Aula 5 – 25.Nov.08
Preparação da aula
Para esta aula, em que Rita vai introduzir um novo conteúdo programático – representação gráfica de uma relação de proporcionalidade directa – decidimos não elaborar uma tarefa específica, em suporte papel, como acontece nas aulas anteriores, e consideramos interessante analisar a dinâmica desta aula no que respeita à emergência, gestão e resolução de episódios de argumentação. Assim, pretendemos retomar o tema da proporcionalidade directa pela apresentação de uma situação desta natureza e de dois gráficos, um representativo da situação e outro não. Consideramos importante que os alunos relacionem as duas formas de representação, consigam indicar algumas
111 características de um gráfico de proporcionalidade directa e apresentem razões que justifiquem o facto de determinado gráfico não representar a dita relação.
Numa segunda fase da aula, é apresentada uma situação de misturas, ou seja, propõem-se aos alunos a análise de uma situação de concentrado de sumo para água à razão de 2 para 5. Esperamos que consigam: (i) indicar o significado de 2 e 5, neste contexto, (ii) completar a tabela correspondente, (iii) identificar a relação entre o sumo e a água como uma proporcionalidade directa, (iv) indicar a constante de proporcionalidade e o seu significado, (v) construir o gráfico, e (vi) eventualmente chegar à expressão algébrica.
Por não ser uma aula em que os alunos vão resolver uma tarefa de índole investigativa ou exploratória, temos algumas dúvidas quanto à possível ocorrência de situações de argumentação. Em nosso entender, as aulas de cariz expositivo podem proporcionar, ou não, oportunidades de participação e partilha de ideias, condições necessárias à ocorrência de argumentação. Tudo depende da actividade pelo que Rita pretende estar atenta às contribuições dos alunos e, sempre que considere adequado, espera conseguir promover a apresentação de justificações e troca de argumentos entre eles. Como refere:
Espero que surjam episódios interessantes. Na situação de não proporcionalidade directa, podem surgir situações. Alguns alunos acharem que se trata de uma situação de proporcionalidade directa. E aí é que se pode promover a discussão e o desacordo, não é? (ST5, pp. 1-2) Desenvolvimento da aula
1.ª Parte da aula
Rita inicia esta aula com um pequeno diálogo que estabelece com Sara sobre os acontecimentos da aula de dia 20 de Novembro. Relembro que nessa aula esta aluna afirma que a área de um quadrado e o seu lado são directamente proporcionais porque a área a dividir pelo lado dá sempre o lado. Alguns colegas não concordam com a conclusão de Sara e apresentam razões que a refutam. No entanto, ao visualizar o registo vídeo dessa aula constata-se que a aluna foi para o seu lugar aparentemente não convencida pelos colegas e sem manifestar a sua opinião sobre o assunto. Por
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desconhecer se Sara ainda considera a sua opinião válida ou se a mudou depois de ouvir os colegas Rita resolve questioná-la.
Professora: E tu ficaste convencida, ou não, de que a área é ou não directamente proporcional ao lado do quadrado?
Sara: Não era.
Professora: Não era. E és capaz de me explicar porquê que não era?
Sara: Porque não havia constante de proporcionalidade.
Professora: E como é que obtinhas a constante? Como é que verificavas que não havia constante?
Sara: Tínhamos que dividir a área do quadrado, pelo lado.
Professora: Pelo lado. E se o resultado final dessa divisão não era igual, significa então que essas grandezas…
Sara: Não são proporcionais.
Professora: Não são directamente proporcionais. Então ficaste convencida da situação?
Sara: Sim.
Uma análise deste pequeno diálogo permite verificar que Sara reflectiu sobre os acontecimentos da aula de dia 20 e reformulou a sua opinião sobre o assunto. Rita procura reconstruir o argumento que valida a conclusão - Não existe proporcionalidade directa entre o lado e área de um quadrado - em conjunto com a aluna. Este procedimento permite-lhe não só confirmar que, de facto, Sara pensou sobre o assunto, como também, permite rever em conjunto com ela o argumento que valida a conclusão.
Fá-lo colocando uma questão que deixa a aluna à vontade para responder afirmativamente, ou não, e que não contém em si a opinião da professora. Recorre à repetição da resposta da aluna, Não era! e acrescenta-lhe um pedido de justificação, ou seja, pede uma garantia para a sua resposta. Pela repetição de parte da resposta da aluna transmite-lhe segurança e veicula a sua resposta como hipoteticamente válida e pelo pedido de justificação procura efectivamente saber se a aluna sabe as razões que a validam e dá-lhe oportunidade de as explicitar.
A afirmação Porque não havia constante de proporcionalidade, referida por Sara, carece de um reforço matemático, isto é, a referência à variação do quociente entre as duas grandezas. Neste momento, a acção de Rita é crucial na sustentação da apresentação de garantias por parte da aluna. O pedido de esclarecimento que lhe dirige: Como é que verificavas que não havia constante? faz com que Sara procure uma razão mais forte para a sua conclusão. A aluna refere a divisão da área de um quadrado pelo seu lado e a professora, por perceber que ela está no bom sentido, repete uma parte
113 da resposta e expande-a referindo que o resultado final dessa divisão não era igual. A aluna conclui o argumento (Figura 4.19.), agora devidamente fundamentado – as duas grandezas não são directamente proporcionais pois o seu quociente não é constante. Os restantes alunos estiveram sempre calados e a ouvir o diálogo.
Figura 4.19. Esquema do argumento Não há proporcionalidade entre a área e o lado de um quadrado
2.ª Parte da aula
Rita inicia este momento colocando a questão: Se tivermos duas grandezas representadas numa tabela como é que nós conseguimos ver se elas são, ou não, directamente proporcionais? que dirige a Ana. Nem a aluna nem o resto da turma se manifesta, o que leva a professora a repetir mais duas vezes esta questão. Por ver que esta estratégia não resulta desenha uma tabela “improvisada” no quadro (Tabela 4.2.) e pergunta: Estas duas grandezas A e B são, ou não, directamente proporcionais?
Tabela 4.2. Tabela representativa de uma situação de proporcionalidade directa entre A e B
A 1 2 3
B 4 8 12
Dados Lado do quadrado
Área do quadrado
Conclusão Não são directamente
proporcionais
Garantia Não há constante de
proporcionalidade
Fundamento
O quociente entre a área do quadrado
e o seu lado não dá sempre o mesmo valor Regra do arredondamento
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Episódio12 – Duas justificações válidas
Ao visualizarem a tabela, alguns alunos manifestam a sua opinião sobre a relação entre A e B. Surgem duas justificações diferentes e um aluno, Afonso, manifesta desacordo em relação ao modo de justificar de uma colega, Tatiana e que Rita aproveita para explorar:
João: São.
Professora: Diz o João que sim. Porquê João?
João: Porque o preço…
Professora: O preço? Quais são as grandezas que temos aqui? Chamei-lhe A e chamei-Chamei-lhe B, certo? Não tem de ter relação nenhuma com preços! Como é que eu sei se A e B são directamente proporcionais? Diz lá João! Então? [a turma mantém o silêncio]
Tatiana!
Tatiana: Porque há uma constante de proporcionalidade.
Professora: Porque há uma constante de proporcionalidade. E qual é essa constante?
Tatiana: É 4.
Professora: Porquê?
Tatiana: Porque… 4 a dividir por 1 é 4.
Afonso: Não!
Professora: 4. Diz! [olha para o Afonso] Vá, ela diz assim: 4 a dividir por 1 é 4.
[pausa e olha para a Tatiana]
Tatiana: 8 a dividir por 2…
Professora: 8 a dividir por 2 é…
Tatiana: É 4.
Professora: É 4. E…
[espera que a aluna continue]
Tatiana: 12 a dividir por 3 é…
Professora: 12 a dividir por 3 é 4. E o Afonso dizia assim: Não! Porquê?
Afonso: Acho que é assim.
[o aluno concorda com o que está registado no quadro]
Professora: Porquê que achas que é assim? Então? Eu queria ver se o Afonso… [refere olhando para a turma]
Afonso: 1 x 8.
Professora: 1 x 8… [gesticula junto da tabela]
Afonso: O 2 vezes o 4.
Professora: 2 vezes o 4 [volta a gesticular o produto cruzado] Então tu dizes assim, 1 x 8?
Afonso: 8.
Professora: E…
Afonso: 2 x 4.
Professora: 2 x 4. Dá quanto?
Afonso: 8.
115 Professora: 8. E isto significa ou não, Afonso, que há proporcionalidade
directa?
Afonso: Significa.
Professora: Sim. Ora então repara! Se eu puser aqui um sinal de igual, [entre as divisões que Tatiana referiu] isto não fica uma proporção? Por esta razão [refere-se ao facto dos produtos cruzados significarem o mesmo que a igualdade entre as razões], certo?! Então as grandezas são, ou não, directamente proporcionais? Utilizando este processo. Dizes tu! É outra forma.
Durante este momento da aula Rita percebe que Afonso não está de acordo com a justificação de Tatiana, pelo que, aproveita esta oportunidade para fomentar a apresentação de razões divergentes. Como o desacordo do aluno surgiu quando a aluna ainda se encontrava a explicitar a sua opinião, a professora incentiva-a a completar o seu raciocínio e só depois dá a palavra ao aluno. Simultaneamente regista no quadro os quocientes que a aluna refere 4
1
4 , 4
2
8 e 4
3
12 . Enquanto o aluno verbaliza a sua forma de justificar a existência de proporcionalidade directa entre A e B, a professora gesticula junto da tabela o produto cruzado das grandezas. Enquanto o faz questiona o aluno sobre os resultados 1x8 e 2x4 que, por serem sempre 8, e portanto constantes, justificam a existência desta relação.
Os alunos não chegam a “esgrimir” argumentos, isto é, não discutem entre si a validade das suas opiniões. Isso não ocorre, possivelmente, porque Rita não promove essa discussão mas também se pode dever ao facto de Afonso não estar em desacordo com Tatiana por considerar existir um erro no seu raciocínio. O aluno apenas tem outra forma de pensar. A professora justifica a sua acção por considerar que “provavelmente eles não iam conseguir ver logo que as duas ideias eram convergentes” (DB, p. 11) e também porque “o objectivo da aula não era trabalhar a proporcionalidade directa na forma tabelar, mas era introduzir conteúdos novos: gráficos cartesianos” (DB, p. 11).
No entanto, refere, “aquele Não! do Afonso alertou-me para a existência de um momento oportuno para fomentar a argumentação” (DB, p. 11) o que faz promovendo a apresentação de razões do aluno, acompanhando o seu raciocínio com o registo no quadro e sistematizando os acontecimentos no final, de modo a que os alunos se convençam da validade das suas afirmações e dos seus colegas.
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3.ª Parte da aula
Rita propõe a situação do concentrado de sumo de laranja antes de abordar os gráficos cartesianos. Regista no quadro o seguinte,
“O concentrado de um sumo de laranja deve ser diluído em água na razão de 2 para 5.
Como é que interpretas a relação anterior?
Completa a tabela:
Medidas de concentrado
de laranja 1 2
Medidas de água 10 15
Existe PD entre as duas grandezas? Justifica.”
(GO5, p. 2) e incentiva os alunos a indicar o significado do 2 e do 5 na frase. Há consenso quanto ao significado ser: Para cada duas medidas de sumo temos de colocar cinco de água e reforça-se a validade desta conclusão pela ordem em que aparecem as palavras sumo e água.
Este exercício é resolvido simultaneamente pela professora com os alunos, pelo recurso à sequência questão-resposta-validação e registam-se no quadro as respostas que os alunos dão. Durante esta parte da aula não ocorreram situações de desacordo, nem há manifestação de divergências de opinião que necessitem de ser resolvidos pelo recurso à argumentação. Existem breves situações em que um ou outro aluno não compreende um assunto e, quando isso acontece, Rita promove a sua reflexão sobre a questão o que conduz a um convencimento quase imediato.
Seguem-se as explicações da professora sobre gráficos cartesianos: eixos, a origem dos eixos, a marcação dos pontos, as coordenadas, os pares ordenados e os alunos fazem os seus registos no caderno diário. De seguida a professora propõe-lhes que representem na forma gráfica a situação de proporcionalidade directa do exercício anterior – o concentrado de sumo de laranja.
A professora dá tempo aos alunos para construir o gráfico. Vai acompanhando o seu trabalho e verifica que o que está registado, por vezes, não corresponde ao que está no quadro e apela a que os alunos passem os conteúdos de forma rigorosa. Dá indicações sobre o modo como devem fazer a representação no gráfico a partir da
117 tabela, a importância dos valores da variável independente – concentrado de sumo de laranja – serem representados no eixo das abcissas. Os alunos compreendem com alguma facilidade como se representam os pares de valores correspondentes, medida de concentrado e medida de água, no sistema de eixos. Marcam os pontos e a professora corrige alguns pormenores, ajuda no esclarecimento de algumas dúvidas e pede-lhes que usem uma régua e a coloquem sobre o gráfico.
Episódio 13 – Um gráfico de proporcionalidade directa
Quando pergunta à turma: O que acontece? surgem opiniões divergentes. Ao constatar que os alunos apresentam respostas diferentes diz: Vamos aqui tirar uma conclusão, todos juntos! Apela à sua atenção e tenta que todos consigam obter uma recta que contenha a origem dos eixos.
Professora: Já uniram estes pontos? Então já alguém conseguiu desenhar uma recta que passe aqui?
António: Aonde?
Professora: Aqui neste ponto. [refere o ponto da origem dos eixos]
Aluno: É impossível!
[muitos alunos falam em simultâneo e não se entende o que dizem]
A professora reforça a ideia de que o que está correcto é a régua conter todos os pontos do gráfico e questiona a turma sobre quem não tem este resultado. Carolina é uma dessas alunas pelo que a professora procura junto dela a razão pela qual não tem o resultado esperado. Verifica que a escala não está bem construída e, quando se prepara para colocar a situação à discussão com os restantes alunos, surge um desentendimento verbal entre dois alunos, que desvia a sua atenção. Quando retoma a aula no ponto em que ficou Rita não aborda esta situação.
Além do problema da escala mal construída há também erros na marcação de pontos, como por exemplo (4,9), quando ao 4 não corresponde o 9 mas sim o 10.
A fim de levar os alunos a compreender que um gráfico de proporcionalidade directa é uma recta que passa na origem do referencial e com o objectivo de os fazer pensar no modo como podem justificar a sua opinião, Rita apresenta três esboços destas duas situações, questiona os alunos e pede-lhes justificações. Ouvem-se afirmações como: O gráfico não é de proporcionalidade directa porque não passa nos pontos
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todos! o que pode significar que os alunos ainda não adquiriram o vocabulário suficiente para justificar o que vêem ou ainda não conseguem explicar-se de forma correcta, de acordo com a nomenclatura para estas situações. Assim, Rita reitera a necessidade de haver consenso, resolve recapitular o trabalho realizado e conduz os alunos à conclusão.
Professora: Eu agora preciso de fazer aqui uma conclusão geral. Então, temos aqui uma representação na forma de uma tabela, certo?
Esta representação [aponta para o gráfico] é, ou não é, da mesma situação? Desta que esta aqui na tabela?
[alguns alunos respondem que sim]
É. Temos a representação que está na tabela, na forma de uma tabela, esta [gráfico] está na representação na forma de quê? De um quê?
[alguns alunos respondem gráfico]
É a representação da mesma situação. Só que representações diferentes. Na tabela toda a gente consegue verificar se há proporcionalidade directa se houver uma constante, ou seja, se dividirmos uma grandeza pela outra e obtivermos sempre o mesmo…?
Alunos: Resultado.
Professora: Resultado. Como é que num gráfico conseguimos dizer, logo à partida, só por observação, se há ou não proporcionalidade directa?
Aluno: Se ele tiver uma linha recta.
Professora: Se ele tiver uma linha recta que…? Que passa aonde?
[algumas respostas em simultâneo]
Então vamos lá falar um de cada vez! Diz lá António! [o aluno não responde] Todos os pontos têm de estar sobre uma linha recta que… [não se entende o que o aluno diz] Então destes três [gráficos], outra vez, diz-me lá qual é o único que é de proporcionalidade directa?
António: É o primeiro.
Professora: É o primeiro.
Ao repetir a resposta do aluno, Rita valida-a e torna claro para a turma que aquele é o único gráfico, dos três que estão desenhados no quadro, que representa uma situação de proporcionalidade directa. Para lhes mostrar como podem justificar que um gráfico não é representativo de uma relação desta natureza a professora pergunta a Sónia: Se isto [recta que contém a origem dos eixos] não acontecer há, ou não há, proporcionalidade directa? A aluna responde negativamente e a discussão termina.
119 Até ao final da aula os alunos resolvem exercícios do manual sobre representação gráfica de situações de proporcionalidade directa.
Reflexão
Em nosso entender, a conversa de Rita com Sara, no início desta aula, é uma mais-valia na promoção da auto-confiança dos alunos, em particular da aluna, e contribui para a valorização da sua reflexão sobre a actividade de cada aula. Este momento serve para esclarecer a professora quanto à opinião da aluna sobre os acontecimentos da aula de dia 20 de Novembro. É útil para a aluna, na medida em que é um reforço à sua opinião e serve para os outros alunos, pois surge como uma conclusão geral dessa actividade.
Saliente-se que o principal objectivo desta aula é a compreensão, por parte dos alunos, de um novo conceito – representação gráfica de uma proporcionalidade directa e em consequência o conhecimento sobre gráficos cartesianos. Pretendemos também, a partir da análise da dinâmica da aula, verificar em que circunstâncias ocorrem situações de argumentação e qual, ou quais, as acções da professora na sua promoção, sustentação e resolução. Este propósito torna-se relevante, do nosso ponto de vista, dado que esta aula não contempla a proposta de tarefas em suporte papel nem questões de natureza exploratória ou investigativa.
Quanto ao primeiro objectivo consideramos que os alunos compreendem como se deve representar graficamente uma proporcionalidade directa, que cuidados se deve ter com a construção do gráfico, com a marcação dos pontos e que aspecto tem um gráfico referente a esta relação – uma recta que contém a origem dos eixos. A revisão ou relato final, que Rita realiza, ajuda certamente a clarificar algumas dúvidas e a esbater algumas dificuldades que os alunos podem sentir. Como refere:
Toda a aula foi expositiva, cujo objectivo era a leccionação de novos conteúdos. Contudo, com a análise que fui fazendo ao trabalho desenvolvido pelos alunos na própria aula e nas seguintes, posso referir que a maioria percebeu estes novos conteúdos. (ST6, p. 5)
Embora caracterizemos esta aula de expositiva nela encontramos momentos em que os alunos podem e devem participar. Neste sentido, a professora questiona-os e
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promove, em alguns momentos, a apresentação de raciocínios de um aluno a toda a turma, proporcionando a partilha e o debate de ideias. No entanto, vivencia algumas dificuldades, como por exemplo, no princípio da aula, os alunos apresentarem alguma apatia e não responderem às suas questões. Tentamos encontrar causas para esta situação e ocorrem-nos duas: os alunos estão com sono (situação normal nesta turma logo pela manhã) ou os alunos não estão muito à vontade com as questões que a professora coloca, porque ainda não dominam os conteúdos. Em todo o caso, Rita considera que a razão mais saliente é o tipo de aula que proporciona aos alunos:
Embora tenha a ideia de que em qualquer actividade matemática possam surgir episódios de argumentação, desde que haja lugar à apresentação de estratégias e raciocínios diferentes, discórdia e defesa de ideias, discussão e uma conclusão que todos aceitem como correcta, as actividades de cariz exploratório e de investigação matemática são mais ricas do ponto de vista da promoção da argumentação. Este tipo de tarefas permitem ao aluno desenvolver e usar um conjunto de processos matemáticos tais como formular conjecturas, testar e provar essas conjecturas, discutir, argumentar e generalizar. Proporcionam aos alunos uma convivência com aspectos essenciais da experiência matemática, permitindo-lhes mobilizar e consolidar conhecimentos matemáticos já adquiridos. (RR4, p. 5)
De facto, a análise do registo desta aula revela a existência de argumentação, mesmo numa situação em que os alunos não desenvolvem trabalho sobre uma tarefa, durante algum tempo. Parece-nos que nesta aula os momentos de argumentação ocorrem de modo mais inesperado do que numa aula em que se promove a discussão de resultados. Estes momentos surgem quando, por exemplo, é dada a palavra a um aluno, para que explicite um raciocínio ou apresente uma resposta, e há manifestação de desacordo por parte de outro aluno. Verificamos que a atenção de Rita para estas manifestações é uma condição essencial à promoção de troca de argumentos. Ao perceber que um aluno discorda do que ouve a professora procura que, não só se ouça quem ainda está a explicar e justificar a sua ideia, como também o outro aluno o faça.
Contudo, Rita considera que ainda “perde” algumas oportunidades de colocar os alunos a justificar a discutir ideias e reitera a importância de estar atenta.
Depois de ler este pequenino episódio apraz-me perguntar a mim própria:
Porque é que não aproveitei a resposta do António para, logo de seguida, colocar a questão Porquê?
121 Uma maior atenção aos acontecimentos que ocorrem no desenrolar de
uma actividade é crucial. Com esta pequenina pergunta poderia levar os alunos a justificarem a razão pela qual aquela representação era de proporcionalidade directa ou, eu própria a perceber se os alunos se tinham apropriado desse conhecimento.
Haveria naturalmente, o proporcionar de uma maior riqueza e consistência de saber aos alunos. (ST6, p. 6)
Esta postura exigente e crítica de Rita, sobre o seu papel na promoção de argumentação na aula de Matemática, só é atenuada pela reflexão sobre as causas desta acção não ocorrer tantas vezes quanto deseja. Por um lado, pensamos que uma razão se deve ao facto de sentir que está atrasada quanto à planificação anual do 7.º ano. Esta aula é planeada com base na necessidade de “avançar na matéria” e por isso “não pode ser dado muito tempo para que os alunos desenvolvam trabalho e se faça uma discussão” (ST5, p. 2). Por outro, o facto de este conteúdo leva os alunos a sentir alguma dificuldade em se exprimir ou apresentar argumentos que validem as suas ideias. Assim, as causas de não ocorrerem mais episódios de argumentação podem relacionar-se com o desenvolvimento curricular, com conteúdos programáticos, os conhecimentos dos alunos ou a predisposição da professora.
É de salientar que nesta aula Rita consegue alimentar alguns momentos de natureza argumentativa, o que a deixa satisfeita. É igualmente relevante que os alunos mostram algum à vontade quanto à manifestação do seu desacordo em relação a uma ideia.