas serão disjuntas em Rn. Prova-se, como definição alternativa ao conceito de reticulados que:
Teorema 1.1. Um subconjunto do Rn é um reticulado se, e somente se, é um subgrupo aditivo discreto.
A demonstração pode ser obtida em (CASSELS, 1997) p. 78.
Temos ainda que infinitas bases diferentes podem gerar o mesmo reticulado. O resultado a seguir envolve matrizes unimodulares, isto é, matrizes que possuem todas suas entradas formadas por números inteiros e cujo determinante é 1 ou 1.
Notação: Denotaremos um reticulado Λ gerado por uma base B por ΛpBq.
Teorema 1.2. Duas matrizes B e B geram o mesmo reticulado ΛpBq ΛpBq se, e somente se, existe uma matriz unimodular U tal que B BU.
A demonstração para esse resultado pode ser encontrada em (COSTA S.; OG-GIER et al., 2017), p.7.
Exemplo 1.6. Na Figura 5 vemos bases distintas para os reticulados do Exemplo 1.1. Observamos que através do Teorema1.2 temos que duas matrizes quadradas de posto completo digamos A e B, geram o mesmo reticulado se, e só se, o produto A B1 for uma matriz unimodular.
Exemplo 1.7. No Exemplo 1.1 e na Figura 5 temos como geradoras do reticulado Λ1 as
matrizes: B 2 1 0 1 e B 1 3 1 1 . Como B1 1{2 1{2 0 1 , a matriz U B.B1 1 2 1 1 é unimodular (tem entradas inteiras e det U 1) e
1 3 1 1 looomooon B 2 1 0 1 loooomoooon B 1 2 1 1 looomooon U .
1.1. DEFINIÇÕES INICIAIS 18
(a) Reticulado Z2 (b) Reticulado A2
(c) Reticulado Λ1 (d) Reticulado Λ2 Figura 5 – Bases diferentes que geram o mesmo reticulado.
Exemplo 1.8. Para o reticulado Λ2:
B 1 1 1 2 e B 3 2 3 1 1 1 1 2 1 1 2 1 . Exemplo 1.9. Da mesma forma para o reticulado Z2:
B 1 0 0 1 e B 1 2 1 3 1 0 0 1 1 2 1 3 . Exemplo 1.10. Para o reticulado hexagonal:
B 1 1{2 0 ?3{2 e B 3{2 7{2 ? 3{2 3?3{2 1 1{2 0 ?3{2 1 2 1 3 .
Nestes dois últimos casos temos que a matriz unimodular é dada por U 1 2 1 3 .
Uma forma importante de caracterizar um reticulado é através da matriz de Gram associada a uma matriz geradora B deste reticulado, definida como G BtB.
Cada elemento de G tGiju é obtido como o produto interno entre os vetores
da base bi e bj, Gij xbi, bjy. Para m ¥ 2, um reticulado possui infinitas matrizes de Gram,
uma vez que, para U unimodular, qualquer matriz G1 UtGU também será matriz de Gram para Λ.
O determinante de Λ é definido como o determinante de qualquer uma das suas matrizes de Gram detpΛq det G. Observamos que para qualquer base de Λ temos que os determinantes das matrizes de Gram são sempre os mesmos, pois o valor absoluto do determinante de uma matriz unimodular é 1.
Uma interpretação geométrica do determinante de um reticulado pode ser dada a partir do paralelotopo fundamental do reticulado, definido como
PpBq tα1b1 αmbm, 0¤ αi 1, i 1, . . . , mu.
Temos que o volume mdimensional do paralelotopo fundamental é dado por
VpPpBqq pdet Λq1{2.
Dado um reticulado Λ de posto completo, é possível verificar que a união disjunta de translações de PpBq por vetores de Λ é igual a todo espaço Rn ((COSTA S.; OGGIER et al., 2017) p.9) . Isto é, o paralelotopo fundamental PpBq cobre o Rn com translações por pontos de Λ. Veja Figura 6. Formalmente falando temos as seguintes propriedades de PpBq:
(i) Se x, y P Λ, x y então px PpBqq X py PpBqq H (ii) ¤
xPΛ
px PpBqq Rn
Temos outras regiões que podem cobrir o espaço Rn através de translações por pontos de Λ e definimos AP Rn como região fundamental de Λ alterando ligeiramente a propriedade (i) acima:
(i’) Para x, y P Λ, x y, px Aq e py Aq se intersectam no máximo na fronteira, e; (ii) ¤
xPΛ
px Aq Rn.
Dizemos também que Rné ladrilhado pela região fundamental A por translações por elementos de Λ.
1.1. DEFINIÇÕES INICIAIS 20
(a) Paralelotopo associado a base β1 tp2, 0q, p1, 1qu do reticulado
Λ1 e ladrilhamento gerado por esta região.
(b) Paralelotopo associado a base β2 tp1, 1q, p3, 1qu do reticulado
Λ1 e ladrilhamento gerado por esta região.
Figura 6 –Paralelotopos fundamentais distintos para bases distintas do reticulado Λ1
Devemos ressaltar que qualquer região fundamental de Λ tem o mesmo volume denotado por VpΛq rdetpΛqs1{2 ((ROGERS,1964) p.28).
Definimos a região de Voronoi de um ponto xP Λ como o conjunto de pontos do Rn que estão mais próximos de x do que qualquer outro ponto do reticulado. Usando a norma euclidiana temos que a região de Voronoi, VΛpxq no ponto x P Λ é o conjunto
VΛpxq ty P Rn;}x y} ¤ }z y}, @z P Λu.
Denotamos por VΛ a região de Voronoi da origem do reticulado Λ, VΛ VΛp0q.
Observamos que apesar do paralelotopo fundamental depender da base do reticulado, a região de Voronoi não depende da base escolhida mas apenas do reticulado. Temos ainda que, se um ponto está na fronteira de uma região de Voronoi então ele é equidistante a dois pontos do reticulado. A região de Voronoi de Λ é uma região fundamental do reticulado e portanto para um reticulado de posto máximo ΛpBq,
Exemplo 1.11. As regiões de Voronoi dos reticulados do Exemplo 1.1 ladrilhando o plano estão ilustradas na Figura 7.
