ANDRÉ DE FIGUEIREDO STABILE
ANÁLISE DINÂMICA DE ESTRUTURAS CONSIDERANDO
AÇÕES DO TIPO VENTO E SISMO
NATAL-RN
2020
CENTRO DE TECNOLOGIA
André de Figueiredo Stabile
Análise dinâmica estocástica de estruturas considerando ações do tipo vento e sismo
Trabalho de Conclusão de Curso na modalidade Monografia, submetido ao Departamento de Engenharia Civil da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como parte dos requisitos necessários para obtenção do Título de Bacharel em Engenharia Civil.
Orientador: Prof. Dr. Petrus Gorgônio B. da Nóbrega Coorientadora: Profª. Drª. Selma H. Shimura da Nóbrega
Natal-RN 2020
Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN Sistema de Bibliotecas - SISBI
Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Central Zila Mamede Stabile, André de Figueiredo.
Análise dinâmica de estruturas considerando ações do tipo vento e sismo / Andre de Figueiredo Stabile. - Natal, 2020. 131 f.: il.
Monografia (graduação) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Centro de Tecnologia, Engenharia Civil, Natal, RN, 2020.
Orientador: Prof. Dr. Petrus Gorgônio Bulhões da Nóbrega. Coorientadora: Profa. Dra. Selma Hissae Shimura da Nóbrega. 1. Dinâmica das estruturas - Monografia. 2. Método do vento sintético - Monografia. 3. Análise sísmica - Monografia. 4. Espectro de resposta - Monografia. 5. Acelerogramas -
Monografia. I. Nóbrega, Petrus Gorgônio Bulhões da. II. Nóbrega, Selma Hissae Shimura da. III. Título.
RN/UF/BCZM CDU 624.042.8
André de Figueiredo Stabile
Análise dinâmica de estruturas considerando ações do tipo vento e sismo
Trabalho de conclusão de curso na modalidade Monografia, submetido ao Departamento de Engenharia Civil da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como parte dos requisitos necessários para obtenção do título de Bacharel em Engenharia Civil.
Aprovado em 21 de Outubro de 2020:
___________________________________________________ Prof. Dr. Petrus Gorgônio Bulhões da Nóbrega – Orientador
___________________________________________________ Profª. Drª. Selma Hissae Shimura da Nóbrega – Coorientadora
___________________________________________________ Prof. Dr. Sergio Hampshire de Carvalho Santos, UFRJ
___________________________________________________ Eng. Dr. Sergio Ricardo Pinheiro Medeiros
Natal-RN 2020
DEDICATÓRIA
AGRADECIMENTOS
Agradeço à TQS Informática Ltda. pela disponibilização do sistema TQS v. 21, que foi de importância essencial para a realização deste trabalho, e ao Eng. Dr. Sergio Ricardo Pinheiro Medeiros, pelos inúmeros e-mails trocados, que definitivamente melhoraram minha compreensão acerca do Método do Vento Sintético e sanaram diversas dúvidas que apareceram ao longo do caminho.
Agradeço, também, aos meus pais, Ana Karenina e Saulo, que me impulsionaram e sempre me incentivaram a fazer o que eu gosto.
Àquelas que, por vezes, fizeram papel de segundas mães: minhas avós Marluce e Nevinha e minha tia, Nina.
Em especial, ao meu avô, Evandro, que sempre foi uma referência e inspiração. Sem sua paciência infindável em me dar aulas de matemática talvez eu não estivesse escrevendo este trabalho.
Aos meus professores, que me cederam um pouco de conhecimento, seja na graduação ou antes. Seria impossível lembrar o nome de todos.
Particularmente a Selma, por ter confiado o suficiente em mim para me orientar em um projeto de pesquisa antes mesmo de me conhecer, e ter me acompanhado por praticamente todo o curso. O quanto eu aprendi com ela não pode ser medido.
E, com não menos importância, a Petrus, pela paciência, dedicação e orientação, não só neste trabalho, mas também em diversas outras ocasiões, acadêmicas ou não.
A todos os meus companheiros de curso, de 2015.1, ou que se agregaram depois. Sem eles meu tempo na UFRN teria sido bem menos alegre.
Por fim, ao meu namorado, Oziel, e meus amigos que estiveram mais próximos nesse final de ciclo: Amanda, Bia, Gabrielle, Larissa, Layse, Lucas, Teobaldo e Tiffany. Obrigado por sempre se fazerem presentes.
RESUMO
Análise dinâmica de estruturas considerando ações do tipo vento e sismo
Na etapa de análise estrutural há um conflito constante entre o grau de acurácia com o qual se deseja modelar um sistema físico e a complexidade do modelo. Nesse sentido, sempre é necessário que uma escolha seja feita com relação à qualidade da resposta que se deseja obter na idealização da realidade. Essa escolha é refletida, por exemplo, na representação das cargas aplicadas à estrutura, que podem ser modeladas como estáticas ou dinâmicas ou como determinísticas ou estocásticas. No contexto normativo brasileiro, a NBR 6123 – Ações de vento em edificações e a NBR 15421 – Projeto de estruturas submetidas a sismos – Procedimento definem métodos para a consideração de ações do tipo vento e sismo na análise estrutural. Todavia, a NBR 6123:1988 apresenta apenas um método estático equivalente (relativo ao procedimento dinâmico); já na NBR 15421:2006 dois métodos dinâmicos são apresentados: o Método do Espectro de Resposta (MER) e um procedimento de análise pelo Método da História no Tempo (MHT), além de outros dois procedimentos estáticos equivalentes. Desta forma, o presente trabalho se propôs a estudar dois métodos pautados em conceitos de dinâmica estocástica: o Método do Vento Sintético, que permite considerar a ação – dinâmica e estocástica – do vento nas edificações, e um procedimento de geração de acelerogramas artificiais compatíveis com um espectro de resposta sísmico, que dá subsídio à aplicação do procedimento de análise baseado na história no tempo. Depois de um estudo das duas metodologias, referentes às ações de vento e sísmicas, elas foram aplicadas na análise de três estruturas distintas. Por fim, os resultados obtidos foram validados, por meio de exemplos presentes na literatura ou por intermédio da comparação com respostas provenientes de análises realizadas no software para projeto de estruturas de concreto CAD/TQS.
Palavras-chave: Dinâmica das Estruturas. Método do Vento Sintético. Análise Sísmica. Espectro de Resposta. Acelerogramas.
ABSTRACT
Dynamical structural analysis considering wind and seismic actions
A constant conflict arises when designing a structure: how to idealize a real physical system model in order to obtain accurate results without making it highly complex. In this sense, choices need to be made, relatively to the quality of the response. These choices are reflected, for example, on how to idealize the applied loads, that can be considered as either static or dynamic or either deterministic or stochastic. Two Brazilian codes, NBR 6123 – Wind loads on structures and NBR 15421 – Seismic design of structures – Procedure define methods for the analysis of structures subjected to wind and seismic actions. However, NBR 6123:1988 code presents only one equivalent static force method (used for the dynamical procedure). Meanwhile, NBR 15421:2006 code defines two methods that take the dynamical features of the structure into account: the Spectral Method and the time-history procedure. Aside from these, two other equivalent static force procedures are available. Thus, this work focuses upon the study of two different methods based on the same concepts of stochastic dynamics: the Synthetic Wind Method, that allows to consider the – dynamical and stochastic – action of the wind in buildings, and a procedure for the generation, and adjustment to a target spectrum, of artificial accelerograms, that subsidies the application of the time-history analysis procedure. Both techniques were applied to three different structures and the numerical results were compared to those presented on the technical literature or to the response obtained on structural analysis performed using the CAD/TQS, a software for the design of concrete structures.
