- Propagação de impulsos em regime não-linear

Não se pode falar de propagação de impulsos em regime não linear sem se referir ao efeito óptico de Kerr, pois é devido a este efeito que a propagação de impulsos em regime não linear dispersivo (RNLD) numa fibra óptica é governada pela auto-modulação de fase (AMF) e pela DVG em simultâneo, além de outros efeitos de ordem superior. Existe um equilíbrio permanente em determinadas circunstâncias, quando se propagam solitões fundamentais, ou seja, ao desprezarem-se o efeito das perdas, os impulsos não alteram a sua forma durante a propagação.

4.1. - Efeito não-linear de Kerr numa fibra óptica

No plano transversal

( x , y )

o índice de refracção da fibra é

n  n ( x , y )

tal que

 ( x , y )  n

²

( x , y )

(4.1.1)

onde



representa a constante dieléctrica relativa. A equação Helmholtz no regime linear é a equação que permite relacionar a constante de propagação longitudinal



, inserida na Eq. (2.14) e o índice de refracção

n ( x , y )

da seguinte forma

 ^{( , )}

0^{2 2}

 ^{( , ) 0}

2

2

  



_t

F n x y k  F x y

(4.1.2)

onde

F ( x , y )

é a função modal que representa a variação transversal do modo fundamental

LP

₀₁, ou função modal inserida na Eq. (3.2.3), e em coordenadas retangulares



_t²

F

é dada por

₂

2 2 2 2

y F x

F F

t







 _





(4.1.3)

Admite-se que

H

_x

 E

_y

 0

no caso

LP

^x na aproximação de pequeno contraste dieléctrico dos modos LP,

E

_x pode-se considerar

E ( x , y , z , t )  F ( x , y ) B ( z , t )

(4.1.4)

58

em que

B ( z , t )  A ( z , t ) exp  i ( 

₀

z  

₀

t ) 

(4.1.5) onde



₀ é a frequência (angular) da portada. De notar que

B ( z , t )

é uma função que varia rapidamente em

z

e em

t

enquanto a amplitude

A ( z , t )

é uma função de variação lenta a qual designou-se de envolvente do campo. Como

F ( x , y )

é adimensional,

A ( z , t )

tem as dimensões do campo eléctrico, ou seja,

  ^{A  V m}

^.

Ao perturbar-se a constante dieléctrica relativa



^

  ( x , y )   

(4.1.6)

Independentemente do processo que deu origem a essa perturbação, a nova constante de propagação longitudinal é dada por



^

    

(4.1.7) com

2 2 2 0

2 F

k  F

   ^



(4.1.8)

e adopção de

 

^











  ( x , y ) dxdy



(4.1.9) Ao levar-se em conta a Eq. (4.1.1) temos

2 n ( x , y ) n 





(4.1.10a)

ou seja,

   2 n ( x , y )  n

(4.1.10b)

Se admitir-se a aproximação

n ( x , y )  n

e levar em conta que

  n k

₀, tem-se

2 2

0

F

nF k 



 

(4.1.11)

59

Introduzindo-se um campo fictício

E

_*, numa fibra óptica de sílica, o efeito de Kerr estabelece para valores típicos de

n

₂^

 3  10

^20

m

²

/ W

que

n

^

 n ( x , y )  n

₂^

E

_*² (4.1.12) em que

E

_*²

 y

_*

E

²

 I

(4.1.13)

  I  W m

²representa a intensidade óptica, e

y

_* é uma admitância apropriada. Levando em consideração as Eqs. (4.1.4 e 4.1.5) vem

E

_* ²

( x , y , z , t )  y

_*

F

²

( x , y ) A ( z , t )

² (4.1.14)

Se admitir-se

 n  n

₂^

E

_*² (4.1.15)

tendo em conta a Eq. (4.1.14),

 

vem dado por

²

2 4 0 2

*

A ( z , t )

F F k n y

^



 

(4.1.16)

se a potência transportada

P ( z , t )

for dada por

P ( z , t )  y

_*

F

²

A ( z , t )

² (4.1.17a) e introduzindo uma nova amplitude

Q ( z , t )  y

_*

F

²

A ( z , t )

(4.1.17b)

ao inserir-se o parâmetro



, tal que



 

  n

^2

k

⁰

 2  n

^2

(4.1.18)

60

índice de refracção que não sejam em degrau, pois a análise destas é uma tarefa complexa, a função modal

F ( x , y )

é dada por esta fica simplesmente dada por

    P ( z , t )

(4.1.23a)

    Q ( z , t )

² (4.1.23b) Por outro lado,

^P ( ^z , ^t )  ^P

in

( ^t ) exp     ^z

(4.1.24) onde

P

_in

(t )

representa a potência de entrada na fibra e



o coeficiente de atenuação, a fase não-linear gerada pelo efeito Kerr será

_NL

^{t } _

^L



^

^  ^{dz }

^L

_ ^{ dz }

^L

_ ^{P z t dz}

e porque o comprimento efectivo



vem dado por

   ^L  

 ^{ }



 1 1 exp

(4.1.26)

61



NL fica



_NL

( t )   P

_in

( t ) 

(4.1.27)

Vê-se então que a fase não-linear só depende de

P

_in

(t )

, daí o nome Auto-Modulação de Fase (AMF). O desvio de frequência instantânea local (em relação a portadora) provocada pela AMF num impulso é

dt dP dt

t   d 

^NL

   

ⁱⁿ

 ( )

(4.1.28)

Assim levando em consideração a forma do impulso a propagar-se,

Figura 4. 1 - Potência de um impulso Gaussiano [9].

tem-se na cauda do impulso

 0 dt dP

_in



 ( t )  0

(4.1.29a)

originando assim, um desvio para o azul (frequências maiores). Analogamente, na frente do impulso, será

 0 dt dP

_in



 ( t )  0

(4.1.29b) Provocando portando, desvio para o vermelho (frequências menores).

62

Como se viu anteriormente o coeficiente da DVG é dado por

Como a velocidade de grupo aumenta com a frequência, as frequências mais elevadas deslocam-se mais rapidamente do que as frequências mais baixas para DVG.

É notável que a AMF tem um efeito contrário a DVG, pois no efeito DVG para a zona anómala, existe um desvio para o azul na frente do impulso e um desvio para o vermelho na sua cauda, como mostra a Figura 3.2. Deste modo, os efeitos AMF e DVG têm uma acção antagónica na zona de dispersão anómala, por esta razão, apenas nesta zona é possível a propagação de solitões (de primeira ordem) claros, ou simplesmente solitões, ou seja, propagação de impulsos que conservam a sua forma ao longo da propagação. Na zona de dispersão normal em que



₂

 0

, só se podem propagar solitões escuros ou topológicos.

4.2. - Equação não-linear de Shrodinger

Ao levar-se em consideração a atenuação (de potência) e desprezando-se os termos de ordem

 4

m

, temos para o regime linear, como se descreveu anteriormente

~ ( 0 , ) ( , )

Admitindo-se que em regime não-linear a perturbação induzida pelo efeito óptico de Kerr não afecta a função modal

F ( x , y )

, a constante de propagação varia de



à



^, se levar em conta a Eq.

63

e usufruindo da regra de Leibniz, que diz

g ( t ) dt g ( x )

Seguindo a mesma lógica de pensamento usada para se chegar a solução da Eq. (3.2.25), temos

0

representar a parte linear da equação de propagação de impulsos em fibras ópticas.

Logo, ao utilizarem-se as variáveis normalizadas introduzidas anteriormente no regime linear

   , 

, relembrando que ao se passarem das variáveis

( z , t )

para

   , 

faz-se

64

infere-se então para a Eq. (4.2.8)

Q Q i Q Q Q

65

Se se introduzir uma nova amplitude normalizada (ou seja, adimensional)

U (  ,  )

, de modo a que

- Comprimento não-linear tal que

0

1 L

_NL

P

 

(4.2.18) - Coeficiente

N

, o qual não é necessariamente um número inteiro e é dado por

ao aplicar-se a aproximação gaussiana, fica

Com a introdução dos novos parâmetros, a Eq. (4.2.15) transforma-se

U N U U i U

66

As Equações não-lineares de propagação de impulsos em fibras ópticas (regime monomodal) estão representadas nas Eqs. (4.2.21 e 4.2.22), apesar de não representarem os efeitos de ordem superior e por esta razão não serem aplicáveis a impulsos ultra-curtos (duração na ordem dos fentosegundos).

Ao desprezarem-se as perdas (

  0

) e a dispersão de ordem superior (

  0

), a Eq. (4.2.22)

se a potência de pico do impulso incidente, observar a relação

ou seja, a propagação de impulsos numa fibra óptica de comprimento para

L

, em termos simplistas, quando

L  L

_NL é governada pelo regime não-linear (RNL) e para

L  L

_NL vigora o regime linear (RL).

Tratando-se de uma classificação simplista e por falta de melhor critério, quando

L  L

_NL, considera-se a equação não-linear de propagação [4]. É possível no entanto, distinguir-considera-se quatro regimes de propagação numa classificação grosseira, as quais são:

 O regime linear não-dispersivo (RLND) quando

L  L

_D e

L  L

_NL

67

Mas na pratica, a ocorrência do RLND, bem como o RNLND é rara, e no RLND só é possível desprezar-se a DVG para impulsos cujo



₀

 

₂

L

(4.2.25)

4.3. - Soluções analíticas da equação NLS

Averiguar-se-á agora, quais as soluções analíticas que a equação NLS admite. Como os solitões claros apenas podem ocorrer na zona de dispersão anómala (

sgn( 

₂

)   1

), vai-se restringir a análise apenas para esta zona. Deste modo, a equação NLS fica

Admitindo que a solução desta equação é dada por

68

separando a parte real da imaginaria e igualando ambas as partes à zero, a Eq. (4.3.6) subdivide-se em

Ao resolverem-se essas equações, admite-se em tudo o que se segue, que se pode escrever

enquanto não tem nenhum significado em especial.

Segundo as Eqs. (4.3.8a e 4.3.9) tem-se para as derivadas parciais

 

utilizando a mesma analogia, para a Eq. (4.3.8b) tem-se

69

se substituir-se a Eq. (4.3.11) na Eq. (4.3.7b)

Integrando a expressão acima, considerando

C

₁ uma constante de integração, tem-se

2

²

Z C

₁ onde

C

₂ representa mais uma constante de integração. Das Eqs. (4.3.8b, 4.3.9 e 4.3.19b) e fazendo

0

70

sem esquecer as definições (4.3.8a e 4.3.10b) e substituindo essas derivadas na Eq. (4.3.7a) tem-se

deste modo, infere-se para a Eq. (4.3.23b) a então comummente chamada, equação cnoidal

As soluções desta equação são do tipo periódicas e uma solução do tipo onda solitária.

4.3.1. - Soluções analíticas da equação NLS para ondas solitárias

Para a onda solitária, considera-se a solução particular da equação cnoidal, dada por

71

onde introduziu-se a constante

q

₀, tal que

x

₀

  2 u

₀

q

₀ (4.3.28c) Como

y

₀ deve ser maior que zero, a única solução aceitável para a Eq. (4.3.28b) é a de

  1

e considerando a Eq. (4.3.25a), a Eq. (4.3.27) fica

y ⁽  ⁾  y

0

^sec h  ² u

0

⁽   q

0

⁾ 

(4.3.29)

e assim fica encontra-se finalmente a solução da equação cnoidal representada na Eq. (4.3.2), levando em consideração as Eqs. (4.3.20 e 4.3.29), ou seja

       

0

 

2 0

0

0

2 sec 2 exp

) ,

(    u h u     q i a       

u

(4.3.30)

ao introduzir-se um parâmetro novo dado por

  2u

⁰

(4.3.31)

pode-se deste modo, compreender a introdução do parâmetro

a

na Eq. (4.3.8b), pois levando em consideração a Eq. (4.3.24) este fica representado por



^{2 2}



2

1   



a

(4.3.32) A Eq. (4.3.30) toma a forma:

^   ^{ }   _ ^{  }  ^  ^

0

_ ^

2

2

0

exp 2

sec )

,

(        i    i 

i q

h

u

(4.3.33)

Se pode observar pela Eq. (4.3.32), que quando

a  0

, tem-se



²

  

² (4.3.34) o que discorda totalmente com a Eq. (4.3.31), pois

u

₀ é um número real. Ao fazer-se

  0

na Eq (4.3.33), esta vem

    _



 



 



 



 





₀ ² ₀

exp 2 sec

) ,

(    h   q i   

u

(4.3.35)

72

como vemos na Eq. (4.3.35), trata-se de uma onda que se propaga sem deformação, revelando-se claramente tratar-se de uma onda solitária.

Trata-se de uma onda com envolvente localizada, ou seja,

u (  ,  )

não depende de



, além de que quando



tende para mais ou menos infinito o módulo de

u (  ,  )

tende para zero, como se mostra abaixo

u (  ,  )   sec h      q

0

 

(4.3.36a)

lim ( , )  0





 



u

(4.3.36b)

O desvio normalizado de frequência em relação a portadora



₀, é representado pelo parâmetro



, o qual é dado por

   

₀

 (   

₀

) 

₀. O parâmetro



representa simultaneamente, a amplitude e a largura do impulso, o centro do impulso em relação a

    0

é definido pelo parâmetro

q

₀, e por último o parâmetro



₀ estabelece a fase para

    0

.

Dá-se o nome de solitão fundamental, a solução representada nas Eqs. (4.3.33 e 4.3.35), a sua forma canónica representa-se fazendo

  1

,

q

₀

 0

e



₀

 0

na Eq. (4.3.35), de maneira que

  



 



 

exp 2 sec

) ,

(   h  i 

u

(4.3.37a)

A Eq. (4.3.37a) representa a forma canónica do solitão fundamental.

Figura 4. 2 - Evolução do solitão fundamental.

73

4.3.2. - Soluções Analíticas da Equação NLS para ondas periódicas

Para as ondas periódicas, há que levar em conta que usando o método inverso da dispersão ou IST (inverse scattering transform), mostra que qualquer impulso incidente

u

₀

(  )  u    0 ,  

(4.3.38)

Tratando-se porém o IST de um método matemático avançado, não é neste trabalho mais profundamente analisado. Onde

u

₀

(  )

tem a forma

u

₀

(  )  N sec h (  )

(4.3.39)

onde

N

representa um numero inteiro, o qual foi introduzido nas Eqs. (4.2.19 e 4.2.20a) e conduz à propagação de solitão de ordem

N

. Os solitões de ordem

N  2

, ao contrário do solitão fundamental

N  1

, não mantêm a sua forma ao longo da propagação, como na Eq. (4.3.36a), mostrando uma evolução periódica em vez de disso, com período



₀

  2

que, em unidades reais vai corresponder à

2 2 0

0

2 2 





 _

 L

_D

z

(4.3.40)

Na Figura 4.3 representa-se o solitão de terceira ordem, ou seja

N  3

.

Figura 4. 3 - Evolução do solitão de terceira ordem.

74

4.4. - Simulação numérica da equação NLS: Split-Step Fourier Method

Para a resolução das equações não-lineares em propagação de impulsos em fibras ópticas, o método mais divulgado é o split-step fourier method ou mais comummente conhecido como SSFM. Para este ponto da tese vai-se desenvolver o SSFM na óptica da resolução numérica.

Ao escrever-se a Eq. (4.2.22) numa forma mais compacta, tem-se

( ) (  ,  )









N u

u D





(4.4.1)

De modo que as variáveis

N

_ a qual representa a não-linearidade e

D

_ representando a dispersão, se encontram definidas em função de



, ou seja

2

2 i u

N  







(4.4.2a)

3 3 2

2 2

)

2 sgn( 

 



 



  i 

D

(4.4.2b)

O que não é inteiramente verdade, pois a variável

N

_ também depende do parâmetro



, pois

) , (  

u

depende de



. Podendo dizer-se que a variação

u

com



seja desprezível (o que não deixa de ser verdade para o solitão fundamental quando desprezam-se as perdas de potência, ou seja, quando

  0

).

Assim considerando, que

u

₀

(  )

o impulso incidente, seja do tipo inserido na Eq. (4.3.38), a solução da Eq. (4.4.1) será

u ⁽  ^,  ⁾  ^exp   ⁽ D

_

 N

_

⁾  u

0

⁽  ⁾

(4.4.3) em que

^{u (   h ,  )  exp}  ^{h ( D}

_

^{ N}

_

⁾  ^{u (  ,  )}

(4.4.4) A Eq. (4.4.4) configura desta forma, um esquema iterativo de passo longitudinal

h

, que permite ir do inicio (

  0

) ao fim da fibra (

  

_L

 L L

_D), tratando-se de dividir o espaço total de propagação



L

 



0

em pequenos troços elementares de comprimento

h

_.

75

Sabendo que

exp  a  b   exp( a ) exp( b )

(4.4.5) temos para a Eq. (4.4.4)

u (   h ,  )  exp( hD

_

) exp( hN

_

) u (  ,  )

(4.4.6) O SSFM consiste em dois procedimentos consecutivos, de acordo a equação acima referida:

v (  ,  )  exp( hN

_

) u (  ,  )

(4.4.7a)

Ao recorrer-se as transformadas de Fourier, define-se então



^

Nestas condições o operador diferencia

D

_ converte-se em operador algébrico

D

_, que de acordo a Eq. (4.4.2b) tem-se Ao levar-se em consideração a Eq. (4.4.7b)

Para terminar finalmente cada iteração, faz-se

     

é de notar que em termos computacionais, as Eqs (4.4.9 e 4.4.12) recorrem ao algoritmo FFT.

76

Para o caso de se considerarem as perdas (

  0

), introduz-se

u

_L

(  )  u ( 

_L

,  )

(4.4.13) tendo-se

u

_L

(  )

²

 u

₀

(  )

²

exp(   

_L

)

(4.4.14) que segundo a Eq. (4.2.16b)

 

_L

  L

(4.4.15) Assim, usando as definições de energia que se seguem como sendo normalizadas, isto é, adimensionais, define-se a energia inicial



^





 u  d 

E

_{in 0}

( )

² (4.4.16)

E a energia final



^





 u   d 

E

_fin

(

_L

, )

² (4.4.17)

de acordo as Eqs. (4.4.13, 4.4.14, 4.4.15 e 4.4.16) infere-se

E

_fin

 E

_in

exp    L 

(4.4.18) Esta equação permite quantificar o erro cometido no SSFM, dado que para

  0

tem-se

E

_fin

 E

_in, o erro cometido define-se como



_c

   

^ (4.4.19) onde

1 exp( L ) E

E E

in fin

in



    



(4.4.20)

e



^ é o valor de

 E

in

 E

fin

 E

in correspondente a aplicação do SSFM.

 0



^e



_c

 

^ , quando se desprezam as perdas.

77

Assim, o SSMF resume-se como a aplicação do Algoritmo RIMF para o caso das equações não lineares, usando um esquema iterativo de passo longitudinal , pois por tratar-se do regime não-linear, não se podem fazer as aproximações lineares consideradas anteriormente, requerendo desta forma a aplicação de métodos mais eficazes que reflectem os efeitos não-lineares. Realça-se que quanto menor for o tamanho do passo longitudinal

h

, maior será o número de iterações e ao aumentar-se o número de iterações mais eficiente se torna o método. Ou seja, para a simulação de propagação de impulso em regime não-linear usa-se o SSMF (como foi usado ao simularem-se as Figuras 4.2 e 4.3).

4.5. - Características do solitão fundamental

Nesta secção vai-se agora analisar quais as principais características do solitão fundamental, ou seja, do solitão de ordem

N  1

^.

Ao introduzirem-se parâmetros como

q     q

₀ (4.5.1a)

 

0 2 2

2

1    

   

(4.5.1b)



₀

 

₀

  q

₀ (4.5.1c) interfere-se para a Eq. (4.3.33)

u (  ,  )   sec h      q   exp   i     q   i  

(4.5.2)

Esta equação é equivalente a Eq. (4.3.33) ao fazer-se

q  q (  )

e

   (  )

de maneira que:



 ^{ } q

dq

(4.5.3a)



^{2 2}



2

1  



 _{ }

q

d

(4.5.3b)

78

Levando em consideração a equação canónica do solitão fundamental, representada na Eq. (4.3.37a) é usual definir-se a área do solitão como

A 

^

u   d 

infere-se para a área do solitão fundamental

A  2 

(4.5.6) Observando-se assim pela Eq. (4.5.6) que a área do solitão fundamental é independente de qualquer parâmetro característico.

A energia do solitão fundamental é dada por

t z dt

teremos para a energia do solitão

E

_s

 2 P

₀



₀ (4.5.10)

79

Pela equação acima ainda não se pode inferir que a energia do solitão é proporcional à largura temporal



₀, pois a potência de pico do solitão fundamental (

N  1

) segundo as Eqs. (4.2.11c e 4.2.20b) é dada por

0 2 0

1





 ^

 L

D

P

(4.5.11)

A energia do solitão é então dada por

0

2

2



 

E

s (4.5.12)

interferindo-se assim que esta é inversamente proporcional à largura temporal.

Sendo



_s a medida mais frequentemente usada para designar a largura temporal do solitão fundamental, a qual é definida



_s

 2 t

_x em que

Q ( z , t

_x

)

² é metade do valor máximo de

P

₀ infere-se que



_s é a largura total a metade do valor máximo ou full width at half maximum (FWHM).

Levando em consideração que para

t  1

cosh

^1

( t )  ln( t  t

²

 1 )

(4.5.13)

Como

t

_x

 

₀

cosh

^1

( 2 )

(4.5.14) Assim

t

_x

 

⁰

ln( 2  1 )  1 . 763 

⁰ (4.5.15) Se

f ( t )  sec h ( at )

, com

a  0

, tem-se

 

 



  







^







h a

dt a t i t f

F ( ) ( ) exp( )  sec  2

(4.5.16)

80

e levando em consideração a transformada de Fourier do deslocamento, da Eq. (4.5.7) vem para o espectro do solitão fundamental

Ao designar-se a FWHM de

2

Se a densidade espectral de potência for representada por

atendendo ao teorema de Perseval, o qual define-se

  

^

 

81

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