(a) Reticulado Z2 (b) Reticulado A2
(c) Reticulado Λ1 (d) Reticulado Λ2
Figura 7 –Regiões de Voronoi cobrindo o plano em relação a cada reticulado.
1.2
Empacotamento Esférico e Coberturas
Iremos usar a notação Bnprq para denotar uma bola euclidiana ndimensional de raio r centrada na origem, isto é,
Bnprq tx P Rn;}x} ¤ ru
Um empacotamento esférico no Rn, é um conjunto de bolas de mesmo raio r ¡ 0 no Rn de forma que duas bolas diferentes se toquem em no máximo um ponto. Ou ainda, dado um conjunto discreto de pontos X Rn dizemos que o conjunto Bnprq X tBnprq x; x P Xu é um empacotamento esférico se r é o maior raio tal
que,
pintpBnprq x
iqq X pintpBnprq xjqq H,
1.2. EMPACOTAMENTO ESFÉRICO E COBERTURAS 22
A norma mínima ou distância mínima λ de um reticulado corresponde a menor entre todas as distâncias de vetores distintos do reticulado Λ, isto é,
λ min
0xPΛ}x}.
Observamos que ρ λ{2 é o maior raio para o qual as translações das bolas Bnpρq em x P Λ têm interiores disjuntos. Chamaremos ρ λ{2 de raio de
empacota-mento de Λ.
Além disso, a bolaBnpρq está contida e toca as fronteiras das regiões de Voronoi do reticulado Λ como pode ser visto na Figura 8.
Figura 8 –Bola de empacotamento tangenciando a região de Voronoi do reticulado Λ2
Um empacotamento reticulado é um empacotamento esférico em que o conjunto dos centros das esferas forma um reticulado Λ no Rn. Isto é, ele é definido como a união das translações das bolas Bnpρq por pontos de Λ.
Exemplos de empacotamentos são ilustrados na Figura 9.
Como o Rn pode ser ladrilhado pela região de Voronoi de um reticulado, temos que a porcentagem do espaço Rn que está sendo coberta pelas translações das bolasBnpρq por pontos do reticulado é dada pela seguinte razão
∆ VpB
npρqq
VpVΛq
V| detpBq|pBnpρqq (1.1) conhecida como densidade de empacotamento do reticulado.
O volume da bola VpBnpρqq é dado por V pBnpρqq ρnVBnp1q, em que o volume da bola euclidiana de raio 1 é dado pela seguinte fórmula (CONWAY J. H.; SLOANE, 2013) p. 9:
VpBnp1qq $ ' ' & ' ' % πn{2 pn{2q! se n é par e, 2nπpn1q{2ppn 1q{2q! n! se n é ímpar.
Observamos que fazendo n 2 temos uma bola em R2 e o volume acima é a área do círculo de raio 1 e, no caso de n 3 temos uma bola em R3 e obtemos a expressão conhecida para o volume da esfera unitária de raio 1, 4π
3 . (a) Reticulado Z2 : ρ 1{2; ∆Z2 0.785 (b) Reticulado A2 : ρ 1{2; ∆A2 0.9069 (c) Reticulado? Λ1 : ρ 2{2; ∆Λ1 0.785 (d) Reticulado? Λ2 : ρ 2{2; ∆Λ2 0.5236
Figura 9 – Empacotamentos por esferas de reticulados no plano
Exemplo 1.12. Para calcular a densidade de empacotamento do reticulado hexagonal A2
no plano, notamos que a matriz geradora de A2 é dada por
B
1 1{2 0 ?3{2
e detpBq ?3{2. Como a distância mínima é λ 1, o raio de empacotamento será ρ 1{2 e
VpA2q | detpBq|
? 3{2
1.2. EMPACOTAMENTO ESFÉRICO E COBERTURAS 24
O volume da bola euclidiana em R2 de raio ρ 1{2 é dado por: VpB2pρqq ρ2VpB2p1qq π
4,
e, de (1.1) a densidade de empacotamento é dada por: ∆ VpB 2pρqq VpA2q ?π{4 3{2 π ? 12 0.9069
Exemplo 1.13. No espaço tridimensional podemos calcular a densidade de empacotamento do reticulado FCC (Figura 10).
Tomando a base do Exemplo 1.3 temos que a matriz geradora é dada por
B 2 1 1 0 1 0 0 0 1
com detpBq 2, a distância mínima é λ ?2 e o raio de empacotamento ρ ?2{2. Logo,
VpΛF CCq | detpBq| 2.
O volume da bola euclidiana em R3 de raio ρ?2{2 é dado por: VB3pρq ρ3VB3p1q
? 2π 3 ,
e, a densidade do FCC é dada por: ∆ VB 3pρq VpΛF CCq ? 2π{3 2 π ? 18 0.7405.
Figura 10 – Empacotamento por esferas com centros no reticulado FCC em R? 3: ρ 2{2; ∆ΛF CC 0.7405
Para evitar utilizar a complicada fórmula do volume da bola em Rn para comparar reticulados de mesma dimensão, definimos a densidade de centro como
δpΛq ∆pΛq VpBnp1qq
ρn
VpΛq
Outra definição importante para empacotamentos esféricos é o conceito de kissing number.
Dizemos que o kissing number de um reticulado é o número de bolas do empacotamento que tocam uma bola fixa, que coincide com o número de vetores do reticulado que têm norma mínima não nula. Logo, para cada xP Λ o número de vetores y P Λ com x y que possuem dpx, yq }x y} mínima é o kissing number do reticulado, que denotaremos por τpΛq (Figura 11). Mais detalhes podem ser encontrados na Seção3.5.
Figura 11 – Kissing number : Em dimensão 1, τpΛq 2, em dimensão 2, τpA2q 6, em dimensão
3, τpΛF CCq 12.
Um conceito semelhante e de certa forma “dual” ao de empacotamento esférico é o de uma cobertura esférica, isto é, encontrar a melhor forma de cobrir o espaço com esferas que podem se sobrepor.
O raio de cobertura de um reticulado é definido como o menor µ tal que a translação de bolas Bnpµq por pontos de Λ cobre Rn, isto é,
¤
xPΛ
pBnpµq xq Rn.
Procuramos pelo arranjo “mais fino” possível de esferas que cubram todo o espaço Rn podendo haver sobreposição. Alguns exemplos de cobertura esférica podem ser vistos na Figura 12.
