Procedimento para gerar acelerogramas compatíveis com um espectro de

A tarefa de gerar acelerogramas artificiais não está necessariamente ligada à sua compatibilização com espectros de resposta previamente definidos. Em determinadas situações, quando da existência de dados suficientes para utilização de correlações empíricas de forma a determinar todos os parâmetros de interesse (PHA, duração da fase forte, intensidade de Arias, dentre outros) é possível gerar diretamente sinais que representem bem as condições típicas dos registros sísmicos no local de estudo, sem necessariamente ajustá-los a um espectro de referência.

Assim, aqui serão descritos dois procedimentos distintos: o primeiro se preocupa em gerar um sinal artificial que tenha as mesmas características que sinais típicos de terremotos, enquanto o segundo tem como objetivo ajustar um sinal pré- existente a um espectro de resposta específico. Neste trabalho, as duas metodologias foram utilizadas em conjunto.

Geração de acelerogramas compatíveis com sinais sísmicos

As ideias apresentadas aqui são muito similares àquelas descritas no desenvolvimento do Método do Vento Sintético. No entanto, há uma diferença fundamental no ponto de partida das duas metodologias. Enquanto que na primeira, utiliza-se um espectro de potência medido experimentalmente, aqui parte-se de um ruído branco – um sinal com densidade espectral de potência constante – que é, em seguida, filtrado para se chegar ao espectro de potência final desejado, correspondente a um sinal com características similares aos registros sísmicos típicos. Diversos filtros diferentes são propostos na literatura, e neste trabalho optou- se por utilizar dois deles – os mais largamente difundidos.

A justificativa para se partir de um ruído branco pode ser encontrada ao se examinar sua função de densidade espectral de potência, que é constante em um

intervalo definido de frequências. Isso quer dizer que a contribuição de todas as frequências nesse intervalo será de igual importância, o que causa registros com características similares aos registros sísmicos (VANMARCKE, 1976). O procedimento que será descrito foi retirado de Nguyen (2017) e é o mesmo utilizado pelo software Code_Aster. Parte-se do ruído branco, definido por:

𝑆 (𝜔) = 𝑆 𝑝𝑎𝑟𝑎 − 𝜔 ≤ 𝜔 ≤ 𝜔 (4.11)

Onde:

𝑆 (𝜔) é o ruído branco;

𝑆 é uma constante escolhida de forma a representar corretamente a potência total do processo. Uma expressão numérica para seu cálculo é apresentada em Clough e Penzien (1993);

𝜔 é a frequência máxima que se leva em consideração na análise. Usualmente, adotar 𝜔 correspondente a 𝑓̅ = 50 Hz é suficiente.

À densidade espectral de potência desse sinal inicial, dois filtros são aplicados:

– Filtro de Kanai/Tajimi (KANAI, 1957 e TAJIMI, 1960)

Esse filtro foi concebido para modelar as condições de solo do local de análise, sendo seus parâmetros, 𝜉 e 𝜔 , calibrados em função disso. Ele é dado por:

𝐻 (𝑖𝜔) =

1 + 2𝑖𝜉 _𝜔𝜔 1 − _𝜔𝜔 + 2𝑖𝜉 _𝜔𝜔

(4.12)

Os parâmetros 𝜉 e 𝜔 podem ser vistos como um amortecimento e uma frequência, respectivamente, característicos do solo da região em estudo. O efeito do filtro de Kanai/Tajimi é de atenuar fortemente frequências superiores a 𝜔 .

– Filtro de Clough & Penzien (CLOUGH; PENZIEN, 1993)

Os parâmetros 𝜉 e 𝜔 , indicados em (4.13), não têm interpretação física direta, sendo apenas valores numéricos escolhidos. O filtro de Clough & Penzien atenua fortemente frequências abaixo do valor de 𝜔 . Sendo assim, deve-se ter um certo cuidado ao escolhê-lo. Valores demasiadamente altos podem causar um efeito indesejado, retirando frequências baixas do sinal gerado que deveriam se fazer presentes (EDF, 2014).

𝐻 (𝑖𝜔) =

𝜔 𝜔

1 − _𝜔𝜔 + 2𝑖𝜉 _𝜔𝜔

(4.13)

O processo filtrado é, então, dado por:

𝑆 (𝜔) = 𝐻 𝐻 𝐻 𝐻 𝑆 (4.14)

Onde 𝐻 denota o conjugado complexo de um filtro.

Com essa densidade espectral de potência, considerando-se o processo aleatório definido no capítulo 2, chega-se, a partir das Eqs. (2.28) e (2.29), à seguinte expressão para representação do acelerograma artificial:

𝑎∗_{(𝑡) = 𝐶 cos(𝜔 𝑡 + 𝜙 )} (4.15) Com: 𝐶 = 2 𝑆 (𝜔) 𝑑𝜔 ( ) (4.16) Onde:

𝑛 é o número de harmônicos considerados no processo;

𝜔 é a frequência do i-ésimo harmônico, que pode ser dada por 𝜔 = 𝑖∆𝜔, sendo ∆𝜔 o passo de frequência adotado;

𝜙 é o ângulo de fase do i-ésimo harmônico, tomado de maneira aleatória e com uma função de densidade de probabilidade uniforme no intervalo [0; 2π).

Por fim, um último ajuste será feito. O processo apresentado é estacionário, ao passo que sismos reais não apresentam essa característica. Assim, ele é multiplicado por uma função envelope, sendo denominado agora quase estacionário, e dado por:

𝑎(𝑡) = 𝛾(𝑡) 𝑎∗_(𝑡) (4.17)

𝛾(𝑡) é a função envelope mencionada. Diversas expressões são propostas para ela por diferentes autores. Um exemplo de uma dessas expressões é (JENNINGS; HOUSNER; TSAI, 1968):

𝛾(𝑡) = ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ 𝑡 𝑡 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≤ 𝑡 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡 𝑒 ( ) _{𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 ≤ 𝑡} (4.18)

A Figura 20 ilustra sua forma:

Figura 20 - Função envelope

Fonte: Adaptado de Clough e Penzien, 1993

Existem diversas formas de se calibrar os parâmetros 𝑡 , 𝑡 e 𝑐. Para zonas onde há suficiente informação sobre a sismicidade local, eles podem ser correlacionados com parâmetros como magnitude do sismo e distância epicentral, (CLOUGH; PENZIEN,1993). Um exemplo desse tipo de correlação é dado na Figura 21. Nela, a duração da fase forte é expressa em função do tipo de terreno e da magnitude sísmica.

Figura 21 - Correlação entre a duração da fase forte e a magnitude de um sismo

Fonte: Dobry; Idriss; Ng, 1978

Ajuste de acelerogramas a um espectro de resposta

O procedimento iterativo de ajuste de um acelerograma a um espectro de resposta preespecificado descrito por Clough e Penzien (1993) é reproduzido a seguir, tendo como ponto de partida o acelerograma 𝑎(𝑡) gerado:

a) O acelerograma é normalizado para o nível de intensidade desejado, correspondente a 𝑎 ;

b) O acelerograma previamente gerado é denotado 𝑎( )_{(𝑡). Calcula-se sua}

transformada de Fourier, 𝐴( )_{(𝑖𝜔) e seu espectro de resposta em aceleração 𝑆}( )_(𝜔);

c) Compara-se o espectro do acelerograma artificial com o espectro da norma, e a razão 𝑅( )_{(𝜔) =} ( )( )

( ) é calculada;

d) Calcula-se 𝐴( )_{(𝑖𝜔) = 𝑅}( )_(𝜔)𝐴( )_(𝑖𝜔);

e) Tomando a transformada de Fourier inversa de 𝐴( )_{(𝑖𝜔), obtém-se}

𝑎( )_(𝑡);

f) O espectro 𝑆( )(𝜔) de 𝑎( )(𝑡) é comparado com o espectro da norma. Se a concordância é boa, o procedimento acabou. Caso contrário, deve-se voltar ao item “c” e repetir-se o processo até uma boa concordância ser obtida.

Obs.: como há uma correspondência direta entre 𝜔 e 𝑇, o espectro de resposta, previamente apresentado em função do período, é dado aqui diretamente em função da frequência.

Comentários sobre o procedimento

Alguns pontos relativos ao processo serão destacados ou esclarecidos aqui. O primeiro deles diz respeito à calibração dos parâmetros 𝜉 e 𝜔 do filtro de Kanai/Tajimi. Como já explicitado anteriormente, ela é feita em função das condições locais de solo do terreno. Para tal, é necessário ter acesso a registros históricos de sismos na localidade. Uma explicação detalhada de como realizar essa tarefa é dada em Rofooei, Mobarake e Ahmadi, (2001).

Essa fase é de extrema importância quando se pretende utilizar o acelerograma compatível com sinais sísmicos dado pelo procedimento descrito em 4.3.1 diretamente. No entanto, ela perde relevância quando o procedimento descrito em 4.3.2é aplicado em seguida, visto que o acelerograma é ajustado a um espectro específico (espectro esse que, inclusive, já reflete as condições de solo do local). Essa afirmativa vem do fato de que, ao realizar as iterações do procedimento, que multiplicam a transformada de Fourier do acelerograma pela razão 𝑅(𝜔), o sinal original, fortemente dependente dos parâmetros 𝜉 e 𝜔 vai progressivamente sendo

ajustado para se adequar ao espectro de resposta desejado, que apresenta condições de solo local diferentes das inicialmente arbitradas.

Um segundo ponto que merece destaque é a versatilidade do procedimento apresentado. Sendo aleatórios os ângulos de fase do processo que representa o acelerograma, um número infinito de sinais distintos pode ser gerado para um mesmo espectro. Tal fato é importante tanto do ponto de vista da caracterização estatística da resposta quanto do ponto de vista normativo, que, como já citado, exige que três (ver item 4.1.2) conjuntos de acelerogramas distintos sejam considerados.

Todo o procedimento explicado aqui foi implementado no software Code_Aster. O Anexo 3 apresenta um passo-a-passo de como fazer isso, além de alguns comentários adicionais sobre valores de parâmetros adotados.