Keywords: Structural Dynamics. Synthetic Wind Method. Seismic Design. Response Spectrum. Accelerograms.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - Oscilador de um grau de liberdade ... 21
Figura 2 - Respostas total e em regime permanente ... 23
Figura 3 - Fator de amplificação de resposta ... 23
Figura 4 - Espectro de resposta em deslocamento para o terremoto de El Centro com 𝝃 = 2% ... 25
Figura 5 - Superposição modal ... 27
Figura 6 - Mapa para determinação da velocidade básica do vento ... 36
Figura 7 - Reprodução da Tabela 19 da NBR 6123:1988 ... 37
Figura 8 - Modelo discreto da NBR 6123:1988 ... 38
Figura 9 - Diferentes tipos de rajada perfeitamente correlacionada ... 43
Figura 10 - Logotipo do software de elementos finitos Code_Aster ... 48
Figura 11 - Logotipo do software CAD/TQS ... 49
Figura 12 - Aba de análise dinâmica no TQS ... 49
Figura 13 - Dados inicias a serem fornecidos para a análise ... 50
Figura 14 - Entrada de dados das diferentes rajadas a serem consideradas na análise ... 51
Figura 15 - Harmônico 1 da rajada 1 ... 52
Figura 16 - Harmônico 1 da rajada 2 ... 52
Figura 17 - Resultados no TQS ... 53
Figura 18 - Zoneamento sísmico do Brasil ... 54
Figura 19 - Espectro de resposta normativo típico ... 56
Figura 20 - Função envelope ... 63
Figura 21 - Correlação entre a duração da fase forte e a magnitude de um sismo ... 63
Figura 22 - Reservatório - Exemplo 1 ... 66
Figura 23 - Tabela de coeficientes do Método do Vento Sintético para o Exemplo 1 ... 69
Figura 24 - Exemplos de carregamentos sintéticos ... 69
Figura 25 - Deslocamentos máximos de topo por série de carregamento para o Exemplo 1 ... 71
Figura 26 - Deslocamento do topo representativo – Code_Aster – Exemplo 1 ... 72
Figura 27 - Planta baixa do edifício do caso de análise 2 ... 73
Figura 28 - Primeiro modo - Code_Aster ... 75
Figura 29 - Segundo modo - Code_Aster... 75
Figura 30 - Terceiro modo - Code_Aster ... 75
Figura 31 - Primeiro modo - TQS ... 75
Figura 32 - Segundo modo - TQS ... 75
Figura 33 - Terceiro modo - TQS ... 75
Figura 34 - Quarto modo - Code_Aster ... 76
Figura 35 - Quarto modo - Code_Aster ... 76
Figura 36 - Sexto modo - Code_Aster ... 76
Figura 37 - Quarto modo - TQS ... 76
Figura 39 - Sexto modo - TQS ... 76
Figura 40 - Deslocamentos horizontais - Vento Estático - Exemplo 2 ... 77
Figura 41 - Tabela de coeficientes - Método do Vento Sintético - Exemplo 2 ... 80
Figura 42 - Comparação dos deslocamentos de topo flutuantes - Exemplo 2 ... 81
Figura 43 - Deslocamento de topo representativo (parcela flutuante) - Code_Aster - Exemplo 2 .... 82
Figura 44 - Deslocamento de topo representativo (parcela flutuante) - TQS - Exemplo 2 ... 83
Figura 45 - Primeiro modo de vibração - Exemplo 3 ... 85
Figura 46 - Segundo modo de vibração - Exemplo 3 ... 85
Figura 47 - Terceiro modo de vibração - Exemplo 3 ... 85
Figura 48 – Deslocamentos horizontais – Procedimento estático – Exemplo 3 ... 86
Figura 49 - Deslocamento horizontal - Vento dinâmico - Exemplo 3 ... 87
Figura 50 - Tabela de coeficientes - Método do Vento Sintético - Exemplo 3 ... 89
Figura 51 - Comparação dos deslocamentos de topo flutuantes - Exemplo 3 ... 90
Figura 52 - Deslocamento de topo representativo (parcela flutuante) - Code_Aster - Exemplo 3 .... 91
Figura 53 - Deslocamento de topo representativo (parcela flutuante) - TQS - Exemplo 3 ... 91
Figura 54 - Espectro de resposta considerado ... 94
Figura 55 – Influência do número de iterações no espectro sintético ... 94
Figura 56 - Acelerograma - Espectro com 15 iterações ... 96
Figura 57 - Velocidade do solo - Espectro com 15 iterações ... 96
Figura 58 - Deslocamento do solo - Espectro com 15 iterações ... 96
Figura 59 - Deslocamento de topo relativo - Carregamento representativo - Exemplo 1 ... 98
Figura 60 - Deslocamentos de topo - Análise com o histórico no tempo - Exemplo 2 ... 101
Figura 61 - Aceleração absoluta de topo - Carregamento representativo - Exemplo 2 ... 101
Figura 62 - Deslocamento relativo de topo - Carregamento representativo - Exemplo 2 ... 101
Figura 63 - Esforço normal nos pilares - Carregamento representativo - Exemplo 2 ... 102
Figura 64 - Esforço cortante nos pilares - Carregamento representativo - Exemplo 2 ... 102
Figura 65 - Momento fletor nos pilares - Carregamento representativo - Exemplo 2 ... 102
Figura 66 - Esforço cortante nas vigas - Carregamento representativo - Exemplo 2 ... 102
Figura 67 - Momento fletor nas vigas - Carregamento representativo - Exemplo 2 ... 103
Figura 68 - Evolução temporal do esforço normal no pilar P9 ... 103
Figura 69 - Evolução temporal do esforço cortante no pilar P11 ... 103
Figura 70 - Evolução temporal do momento fletor na viga V4 ... 104
Figura 71 - DMF - Viga V4 - Carregamento representativo - Exemplo 2 ... 104
Figura 72 - Deslocamentos de topo - Análise com o histórico no tempo - Exemplo 3 ... 107
Figura 73 - Aceleração absoluta de topo - Carregamento representativo - Exemplo 3 ... 108
Figura 74 - Deslocamento relativo de topo - Carregamento representativo - Exemplo 3 ... 108
Figura 75 - Momento fletor na base - Carregamento representativo - Exemplo 3 ... 108
Figura 76 - Esforço cortante na base - Carregamento representativo - Exemplo 3 ... 109
Figura 77 - Tela inicial do Code_Aster ... 124
Figura 79 - Comando LIRE_FONCTION ... 126
Figura 80 - Comando GENE_ACCE_SEISME - Parte 1 ... 127
Figura 81 - Comando GENE_ACCE_SEISME - Parte 2 ... 127
Figura 82 - Opção SPEC_UNIQUE ... 128
Figura 83 - Comando RECU_FONCTION... 129
Figura 84 - Comando CALC_FONCTION ... 129
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 - Fatores de amplificação sísmica no solo ... 56
Tabela 2 - Dados de entrada - Vento dinâmico - Exemplo 1 ... 68
Tabela 3 - Forças - Vento dinâmico - Exemplo 1 ... 68
Tabela 4 – Forças devido ao vento por harmônico para o Exemplo 1 ... 70
Tabela 5 - Comparação dos valores obtidos com os de Lazanha (2003) ... 71
Tabela 6 - Comparação entre os diferentes métodos - Exemplo 1 ... 72
Tabela 7 - Modos de vibração do Exemplo 2 ... 74
Tabela 8 - Modos de vibração em X - Exemplo 2 ... 78
Tabela 9 - Fatores de amplificação dinâmica - Vento dinâmico - Exemplo 2 ... 78
Tabela 10 - Dados de entrada - Vento dinâmico - Exemplo 2 ... 78
Tabela 11 - Forças aplicadas - Vento dinâmico - Exemplo 2 ... 79
Tabela 12 - Deslocamentos - Vento dinâmico - Exemplo 2 ... 79
Tabela 13 - Determinação das pressões de vento - Método do Vento Sintético - Exemplo 2 ... 80
Tabela 14 - Determinação do centro de rajadas (resultados devidos à parcela dinâmica apenas) .. 81
Tabela 15 - Comparação dos deslocamentos máximos (parcela flutuante) – Método do Vento Sintético - Exemplo 2... 83
Tabela 16 - Comparação entre os diferentes métodos - Exemplo 2 ... 83
Tabela 17 - Períodos próprios - Exemplo 3 ... 84
Tabela 18 - Fatores de amplificação dinâmica - Vento dinâmico - Exemplo 3 ... 87
Tabela 19 - Dados de entrada - Vento dinâmico - Exemplo 3 ... 87
Tabela 20 - Determinação das pressões de vento - Método do Vento Sintético - Exemplo 3 ... 88
Tabela 21 - Comparação dos deslocamentos máximos (parcela flutuante) - Método do Vento Sintético - Exemplo 3... 90
Tabela 22 - Comparação entre os diferentes métodos - Exemplo 3 ... 91
Tabela 23 - Erro na aproximação do espectro alvo em função do número de iterações ... 95
Tabela 24 - Acelerações máximas - Espectro da NBR - Exemplo 1 ... 98
Tabela 25 - Cálculo controlado pelo Método Espectral - Exemplo 2 ... 100
Tabela 26 - Comparação de resultados - Análise com Code_Aster e com o TQS - Exemplo 2 ... 105
Tabela 27 - Cálculo manual pelo Método Espectral - Exemplo 3 ... 106 Tabela 28 - Comparação de resultados - Análise com o Code_Aster e com o TQS – Exemplo 3 . 109
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO ... 15 1.1 Tema e Motivação ... 15 1.2 Objetivos ... 18 Objetivo Geral ... 18 Objetivos Específicos ... 18 1.3 Organização da Monografia ... 192. CONCEITOS DE DINÂMICA DAS ESTRUTURAS ... 21
2.1 Dinâmica de um sistema de um grau de liberdade ... 21
2.2 Dinâmica de um sistema de com múltiplos graus de liberdade ... 25
2.3 Análise no domínio da frequência ... 29
2.4 Dinâmica estocástica das estruturas ... 30
3. MÉTODO DO VENTO SINTÉTICO ... 34
3.1 Procedimentos de análise da NBR 6123:1988 ... 34
Procedimento estático ... 34
Procedimento dinâmico ... 36
3.2 Formulação do Método do Vento Sintético (FRANCO, 1993) ... 39
3.3 Procedimento para aplicação do Método do Vento Sintético ... 44
Velocidade característica do vento ... 44
Parcela média e parcela flutuante ... 45
Velocidades características do vento ... 45
Cálculo das pressões de vento ... 46
Ações de vento aplicadas na estrutura ... 46
Preconizações práticas ... 47
3.4 Aplicação do Método do Vento Sintético ... 48
4. GERAÇÃO DE ACELEROGRAMAS ARTIFICIAIS ... 54
4.1 Conceitos básicos da NBR 15421:2006 ... 54
A análise com o histórico de acelerações no tempo ... 58
4.2 Parâmetros característicos de sismos ... 59
4.3 Procedimento para gerar acelerogramas compatíveis com um espectro de resposta ... 60
Geração de acelerogramas compatíveis com sinais sísmicos ... 60
Ajuste de acelerogramas a um espectro de resposta ... 63
Comentários sobre o procedimento ... 64
5. ANÁLISES E DISCUSSÃO – AÇÃO DE VENTO ... 66
5.1 Caso 1 ... 66
Descrição da estrutura e modelo adotado ... 66
Vento estático – procedimento da NBR 6123:1988 ... 67
Vento dinâmico – procedimento da NBR 6123:1988 ... 68
Método do Vento Sintético ... 68
5.2 Caso 2 ... 72
Descrição da estrutura e modelo adotado ... 72
Vento estático ... 77
Vento dinâmico – procedimento da NBR 6123:1988 ... 77
Método do Vento Sintético ... 79
5.3 Caso 3 ... 84
Descrição da estrutura e modelo adotado ... 84
Vento estático – procedimento da NBR 6123:1988 ... 85
Vento dinâmico – procedimento da NBR 6123:1988 ... 86
Método do Vento Sintético ... 88
6. ANÁLISES E DISCUSSÃO – AÇÕES SÍSMICAS ... 93
6.1 Espectro de resposta utilizado e acelerogramas artificiais gerados ... 93
6.2 Caso 1 ... 97
Dados modificados da estrutura ... 97
Análise para o espectro da NBR 15421:2006 ... 97
Método Espectral ... 99
Cálculo considerando a história no tempo ... 100
6.4 Caso 3 ... 105
Método Espectral ... 106
Cálculo considerando a história no tempo ... 107
7. CONCLUSÃO ... 110
REFERÊNCIAS ... 113
ANEXO 1 – PROGRAMA VENTO SINTETICO ... 117
ANEXO 2 – PROGRAMA FORCAS PREDIO VS ... 121
ANEXO 3 – GERAÇÃO DE ACELEROGRAMAS ARTIFICIAIS EMPREGANDO O CODE_ASTER ... 124
1. INTRODUÇÃO 1.1 Tema e Motivação
Analisando-se as tendências de urbanização das últimas décadas, é possível notar que, face ao rápido crescimento populacional dos centros urbanos, a verticalização tem se apresentado como uma das alternativas frente à falta de espaço habitacional. Dessa forma, prédios cada vez mais altos, e consequentemente esbeltos, são construídos corriqueiramente. Nesse tipo de edificação, a etapa de modelagem matemática assume um valor de cada vez mais importância. Logo, é pertinente defini-la formalmente: a modelagem matemática estrutural pode ser entendida como uma fase do projeto estrutural na qual um sistema de equações é proposto para idealizar o comportamento do sistema físico de interesse – ou seja, a estrutura (BRASIL; BALTHAZAR; GÓIS, 2015).
Nela, há um conflito constante entre o grau de acurácia com o qual se deseja modelar o sistema físico e a complexidade do modelo. Caso opte-se por um modelo demasiadamente simplificado, a resposta estrutural prevista poderá deixar de se assemelhar com aquela da realidade. Contudo, caso o modelo se torne muito complexo e abrangente, os recursos associados ao tempo despendido nas análises e à aquisição de equipamentos (computadores pessoais ou estações de trabalho) mais potentes poderão ser expressivos, e os resultados das análises podem resultar, ainda assim, inadequados ou de difícil interpretação.
Assim, sempre é necessário que uma escolha seja feita com relação à qualidade da resposta que se deseja obter na representação idealizada do sistema físico. Essa escolha é refletida em diversos aspectos da análise: comportamento do material, consideração ou não de efeitos não-lineares e representação das cargas, por exemplo.
Com relação à representação das cargas, em particular, podem-se identificar alguns tipos de ação específicos. Ações estáticas ou quase-estáticas são aquelas que não se alteram com o passar do tempo ou são aplicadas de forma muito lenta, não ativando, portanto, as forças inerciais; enquanto ações dinâmicas apresentam variação temporal, seja com relação à sua posição de aplicação – e nesse caso usualmente são chamadas de cargas móveis – seja com relação à sua intensidade, direção ou sentido.
Se uma ação segue um padrão estabelecido, de tal forma que seu valor em qualquer tempo futuro pode ser previsto pela história passada, é chamada de determinística. Caso contrário, se o valor da ação for imprevisível, exceto quando fundamentado em estudos de probabilidade, a ação é chamada de aleatória ou estocástica.
Retoma-se, agora, a discussão relacionada às edificações esbeltas. Nelas, as ações laterais dinâmicas, a citar o vento e os sismos, têm importância acentuada, devido à possibilidade de ocorrência de fenômenos de amplificação de resposta, pelas características naturais da estrutura. A consideração de tais efeitos é, inclusive, obrigatória, segundo a NBR 6123 – Forças devido ao vento em edificações (ABNT, 1988), para estruturas com período fundamental de vibração superior a 1s para ações de vento, e segundo a NBR 15421 – Projeto de estruturas resistentes a sismos (ABNT, 2006), para determinadas regiões do Brasil, no caso de ações sísmicas.
Ademais, a modelagem matemática de tais carregamentos é uma tarefa por si só árdua, graças ao caráter aleatório da distribuição espacial e temporal das pressões de vento ou das acelerações do solo. Tais características fazem com que a resposta estrutural perante essas ações seja mais bem definida considerando seu caráter estocástico.
Como já mencionado, é sempre possível considerar tais efeitos de forma simplificada. É isso que a NBR 6123:1988 e a NBR 15421:2006 fazem ao propor o método do vento dinâmico (onde se considera as ações dinâmicas de uma forma estática equivalente), e o método das forças horizontais equivalentes (onde a ação sísmica é considerada estática tomada como sendo uma fração das cargas verticais), respectivamente.
A adoção de tais métodos simplificados é compreensível para estruturas que não exijam uma análise mais minuciosa. No entanto, no caso de sistemas complexos, elas podem deixar de ser suficientes. No caso da NBR 6123:1988, nenhuma outra análise que considere os efeitos dinâmicos do vento é apresentada. Isso pode ser compreendido levando em conta seu ano de publicação, período no qual os recursos computacionais eram limitados, o que restringia, também, o grau de complexidade dos métodos de análise passíveis de aplicação. Já no caso da NBR 15421:2006, a possibilidade de utilização de métodos mais completos – o Método Espectral e um procedimento de análise com o histórico de acelerações no tempo – é prevista. A aplicação do primeiro desses métodos é inteiramente viabilizada pela norma, que
apresenta um espectro de resposta a ser utilizado em função das características locais do solo na região da edificação. A aplicação do segundo, entretanto, é restrita, pela falta de registros sísmicos naturais em território nacional.
Para o caso das análises relativas ao vento, um método, não integrado à norma e denominado Método do Vento Sintético (MVS), foi proposto pelo Prof. Dr. Mário Franco (FRANCO, 1993), o qual tem sido alvo de pouco estudo desde então, apesar de seu potencial de aplicação. Ele se apoia na ideia de considerar a ação de vento como sendo uma superposição de diferentes componentes harmônicas, cujas amplitudes são definidas a partir de um espectro de potência obtido experimentalmente.
O método apresenta como ponto positivo não apenas o fato de fornecer a evolução temporal da resposta – considerando todas as características dinâmicas da estrutura no processo e de forma que pode ser aplicado em análises não-lineares – mas também de levar em conta o caráter aleatório da ação de vento, gerando diversas combinações de harmônicos distintas e analisando estatisticamente o conjunto de respostas obtidas ao final.
Muito embora tenha sido desenvolvido originalmente em 1993, o Método do Vento Sintético passou por algumas revisões (FRANCO, 2003) e (FRANCO; MEDEIROS, 2011). As principais modificações, na primeira delas, foram uma leve alteração na forma de escolher as frequências dos harmônicos que compõe o vento e a adoção de uma ideia proposta por Carril (2000) para cálculo da intensidade da turbulência do vento, variável com a altura. Já na segunda revisão, houve uma alteração na forma de normalizar as amplitudes das componentes harmônicas, de forma a corrigir um problema que surgia – ligado à conservação da energia cinética do vento – quando se aumentava o número de harmônicos do que havia sido originalmente proposto. Adicionalmente, alterou-se também o período de medição associado à parcela média de pressão do vento.
Além do próprio Franco, diversos outros autores aplicaram o método para análise dinâmica no domínio do tempo, tanto para estruturas com comportamento linear (CARRIL, 2000), (CERUTTI, 2017) e (MARTINS, 2018), quanto não-linear (LAZANHA, 2003), (BRASIL; DA SILVA, 2015) (PAULA E SILVA, 2017).
No caso de análises sísmicas, a geração de acelerogramas artificiais, compatíveis com o espectro de resposta da NBR 15421:2006, é uma forma de contornar a falta de registros sísmicos em território brasileiro. Essa ideia já existe de
longa data, podendo-se citar trabalhos importantes como os de Kanai (1957), Tajimi (1960), Vanmarcke (1976) e Clough e Penzien (1993). Diversos códigos computacionais para esse tipo de análise também foram propostos, tais como SIMQKE (GASPARINI; VANMARCKE, 1976) e EQGEN86 (CHANG; LIEN; HUANG, 1987). É possível citar, também, trabalhos mais recentes, e nacionais, que tratam sobre esse tema: o de Rodrigues (2012) e o de Brito (2017), o primeiro deles tendo dado fruto a um software dedicado à geração de acelerogramas artificiais, o ARTQUAKE (SANTOS; LIMA; RODRIGUES, 2014).
Na presente monografia, propõe-se adotar um procedimento baseado no descrito por Clough e Penzien (1993), apresentado por Nguyen (2017) e que é o mesmo utilizado no software Code_Aster (EDF, 2017). Ele tem uma base teórica muito similar àquela do Método do Vento Sintético, razão pela qual foi decidido tratar dos dois em conjunto nesse trabalho.
É importante frisar, ainda, que o período no qual esse trabalho foi escrito é oportuno para essa discussão, já que NBR 6123:1988 se encontra em processo de revisão, ao passo que a NBR 15421:2006 entrará em breve. Assim, espera-se poder contribuir de alguma forma para sua atualização
Ante ao exposto, o presente trabalho se propõe a investigar a resposta dinâmica de estruturas, considerando a aleatoriedade do carregamento, frente a ações do tipo vento e sismo utilizando os métodos citados acima e comparar as respostas obtidas com aquelas provenientes de outros métodos, menos sofisticados, previstos em norma.
1.2 Objetivos Objetivo Geral
O objetivo do presente trabalho é a análise dinâmica de estruturas submetidas à ação do vento e de sismos, respectivamente, pelo Método do Vento Sintético e pelo Método da História no Tempo utilizando-se de um procedimento para a geração de acelerogramas artificiais.
Objetivos Específicos
– Estudar os métodos de análise da NBR 6123:1988 – Forças devido ao vento em estruturas e da NBR 15421:2006 – Projeto de estruturas resistentes a
sismos, de forma a compreender suas particularidades e limitações para posterior comparação de resultados;
– Estudar conceitos pertinentes de Dinâmica das Estruturas;
– Entender o Método do Vento Sintético, tal como proposto por Franco (1993), e sua forma de aplicação face à NBR 6123:1988;
– Compreender o procedimento para geração de acelerogramas artificiais e aplicá-lo ao espectro de resposta normativo, também fazendo uso do Code_Aster para a etapa de análise estrutural;
– Validar os resultados obtidos por meio de exemplos didáticos presentes na literatura e análises realizadas com o CAD/TQS versão 21, software comercial de projeto de estruturas de concreto.
1.3 Organização da Monografia
O presente trabalho se encontra dividido em sete capítulos, cujo conteúdo será abordado nessa seção. O primeiro capítulo, dentro do qual este item se encontra inserido, é introdutório, e tem como objetivo apresentar o tema desenvolvido nessa monografia, bem como seus objetivos, e justificar sua escolha e importância.
No segundo capítulo, os conhecimentos de dinâmica das estruturas pertinentes para compreensão tanto do Método do Vento Sintético quanto do processo de geração de acelerogramas artificiais serão abordados de forma sucinta e objetiva. No capítulo três, uma explicação dos diferentes métodos da NBR 6123:1988 é feita. Em seguida, o Método do Vento Sintético será explanado, fazendo-se uma ligação com sua utilização à luz da NBR 6123:1988 e expondo brevemente como aplicá-lo no sistema CAD/TQS 21.
O quarto capítulo é análogo ao terceiro, com a diferença de ser voltado para o procedimento de geração de acelerogramas artificiais. Nele, como no terceiro, será demonstrada uma forma de utilizá-lo computacionalmente, dessa vez empregando-se o software Code_Aster. Uma breve explicação sobre o Método do Espectro de Resposta da NBR 15421:2006 também é dada.
Depois de explanados os métodos, exemplos numéricos serão apresentados nos capítulos cinco e seis, o primeiro focado em estruturas submetidas à ação do vento e o segundo, à ação de sismos, comparando os resultados obtidos com os de referência e discutindo suas particularidades.
Por fim, o sétimo capítulo é dedicado às conclusões e a sugestões de pesquisa futura.
2. CONCEITOS DE DINÂMICA DAS ESTRUTURAS
Nesse capítulo serão expostos os conceitos teóricos pertinentes à realização do trabalho. Tendo em vista o seu escopo, não será feito o desenvolvimento matemático completo de todas as expressões, e somente serão abordados os conceitos principais de cada tema.
Primeiramente, será feita uma descrição da dinâmica de um oscilador simples e dos parâmetros que afetam sua resposta. Depois, os conceitos discutidos serão abrangidos para um sistema de vários graus de liberdade. Em seguida, algumas considerações de dinâmica estocástica serão feitas. Posteriormente, nos dois capítulos subsequentes, o Método do Vento Sintético e o procedimento utilizado para geração de acelerogramas artificiais serão abordados em detalhes.
2.1 Dinâmica de um sistema de um grau de liberdade
Aqui, a resposta dinâmica do sistema ilustrado na Figura 1 será estudada. O seu campo de deslocamentos fica completamente definido pela única variável 𝑢(𝑡), logo, ele é caracterizado como um sistema de um grau de liberdade. Além disso, nele identificam-se três parâmetros distintos e independentes: uma massa concentrada de valor 𝑚, uma mola de rigidez 𝑘 e um amortecedor viscoso de constante de amortecimento 𝑐. Uma força 𝑓(𝑡) é a responsável por sua excitação.
Figura 1 - Oscilador de um grau de liberdade
Fonte: Clough e Penzien, 1993
Primeiramente, será considerado o caso em que 𝑓(𝑡) = 0 e o amortecimento é desprezado, caracterizando vibração livre não amortecida. A equação de movimento homogênea é escrita como
𝑚𝑢̈(𝑡) + 𝑘𝑢(𝑡) = 0 ⇒ 𝑢̈(𝑡) + 𝜔 𝑢(𝑡) = 0 𝑐𝑜𝑚 𝜔 = 𝑘 𝑚
Onde o ponto sobre uma variável indica a ordem de derivação temporal; neste caso, 𝑢̇(𝑡) representa a velocidade e, sua derivada, ou seja, 𝑢̈(𝑡) é a aceleração do sistema.
A solução da Eq. (2.1) é:
𝑢(𝑡) = 𝐴 cos 𝜔𝑡 + 𝐵 sin 𝜔𝑡 (2.2)
𝐴 e 𝐵 são constantes de integração determinadas a partir dos valores iniciais de 𝑢(𝑡) e 𝑢̇(𝑡). O fator 𝜔 é chamado frequência natural de vibração do sistema e, por depender somente de 𝑚 e 𝑘, pode ser interpretado como uma propriedade intrínseca a ele.
Agora, considera-se o caso em que o amortecimento se faz presente na equação homogênea:
𝑚𝑢̈(𝑡) + 𝑐𝑢̇(𝑡) + 𝑘𝑢(𝑡) = 0 ⇒ 𝑢̈(𝑡) + 2𝜉𝜔𝑢̇(𝑡) + 𝜔 𝑢(𝑡) = 0 (2.3) O parâmetro 𝜉 = é chamado de razão ou taxa de amortecimento, e seu valor é relacionado ao tipo de solução da equação diferencial acima. Aqui serão estudados apenas os casos em que 𝜉 < 1, que são aqueles de interesse prático para a engenharia de estruturas. Neles, o amortecimento é denominado subcrítico, e para o caso em que a força de excitação é definida por um harmônico 𝑓(𝑡) = 𝑓 sin 𝜔𝑡, a solução da equação de movimento resulta:
𝑢(𝑡) = [𝐴 cos 𝜔 𝑡 + 𝐵 sin 𝜔 𝑡]𝑒 +𝑓 𝑘 1 (1 − 𝛽 ) + (2𝜉𝛽) [(1 − 𝛽 ) sin 𝜔𝑡 − (2𝜉𝛽) cos 𝜔𝑡] (2.4)
Onde 𝜔 = 𝜔 1 − 𝜉 é chamada frequência natural amortecida e 𝛽 = é a razão entre frequência de excitação e a frequência natural do sistema.
Na maioria das aplicações de engenharia, tem-se 𝜉 < 20% e, consequentemente, 𝜔 ≅ 𝜔 (CHOPRA, 2016).
A primeira parcela da Eq. (2.4) é chamada resposta transitória, e pode-se notar que, devido à exponencial decrescente que a multiplica, ela tende a zero à medida que 𝑡 cresce. Este fato é ilustrado na Figura 2. Assim, daqui em diante, só será considerada a segunda parcela da resposta, denominada resposta em regime permanente.
Figura 2 - Respostas total e em regime permanente
Fonte: Adaptado de Chopra, 2016
Agora, a variação da resposta em função da frequência de excitação do sistema será estudada. Define-se o fator de amplificação de resposta, 𝐷, como sendo a razão entre a amplitude da resposta em regime permanente e o deslocamento causado pela carga estática 𝑓 . Logo:
𝐷 = 𝑓 𝑘 1 (1 − 𝛽 ) + (2𝜉𝛽) 𝑓 𝑘⁄ = [(1 − 𝛽 ) + (2𝜉𝛽) ] / (2.5)
A variação de 𝐷 em função de 𝛽 para diferentes valores de 𝜉 é representada na Figura 3. Nota-se que a resposta é amplificada quão mais próximo de 1 for 𝛽, tendendo ao infinito para o caso de 𝜉 = 0 (sistema não amortecido). Tal fenômeno é chamado ressonância.
Figura 3 - Fator de amplificação de resposta
Fonte: Clough e Penzien, 1993
Até agora, somente o caso no qual a força de excitação do sistema é harmônica foi considerado. Muito embora tal estudo seja de extrema importância – já
que um carregamento periódico qualquer pode ser representado por uma série de Fourier e, consequentemente, a resposta de um oscilador linear quando excitado por ele pode ser decomposta como uma soma de contribuições devidas a harmônicos distintos – faz-se necessário também investigar o caso de um oscilador simples submetido a uma excitação qualquer (para o caso de um sismo, por exemplo, não é eficiente considerar a aceleração do solo como uma série de Fourier, e sim diretamente da forma como ela foi registrada in situ).
Para o caso de um carregamento qualquer, e ainda considerando o amortecimento subcrítico, a resposta analítica de um oscilador simples pode ser dada pela Integral de Duhamel (CLOUGH; PENZIEN, 1993), definida por:
𝑢(𝑡) = 1
𝑚𝜔 𝑓(𝜏) sin 𝜔 (𝑡 − 𝜏) 𝑒
( )𝑑𝜏 (2.6)
Onde 𝜏 é somente uma variável auxiliar de integração.
No geral, a integral de Duhamel precisa ser resolvida numericamente, por métodos que não serão detalhados aqui. Além disso, deve-se ressaltar que seu desenvolvimento é baseado no princípio da superposição de efeitos, devendo ela, então, ser utilizada somente para sistemas lineares. No caso de osciladores não-lineares, outros métodos de obtenção da resposta para uma excitação qualquer devem ser empregados, como, por exemplo: integração direta por segmentos lineares da ação externa, o método das diferenças finitas ou o método de Newmark (SORIANO, 2014).
Por fim, a partir da resposta de um oscilador simples a uma excitação qualquer, pode-se construir um espectro de resposta para esta excitação. Para tal, fixa-se uma taxa de amortecimento e faz-se variar a frequência (ou o período, seu inverso) fundamental de vibração do oscilador. Em seguida, para cada um dos diversos osciladores encontra-se o valor máximo (em módulo) de um parâmetro de interesse (usualmente a aceleração, a velocidade ou o deslocamento do oscilador). Então, plota-se um gráfico tendo no eixo das abscissas as frequências (ou períodos) de cada um dos osciladores e como ordenadas os valores máximos do parâmetro de interesse. A Figura 4 exemplifica um espectro de resposta.
Figura 4 - Espectro de resposta em deslocamento para o terremoto de El Centro com 𝝃 = 2%
Fonte: Paultre, 2010
2.2 Dinâmica de um sistema de com múltiplos graus de liberdade
Haja vista que a maioria das estruturas reais não pode ser idealizada coerentemente como um sistema de grau de liberdade único, faz-se necessário o estudo de sistemas mais complexos, de N graus de liberdade. Esses sistemas podem representar adequadamente estruturas complexas através do Método dos Elementos Finitos (BATHE, 1996), por exemplo, e os conceitos apresentados anteriormente serão estendidos para eles aqui. A equação de movimento para o caso de uma excitação qualquer se torna:
𝑴𝑼̈(𝑡) + 𝑪𝑼̇(𝑡) + 𝑲𝑼(𝑡) = 𝑭(𝑡) (2.7) Onde 𝑴, 𝑪 e 𝑲 são, respectivamente, as matrizes de massa, amortecimento e rigidez, de dimensão 𝑁 x 𝑁 e 𝑼 e 𝑭 são os vetores de deslocamento e forças nodais, de dimensão 𝑁 x 1. Perceba-se, por oportuno, a analogia com a expressão (2.3), dada para um sistema de um grau de liberdade.
A resolução da equação de movimento, para uma excitação harmônica, fornece, por analogia com o caso de um grau de liberdade, a seguinte solução:
𝑼(𝑡) = 𝑼 sin(𝜔𝑡 + 𝜃) (2.8)
Onde 𝑼 é um vetor que representa a forma da deformada do sistema, cuja amplitude é modulada pelo termo sin(𝜔𝑡 + 𝜃).
Derivando duas vezes o vetor dos deslocamentos inserindo-o em (2.7),
considerado apenas o caso sem amortecimento e em oscilação livre, obtém-se, após manipulação algébrica:
(𝑲 − 𝜔 𝑴)𝑼 = 𝟎 (2.9) A equação acima caracteriza um problema de autovalor (CLOUGH; PENZIEN, 1993). Aplicando a regra de Cramer, é possível demonstrar que ele apresenta soluções não-triviais apenas quando:
|𝑲 − 𝜔 𝑴| = 0 (2.10)
Essa equação tem como solução 𝑁 frequências 𝜔 (𝑖 = 1, … , 𝑁), associadas a 𝑁 autovetores 𝝓 (que representam os modos de vibração do sistema). 𝜔 é chamada i-ésima frequência natural do sistema, associada ao i-ésimo modo natural de vibração 𝝓 . A primeira frequência, a de valor mais baixo, também é denominada frequência fundamental de vibração. A matriz formada pelos vetores-coluna dos modos de vibração é denotada 𝚽, de forma que:
𝚽 = [𝝓 𝝓 … 𝝓 ] = 𝜙 𝜙 … 𝜙 𝜙 𝜙 … 𝜙 … … … … 𝜙 𝜙 … 𝜙 (2.11)
É importante comentar que os modos de vibração não possuem amplitude determinada, sendo apenas sua forma o que importa. Dessa maneira, é possível normalizá-los segundo vários critérios. Uma forma usual de se fazer isso é adotar um valor unitário para a maior componente de um autovetor, sendo as demais delas definidas em função deste valor inicial. Procedimentos de normalização de modos de vibração não serão abordados em detalhe neste trabalho.
Outro fato importante sobre os modos de vibração é que eles formam uma base para o espaço vetorial dos deslocamentos da estrutura, o que é ilustrado pela Figura 5, de forma que é possível decompor o vetor dos deslocamentos da seguinte maneira: 𝑼(𝑡) = 𝑼 (𝑡) = 𝝓𝒊𝑌 (𝑡) = 𝑵 𝒊 𝟏 𝑵 𝒊 𝟏 𝚽𝒀(𝑡) (2.12) Onde:
𝑼𝒊(𝑡) é a i-ésima componente modal do vetor de deslocamento 𝑼(𝑡);
𝒀(𝑡) é chamado vetor das coordenadas modais generalizadas, com 𝑌 (𝑡) sendo a i-ésima coordenada modal generalizada.
Figura 5 - Superposição modal
Fonte: Clough e Penzien, 1993
Ademais, assim como no caso de um oscilador simples, o conceito de espectro de resposta também pode ser aplicado para estruturas com mais graus de liberdade. Para tal generalização, é necessário o conhecimento de duas expressões, que não serão deduzidas aqui por concisão, mas podem ser facilmente encontradas nas publicações sobre o tema, e são apresentadas a seguir:
𝝓𝒊𝑴𝝓𝒋 = 0 𝑒 𝝓𝒊𝑲𝝓𝒋 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 ≠ 𝑗 (2.13)
Elas representam a ortogonalidade das matrizes de massa e de rigidez com relação aos modos próprios de vibração. Além disso, admite-se:
𝝓𝒊𝑪𝝓𝒋 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 ≠ 𝑗 (2.14)
Tal equação é válida por hipótese (logo, não pode ser deduzida matematicamente). No entanto, ela é usualmente atendida na prática, ao se adotar uma matriz de amortecimento de Rayleigh, na qual 𝑪 = 𝛼𝑴 + 𝛽𝑲 (ou seja, a matriz 𝑪 guarda uma relação linear entre as matrizes 𝑴 e 𝑲), sendo 𝛼 e 𝛽 coeficientes determinados de modo a se obter a taxa de amortecimento considerada.