O “percentual de sobreposição” das esferas é medido usando o conceito de densidade de cobertura definida como:
ΘpΛq VB
npµq
1.3. RETICULADOS EQUIVALENTES 26 (a) Reticulado Z2 : µ ?2{2; θZ2 1.571 (b) Reticulado A2 : µ ? 3{3; θZ2 1.209 (c) Reticulado Λ1 : µ 1; θZ2 1.571 (d) Reticulado Λ2 : µ 1.1734; θZ2 1.4418
Figura 12 –Cobertura por esferas de alguns reticulados
Note que, para n¥ 2, a densidade de cobertura é sempre maior que 1, enquanto a densidade de empacotamento é menor que 1. Outros resultados podem ser encontrados na Seção 3.5.
1.3
Reticulados Equivalentes
Dois reticulados Λ1 e Λ2 contidos no Rn são equivalentes se as matrizes
geradoras B1 e B2 para Λ1 e Λ2, respectivamente, satisfazem: B2 c Q B1 U, c é uma
constante, Q é uma matriz ortogonal e U é uma matriz unimodular. Em particular, Λ1 e
Λ2 são congruentes se |c| 1. Diremos que c é a razão de semelhança de Λ1 para Λ2.
Notação: Escrevemos Λ1 Λ2 para dois reticulados equivalentes.
Exemplo 1.14. O reticulado gerado por
1 ?3{2 1{2 1 ?3{2 1{2
1 ?3{2 1{2 1 ?3{2 1{2 ?2 1{?2 1{?2 1{?2 1{?2 1 1{2 0 ?3{2 1 0 0 1 .
Este reticulado é obtido por uma rotação de 45o no sentido horário e uma expansão de um fator ?2 do reticulado hexagonal.
Exemplo 1.15. O reticulado gerado por
1 2{3 1 1{3
é equivalente ao reticulado Λ2 (Figura 13), pois
1 2{3 1 1{3 1 3 1 0 0 1 1 1 1 2 1 1 2 1
Figura 13 – À esquerda temos o reticulado Λ2 e à direita uma reflexão em torno do eixo x e
uma contração de 1{3 do reticulado Λ2.
Reticulados equivalentes são obtidos pela rotação, reflexão, expansão ou con-tração do reticulado original. Note que após feitas estas transformações os parâmetros dos reticulados discutidos anteriormente permanecem inalterados. Isto é, se multiplicarmos todos os vetores do reticulado por uma constante c ¡ 0, o volume do reticulado será aumentado de cn (isso se c maior que 1, pode ser diminuído se 0 c 1) e o raio de empacotamento e cobertura de c, enquanto a densidade de empacotamento e cobertura não mudam.
Podemos comparar reticulados de dimensões diferentes identificando um reticu-lado do Rn com sua inclusão em Rt, t¡ n, adicionando pt nq zeros nas coordenadas dos vetores da base.
1.3. RETICULADOS EQUIVALENTES 28
Exemplo 1.16. Vamos mostrar que o conjunto A2 do Exemplo 1.5 é equivalente ao
reticulado hexagonal.
De fato, uma base para o reticulado hexagonal em R3 pode ser escrita como B1 tp1, 0, 0q, p1{2,
?
3{2, 0qu e uma base do reticulado A2 pode ser escrita como B2
tp1, 1, 0q, p0, 1, 1qu assim as matrizes geradoras satisfazem B2 c Q B1 U, com as
matrizes abaixo relacionadas, 1 0 1 1 0 1 ?2 1{?2 1{?6 1{?3 1{?2 1{?6 1{?3 0 2{?6 1{?3 1 1{2 0 ?3{2 0 0 1 0 0 1
Portanto os reticulados hexagonal e A2 são equivalentes.
Proposição 1.1. Sejam Λ1 e Λ2 reticulados equivalentes (de posto completo), então temos
que:
1. Λ1 e Λ2 possuem mesma densidade de empacotamento (∆Λ1 ∆Λ2);
2. Λ1 e Λ2 possuem mesma densidade de cobertura (ΘΛ1 ΘΛ2);
3. Λ1 e Λ2 possuem o mesmo kissing number (τΛ1 τΛ2).
Demonstração: Como reticulados Λ1 e Λ2 são equivalentes, as bases B1 e B2 de Λ1 e
Λ2, respectivamente podem ser escritas como B2 c Q B1 U, com c constante, Q uma
matriz ortogonal e U uma matriz unimodular.
(1.) Se ρi e ∆i são o raio de empacotamento e a densidade de empacotamento de Λi, para
i 1, 2 respectivamente, temos:
mint}x}; x P Λ2x 0u mintc}y}; y P Λ1y 0u
c mint}y}; y P Λ1, y 0u.
Assim, o raio de empacotamento de Λ2 é ρ2 cρ1. Além disso, se M é a matriz
geradora de Λ1 então c Q M U é a matriz geradora de Λ2 e temos:
detpcQMUq detpcIq detpQq detpMq detpUq cndetpMq, concluindo que detpΛ2q cndetpΛ1q. Portanto,
∆Λ2 VpBnpρ 2qq | detpΛ2q| cnVpBnpρ1qq cn| detpΛ 1q| ∆Λ1.
O caso (2.) possui uma demonstração semelhante a de (1.). Para o caso (3.) note que as transformações ortogonais citadas (rotação, reflexão, expansão ou contração) apesar de alterarem o raio de empacotamento, não alteram a quantidade de pontos onde podem ser centradas as esferas e consequentemente não vai alterar a quantidade de bolas que tocam uma central, logo temos τΛ1 τΛ2. Dito de uma outra forma, o número de
vetores de norma mínima de ambos reticulados é o mesmo, embora as normas mínimas
sejam diferentes.
1.4
Subreticulados
Dados reticulados Λ e Λ1 tal que Λ1 Λ, Λ1 é dito um subreticulado de Λ. Proposição 1.2. Um subconjunto de um reticulado é um subreticulado se, e só se, é um subgrupo aditivo. Isto é, para quaisquer x e y em Λ1, x y e y também estão em Λ1.
Sejam Λ Rn um reticulado de posto completo com matriz geradora B e M uma matriz inteira. Se o det M 0, então a matriz A BM é geradora do subreticulado Λ1 Λ também de posto completo. Da mesma forma, seja A a matriz geradora de um subreticulado Λ1 Λ de posto completo então A pode ser escrita como produto BM para M uma matriz inteira.
Exemplo 1.17. O reticulado Λ2 tem matriz geradora B
1 1 1 2 . Considerando M1 2 0 0 2 e M2 4 2 0 4
, os subreticulados H11 e H21 gerados por BM1 e BM2,
estão representados na Figura 14.
(a) Reticulado Λ2 (b) Subreticulado H11 (c) Subreticulado H21
Figura 14 – Em laranja os pontos que formam o reticulado Λ2, em azul os pontos que formam
1.5. RETICULADO DUAL 30
1.5
Reticulado Dual
O reticulado dual de um reticulado Λ de posto completo é, por definição
Λ ty P Rn;xx, yy P Z @x P Λu.
Podemos construir geometricamente o dual de um reticulado de posto completo fazendo a união dos hiperplanos
Hm ty P Rn;xbm, yy k, k P Zu
onde tb1, . . . , bmu é uma base para Λ.
Vamos entender melhor o que acontece em dimensão 2. Seja um reticulado Λ R2 de posto completo gerado pelos vetores B tpb11, b21q, pb12, b22qu. Dado i P Z
temos o conjunto de vetores:
H1piq tpx1, y1q P R2;xpx1, y1q, pb11, b21qy x1b11 y1b21 iu.
Fixado pb11, b21q, x1b11 y1b21 i é uma reta no R2, variando o iP Z vamos
obter um conjunto de retas paralelas. Da mesma forma para o segundo vetor da base B, obtemos o conjunto de retas paralelas:
H2pjq tpx2, y2q P R2;xpx2, y2q, pb12, b22qy x2b12 y2b22 ju j P Z.
Colocando os conjuntos em um mesmo plano, cada reta de H1piq intersecciona H2pjq em um único ponto. A união desses pontos é o dual Λ.
Exemplo 1.18. Vamos encontrar o reticulado dual de Λ2 do Exemplo 1.1. Temos que
a matriz geradora B possui nas colunas os vetores b1 p1, 1q e b2 p1, 2q. Assim, os
conjuntos de retas H1 e H2 são dados por:
H1piq tpx1, y1q P R2; x1 y1 i, i P Zu,
H2pjq tpx2, y2q P R2;x2 2y2 j, j P Zu.
Fazemos a intersecção destas retas e encontramos o reticulado que tem como base B tp1, 0q, p2{3, 1{3qu, como pode ser visto na Figura 15.
Construir um reticulado dual unsando a definição pode ser complicado depen-dendo da dimensão do espaço que está sendo trabalhado. Podemos então relacionar os principais parâmetros do dual como segue:
Teorema 1.3. Se B é uma matriz geradora de um reticulado de posto completo Λ então pBtq1 é uma matriz geradora de Λ.
(a) H1 (b) H2 (c) H1X H2
(d) Λ2
Figura 15 – Passo a passo para encontrar o reticulado dual de Λ2
Demonstração:
Seja B P Rnn uma matriz geradora de Λ. Seja y P ΛppBtq1q, então y Bt u para algum uP Zn. Para cada xP Λ, x B v com v P Zn. Temos:
xx, yy xB v, pBtq1
uy vtBtpBtq1u vt u P Z. Logo, y pBtq1uP ΛpBq ñ ΛppBtq1q ΛpBq.
Por outro lado, sabendo que os espaços vetoriais gerados pelas colunas de B e de pBtq1 são iguais ao Rn podemos escrever um elemento y P ΛpBq como y pBtq1u para algum uP Rn. Precisamos mostrar que u pu1, u2, . . . , unq P Zn.
De fato, como y P ΛpBq então xx, yy P Z @x P ΛpBq. Para x bi, i-ésima
coluna de B, xy, biy xpBtq1u, biy utppBtq1qtu bi P Z ñ ut B1bi P Z @i ñ ut B1 B pu 1, u2, . . . , unq P Zn. completando a demonstração.
1.5. RETICULADO DUAL 32
Corolário 1.1. Se G é uma matriz de Gram para Λ, G1 é a matriz de Gram para Λ. Demonstração:
Pelo Teorema 1.3 temos que a matriz geradora de Λ é Bt, com B a matriz geradora de Λ. Como G Bt B temos:
G pBtqt Bt B1 Bt pBt Bq1. Portanto, G G1.
Corolário 1.2. VpΛq V pΛq1.
Demonstração:
Pelo Teorema 1.3 temos que a matriz geradora de Λ Bt, com B a matriz geradora de Λ. Portanto como VpΛq ?det Bt B temos:
VpΛq adetpBt pBtqtq adetpBt B1q adetpB Btq1 c 1 det B Bt 1 det Λ V pΛq 1. Corolário 1.3. pΛq Λ. Demonstração:
Pelo Teorema (1.3) temos que uma matriz geradora de Λ é Bt, com B a matriz geradora de Λ,
pBtqt pppB1q1qtqt B.
Corolário 1.4. Se Λ1 Λ2 então Λ1 Λ2.
Demonstração:
Pelo Teorema 1.3 temos que a matriz geradora de Λ é Bt, com B a matriz geradora de Λ. Se B1 e B2 geram, respectivamente, os reticulados Λ1 e Λ2, temos, por
definição, que se Λ1 Λ2 então B1 c Q B2 U, para c constante, Q matriz ortogonal e
U matriz unimodular. Assim,
B1t pc Q B2 Uqt c pQ pB2 Uqqt c ppB2 Uq1 Q1qt c Q pB2 Uqt.
com Q Qt matriz ortogonal, pois a inversa transposta de uma matriz ortogonal é ortogonal. Logo, Λ1 Λ2.
1.6
Alguns Reticulados Importantes
Vamos agora listar os principais reticulados encontrados na literatura com suas características como densidade de empacotamento, raio de empacotamento, densidade de cobertura e kissing number. Todos os resultados são relativos à norma euclidiana. Esta seção foi baseada em (NAVES,2009), (COSTA S.; OGGIER et al., 2017) e (CONWAY J. H.; SLOANE, 2013).
1.6.1
Reticulado Z
nO reticulado cúbico Zn é definido como
Zn tpx1, . . . , xnq; x1, . . . , xn P Zu.
Este reticulado é unimodular, pZnq Zn, tem norma mínima 1, raio de empacotamento ρ 1{2, raio de cobertura ?n{2 e tem kissing number igual a 2n. Sua região de Voronoi é um cubo, densidade de empacotamento VpB
np1qq 2n , densidade de centro 2n e densidade de cobertura nn2VpB np1qq 2n .
1.6.2
Reticulado D
nO reticulado xadrez Dn definido no Exemplo (1.3) é o conjunto de todos os
vetores inteiros do Rn, cuja soma das suas coordenadas é par.
1.6. ALGUNS RETICULADOS IMPORTANTES 34
Uma matriz geradora de Dn é
1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 .. . ... ... . .. ... ... 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 .
Temos que Dn tem norma mínima
?
2, seu volume é VpDnq 2, pois o detpDnq 4, sua
densidade central é 2n22, seu kissing number é 2npn 1q, raio de cobertura para n 3 é
µ 1 e para n ¥ 4 é µ c n 4, raio de empacotamento 1{ ? 2.
O reticulado Dn é o que tem a maior densidade de empacotamento em Rn para
n 3 (também conhecido como reticulado cúbico de face centrada - FCC (Figura 3)), n 4 e n 5.
1.6.3
Reticulado A
nDefinimos o reticulado An como
An tpx0, x1, . . . , xnq P Zn 1; x0 x1 xn 0u.
Um interpretação geométrica para Ané que ele pode ser visto como a interseção
do reticulado Zn 1 com o hiperplano pela origem perpendicular a e p1, 1, . . . , 1q. Sua matriz geradora é dada por:
1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 .. . ... ... . .. ... 0 0 0 1 0 0 0 1 .
O volume de An é dado por VpAnq
?
n 1. Sua norma mínima ?2, densidade de centro 2n2 pn 1q12 , kissing number npn 1q, raio de cobertura µ
? 2 2 2apn 1 aq n 1 1 2
onde a rpn 1q{2s é a parte inteira de pn 1q{2.
O reticulado hexagonal, como visto nos exemplos anteriores, é equivalente à A2, também A3 é equivalente a D3 ou ao reticulado FCC. Ambos são os reticulados mais
1.6.4
Reticulados E
8, E
7e E
6O reticulado E8 também chamado de reticulado Gosset em razão de T. Gosset
ter sido o primeiro a estudar sua geometria, é formado pelos pontos px1, . . . , x8q P R8 tais
que todo xi P Z ou todo xi P Z 1{2 e x1 x2 . . . x8 é par.
Tem a seguinte matriz geradora: 2 1 0 0 0 0 0 1{2 0 1 1 0 0 0 0 1{2 0 0 1 1 0 0 0 1{2 0 0 0 1 1 0 0 1{2 0 0 0 0 1 1 0 1{2 0 0 0 0 0 1 1 1{2 0 0 0 0 0 0 1 1{2 0 0 0 0 0 0 0 1{2 .
Sua norma mínima é igual a ?2, densidade de centro igual a 1/16, kissing number 240, raio de empacotamento 1{?2.
O reticulado E8 tem a maior densidade de empacotamento em dimensão 8 e
tem também a menor densidade de cobertura desta dimensão. Ele será mais detalhado na Seção 3.4.
Os reticulados E7 e E6 são definidos como subreticulados de E8 como:
E7 tpx1, . . . , x8q P E8; x1 x8 0u.
Uma matriz geradora de E7 é dada por:
1 0 0 0 0 0 1{2 1 1 0 0 0 0 1{2 0 1 1 0 0 0 1{2 0 0 1 1 0 0 1{2 0 0 0 1 1 0 1{2 0 0 0 0 1 1 1{2 0 0 0 0 0 1 1{2 0 0 0 0 0 0 1{2 .
Podemos mostrar que o determinante de E7 é 2 e que tem norma mínima
? 2, kissing number 126, raio de empacotamento 1{?2 e densidade de centro 1{16.
Por fim,
1.6. ALGUNS RETICULADOS IMPORTANTES 36
Uma matriz geradora é a dada por: 0 0 0 0 0 1{2 1 0 0 0 0 1{2 1 1 0 0 0 1{2 0 1 1 0 0 1{2 0 0 1 1 0 1{2 0 0 0 1 1 1{2 0 0 0 0 1 1{2 0 0 0 0 0 1{2 .
Temos que o determinante de E6 é igual a 3, possui norma mínima
?
2, kissing number 72, raio de empacotamento 1{?2 e densidade central 1{8?3.
1.6.5
Reticulado Leech Λ
24O reticulado Λ24foi descoberto por Leech em 1967 (LEECH,1967). Uma matriz
geradora para tal reticulado é a dada por:
1 ? 8 8 4 4 4 4 4 4 2 4 4 4 2 4 2 2 2 4 2 2 2 0 0 0 3 0 4 0 0 0 0 0 2 0 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 2 2 0 0 1 0 0 4 0 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 1 0 0 0 4 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 2 0 2 0 0 1 0 0 0 0 4 0 0 2 0 0 0 0 0 2 2 0 0 2 2 2 2 0 0 1 0 0 0 0 0 4 0 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 4 2 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 2 0 2 2 0 0 2 2 2 2 2 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 2 0 2 0 2 0 2 0 0 0 2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 2 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 2 2 2 2 2 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 .
Temos que a matriz geradora apresenta determinante 1, norma mínima 2, kissing number 196560, raio de empacotamento 1 e densidade de centro 1.
A tabela 1 apresenta alguns resultados sobre os reticulados com respeito à densidade de empacotamento, kissing number e densidade de cobertura.
Dim Reticulado ∆pΛq kissing number ΘpΛq
1 Z 1 2 1 2 A2 0.9069 6 1.2092 3 D3 0.7450 12 1.4635 4 D4 0.6169 24 1.7655 5 D5 0.4653 40 2.1243 6 E6 0.3730 72 2.4648 7 E7 0.2953 126 2.900 8 E8 0.2537 240 3.2013 24 Λ24 0.0019 196560 7.9035
Tabela 1 – Melhores valores conhecidos com respeito a densidade de empacotamento, kissing
38
2
Reticulados e Códigos
Corretores de Erro
A área da teoria de informação tem como um marco o trabalho de Claude Shannon (SHANNON, 1948a), “A Mathematical Theory of Communications”. A teoria de códigos corretores de erros pode ser considerada como uma das subáreas da teoria de informação. Este capítulo é uma breve introdução a esta subárea com foco na conexão entre códigos e reticulados, que é feita através da chamada “Construção A”. Para reticulados assim construídos, podemos determinar a distância mínima e portanto a densidade de empacotamento através de parâmetros do código. As principais referências aqui utilizadas foram (LAVOR CARLILE C.; ALVES et al., 2012) e (HEFEZ; VILLELA, 2008).
Existem muitos exemplos de códigos que utilizam os chamados dígitos de controle. Por exemplo, o Cadastro de Pessoa Física (CPF) é um código composto por uma sequência de nove dígitos seguido por dois dígitos que verificam a validade do código. Tais dígitos são definidos de tal forma que n1n2n3n4n5n6n7n8n9 n10n11 com
n10 9 ¸ i1 i.ni mod 11 mod 10, n11 10 ¸ i2 pi 1q.ni mod 11 mod 10.
Assim, por exemplo podemos verificar se o CPF 143.657.221-58 é válido.
Para o primeiro dígito verificador temos:
n10 pp1 1 2 4 3 3 4 6 5 5 6 7 7 2 8 2 9 1q
mod 11q mod 10 p148 mod 11q mod 10 5 mod 10 5. Logo o primeiro dígito verificador é 5.
Para o segundo dígito verificador temos:
n11 pp1 4 2 3 3 6 4 5 5 7 6 2 7 2 8 1 9 5q
mod 11q mod 10 p162 mod 11q mod 10 8 mod 10 8.
Logo, o segundo dígito verificador é 8 portanto o número “143.657.221-58” representa um CPF válido.
Assim o CPF representa um código que consegue detectar erro (apesar de não corrigi-lo).
Podemos representar uma transmissão de dados através do seguinte esquema da Figura 16:
Figura 16 – Esquema simplificado de transmissão de dados
Trabalharemos apenas com códigos que são lineares e usam como alfabeto o conjunto Zq, dos inteiros módulo q. Introduziremos a seguir as definições e propriedades
iniciais da teoria dos códigos corretores de erro visando também a Construção A - uma das formas de se construir um reticulado a partir de um código, que facilita o cálculo da distância mínima e densidade de empacotamento.
2.1
Definições Iniciais
Primeiramente descrevemos alguns elementos que caracterizam um código. São eles:
• Alfabeto A é o conjunto finito formado por todos os símbolos que podem formar uma palavra.
Dizemos ainda que q |A| é a quantidade de elementos do alfabeto.
• Palavras são as sequências finitas de n-uplas formadas pelos símbolos do alfabeto. • Comprimento de uma palavra n é o número de símbolos usados para formar uma
palavra. Neste trabalho, todas as palavras terão o mesmo comprimento.
São muito utilizados os códigos binários que acontecem quando o alfabeto é formado por dois símbolos, particularmente, A Z2 t0, 1u, onde Z2 é o corpo dos
2.1. DEFINIÇÕES INICIAIS 40 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 Identificaremos 0 0 e 1 1.
Exemplo 2.1. Como um exemplo clássico (HEFEZ; VILLELA, 2008) vamos considerar a seguinte situação: Um robô pode se mover em quatro direções: leste (L), norte (N), oeste (O) e sul (S). Podemos estabelecer, usando um código binário a seguinte relação como código fonte: L 00, N 01, O 10 e S 11. Podemos codificar esta fonte pelo código-canal de tripla repetição assim:
L Ñ 00 Ñ 000000 N Ñ 01 Ñ 010101 O Ñ 10 Ñ 101010 S Ñ 11 Ñ 111111
Suponhamos que tenha sido enviada a mensagem 101010 para o robô, porém por conta de algum ruído (interferência) a mensagem recebida seja 100010. A primeira coisa a se notar é que a palavra recebida não consta na nossa codificação de canal logo apresenta erro. Por comparação podemos verificar que a palavra do código mais semelhante a uma palavra válida, isto é, que apresenta o menor número de dígitos distintos é 101010, exatamente a palavra transmitida. Logo pode-se detectar e corrigir o erro.
Assim, sempre que enviamos uma mensagem estamos sujeitos a interferências, conhecidas como ruídos, que podem causar erros na transmissão. Uma das formas de se conseguir que esta transmissão seja capaz de corrigir estes erros é inserir uma codificação na mensagem seja com redundâncias como no Exemplo 2.1 ou dígitos verificadores, como no CPF.
No Exemplo 2.1 temos que o código-canal é
C tp0, 0, 0, 0, 0, 0q, p0, 1, 0, 1, 0, 1q, p1, 0, 1, 0, 1, 0q, p1, 1, 1, 1, 1, 1qu,
que é um subespaço de dimensão dois em Z62. Para a decodificação feita neste exemplo
foi usado o princípio da máxima verossimilhança, isto é, procuramos a palavra que mais se assemelha (está mais próxima) à transmitida. Para entender esta proximidade iremos utilizar o conceito de distância de Hamming, nome dado em homenagem a Richard Hamming que introduziu importantes ideias a teoria da informação (Seção 2.4).
A distância de Hamming dH conta a quantidade de símbolos distintos entre
duas palavra. Assim, dados dois pontos x px1, x2, . . . , xnq e y py1, y2, . . . , ynq de An
temos que:
Exemplo 2.2. No Exemplo 2.1 estamos em Z62 e temos
dHpp1, 0, 1, 0, 1, 0q, p1, 0, 0, 0, 1, 0qq 1
enquanto em Z53 temos dHpp0, 2, 1, 1, 2q, p2, 1, 1, 1, 2qq 2.
Podemos definir ainda a distância de Hamming mínima de um código C An como
dhpCq mintdHpx, yq; x, y P C, x yu
Exemplo 2.3. Novamente, no exemplo 2.1 temos que, verificando todas as distâncias possíveis entre as palavras do código, a distância de Hamming mínima é 3.
O conceito de distância de Hamming mínima é muito importante pois indica a capacidade de correção de erro em códigos lineares binários. Códigos lineares serão definidos na próxima seção. A demonstração da proposição a seguir pode ser encontrada na p.7 de (MILIES,2009).
Proposição 2.1. Um código linear binário pode corrigir até Z
dh 1
2 ^
erros e detectar até pdh 1q erros se e somente se sua distância de Hamming mínima for d, onde a notação
tnu indica o maior inteiro que é menor ou igual a n.
A partir deste resultado observamos que as capacidades de detecção e correção de erros em um código acontecem quando introduzimos redundâncias e dependem da distância mínima do código. Aumentar a distância de Hamming mínima melhora a capacidade de correção e detecção de erros.
Dizemos ainda que dois códigos C e C1 são Hamming-equivalentes se existir uma isometria segundo a distância de Hamming α : An Ñ An, tal que C1 αpCq.
Sejam C An um código com distância de Hamming mínima dh d e
t Z
d 1 2
^
. O código é dito t-perfeito se, e somente se, a reunião de bolas disjuntas centradas em palavras do código com raio t cobre todo An, isto é,
¤
aPC
BHpa, tq An
onde BHpa, tq é a bola na métrica de Hamming de centro a e raio t. Isto é, se existe
um inteiro t, tal que, para todo x P An, existe uma única palavra-código c P C com dhpx, cq ¤ t.
Temos o seguinte resultado, cuja demonstração encontra-se em (HEFEZ; VIL-LELA, 2008) p. 5:
2.2. CÓDIGOS Q-ÁRIOS LINEARES 42
Para todo a P An e todo número natural t¡ 0, temos que |BHpa, tq| t ¸ i0 n i pq 1qi, (2.1)
onde q é a cardinalidade do alfabeto, q |A|.
Exemplo 2.4. Considere o código de tripla repetição abaixo: C tp0, 0, 0q, p1, 1, 1qu.
Para este código temos que a distância de Hamming mínima é 3. Logo, ele detecta dh 1 2 erros e corrige
Z 3 1
2 ^
1 erro. O código é formado por duas palavras. Calculando¤ |BHpa, tq| através de 2.1 temos |BHpa, 1q| 4, como temos duas palavras
aPC
BHpa, tq 8. E, temos também que |A3| 23 8. Logo o código acima é um código
1-perfeito.
2.2
Códigos q-ários lineares
Quando usamos como alfabeto o anel Zq dos números inteiros módulo q temos
os códigos q-ários. Tais códigos aparecem como uma extensão dos códigos binários.
Usaremos no estudo dos códigos qários o espaço Znq, que é o produto cartesiano do anel Zq de inteiros módulo q, com as operações de adição e multiplicação usuais. Já
exibimos as operações em Z2. Vejamos agora as operações em Z3 e Z6.
Z3 : 0 1 2 0 0 1 2 1 1 2 0 2 2 0 1 0 1 2 0 0 0 0 1 0 1 2 2 0 2 1 Z6 : 0 1 2 3 4 5 0 0 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 0 2 2 3 4 5 0 1 3 3 4 5 0 1 2 4 4 5 0 1 2 3 5 5 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 5 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 2 0 2 4 0 2 4 3 0 3 0 3 0 3 4 0 4 2 0 4 2 5 0 5 4 3 2 1
No produto cartesiano Znq consideraremos as operações soma e produto módulo
Um código linear C Znq é um subgrupo aditivo de Znq. Observamos que 0P C pois é o elemento neutro do grupo e que dados a, b P C, a b P C e c a P C para todo elemento cP Zq.
Exemplo 2.5. Por exemplo, C1 tp0, 0, 0q, p3, 3, 3qu P Z36 e C2 tap1, 2, 3q, a P Z7u
tp0, 0, 0q, p1, 2, 3q, p2, 4, 6q, p3, 6, 2q, p4, 1, 5q, p5, 3, 1q, p6, 5, 4qu Z3
7 são códigos lineares e
tp0, 0q, p1, 2qu Z2
5 não é.
Observação 2.1. Ressaltamos que existe uma diferença significativa na estrutura de Zq
conforme q seja um número composto ou um número primo. Para o caso de q ser composto, teremos elementos não nulos que não serão inversíveis com respeito a multiplicação. Tome q k1.k2 com k1, k2 0 e sejam k1 e k2 tais elementos. Então, se k1 for inversível
irá existir um elemento a P Zq, tal que k1 a 1. Assim k1.k2.a k2 q.a 0, uma
contradição. Para q p, número primo, temos uma situação especial pois Zp Fp é um
corpo, e os códigos lineares serão subespaços vetoriais de Znp.
Um código linear C Znq, também pode ser descrito por uma matriz geradora, cujas colunas são elementos geradores do código. Como no caso de reticulados, a matriz geradora não é única. No caso que q p primo, teremos uma base para o espaço vetorial que compõe o código e uma matriz geradora será formada por vetores desta base. O código será também a imagem de uma transformação linear injetiva:
T : Zkp Ñ Znp
px1, x2, . . . , xkq Ñ x1v1 x2v2 xkvk
Ñ Gnk px1, x2, . . . , xkqT
A matriz Gnk é chamada matriz geradora do código, tem posto k e é formada por
elementos de Zp. Neste caso C será dito umpn, kq código de bloco linear.
Para C Znp, código linear e p primo podemos escolher uma matriz geradora na forma padrão a menos de equivalência:
G Ikk Bpnkqk ,
onde Ikk é a matriz identidade de ordem k.
É importante ressaltar que toda matriz Mnk, k n, de elementos num corpo
K que tenha dimensão k pode ser reduzida por operações elementares de linhas e colunas a uma matriz da forma padrão. Com efeito, dada uma matriz geradora M de um código C, basta permutar linhas e ir escalonando a matriz M de modo a encontrar uma matriz
G
Ikk
Bpnkqk
2.2. CÓDIGOS Q-ÁRIOS LINEARES 44
Temos ainda que se a matriz geradora do código está na forma padrão a codificação é dada por:
Tpx1, x2, . . . , xkq px1, x2, . . . , xk, y1, y2, . . . , ynkq,
com yi1s combinações lineares dos x1is. E a codificação da palavra ej (vetor com zeros e 1
na j-ésima posição) é a j-ésima coluna de G.
Exemplo 2.6. No exemplo 2.1 temos que a matriz geradora é:
G 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 .
Exemplo 2.7. Considere o código C2 tap1, 2, 3q, a P Z7u sua matriz geradora será
G 1 2 3 .
Exemplo 2.8. Da mesma forma para o código de Hamming
H3 tpx1, x2, x3, x4, x5, x6, x7q P Z72; x5 x2 x3 x4, x6 x1 x3 x4, x7 x1 x2 x4u
temos a seguinte matriz geradora
G 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 .
Na Seção 2.4 veremos as propriedades deste código.
Dado um código C Znp de dimensão k definido por uma matriz geradora G, uma matriz de verificação ou matriz de paridade Hpnkqn é tal que
.
A próxima proposição pode ser obtida demonstrada em (MACWILLIAMS; SLOANE,1977) p.5. Para códigos binários vale lembrar que é válido B B.
Proposição 2.2. Seja G
Ikk
Bpnkqk
matriz geradora de um código C Znp. A matriz Hpnkqn
B Ipnkqpnkq
. H será a matriz de paridade associada.
Exemplo 2.9. Observando os bits de paridade podemos montar a matriz de verificação de paridade dos exemplos anteriores. No Exemplo 2.1 temos uma transformação linear que faz x3 x1, x4 x2, x5 x1, x6 x2 logo temos x1 x3 0, x2 x4 0, x1 x4
0, x2 x6 0 e temos como matriz de verificação de paridade:
H 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 .
Para o Exemplo 2.7 uma matriz de paridade pode ser dada por: H 5 1 0 4 0 1 .
E, no Exemplo 2.8 os bits de paridade adicionados na codificação são x5
x2 x3 x4, x6 x1 x3 x4 e x7 x1 x2 x4 logo temos x2 x3 x4 x5
0, x1 x3 x4 x6 0 e x1 x2 x4 x7 0 com a matriz de paridade:
H 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 .
Notemos que essas matrizes estão totalmente de acordo com a Proposição 2.2. Dizemos ainda que dado um vetor w P Zn, a imagem deste vetor pela matriz de paridade, H w P Znk, é chamada síndrome de w. Assim, um elemento vai pertencer ao código se, e só se, sua síndrome for o vetor nulo.
2.3
Propriedades especiais para códigos lineares binários
Como os códigos lineares são geometricamente uniformes podemos calcular a distância mínima de uma forma mais direta. Lembrando que em um código C contido em
An, com q palavras, para se encontrar a distância mínima precisamos calcular
qn 2
2.4. CÓDIGOS DE HAMMING 46
qnpqn 1q
2 distâncias entre duas palavras do código. Para o caso de C ser geometricamente uniforme fixamos uma palavra qualquer e calculamos as qn1 distâncias entre esta palavra e uma outra (LAVOR CARLILE C.; ALVES et al., 2012), p. 18. Em códigos lineares o ponto escolhido costuma ser o 0 e definimos o peso de x como a distância de Hamming de uma palavra x à palavra 0.
ωpxq dHpx, 0q
Proposição 2.3. A distância (de Hamming) mínima de um código linear binário C é o menor peso de um elemento não nulo deste código.
Proposição 2.4. Um código linear binário C tem distância de Hamming mínima d se e somente se o número mínimo de vetores-coluna da matriz de paridade linearmente dependentes é d.
As demonstrações das Proposições 2.3e2.4podem ser encontradas em (LAVOR CARLILE C.; ALVES et al., 2012) p. 18 e p. 19, respectivamente.
Um código linear binário Cpn, kq com distância de Hamming mínima d é dito de parâmetros pn, k, dq, ou seja Cpn, k, dq.
A Proposição 2.4 nos fornece uma limitação para a distância mínima uma vez que a matriz de paridade tem posto n k, o menor número possível de vetores-coluna l.d. é n k 1. Assim a limitação
d¤ n k 1
é chamada Cota de Singleton. Códigos lineares que satisfazem a igualdade d n k 1 são chamados de códigos com separação máxima MDS - “Maximum distance separable”.
Corolário 2.1. Códigos lineares binários corrigem pelo menos um erro se, e somente se, todos os vetores da matriz de paridade são distintos.
2.4
Códigos de Hamming
Em 1948, o matemático Claude Shannon introduziu nos Laboratórios Bell, nos Estados Unidos, a disciplina chamada Teoria da Informação, difundindo suas ideias publicadas em artigos que formaram um importante marco na área. Seu objetivo era incentivar o estudo da transmissão de informações com a correção de possíveis erros, para isso era necessária uma codificação que se adequasse ao canal de transmissão, possível provocador de ruídos que alterem a mensagem.
Um colega de Shannon, chamado Richard Hamming (1915-1998), conhecedor das ideias e conjecturas do amigo, tornou-se pioneiro na produção dos códigos corretores de erro com seu artigo (HAMMING, 1950). Tais códigos são conhecidos como códigos de Hamming e possuem utilidades práticas na matemática e em engenharias.
Um código de Hamming Hm Z2
m1
2 é um p2
m 1, 2m m 1q-código
linear binário, com matriz de paridade Hm que possui as colunas formadas por todos os
elementos não nulos de Zm2 .
Exemplo 2.10. Nos Exemplos 2.8 e 2.9, respectivamente, vimos a matriz geradora
G 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 e de paridade H 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1
para o código H3 obtido pela transformação linear associada à matriz G,
co-nhecido como código de Hamming Cp7, 4q.
Com os resultados apresentados neste capítulo temos que:
(i) A distância de Hamming mínima de um código H3 é 3, logo ela detecta dois erros e
corrige até um.
(ii) O código de Hamming é perfeito, assim todo elemento de Z22m1 está a uma distância
de no máximo um de uma palavra do código (demonstrado em (HEFEZ; VILLELA, 2008), p.100).
2.5
Distância de Lee em Z
qDefiniremos agora uma distância para códigos q-ários definida em Zq e Znq,
conhecida como distância de Lee (COSTA et al.,2004) (MUNIZ; COSTA,2003).
Sejam a e b em Zq definimos:
dLeepa, bq mint|a b|, q |a b|u.
Exemplo 2.11. Sejam 1 e 3 em Z6 então:
