Propagação de impulsos em regime Linear

Não se pode falar de propagação de impulsos em regime linear sem entrar no tema dispersão de impulsos em fibras ópticas, pois a luz ao propagar-se na fibra óptica sofre o efeito da dispersão devido as características materiais e estruturais das fibras. Pode definir-se genericamente a dispersão como sendo a distorção e o alargamento que os impulsos transmitidos sofrem ao propagarem-se na fibra, que para além de limitarem a largura de banda do sinal transmitido podem também criar interferência entre os símbolos transmitidos, comummente chamada de interferência inter-simbólica (IIS).

3.1. - Dispersão em fibras ópticas

A dispersão numa fibra óptica tem origem nas características matérias e estruturas da fibra e resulta do facto da velocidade de propagação da luz na fibra ser função do comprimento de onda. Quando o impulso óptico com largura espectral finita é lançado na fibra, cada componente espectral do impulso viaja ao longo desta com uma velocidade que depende do respectivo comprimento de onda [15]. A diferença entre as velocidades de propagação das diferentes componentes espectrais é designada por Dispersão da Velocidade de Grupo (DVG).

Define-se então a dispersão como sendo o efeito em que os modos geradores de uma frente de luz são separados ao viajarem pela fibra, ocasionando a chegada destes a outra extremidade da fibra espalhadas em relação ao tempo, concluindo-se então que a interferência inter-simbólica ou dispersão do impulso é a diferença entre a largura de banda do impulso a entrada e a correspondente largura de banda do impulso a saída da fibra. A dispersão é a principal responsável pela limitação da largura de banda do sinal transmitido.

Em fibras ópticas existem dois efeitos principais de dispersão: dispersão intermodal (entre modos) e a dispersão intramodal (sob o mesmo modo).

A dispersão intermodal, a qual afecta apenas as fibras multimodo, resulta no facto de cada modo guiado ter um valor diferente da velocidade de grupo para o mesmo comprimento de onda. O impulso óptico, ao ser injectado neste tipo de fibra, causa a excitação de vários modos de propagação, em que cada um transporta uma parte da energia do impulso. Como os diferentes modos viajam com diferentes velocidades de grupo, a largura do impulso à saída da fibra irá depender dos tempos de transmissão do modo mais rápido (modo fundamental) e do modo mais lento (modo de ordem mais elevada, dependendo de quantos modos pode propagar respectiva fibra), alargando assim o impulso a saída da fibra.

24

As fibras multimodo não suportam grandes taxas de transmissão a longa distancia, e os sistemas actuais de telecomunicações exigem elevadas taxas de transmissão. Para dar resposta às exigências actuais, as fibras monomodo (com apenas um modo a propagar-se) são as mais usadas, pois suportam taxas de transmissão mais elevadas e eliminam simultaneamente a dispersão intermodal que é a principal fonte de dispersão nas fibras ópticas [7].

Em regime monomodal ficamos então com a dispersão intramodal ou comummente chamada de dispersão cromática que consiste no alargamento temporal de um impulso óptico dentro de um modo de propagação sendo consequência da dependência que existe entre o índice de refracção com a frequência ω. Quando uma onda electromagnética interage com os electrões de um dieléctrico, a resposta do meio depende da frequência ω [15].

A dispersão cromática é consequência de dois efeitos: a disperção material e principalmente do guia de onda.

A dispersão material resulta no facto do índice de refracção do material constituinte da fibra variar de uma forma não linear com o comprimento de onda. Como a velocidade de grupo de um modo é função do índice de refracção, as várias componentes espectrais de um dado modo apresentam um atraso entre si, após a propagação ao longo da fibra, o que origina o alargamento temporal do impulso.

A dispersão no guia de onda é consequência da dependência do índice de refracção efectivo de cada modo de propagação no comprimento de onda. Esta dependência verifica-se mesmo na ausência da dispersão material e resulta no facto de a distribuição da energia de um dado modo pelo núcleo e pela bainha da fibra ser função do comprimento de onda. Este tipo de dispersão é bastante comum em fibras monomodo, visto que nessas fibras apenas 80% da potência óptica que se propaga na fibra permanece confinada no núcleo, propagando-se pela bainha os restantes 20% da potência, a velocidade de propagação do modo vária consuante a percentagem de potência que se propaga no núcleo e na banhia, o que origina o alargamento temporal dos impulsos e é ainda uma fonte de dispersão importante [7].

Ao desprezar-se a dispersão de ordem superior, o parâmetro da fibra que descreve a sua dispersão é

D

, o qual reflecte um atraso temporal relativo entre duas componentes espectrais separadas de 1nm, após 1km de propagação e diz-nos o significado físico da dispersão [7].

25

Considerando-se sempre o caso das fibras ópticas de pequeno contraste, ou seja

  1

. Define-se então, o coeficiente de dispersão

D

como

substituindo a Eq. (3.1.2) na Eq. (3.1.1) temos para

D

 

quais são definidos por

_m

26

Atendendo a Eq. (3.1.9) e substituindo na Eq. (3.1.5) temos

substituindo-se na Eq. (3.1.11), o parâmetro que descreve a dispersão no guia

D

, finalmente é dado por

27

Na dispersão nula (

D

_

 0

), os componentes espectrais em diferentes comprimentos de onda, possuem a mesma velocidade de propagação, ou seja, o atraso de propagação é constante para os diferentes comprimentos de onda.

Figura 3. 1 - Dispersão nula [5].

Na dispersão positiva (

D

_

 0

), comummente designada por zona de dispersão anómala, os componentes espectrais nos violetas propagam-se mais rapidamente que nos vermelhos

Figura 3. 2 - Dispersão anómala [5].

28

Na dispersão negativa (

D

_

 0

), comummente designada por zona de dispersão normal, os componentes espectrais nos vermelhos propagam-se mais rapidamente que nos violetas.

Figura 3. 3 - Dispersão normal [5].

Apenas com uma fonte de luz monocromática (de uma cor apenas) não existirá dispersão cromática, o que torna essa fonte, mais pura e com menor largura espectral, efectivamente melhor que um LED convencional. Deste modo os actuais sistemas de comunicação óptica foram desenvolvidos de maneira a aproveitar a característica da fibra óptica de sílica-padrão, cujo coeficiente de dispersão médio é nulo para um comprimento de onda próximo a 1.300 nm, que é o único caso onde não ocorre o alargamento de impulsos [16].

3.2. - Equação de propagação de impulsos em regime linear

Como já referimos, devido a DVG, os impulsos que se propagam na fibra sofrem em regime linear um alargamento temporal provocando interferência entre símbolos. Agora vai-se deduzir a equação que regula a propagação de impulsos em regime linear numa fibra monomodo, levando em consideração as fibras ópticas de pequeno contraste, uma vez que, como estamos em regime linear, a aproximação dos modos LP é razoável.

Admitindo que

A ( 0 , t )

é um impulso a entrada da fibra, ou seja, em

z  0

. Admitindo ainda que o impulso modula a uma portadora com frequência angular



_o e supondo que o campo eléctrico está polarizado linearmente segundo o eixo dos x, tem-se para a equação do campo eléctrico:

E ( x , y , 0 , t )  x ˆ E

₀

F ( x , y ) B ( 0 , t )

(3.2.1)

B(0,t) A(0,t)exp(i



_ot)

(3.2.2)

29

Onde

F ( x , y )

é a função modal que representa a variação transversal do modo fundamental modo

LP

01 e é dada por:

Agora introduzir-se-á as transformadas de Fourier que serve como ferramenta de ajuda para o cálculo do campo eléctrico num ponto genérico

z  0

, e começando por calcular a transformada de Fourier do campo em

z  0

. Com respectivas transformadas inversas de Fourier



^

As Eqs. (3.2.1) e (3.2.2) terão então a seguinte forma

~ ( 0 , )

30

como a parte mais interessante é a transmissão da intensidade do campo eléctrico e não a sua fase, por forma a simplificar a notação e com a ajuda da Eq. (3.2.7),

B ( z , t )

é dado por:

Para simplificar-se o cálculo da integral acima, introduz-se o desenvolvimento em série de Taylor para

)

Com a introdução do desenvolvimento em serie de Taylor, e fazendo

^



31

A Eq. (3.2.11) pode ser escrita da seguinte forma:

B ( z , t )  A ( z , t ) exp[ i ( 

₀

z  

₀

t )]

As Eqs. (3.2.8) e (3.2.15) permitem escrever

E ⁽ x ^, y ^, z ^, t ⁾  x ^ˆ E

0

F ⁽ x ^, y ^{) exp}  i ⁽ 

0

z  

0

t ⁾ 

(3.2.16)

32

Ao se considerar as perdas, representando o coeficiente de atenuação (de potência) por



, a Eq.

(3.2.20) pode ser escrita da seguinte forma

Existe uma relação directa entre _m

m

Podendo-se usar como fórmula geral,

)

Substituindo a Eq. (3.2.24), na Eq. (3.2.21), acha-se a equação diferencial linear que permite calcular

)

33

Ao coeficiente



₂ dá-se o nome de coeficiente da DGV e derivando a Eq. (3.27), temos

ordem superior, a Eq. (3.2.25) pode ser escrita

0

Se se desprezarem as perdas (

  0

), arranja-se então um algoritmo não muito complexo, o qual foi apelidado de Algoritmo de Resolução de IMpulsos na Fibra (Algoritmo de RIMF), que mostra os passos a seguir de modo a calcular

A ( z , t )

partindo de

A ( 0 , t )

:

34

1º Passo: Começa-se por calcular ^





Podendo-se substituir assim na Eq. (3.2.16) que representa o cálculo do campo eléctrico num ponto genérico

z  0

^.

3.2.2. - Simulação Numérica da Propagação de Impulsos em Regime linear

Para a simulação numérica da propagação de impulsos em fibras ópticas recorre-se à FFT (Fast

no domínio das FFT esta equação escreve-se na forma

35

A Eq.(3.2.34) diz que na ausência dos efeitos dispersivos o impulso propaga-se sem distorção com um atraso de grupo



_g, representado por

Como se pode observar na Figura 3.1.

Para a maioria das situações práticas, não é aceitável o desprezo dos coeficientes



₂ e



₃, mas para todos os cálculos, despreza-se a influência da dispersão de ordem superior, ou seja, considera-se razoável fazer



₃

 0

, possibilitando assim a análise, isoladamente, do efeito da DVG (dispersão da velocidade de grupo) sobre a propagação de impulsos.

Sendo



₀ a largura característica da duração do impulso

A ( 0 , t )

, é costume definir-se o

36

Para resolver numericamente a Eq. (3.2.43), introduz-se o par de Fourier



^

Em que



é uma frequência normalizada, ou seja, também adimensional, tal que

   

₀

 (   

₀

) 

₀

(3.2.45)

37

No domínio da frequência normalizada



, a Eq. (3.2.41) toma a forma

~ ( , )

Substituindo na Eq. (3.2. 44b), temos

A resolução numérica da Eq. (3.2.41) fica assim resumida, como foi referido anteriormente, na aplicação do algoritmo RIMF:

38

Nas próximas ilustrações, apresenta-se o efeito da DVG sobre um impulso com uma forma inicial

A

₀

(  )  A ( 0 ,  )  sec h (  ) (3.2.48)

Figura 3. 4 - Comparação do impulso a entrada e a saída em regime linear.

Figura 3. 5 - Evolução do impulso.

Verificando-se pelas Figuras 3.4 e 3.5 um alargamento temporal e uma diminuição da amplitude do impulso a medida que este se propaga ao longo da fibra.

39

3.3. - Desvio dinâmico de frequência (Chirp)

Os sinais ópticos, emitidos pelo laser semicondutor, apresentam o parâmetro Chirp, que quantifica o desvio de frequência instantânea da portadora devido à modulação directa da corrente de injecção.

Na propagação de impulsos em fibra óptica utiliza-se um parâmetro adimensional

C

para caracterizar o Chirp que é simétrico do factor de Henry



_c, sendo este um parâmetro característico do laser, o qual é comummente chamado de factor de alargamento da risca espectral do laser.

C   

^c

(3.3.1)

3.3.1. - Propagação de impulsos Gaussianos com Chirp em regime linear

Nesta secção considera-se o caso que a Eq. (3.2.14) pode ser calculada analiticamente, a titulo de exemplo: a propagação de impulsos Gaussianos com Chirp, em regime linear, considerando sempre o coeficiente



₃

 0

_.

Considera-se o impulso inicial Gaussiano incidente

 





 





 

 



 





2

0

0

2

exp 1 )

, 0

( 

t A iC

t

A

(3.3.2)

em que

A

₀ é a amplitude do impulso e

C

é o parâmetro do Chirp.

Figura 3. 6 - Impulso inicial Gaussiano com C=0.

40

Há um desvio de frequência

     z, t

, provocado pela existência de Chirp, ou seja

   ^{z , t}  

0

    ^{z , t}

(3.3.3)

ao separar-se os coeficientes da exponencial do impulso inicial, este pode ser escrito

^exp  ^{( )} 

A

tal que (1º passo do algoritmo RIMF)

iC t i t dt

41

A intensidade espectral do impulso é dada por

2 provoca uma maior largura espectral ao impulso.

As Figuras que se seguem ilustram a evolução do impulso Gaussiano, sob a forma inicial dada pela Eq. (3.3.2), para vários valores do parâmetro Chirp (C= -2, 0 e 2) por forma a verificar-se a influência deste parâmetro na largura espectral do impulso.

42

Figura 3. 7 - Comparação do impulso Gaussiano a entrada e a saída com C=0.

Figura 3. 8 - Evolução do impulso Gaussiano com C=0.

Figura 3. 9 - Comparação do impulso Gaussiano a entrada e a saída com C=2.

43

Figura 3. 10 - Evolução do impulso Gaussiano com C=2.

Figura 3. 11 - Comparação do impulso Gaussiano a entrada e a saída com C=-2.

Figura 3. 12 - Evolução do impulso Gaussiano com C=-2.

44

Aplicando o 2º passo do algoritmo RIMF, que passa por substituir o valor calculado de

A ~ ( 0 ,  )

_em

)

Aplica-se agora o 3º passo do algoritmo RIMF, ou seja, calcula-se





Organizando de maneira a ter em conta a formula da integral inserida na Eq. (3.3.9) temos:

_

^

 

tendo em conta o resultado da integral (3.3.9) temos

_ ^{ }     _ ^{ }

45

substituindo a Eq. (3.325) na Eq. (3.3.21)



46

DVG: o coeficiente

 (z )

é o factor de alargamento. É de notar, que em vez dos impulsos alargarem, os mesmos podem estreitar, basta que se tenha



₂

C  0

na Eq. (3.3.24).

47

Figura 3. 13 - Evolução espacial da largura espectral dos impulsos na zona de dispersão anómala para diferentes valores do parâmetro C

Quando



₂

C  0

,

 (z )

é sempre maior que 1. Para o caso de



₂

C  0

, é possível calcular-se a distância mínima

z  z

_min para o qual o impulso atinge a sua largura mínima, ou seja, não pode estreitar mais que certo limite.

1

 0

Aplicando regras de derivação básicas a Eq. (3.3.31)

Igualando a Eq. (3.3.32) à zero e levando em consideração a Eq. (3.3.20b)

L

_D

48

Podemos calcular o tempo que o impulso demora a atingir a sua largura mínima, para tal basta substituir a Eq. (3.3.33) na Eq. (3.3.23)

3.3.2. - Impulsos Super-Gaussianos

A dispersão induzida na ampliação é sensível à inclinação das arestas do impulso, como se pode ver nos exemplos anteriores, o impulso amplia-se mantendo a sua forma. Ao considerarem-se formas de impulso com as arestas relativamente íngremes a esquerda e a direita, de modo geral, tal impulso amplia mais rapidamente a medida que se propaga, pois esse impulso fica com um espectro mais alargado.

Para modelar os efeitos de impulsos com arestas mais íngremes à esquerda e à direita, podem usar-se os impulsos Super-Gaussianos, cuja a fórmula do impulso inicial é dada por

 

controla o grau de inclinação das arestas. Para

m  1

, estamos em presença do impulso Gaussiano e para valores superiores de

m

o impulso adquire um formato mais quadriculado com as arestas mais afiadas (mais íngremes) à esquerda e à direita.

49

Ao definir-se

t

_r como o tempo de duração para o qual a intensidade do impulso aumenta de 10% à 90% do seu valor de pico, este relaciona-se com o parâmetro

m

da seguinte forma

m t

_r

m

^{0 0}

) 2 9

(ln  





(3.3.36) permitindo assim que o parâmetro

m

possa ser determinado a partir dos medições de



₀ e

t

_r. As arestas dos impulsos tornam-se cada vez mais íngremes à medida que

m

aumenta, a Eq.

(3.3.36) mostra que o tempo de subida

t

_r é inversamente proporcional a

m

, o que só confirma que um impulso com menor tempo de subida amplie mais rapidamente.

A Figura 3.14 ilustra o impulso inicial Super-Gaussino (m=3) de modo a comparar-se com o impulso inicial Gaussiano (

m  1

), mostrado na Figura 3.6. As diferenças entre as duas figuras reflectem-se na forma mais quadriculada das arestas a direita e a esquerda do impulso Super-Gaussiano.

Figura 3. 14 - Impulso inicial Super-Gaussiano com C=0.

As Figuras que se seguem ilustram à evolução o impulso Super-Gaussiano, usando

m  3

, para valores distintos do parâmetro Chirp (C= -2, 0 e 2).

50

Figura 3. 15 - Comparação do impulso Super-Gaussiano a entrada e a saída para C=0.

Figura 3. 16 - Evolução do impulso Super-Gaussiano para C=0.

Figura 3. 17 - Comparação do impulso Super-Gaussiano a entrada e a saída para C=2.

51

Figura 3. 18 - Evolução do impulso Super-Gaussiano para C=2.

Figura 3. 19 - Comparação do impulso Super-Gaussiano a entrada e a saída para C=-2.

Figura 3. 20 - Evolução do impulso Super-Gaussiano para C=-2.

52

É de notar que o impulso Gaussiano mantém a sua forma inicial durante a propagação, enquanto o impulso Super-Gaussiano, além de ampliar mais rapidamente o impulso, também distorce a forma inicial do sinal.

Melhorar a ampliação de um impulso Super-Gaussiano pode ser entender-se começando por se observar que o seu espectro é mais amplo do que um impulso Gaussiano, devido às arestas mais íngremes à esquerda e à direita. À medida que o atraso da DVG é introduzido para cada componente de frequência, este está directamente relacionada com a sua separação a partir da frequência central, obtendo-se assim um resultado mais amplo do espectro em uma taxa de ampliação mais rápida do impulso [2].

Para essas formas de impulso mais complexas, a largura efectiva dos impulsos pode ser descrita pela raiz quadrada (Root-Mean-Square: RMS) a meia largura de banda, dada pelo parâmetro

 (z )

, o qual é definido por

 ( z )  t

²

 t

² (3.3.37) onde



















dt t z A

dt t z A t t

q q

2 2

) , (

) , (

(3.3.38)

representa os momentos e

A ( z , t )

a envolvente do impulso que se propaga na fibra, como tem-se referido até aqui.

Define-se



₀ como sendo a largura característica inicial dos impulsos, ou seja,



₀

  ( z  0 )

, e



a largura efectiva (ou RMS) da fonte, podendo-se dessa forma definir a largura espectral da fonte normalizada como sendo

V  2 

_



₀ (3.3.39) Como

 

pode ser dado por





 



     

 2

₂

c

d

d

(3.3.40)

tem-se

_



_



  ² 

₂

^c

(3.3.41)

53

Nestas condições, é possível avaliar analiticamente que o coeficiente de alargamento  ₀ para o impulsos Gaussianos e de certo modo em geral, oferece uma estimativa do alargamento dos impulsos. Quando se despreza o efeito da dispersão da 3ª ordem (



₃

 0

), como se tem feito até agora [3].

O coeficiente de alargamento é dado por

Uma das técnicas para compensar ou minimizar o problema da dispersão em regime linear é com o uso de fibras compensadoras de dispersão (DCF- Dispersion Compensation Fiber). Essa técnica combina fibras com características diferentes tais que a DVG média da ligação se torne bastante baixa. Enquanto a DVG de cada secção da fibra é escolhida sendo grande o suficiente de modo a tornar os efeitos de onda das secções em conjunto desprezáveis [9].

Na prática é usado um mapa de dispersão periódica, com o período igual ao espaçamento entre os amplificadores ópticos. Em cada par de amplificadores há apenas dois tipos de fibras, a qual uma de maior comprimento

L

₁ funcionando na zona anómala e a de menor comprimento

L

₂ funciona na zona normal, mas com os módulos dos coeficientes DVG de valores bastante diferentes.

A técnica de dispersão compensada leva a uma vantagem de natureza linear ao considerar-se um pulso óptico propagando-se em duas secções de fibra óptica, cuja equação de propagação dos impulsos é dada, como mostra a Eq. (3.47) por

O comprimento da fibra de compensação de dispersão

L

₂ é escolhida de modo a que

₁

54

No uso dessa técnica faz-se



₂₂

 

₂₁ , para que

L

₂

 L

₁, ou seja, nessa técnica é comum

L

₁

ser na ordem dos 100 à 1000 km enquanto

L

₂ na ordem de 1km.

Como

A ( L ,  )  A ( 0 ,  )

quando a Eq. (3.4.2) é satisfeita, o impulso recupera a sua forma inicial à cada período de mapa (duas secções consecutivas), apesar da largura do impulso mudar significativamente em cada secção.

3.4.1. - Exemplo de Aplicação das DCF’s

Para exemplificar as aplicação das DCF´s, usamos o exemplo de propagação na fibra para o caso em que o impulso de entrada na primeira fibra (fibra a funcionar na zona de dispersão anómala)

A

₀

(  )  A ( 0 ,  )  sec h (  )

(3.4.3)

A nível de simulação, usamos a seguinte tabela de valores

Parâmetros L

₁

  km

 

 



 m ps

²

21

)

 ( L

₂

  km

 

 



 m ps

²

22

)

 (

Valores 20 -1 1 20

O impulso da Eq. (3.4.3) é o impulso inicial de entrada na primeira fibra que depois de lhe aplicar o algoritmo RIMF, passa a ser o impulso de entrada da 2ª fibra (DCF) - que possui um comprimento menor, à qual se volta a aplicar o algoritmos RIMF e, como veremos nas figuras abaixo, a saída da 2ª fibra temos o exactamente o impulso inicial da primeira fibra, ou seja, ao longo da 1ª fibra por mais que o impulso alargue, ao aplicar-se no fim desta uma fibra compensadora de dispersão, o impulso volta a sua forma inicial. Sendo assim, as fibras compensadoras de dispersão uma óptima maneira de se compensar a dispersão causada no impulso ao longo de uma fibra de comprimento L.

55

Figura 3. 21 - Comparação do impulso a entrada e a saída, na primeira fibra.

O Impulso de saída na primeira fibra é o impulso de entrada na segunda fibra (DCF).

Figura 3. 22 - Comparação do impulso a entrada e a saída, na segunda fibra.

56

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No documento Análise da Propagação de Impulsos em Fibras Ópticas (páginas 41-75)