Quando 𝑖 = 𝑗, pode-se definir:
𝑚 ≡ 𝝓𝒊𝑴𝝓𝒊 𝑒 𝒎 ≡ 𝚽𝑻𝑴𝚽 (2.15)
𝑐 ≡ 𝝓𝒊𝑪𝝓𝒊 𝑒 𝒄 ≡ 𝚽𝑻𝑪𝚽 (2.16)
𝑘 ≡ 𝝓𝒊𝑲𝝓𝒊 𝑒 𝒌 ≡ 𝚽𝑻𝑲𝚽 (2.17)
Onde:
𝑚 , 𝑐 e 𝑘 são chamados massa, amortecimento e rigidez generalizados do modo 𝑖.
𝒎, 𝒄 e 𝒌 são as matrizes de massa generalizada, de amortecimento generalizado e de rigidez generalizada desacopladas, nas quais só os termos
diagonais não são nulos, devido às propriedades de ortogonalidade apresentadas anteriormente. Observe-se que 𝑚 = 𝑚 , 𝑐 = 𝑐 e 𝑘 = 𝑘 e 𝑚 = 𝑐 = 𝑘 = 0 para 𝑖 ≠ 𝑗.
Com essas condições, inserindo (2.12) na equação de equilíbrio (2.7) e pré-multiplicando ela por 𝚽𝑻 podem-se aplicar as condições de ortogonalidade descritas
por (2.13) a (2.17), transformando o conjunto acoplado de equações de movimento do sistema em:
𝒎𝒀̈(𝑡) + 𝒄𝒀̇(𝑡) + 𝒌𝒀(𝑡) = 𝒇(𝑡) (2.18) Onde 𝒇(𝑡) = 𝚽𝑻𝑭(𝑡) é o vetor das forças modais generalizadas.
A partir de tal desenvolvimento, é fácil enxergar a resposta de um sistema de 𝑁 graus de liberdade como sendo a superposição da resposta de 𝑁 sistemas de um grau de liberdade generalizado (aqui, cada um dos graus de liberdade generalizado é a amplitude modal de um dos 𝑁 modos de vibração do sistema).
Aplicando essas ideias, é possível estender o conceito de ressonância citado no item anterior, relativo ao sistema de um grau de liberdade. A condição de ressonância, agora, ocorre não só para um único valor de frequência, mas sim para todos os valores das frequências naturais.
Com relação ao espectro de resposta, na obtenção dos resultados de um sistema com diversos graus de liberdade, deve-se encontrar os valores (deslocamentos, velocidades ou acelerações) espectrais modais individuais para cada uma das 𝑁 frequências de vibração do sistema e combiná-las de alguma forma, para achar a resposta total do sistema. Existem diversas expressões para realizar essa tarefa. Aqui serão apresentadas duas:
– Combinação SRSS (
“
Square Root of the Sum of the Squares”
):Essa combinação é a mais usual, sendo normalmente utilizada quando as frequências próprias são afastadas de pelo menos de 10% do valor da menor entre elas. Sua expressão é a seguinte:
𝑥 = 𝑥 (2.19)
Onde:
𝑥 é o valor do parâmetro de interesse para o modo i, obtido a partir do espectro de resposta.
– Combinação CQC (“Complete Quadratic Combination”) (DER KIUREGHIAN, 1991):
Essa combinação é utilizada quando as frequências próprias da estrutura são muito próximas entre si, e considera a interação entre modos. Sua expressão, quando uma mesma taxa de amortecimento é adotada para todos os modos, é a seguinte:
𝑥 = 𝑥 𝜌 𝑥 (2.20) 𝜌 = 𝜌 = 8𝜉 (1 + 𝑟)𝑟 (1 − 𝑟 ) + 4𝜉 𝑟(1 + 𝑟) 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑟 ≡ 𝜔 𝜔 𝑐𝑜𝑚 𝜔 > 𝜔 (2.21) Atualmente, devido à grande disponibilidade de códigos computacionais para a análise estrutural, nos quais uma implementação automatizada da combinação CQC já é disponível, ela passa, progressivamente, a substituir a combinação SRSS.
2.3 Análise no domínio da frequência
Até o momento, todo o estudo de dinâmica feito foi desenvolvido tendo a força de excitação e a resposta do sistema como funções do tempo. Entretanto, uma outra representação, com os parâmetros de interesse do sistema sendo funções da frequência, é também possível.
Para tal, é necessário estender o conceito de série de Fourier, de tal forma que ele possa abranger também funções aperiódicas. Uma série de Fourier para a força de excitação pode ser escrita, em notação com exponenciais de números complexos, como (PAULTRE, 2010):
𝑓(𝑡) = 𝐹 𝑒 (2.22)
Com:
𝐹 = 1
𝑇 𝑓(𝑡)𝑒 𝑑𝑡 (2.23)
Sendo:
𝜔 a frequência do n-ésimo harmônico da série, podendo ser dada por 𝜔 = ;
A Eq. (2.22) só é válida para funções periódicas. É possível, no entanto, livrar-se dessa restrição tomando-livrar-se o limite quando 𝑇 tende a infinito. Manipulando um pouco a expressão para 𝜔 tem-se:
𝜔 = 𝑛2𝜋
𝑇 = 𝑛𝜔 = 𝑛∆𝜔 = 𝑛𝑑𝜔 𝑐𝑜𝑚 ∆𝜔 ≡ 𝜔 (2.24) Aqui, a última igualdade vem do fato que no limite, quando 𝑇 tende a infinito, ∆𝜔 se torna infinitesimalmente pequeno. Com esse desenvolvimento, a série de Fourier, que tinha intervalos discretos de frequência separando os harmônicos, torna-se contínua, sendo representada por uma integral:
𝑓(𝑡) = 1
2𝜋 𝐹(𝜔) 𝑒 𝑑𝜔 (2.25)
Com:
𝐹(𝜔) = 𝑓(𝑡) 𝑒 𝑑𝑡 (2.26)
As Eqs. (2.25) e (2.26) formam o dito par de transformadas de Fourier (inversa e direta, respectivamente). A transformada de Fourier pode ser vista como a ferramenta que faz a ligação entre o domínio do tempo e o domínio da frequência.
A análise no domínio da frequência, muito embora menos intuitiva que o desenvolvimento no domínio do tempo, é de grande utilidade, dado que fornece diretamente o conteúdo de frequência do sinal de entrada, que pode então ser comparado com as frequências próprias do sistema para avaliar a potencialidade de excitação que a ação externa causa nele, tal como apontado por Soriano (2014).
2.4 Dinâmica estocástica das estruturas
A dinâmica estocástica das estruturas trata da resposta dinâmica de um sistema excitado de maneira aleatória, ou seja, que não pode ser definida por uma função determinística específica.
Para esse tipo de estudo, considera-se a excitação como sendo definida por um processo estocástico, que é caracterizado por um conjunto de 𝑛 variáveis aleatórias, dependendo de uma ou mais variáveis independentes, relacionadas a um mesmo fenômeno (CLOUGH; PENZIEN, 1993). A resposta de tais sistemas é
determinada em sentido probabilístico, por parâmetros tais como sua média e seu desvio-padrão.
É importante salientar que existe uma grande diferença entre uma variável aleatória e um processo estocástico. Para exemplificar essa diferença considere-se o seguinte exemplo: suponha-se que se deseja estudar a aceleração vertical do capô de um automóvel enquanto ele viaja por uma estrada irregular para que se possa projetar um sistema de amortecimento eficiente.
O problema, claramente, não pode ser estudado de um ponto de vista determinístico, já que não se conhece exatamente o perfil da estrada em questão. No entanto, ele pode ser caracterizado de um ponto de vista probabilístico ao se fazer um experimento, no qual se instalam 𝑛 acelerômetros em automóveis distintos, de forma a medir a aceleração vertical experimentada por cada um enquanto eles viajam pela estrada em questão.
Obviamente, as medidas de aceleração em função do tempo não serão iguais para nenhum par de automóveis. Cada uma dessas medidas de aceleração é uma variável aleatória (que depende de uma variável independente, o tempo), enquanto que o conjunto de 𝑛 medidas é caracterizado como sendo o processo estocástico de interesse.
O estudo de processos estocásticos, e da resposta de sistemas dinâmicos submetidos a eles é extenso e não trivial. Dessa forma, aqui será apresentado apenas um tipo de processo (o único que é de interesse para os modelos que serão tratados ao longo dessa monografia) e algumas de suas principais propriedades.
Considera-se apenas o caso do processo definido pelo seu j-ésimo membro, onde 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛, como sendo:
𝑥 (𝑡) = 𝐴 cos (𝜔 𝑡 + 𝜙 )
(2.27) Onde:
𝑛 é o número de membros considerados; 𝑥 (𝑡) é o j-ésimo membro do processo;
𝑚 é um número fixo de harmônicos considerados; 𝐴 é a amplitude do harmônico 𝑖;
𝜙 é o ângulo de fase do harmônico 𝑖, tomado de forma aleatória com uma função de densidade de probabilidade constante no intervalo [0;2π).
O processo estocástico apresenta cinco propriedades importantes (KARLIN; TAYLOR, 1975):
a) É estacionário: suas propriedades não variam com o tempo. Assim, se em um instante de tempo fixado for calculada uma propriedade estatística percorrendo-se todos os membros do processo, como a média ou o desvio-padrão, seu valor será o mesmo que o calculado em qualquer outro instante de tempo, também para todos os membros do processo.
b) É ergódico: suas propriedades não variam para diferentes membros do processo. Assim, se para dois membros distintos uma propriedade estatística relativa ao tempo for calculada durante toda a duração do processo, seu valor será o mesmo.
c) É gaussiano: ou seja, tem função de densidade de probabilidade gaussiana.
d) Tem média nula.
e) Tem sua variância dada por: 𝜎 =∑ 𝐴
2 (2.28)
Observe-se que as duas primeiras propriedades implicam que se calculam propriedades estatísticas para o processo como um todo (e não para cada membro em específico) e essas propriedades permanecem constantes com o tempo. Essa afirmativa justifica o fato das afirmações (d) e (e) apresentarem valores constantes e caracterizarem o processo inteiro.
Além disso, todo processo aleatório gaussiano é associado a uma função de densidade espectral de potência (ou espectro de potência) 𝑆 (𝜔) tal que:
𝜎 = 𝑆 (𝜔) 𝑑𝜔 (2.29)
O valor da integral computada acima também é chamado, por vezes, de potência total do processo.
Outra função importante para processos desse tipo é a função de autocovariância, definida por:
𝑅 (𝜏) = 𝐸[𝑥(𝑡)𝑥(𝑡 + 𝜏)] (2.30)
𝐸[𝑥] = 𝑥 𝑝(𝑥)𝑑𝑥 (2.31) Para uma variável aleatória 𝑥 qualquer com função de densidade de probabilidade 𝑝(𝑥) contínua.
Perceba-se que 𝑅 (𝜏) depende apenas do intervalo de tempo 𝜏 adotado para seu cálculo, e não do tempo 𝑡. A covariância de duas variáveis aleatórias mede o quanto elas mudam conjuntamente. A função de autocovariância tem um papel similar, e quão menor for o intervalo de tempo para o qual há dependência entre os valores de 𝑥(𝑡) e 𝑥(𝑡 + 𝜏) mais rapidamente o processo apresenta uma perda de correlação. A função de autocovariância, definida em (2.30), e a função de densidade espectral de potência, dada em (2.29), formam um par de transformadas de Fourier.
Ela possui algumas propriedades importantes:
𝑅 (0) = 𝜎 (2.32)
𝑅 (𝜏) = 𝑅 (−𝜏) (2.33)
|𝑅 (𝜏)| ≤ 𝑅 (0) (2.34)
Ao se normalizar a função de autocovariância, utilizando-se a variância do processo, obtém-se a função de autocorrelação (CARRIL, 2000):
𝜌 (𝜏) =𝑅 (𝜏)
𝜎 (2.35)
Por fim, vale salientar que, muito embora os conceitos apresentados aqui tenham sido feitos tomando-se como base processos aleatórios que tem o tempo como variável independente, eles podem ser estendidos também para o caso de processos tendo variáveis espaciais como variáveis independentes.
3. MÉTODO DO VENTO SINTÉTICO
O objetivo deste capítulo é explicar a formulação do Método do Vento Sintético, desenvolvido originalmente pelo Prof. Mario Franco em 1993. Primeiramente, serão expostos os diferentes métodos de análise da NBR 6123:1988, que servirão a posteriori para comparação de resultados. Em seguida, o equacionamento matemático do método será abordado de uma forma mais abstrata. Após isso, o procedimento utilizado para realizar análises com ele, considerando o contexto normativo, será explicado, seguido da forma como ele foi implementado para a realização deste trabalho, com auxílio do programa computacional CAD/TQS, do software de Elementos Finitos Code_Aster e de um programa computacional próprio desenvolvido na linguagem Fortran. Vale salientar que os resultados obtidos quando da aplicação de tais métodos são relativos apenas ao efeito frontal do vento. Fora este, há também o efeito transversal, que ocorre devido à turbulência e afeta principalmente estruturas altas, que não será considerado neste trabalho.
3.1 Procedimentos de análise da NBR 6123:1988 Procedimento estático
Esse procedimento desconsidera completamente as características dinâmicas da edificação, se limitando a realizar uma análise estática usual. Para isso, é necessário determinar as forças estáticas horizontais devidas ao vento. Um roteiro comentado sobre sua aplicação é apresentado a seguir:
a) Determina-se a velocidade básica do vento a partir do mapa de isopletas, Figura 1 da norma, reproduzido nesse texto na Figura 6; b) Determina-se o parâmetro 𝑆 , que leva em conta a topografia do
terreno, a partir de valores disponíveis na norma para diferentes casos; c) Determina-se a categoria de rugosidade do terreno, de acordo com descrições de terrenos típicos disponíveis na norma, e a classe da edificação, baseando-se em suas dimensões;
d) Determina-se o parâmetro 𝑆 (𝑧) a partir dos parâmetros 𝑏, 𝑝 e 𝐹 , disponíveis na Tabela 1 da norma em função da categoria do terreno e classe da edificação previamente determinados, para edificações com altura menor que 80 m. A expressão para seu cálculo é a que segue:
𝑆 (𝑧) = 𝑏 𝐹 𝑧 10
Caso a altura da edificação seja maior que 80 m, o intervalo de tempo, 𝑡, a ser utilizado na obtenção de 𝑆 (𝑧) não é o usual (de 3 𝑠). Nessa situação um procedimento iterativo para obtenção de 𝑡 é apresentado no Anexo A da norma. Inicialmente, arbitra-se uma estimativa inicial, 𝑡( ). Então, determina-se 𝑆 (ℎ), onde ℎ é a altura total da edificação, para o intervalo de tempo 𝑡( ), a partir da Tabela 22 da NBR 6123:1988.
Em seguida, calcula-se 𝑡( ) a partir da expressão:
𝑡 = 7,5 ∗ ℎ 𝑆 𝑆 (ℎ)𝑉
Se 𝑡( ) = 𝑡( ) o procedimento termina. Caso contrário, ele continua de
maneira iterativa. Uma vez concluído, encontram-se 𝑏, 𝑝 e 𝐹 empregando a Tabela 21 da norma, o que conduz a expressão para 𝑆 (𝑧), expressa anteriormente.
e) Determina-se o parâmetro 𝑆 , que leva em conta fatores estatísticos e é relativo ao grupo de importância da edificação. Seu valor pode ser encontrado na Tabela 3 da norma;
f) Com esses fatores, é possível calcular a velocidade característica do vento e sua pressão dinâmica, através das expressões seguintes (a última das quais é denominada lei de potência):
𝑉 (𝑧) = 𝑆 𝑆 (𝑧)𝑆 𝑉 𝑞(𝑧) = 0,613 𝑉 (𝑧)
g) Em seguida, é necessário encontrar os coeficientes de arrasto, 𝐶 , para a estrutura, a partir de dois ábacos, encontrados nas Figuras 4 e 5 da NBR 6123:1988. Estes podem ser utilizados para o caso de edificações de eixo vertical e seção constante ou fracamente variável, o que é o caso das estruturas consideradas nesse texto. Deve-se utilizar o ábaco de alta turbulência quando a altura da edificação não excede duas vezes a altura das edificações vizinhas, e o de baixa turbulência nos outros casos;
h) Utilizando esses dados, pode-se determinar a força de vento, a partir da expressão seguinte:
Onde: 𝐴 é a área efetiva da edificação, correspondente à área da projeção ortogonal da edificação em um plano perpendicular à direção do vento.
i) Com a força do vento realiza-se uma análise estática usual.
Perceba-se que nas expressões acima manteve-se explicitamente a dependência de alguns parâmetros com a altura. Muito embora tais funções possam ser determinadas analiticamente, essa não é a abordagem adotada na prática. Usualmente, divide-se a edificação em faixas de influência (comumente cada uma correspondente à altura de um pavimento) nas quais mantem-se constante o valor da força do vento.
Figura 6 - Mapa para determinação da velocidade básica do vento
Fonte: ABNT, 1988
Procedimento dinâmico
Nesse procedimento, as características dinâmicas da edificação são consideradas. No entanto, a aplicação da carga de vento ainda é feita de maneira estática, não sendo possível, assim, determinar-se um histórico de resposta no tempo. Para sua utilização determina-se uma velocidade de projeto, definida por:
Onde 𝑉 , 𝑆 e 𝑆 são determinados tal como apresentado anteriormente. Dentro desse procedimento dois modelos são possíveis, explicitados a seguir:
– Modelo contínuo simplificado
Para esse modelo, retém-se somente o primeiro modo de vibração da estrutura, e supõe-se que sua deformada modal, 𝜙(𝑧), pode ser descrita pela equação seguinte:
𝜙(𝑧) = 𝑧 ℎ Onde:
ℎ é a altura total da edificação;
𝛾 é um parâmetro disponível na Tabela 19 da norma, reproduzida na Figura 7, que depende do tipo de edificação considerado.
Figura 7 - Reprodução da Tabela 19 da NBR 6123:1988
Fonte: ABNT, 1988
Nessa mesma tabela são dadas estimativas para a taxa de amortecimento 𝜁 e para a frequência de vibração fundamental da estrutura. Com isso, a pressão dinâmica, 𝑞(𝑧), pode ser dada por:
𝑞(𝑧) = 𝑞 𝑏 𝑧 𝑧 + ℎ 𝑧 𝑧 ℎ 1 + 2𝛾 1 + 𝛾 + 𝑝𝜉 Onde: 𝑞 = 0,613 𝑉
𝑏 e 𝑝 são determinados de acordo com a Tabela 20 da norma; 𝑧 = 10 𝑚 é a altura de referência;
𝜉 é o coeficiente de amplificação dinâmica, calculado em função das dimensões da edificação, da razão de amortecimento crítico e da frequência fundamental de vibração a partir dos ábacos disponíveis nas Figuras 14 a 18 da NBR 6123:1988.
Destaca-se que o primeiro termo dentro dos colchetes corresponde à resposta média, e o segundo representa a amplitude máxima da resposta flutuante. Depois de determinada a pressão dinâmica, os cálculos seguem da mesma maneira que no procedimento estático.
– Modelo discreto
Nesse modelo, supõe-se que a deformada da estrutura pode ser determinada por 𝑛 graus de liberdade, sendo uma parcela da massa total da edificação associada a cada um deles. Para esse modelo discreto é realizada uma análise modal, considerando-se 𝑟 modos de vibração. O número de modos considerado é aumentado progressivamente, até que as forças correspondentes ao modo 𝑟 + 1 sejam desprezíveis. O modelo discreto é esquematizado na Figura 8.
Figura 8 - Modelo discreto da NBR 6123:1988
Fonte: ABNT, 1988
A partir deste ponto, as expressões expostas no item 9.3.2 da NBR 6123:1998 serão aqui reproduzidas tendo seus índices modificados, de forma a facilitar a compreensão do leitor.
Desta forma, para cada um dos 𝑟 modos ficam definidas as forças do vento, 𝑿, um vetor composto por 𝑥 componentes, com 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, dadas pela expressão seguinte:
𝑿 = 𝑿 + 𝑿
Onde o vetor 𝑿 está ligado à parcela estática, também chamada parcela média, e o vetor 𝑿 à parcela dinâmica, também chamada parcela flutuante, resultante da combinação de 𝑿𝒋, calculados para 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑟 sendo suas expressões definidas como: 𝑥̅ = 𝑞 𝑏 𝐶 𝐴 𝑧 𝑧 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 𝑥 = 𝐹 𝜓 𝜙 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 𝑒 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑟 Onde: 𝜓 = 𝑚 𝑚 𝐹 = 𝑞 𝑏 𝐴 ∑ 𝛽 𝜙 ∑ 𝜓 𝜙 𝜉 𝛽 = 𝐶 𝐴 𝐴 𝑧 𝑧
𝑞 , 𝑏, 𝑝, 𝜙, 𝑧 , 𝐶 , 𝐴 e 𝜉 são como definidos anteriormente; 𝑚 é a massa do grau de liberdade 𝑖;
𝑚 é uma massa de referência arbitrária; 𝐴 é uma área de referência arbitrária.
Depois de determinadas as forças 𝑿𝒋 para todos os 𝑟 modos, é feito um cálculo estático para cada um dos modos, sendo a resposta final total dada pela combinação das respostas de cada modo segundo uma das regras de combinação modal já apresentadas. Por fim, a resposta advinda da parcela média da força é somada à combinação das parcelas flutuantes.
3.2 Formulação do Método do Vento Sintético (FRANCO, 1993)
Experimentalmente, constata-se que a pressão do vento pode ser dividida em duas parcelas: a pressão média 𝑝̅, constante com o tempo e responsável por 48% da pressão total, e a pressão flutuante 𝑝′, que representa o efeito dinâmico das rajadas, e é responsável por 52% da pressão total. Tal divisão é possível, segundo Franco (2003), devido a uma zona de intensidade espectral quase nula que se constata no
espectro de potência das flutuações de vento entre altas e baixas frequências, próxima a um intervalo de tempo de medição de 3600s. Contudo, Franco (1993) adota um período de 600s como correspondente à parcela média do vento, sendo este o valor adotado neste trabalho que se propõe a avaliar a forma original do método.
Além disso, é possível equacionar, através de expressões empíricas, o espectro de potência do vento para a zona que concerne à micrometeorologia (ou seja, aquela ligada aos baixos períodos e, consequentemente, altas frequências) e que é de interesse para a Engenharia Civil. A expressão mais usual para tal é dada por Davenport (1965), e é ligeiramente modificada no trabalho de Franco, tornando-se: 𝑓 𝑆(𝑓) 𝑢∗ = 4 𝑥 (1 + 𝑥 ) / 𝑐𝑜𝑚 𝑥 = 1220𝑓 𝑈 (3.1)
Onde 𝑈 é a velocidade média do vento a dez metros de altura em terreno aberto para um intervalo de tempo de medição de 600s (LAZANHA, 2003), e pode ser determinada de acordo com os procedimentos estabelecidos pela NBR 6123:1988, 𝑢∗ é a velocidade de fricção do vento e 𝑓 a frequência, em Hertz, variável independente na equação.
Para o desenvolvimento do método, o autor propõe representar a parcela flutuante do vento por meio de sua expansão segundo a integral de Fourier, analogamente ao indicado por Franco (1993):
𝑝 (𝑡) = 𝐶(𝑓) cos 2𝜋𝑓𝑡 − 𝜙(𝑓) 𝑑𝑓 (3.2) Onde: 𝐶(𝑓) = 𝐴(𝑓) + 𝐵(𝑓) (3.3) 𝜙(𝑓) = 𝑡𝑔 𝐵(𝑓) 𝐴(𝑓) (3.4) 𝐴(𝑓) = 𝑝 (𝑡) cos(2𝜋𝑓𝑡) 𝑑𝑡 (3.5) 𝐵(𝑓) = 𝑝 (𝑡) sin(2𝜋𝑓𝑡) 𝑑𝑡 (3.6)
Assim, nota-se uma dependência direta das funções 𝐶(𝑓) e 𝜙(𝑓) com o próprio carregamento 𝑝 (𝑡) que se quer determinar. A ideia do método é, então, de contornar tal dependência assumindo-se uma forma específica para representá-lo. Tal
escolha é justificada tomando como base conceitos da teoria de processos estocásticos.
Adotando um número finito 𝑚 de harmônicos, a integral pode ser substituída por um somatório, tal como segue:
𝑝 (𝑡) = 𝐶 cos (2𝜋𝑓 𝑡 − 𝜙 )
(3.7) Onde 𝑓 é a frequência natural associada ao harmônico 𝑖. Uma delas, aqui denotada pelo índice 𝑟, deve coincidir com a frequência fundamental de vibração da estrutura, sendo as outras determinadas em função dessa. Esse tópico será abordado em maiores detalhes no item 3.3.6.
Se os ângulos 𝜙 forem tomados de forma aleatória e com uma função de densidade de probabilidade uniforme no intervalo [0; 2π) e 𝑛 carregamentos do tipo 𝑝 (𝑡) forem considerados, reconhece-se o processo aleatório definido pela Eq. (2.27). Assim, pelo desenvolvimento do item (2.4):
𝜎 =∑ 𝐴 2 =
∑ 𝐶
2 = 𝑆 (𝑓) 𝑑𝑓 = ( )𝑆 (𝑓) 𝑑𝑓 (3.8)
Onde o subscrito 𝑝’ indica que a variância e a função de densidade espectral de potência são associadas ao processo estocástico definido por 𝑛 variáveis aleatórias 𝑝’ (observe-se que essa notação está em concordância com o que foi apresentado no capítulo 2, pois lá o processo estocástico era definido por 𝑛 variáveis aleatórias 𝑥).
Logo:
𝐶 = 2 𝑆 (𝑓) 𝑑𝑓
( )
(3.9)
Dessa forma, as amplitudes de cada harmônico 𝐶 ficam determinadas. A proposta de adotar os ângulos de fase 𝜙 como sendo aleatórios pode não parecer realista, no entanto, ela constitui a ideia central de um dos métodos mais conhecidos de simulações estocásticas, o Método de Monte Carlo (PAULA, 2014), e quão maior for o valor de 𝑛, melhor será a representatividade estatística do carregamento.
Adotando-se então, a partir de agora, o índice 𝑗 para o j-ésimo membro do carregamento, sua expressão se torna:
