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Capítulo 4
Argumentar nas aulas de Rita
Neste capítulo apresento os resultados do estudo, tendo em atenção os aspectos mais relevantes das aulas de Rita, no que concerne à promoção da argumentação na prática lectiva, dificuldades sentidas e estratégias adoptadas para as superar e o contributo do trabalho em colaboração para o desenvolvimento profissional da professora neste domínio.
Aulas 1 e 2: Quadrado de um número terminado em 5
Aula 1 – 21.Out.08
Preparação da aula
Para esta aula elaborámos a tarefa Quadrados de números terminados em 5 (Anexo 4), dado querermos propor uma tarefa sobre potências de expoente natural no 7.º ano de escolaridade. Procurámos uma tarefa de investigação ou de exploração, tendo a ideia surgido de uma questão do manual dos alunos, a qual sofreu alterações resultantes de alguma discussão da nossa parte. Discutimos sobre: (i) a formulação do enunciado, de modo a ser uma tarefa de investigação, (ii) a tabela da questão 1a) ter início em 5 ou num número maior e (iii) a estrutura da tarefa.
A tarefa é constituída por três questões. Com a primeira questão, 1a), pretendemos que, com recurso à calculadora, os alunos completem a tabela dos quadrados de números “terminados” em 5. Com a segunda questão, 1b), esperamos que, por observação e experimentação, os alunos descubram regularidades, elaborem algumas conjecturas e escrevam uma regra. Com a terceira questão, 1c), pretendemos
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que os alunos generalizem a regra a que chegaram e que a validem para qualquer número terminado em 5.
Sendo os alunos do 7.º ano, não esperamos que cheguem a uma demonstração formal, mas que encontrem justificações que os convençam que, de facto, a regra é válida para todos os números terminados em 5. Consideramos que a resolução desta tarefa, sobre regularidades numéricas, pode contribuir para o desenvolvimento da capacidade de usar estratégias, formular e validar conjecturas e discutir resultados pela apresentação de argumentos como defesa de raciocínios. Deste modo pensamos promover o desenvolvimento das capacidades de Raciocínio e Comunicação.
Na tentativa de antever o trabalho dos alunos resolvemos a tarefa e identificamos possíveis dificuldades e modos de resolução. Discutimos sobre a utilização da calculadora, se durante toda a actividade ou apenas no final para números grandes, sobre a pertinência de se realizar uma pausa na actividade dos alunos, entre questões, para discutir resultados e sobre as diferentes estratégias que eles podem usar, para formular uma relação entre os números. Abordamos ainda a capacidade dos alunos em justificar e validar conjecturas e o modo como a professora os pode levar a fazê-lo.
Esperamos que, no processo de validação da regra, os alunos recorram à generalização, isto é, provam a validade para muitos números e concluem que serve para todos. A acção de Rita na gestão das participações dos alunos, a promoção da argumentação e a moderação das contribuições dos alunos, são também aspectos considerados na preparação desta aula. Na nossa discussão durante a exploração da tarefa encontram-se afirmações como: Agora que conjecturas é que eles poderão fazer a partir daqui?, Como é que eles provam e justificam os seus raciocínios? e Como é que eles vão demonstrar isso?! (ST2, pp. 2-3).
Desenvolvimento da aula
A tarefa é resolvida no dia 21 de Outubro de 2008 e novamente abordada no dia 4 de Novembro de 2008. A aula tem três momentos distintos. O primeiro refere-se aos acontecimentos antes da resolução da tarefa, o segundo refere-se à resolução da tarefa e o terceiro respeita à apresentação e discussão colectiva das resoluções dos alunos.
57 1.ª Parte da aula
A aula inicia-se com a entrada na sala e com a gestão de algumas entradas tardias. Seguidamente, Rita regista o sumário no quadro e indica as suas expectativas quanto ao modo como pode decorrer a actividade. Segue-se a formação de pares de trabalho, processo nem sempre bem aceite, como refere a professora na sessão de trabalho de análise desta aula:
Eu achei que a Mafalda não queria ir para ao pé do colega com quem inicialmente estava. [É] que a Mafalda é uma das meninas que é rejeitada na turma e preferiu ficar ao pé da Maria e eu cedi e pus o Gonçalo com o João. (ST3, p. 1)
Entretanto chegou a Patrícia que teve de ficar sozinha, porque é número ímpar [o número de alunos na turma]. Ainda pensei pô-la a trabalhar com o par que estava lá atrás mas eu acho que eles não trabalham bem mais do que dois. E essa Patrícia é uma menina assim com uma atitude pouco correcta, nem sempre é amiga dos colegas. (ST3, p. 1)
É distribuído um enunciado da tarefa a cada aluno, realizada a leitura das questões e são esclarecidas dúvidas pontuais. Os alunos são informados que têm 40 minutos para resolver a tarefa.
2.ª Parte da aula
Uma das primeiras preocupações de Rita é o esclarecimento do significado de x2, pois, segundo diz, os alunos “não têm conhecimentos de expressões com variáveis”
(DB, p. 6). Refere ainda não ter abordado este assunto com os alunos, pelo que este esclarecimento é uma forma de evitar algumas dificuldades:
Tive necessidade de fazer isso porque como era uma expressão com letras e como eles não, penso eu, nunca tinham trabalhado esse conceito e tive necessidade de explicar o que é que significava (…) Inicialmente o x2 saiu logo como o quadrado do x porque também tem a ver com eles estarem a dar essa matéria. Por isso é que eu não quis avançar muito, para a raiz cúbica. (ST3, p. 2)
Rita sente também que os alunos revelam alguma dificuldade na compreensão
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do significado da palavra regra. Na sua reflexão escrita, refere que:
Os alunos não compreenderam o que lhes era solicitado, ou seja, parece não terem percebido “o que era uma regra”. Neste momento, e dado que as perguntas nos vários pares eram as mesmas, achei que deveria pedir uma pausa na actividade dos alunos e fazer um esclarecimento geral à turma sobre aquilo que se pretendia nessa alínea b). (RR 2, p. 1)
Rita tenta mostrar aos alunos a importância de saberem o significado de regra e acrescenta que uma regra é “sem termos que utilizar a calculadora facilmente conseguirmos chegar ao resultado do quadrado de qualquer número nessas condições”
(RR2, p. 1).
Ultrapassadas as dificuldades iniciais, os alunos enveredam na resolução da ficha de trabalho. Alguns resolvem a tarefa quase sem solicitar a presença de Rita, enquanto outros, mais inseguros, solicitam a sua presença, constantemente. A professora acompanha prioritariamente os grupos que requerem ajuda e justifica esta opção pelo facto de ser “aí que em princípio teriam mais dúvidas” (ST3, p. 3) e também porque pretende igualmente dar alguma autonomia aos alunos, enquanto trabalham com os seus pares.
Durante a actividade nota-se que, mesmo quando incentivados a registar os seus resultados, os alunos respondem: Mas nós já sabemos. É preciso escrever? Perante esta situação, surge a questão de saber qualpode ser a estratégia do professor. Por considerar ser necessário que os alunos “escrevam tudo o que pensaram, de uma forma organizada e estruturada para depois poderem apresentar e explicar à turma” (RR2, p. 2), Rita refere a seguinte estratégia para tentar contornar este problema:
Tentar fazer mais coisas destas [aulas com discussão] de modo a que os alunos se convençam de que há necessidade, que é uma mais-valia para as suas aprendizagens transcrever para o papel ou para o quadro ou (…) portanto sistematizar as suas ideias. (ST3, p. 4)
Porém, outra questão se levanta relativa aos registos dos alunos. A análise das resoluções registadas nas fichas de trabalho permite verificar que os alunos apagam constantemente o que escreveram, quer seja por considerar que a sua resolução não está correcta quer por falta de segurança nas suas respostas. Rita, quanto a este assunto, é peremptória: “Eu vou ter que lhes dar instruções muito claras nas próximas tarefas de
59 que não podem apagar nada!” (ST3, p. 7). Refere que, na aula, verificar que um dos seus alunos “tinha apagado uma estratégia diferente foi um momento que (me) entristeceu bastante (ST3, p. 5).
Dada a agitação dos alunos, pois alguns chegam rapidamente às primeiras conclusões, embora ainda desconheçam se são válidas ou não, Rita refere ter sentido duas coisas distintas. Por um lado, “já que eu não lhes validava totalmente os seus raciocínios, pareceu-me que precisavam de partilhar com outros colegas aquilo que tinham feito e escrito” (RR2, p. 2). Por outro lado, “esta ideia de olhar para outras resoluções não foi muito boa, porque alguns alunos tinham registos, que até poderiam ser interessantes e apagavam-nos. Perderam tempo e não conseguiram fazer a alínea c)”
(RR2, p. 2).
Durante o acompanhamento dos grupos, Rita adopta uma postura essencialmente questionadora, dos resultados e processos usados pelos alunos, e orientadora dos seus raciocínios, tendo em vista o objectivo central da actividade – a regra de formação do quadrado de um número que termina em 5. É de salientar que, nesta primeira aula, o pedido de explicação e justificação de ideias é efectuado principalmente pela professora.
Os alunos não estão habituados a questionar, a responder ou a validar as questões formuladas pelos colegas e não consideram ser esse o seu papel na sala de aula. Por não compreenderem que esta actividade é inerente ao processo de construção do conhecimento matemático, é necessário iniciá-los nesta prática.
3.ª Parte da aula
A terceira parte da aula inicia-se quando Rita percebe que está a exceder o tempo previsto para o desenvolvimento da tarefa. Como refere, “olhei para o relógio (…) senti a necessidade de ter de ser naquele momento, porque senão não tinha tempo”
(ST3, p. 6).Consciente do trabalho desenvolvido pelos alunos até ao momento, opta por dar início à apresentação e discussão de resultados:
Embora eu tivesse a percepção de que quase todos já tinham concluído a tarefa, pelo menos a alínea a e a b. Em relação à alínea c era uma questão de nós confirmarmos depois com aquele conjunto de números, não é? E de intervalos, por filas. [Refere-se aos intervalos que registou no quadro para que os alunos escolhessem um número terminado em 5], para validarmos, digamos assim a regra. Mas eu apercebi-me que a grande
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maioria já tinha terminado, já tinham chegado a uma regra. Embora não estivessem a conseguir escrevê-la. (ST3, p. 6)
Durante a apresentação e discussão dos resultados dos alunos, ocorrem dois momentos relevantes – episódio 1 e episódio 2 – do ponto de vista argumentativo, no que concerne à construção da regra acima referida.
Episódio 1 - A esta frase todos chegaram!
Rita pede a um aluno, Filipe, que apresente a conclusão a que chegou juntamente com o seu par, Maria, relativamente à resolução das questões 1a) e 1b). Antes disso, porém, chama a atenção de toda a turma para o momento que se vai seguir e salienta a importância dos alunos ouvirem com atenção as explicações dos colegas, no sentido de poderem participar.
O aluno dirige-se ao quadro, desenha a tabela e completa-a, de acordo com o que tem registado na sua ficha de trabalho (Figura 4.1.):
Figura 4.1. Registo da resolução da questão 1a) da Tarefa 1 na ficha de trabalho de Filipe
De seguida, Rita pede ao aluno que apresente a sua conclusão relativa à questão 1b):
Professora: Filipe, olhando para a tabela o que é que vocês conseguiram escrever em primeiro lugar?
Filipe: Nós escrevemos que o quadrado de um número terminado em 5, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95 e 105, acaba sempre em 5.
Professora: Acaba sempre em 5. Ou seja, o quadrado… Vê lá se podemos resumir essa frase? O quadrado de um número terminado em 5, porque são estes [aponta para a tabela], acabam sempre em 5.
Todos concordaram ou todos chegaram a esta conclusão?
Turma: Sim.
O aluno enuncia a sua regra, a professora resume a frase, redizendo a ideia do aluno, e questiona a turma sobre a sua validade. A questão da professora: “Todos concordaram ou todos chegaram a esta conclusão?” torna o assunto passível de discussão, pelo que se cria um contexto favorável à participação dos alunos que podem,
61 se assim entenderem, expressar a sua opinião sobre o que acabam de ouvir.
Rita sabe que além deste par de alunos, Filipe e Maria, outros alunos têm, também, esta conclusão - o quadrado de um número terminado em 5 termina sempre em 25. Assim, volta a questionar a turma.
Professora: Todos aceitam ou não, a conclusão que o Filipe e a Maria fizeram. Todos os números terminados em 5 ao quadrado, acabam em 5. [Um aluno manifesta ter algo a dizer]
Diz lá António!
António: Acabam em 25.
Note-se que, ao repetir a questão, Rita focaliza a atenção dos alunos no assunto sobre o qual devem emitir a sua opinião. Além disso, a forma como a questão é elaborada permite-lhes aceitar ou não a conclusão de Filipe, o que constitui novamente um convite à participação. Este convite é aceite por António que, ao analisar criticamente o conteúdo da regra enunciada por Filipe e a sua própria conclusão, acrescenta “Acabam em 25”.
Rita, tem o cuidado de fazer com que os alunos compreendam que a observação de António não é contrária à de Filipe, antes a complementa. Para se certificar disso coloca uma questão de confirmação a toda a turma: “Se acabam em 25, acabam de certeza em quanto?” A resposta dos alunos, “Em 25!”, dá-lhe a noção de que os alunos compreendem a conclusão “Todos os quadrados de 5 terminam em 25”.
O registo, no quadro, da frase “O quadrado de todos os números terminados em 5 acaba em 25” procura sistematizar as ideias apresentadas e constitui a etapa que encerra a validação da primeira parte da regra. Durante este registo, Rita nota alguma dificuldade nos alunos em a verbalizar, pelo que os questiona no sentido da construção conjunta da frase, que todos consideram agora ser válida:
Professora: Então e não podíamos suprimir este conjunto de números?
[refere-se aos números antes do 25 em cada resultado do quadrado]
Filipe: Sim.
Professora: Porque… Porquê? Porque é que podíamos suprimir este conjunto de números? Diz Tatiana!
Tatiana: Porque todos acabam em 5.
Professora: Porque todos eles acabam em 5. Então bastava dizer o quê?
O quadrado…
António: … De todos os números terminados em 5 é, terminam em 25.
Professora: Terminam em 25. Diz o António. Será que podemos
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sustentar essa ideia? Sim? Então podemos escrever? O quadrado… De quê? Vá uma frase.
(…)
Professora: Todos os números terminados em 5 terminam em… Em…
quanto António? Em 25. Já está! Pronto. Eu acho que a esta frase todos chegaram.
A análise do momento de construção da frase, do ponto de vista argumentativo, leva à identificação de uma questão referente ao pedido de justificação, feito pela professora, relativo à validade de se considerar o conjunto de algarismos 25. Este pedido é atendido por Tatiana que mostra ter compreendido a existência de uma relação entre o algarismo 5, no número inicial, e o 25 no quadrado do mesmo, embora não apresente uma razão explícita para esta relação. A validação da regra culmina na observação da professora: “Eu acho que a esta frase todos chegaram”.
Episódio 2 - A estratégia de Ricardo
Após se ter registado no quadro a frase relativa à primeira parte da regra, Rita questiona a turma sobre a existência de mais conclusões. Ricardo, um dos melhores alunos da turma, pede para intervir e a professora dá-lhe a palavra. O aluno mostra-se um pouco reticente em relação à sua conclusão e refere que a sua estratégia é difícil de explicar. A professora incentiva-o a ir ao quadro explicar o seu raciocínio e chama a atenção dos outros alunos para a apresentação do aluno. Finalmente, Ricardo explica o seu raciocínio, com base na sua ficha de trabalho (Figura 4.2.).
Ricardo: A maneira mais fácil de descobrir os números é: este aqui está a zero [ou seja 025 é o quadrado de 5], aqui aumentamos dois [ou seja 225 que é o quadrado de 15] e este quatro [625 que é o quadrado de 25, o 6 tem mais quatro que o 2 do 225], seis e oito e dez e doze e catorze e dezasseis. Então a maneira que eu descobri de descobrir o 95 e o 105 foi, deixar o 25...
Professora: Então escreves se não te importas.
Ricardo: Deixar o 25 no fim e somar a este 18, deu 90. [o aluno refere-se ao 72 de 7225 que é o quadrado de 85, que adicionado de 18 dá 90].
Professora: Muito bem, então e para o 105?
Ricardo: Para o 105, deixei o 25, somei 22, não 20 e deu-me 110.
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Figura 4.2. Registo da resolução da questão 1b) da Tarefa 1 na ficha de trabalho de Ricardo
O raciocínio de Ricardo é, de facto, diferente da conclusão anterior relativa à segunda parte da regra. Conhecedora deste facto, a professora pede-lhe que enuncie uma regra, o que consiste numa tarefa difícil para o aluno. Também a professora sente alguma dificuldade em verbalizar a regra do aluno quando o desafia a experimentá-la num número superior. O seu objectivo é levar Ricardo a pensar na sua conjectura de modo a que o aluno possa avaliar a sua validade e formule uma regra:
Professora: Então qual é a regra à qual tu chegaste Ricardo?
Ricardo: Como os números acabam todos em 25 e andam de 10 em 10…
São múltiplos de 5… Duas vezes, portanto, vai ser de 20 em 20.
Professora: Pronto, então imaginemos que eu não tinha o 110 [refere-se ao 110 de 110|25 que corresponde ao quadrado de 105], porque é 10 mais…não é?! Porque são números terminados em 5 consecutivos, mas tinha … este número [a professora escreve 225].
Ricardo: Então fazemos o 25.
Professora: Fazemos o 25 porque até aqui todos chegaram à conclusão que terminava em 25.
Ricardo: E tinha de ver quantas vezes andava o 225 para a frente de 105…
Professora: Então e quantas vezes anda o 225 para a frente em relação ao 105?
Ricardo: É pá!
Professora: Pois! Será…
Quando Ricardo enuncia a sua regra, que não é clara, Rita não questiona a turma sobre a sua validade mas opta por conduzir o aluno à reflexão sobre o modo como, pela sua conjectura, consegue determinar o quadrado de um número terminado em 5. Ao
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colocar a questão: E quantas vezes anda o 225 para a frente em relação ao 105?, a professora pretende que Ricardo compreenda que é necessário proceder a todos os cálculos entre 1052 e 2252, o que o leva a exclamar “É pá!” Aparentemente, nesse momento, o aluno percebe que a sua conjectura se torna de difícil execução quando os números não são seguidos, isto é, quando não são números terminados em 5 consecutivos, embora não se tenha efectuado um registo desta percepção. Verifica-se no entanto que, durante este diálogo, a conclusão anterior – o quadrado de um número terminado em 5 termina em 25 – é usada como conhecimento matemático válido e aceite pelos alunos.
Esta discussão, entre a professora e o aluno, é seguida atentamente por Carolina.
Esta aluna parece entender que Ricardo não consegue aplicar a sua regra a qualquer número, sem ter o anterior. No entanto, quando a professora fomenta a discussão entre estes alunos Carolina apresenta uma razão, diferente daquela que a professora espera.
Carolina: Não era fácil, precisávamos…
Professora: Olha, olha o que diz a Carolina! [diz para o Ricardo]
Carolina: Porque se fosse um número mesmo esse [refere-se ao 225] ou maior que esse precisávamos de máquina para descobrir.
Professora: Será que é assim tão simples, Ricardo?
Ricardo: Se calhar não!
Professora: Pois.
Ao chamar a atenção de Ricardo para o que diz Carolina, e ao permitir que a aluna opine sobre a discussão em curso, a professora tenta criar condições para que os alunos discutam. O assunto – a conjectura de Ricardo – passa a ser discutível, porém, a razão apresentada por Carolina – precisávamos da máquina para descobrir – que parece refutar a ideia do aluno não é debatida, do ponto de vista argumentativo. Por este facto e pelas observações: Será que é assim tão simples Ricardo? e Pois, proferidas pela professora, a tentativa de colocar os alunos a discutir resulta infrutífera. Com a última observação, Rita encerra o debate sobre a conjectura de Ricardo, sem que se conclua sobre a sua validade ou se apresentem argumentos que a sustentem.
Reflexão
Ao observar o registo desta aula verificamos que não existem momentos de argumentação relevantes. De facto, se considerarmos a argumentação como meio de
65 resolver desacordos pela apresentação de razões, esta aula não se caracteriza por ter uma dinâmica argumentativa. Reflectir sobre esta situação levou-nos à identificação de algumas razões:
Os alunos quando vão ao quadro apresentar os seus resultados fazem-no de costas viradas para a turma, normalmente falam apenas para a professora, num tom baixo e quando terminam de escrever a sua resolução consideram que terminou a apresentação;
Mesmo quando incentivados explicar e justificar as suas ideias, os alunos não revelam à vontade em fazê-lo com os outros alunos e por vezes não sabem como justificar, revelando algumas dúvidas entre apresentação, explicação e justificação de ideias.
Quanto ao papel da professora na promoção de um discurso argumentativo, encontramos situações reveladoras de falta de pedidos de justificação, por parte de Rita e falta de discussão sobre as respostas dos alunos.
No entanto, há outros aspectos relativos à criação de contextos promotores da argumentação na sala de aula e ao discurso argumentativo que estão presentes nesta primeira aula. Identificamos situações em que é feito o convite à apresentação e explicação de ideias, conjecturas ou conclusões, por parte dos alunos ou o incentivo à participação, que Rita lhes dirige, embora nem sempre atendido por estes.
Consideramos que outras acções como chamar a atenção dos alunos para que ouçam o que está a ser apresentado ou pedir aos que apresentam as suas ideias que as registem no quadro, de modo a todos as poderem observar, também criam oportunidades à emergência de argumentação. Porém, não houve desacordos. Assim sendo, esta aula contém elementos do plano da criação de condições à emergência de um discurso argumentativo – plano pragmático – mas não contém situações que caracterizam os planos argumentativo ou epistémico.
O tipo de questões, o momento em que são feitas e o seu conteúdo foi outro aspecto que considerámos interessante ponderar e analisar. Por exemplo, sobre a questão, Todos concordam ou todos chegaram a esta conclusão? Rita refere que devia ter perguntado: Qual é a vossa opinião sobre o que o colega acaba de dizer? Considera que esta última questão convida à participação com emissão de opinião pois, para responder, os alunos têm de pensar no que o colega disse, de modo a compreender o seu ponto de vista. A questão colocada aos alunos não convida a uma manifestação de opinião, crítica ou discórdia. Isso verifica-se na resposta dada pelos alunos, Sim. Além
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disso, a palavra “concorda”, na nossa opinião, transmite aos alunos, a convicção de que o professor está de acordo com a ideia apresentada.
A propósito da conjectura de Ricardo, Rita refere que esta ideia “precisava de ser explorada” (ST3, p. 7). Ao analisar a exploração da conjectura do aluno, durante a aula, concluímos que se pode ter perdido um bom momento de discussão mas não está perdida a oportunidade de voltar a discutir esta estratégia.
Agora já é clara para mim. Um dia destes, quando der as potências de números racionais vou pegar nesta conjectura do Ricardo e explorá-la até à expressão geradora, que, tirando os 25, é n(n+1), o que se traduz na multiplicação do número pelo seu consecutivo. Regra a que se chegou.
De facto, estamos sempre a aprender! (RR 6, p. 1) Aula 2 – 04.Nov.08
Depois de analisarmos a aula anterior consideramos existirem aspectos que queremos abordar com os alunos. Assim, preparamos uma segunda aula, ainda sobre a mesma tarefa.
Preparação da aula
Elaboramos um PowerPoint (Anexo 5) constituído por três partes. A primeira aborda o significado do termo regra, a segunda contém algumas produções dos alunos relativas à questão 1b) e a terceira refere-se à questão 1c) e a um contra-exemplo, apresentado por António, na aula anterior.
Ao pensarmos no modo de promover a discussão sobre o termo regra, constatamos que, inicialmente, o assumimos como uma lei de formação ou termo geral, que os alunos compreendem e relacionam com “uma regularidade que é o 25 e não só, [conseguem ver] que há outra regularidade” (ST2, p. 1). Ao visualizar as imagens da aula anterior notamos que os alunos não associam a regra à relação entre o número inicial e o seu quadrado, pelo que consideramos pertinente promover um debate sobre este assunto. Como suporte temos o Diapositivo 2, onde incluímos afirmações proferidas na aula anterior pelos alunos e pela professora e, na última frase, colocamos a nossa interpretação do termo regra. Tomamos esta opção porque:
67 [Consideramos] interessantíssimo que eles percebam que existe uma
relação, tem a ver com a relação entre os números. Existe uma relação entre o número produto e o número original. O final, o resultado, termina sempre em 25 porque temos o 5 ao quadrado e o restante se obtém (…) pelo produto de outros números. (ST2, p. 2)
Debatemos a situação da regra servir para simplificar os cálculos e concluímos que depende da situação, uma vez que, para 10052 a sua aplicação é simples, mas para 36752 é mais prático recorrer à calculadora para efectuar 367 vezes 368. Parece-nos que alguns alunos associam a existência da regra à impossibilidade de recorrer à calculadora, uma vez que esta é a razão que Carolina evoca para rejeitar a conjectura de Ricardo (Episódio 2), pelo que consideramos importante voltar a abordar este assunto.
Ao pensarmos na acção de Rita na promoção da justificação de raciocínios durante a última aula, concluímos que este objectivo ainda não foi atingido, como pretendemos. A professora reflecte sobre o seu papel e refere:
Como professora talvez não devesse estar preocupada com o pouco tempo que faltava para terminar a aula, mas sim em promover a discussão, a crítica e a comunicação entre os alunos. O produto do trabalho daquele par de alunos [Ricardo e Paula] precisava de ser mais explorado e discutido com a turma. Estava a tentar que todos os pares cujos trabalhos mereciam, na minha opinião, serem apresentados tivessem oportunidade de o fazer. Contudo o tempo passou e a tarefa não ficou concluída. (RR2, p. 2)
Por isso, com suporte nos diapositivos 3, 4, 5 e 6 do PowerPoint, pretendemos promover a discussão sobre as estratégias de alguns alunos, algumas já apresentadas na aula anterior.
A questão de António sobre a não validade da regra para o número 0,5555552 leva Rita a “utilizar a aula de ITIC do dia seguinte para [com recurso ao] (…) Excel, explorar esta situação” (RR2, p. 3). Na disciplina de ITIC estão presentes apenas metade dos alunos da turma pelo que a professora considera pertinente apresentar os resultados da exploração realizada com o Excel a toda a turma – Diapositivo 7. O seu objectivo é levar os alunos a pensar no contra-exemplo de António, a discutir a sua validade, a reflectir sobre o modo como este contra-exemplo foi refutado e a concluir sobre a validade da regra, para qualquer número terminado em 5, isto é, sobre a sua generalização.
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Desenvolvimento da aula
Rita efectua uma breve revisão da actividade de 21 de Outubro e relembra as principais conclusões dessa aula. Refere que os resultados apresentados “não foram totalmente discutidos” e que falta discutir o contra-exemplo apresentado por António, segundo o qual “nem todos os [quadrados dos] números terminados em 5 acabam em 25”, pelo que, nesta aula, têm de “chegar a uma conclusão” (TA2, p. 1). Distribui as fichas de trabalho e informa que alguns alunos têm a responsabilidade de voltar a apresentar, explicar e esclarecer os seus raciocínios. Antes de mostrar os diapositivos, refere o que espera da participação dos alunos na aula:
É uma discussão em grande grupo em que todos vão ter de participar, e para participar é preciso ouvir os outros, é preciso ouvir muito bem e pensar sobre aquilo que os outros estão a explicar. (TA2, p. 1)
1.ª Parte da aula
Rita propõe aos alunos que digam o que entendem por regra mas só alguns apresentam a sua ideia. Desta discussão, pouco participada, retira-se que a ideia inicial dos alunos não valoriza a existência de uma relação entre um número terminado em 5 e o seu quadrado.
Figura 4.3. Diapositivo 2 do PowerPoint
Professora: Qual é a ideia com que ficaram de regra? Diz lá Ricardo.
Ricardo: É uma forma mais fácil de nós realizarmos alguns cálculos que sejam maiores (…) É uma forma de nós calcularmos operações
69 mais difíceis com… Outras operações mais fáceis.
Professora: O que é que acham da definição que o Ricardo deu acerca da regra?
Carolina: Acho que está certo.
Professora: Acha que está certo? Mais ninguém? Paulo! Guilherme!
Sónia: É uma forma de efectuarmos alguns cálculos que têm factores em comum.
Professora: Têm factores em comum. O que é isso de factores em comum?
Sónia: Por exemplo, isto aqui é para calcular a regra dos números acabados em 5.
Professora: Exactamente. Isto aqui é para calcular números terminados em 5. Esses factores comuns serão o quê entre números?
[silêncio]
Ricardo: Números em comum.
Professora: Com números em comum?
Ricardo: … Algarismos…
Professora: Algarismos. Então? Não serão relações entre os números?
Lembram-se como é que calculavam o quadrado de 25, por exemplo?
António: 25 x 25
Professora: 25 x 25, sim. Mas utilizando esta regra, como é que se calculava o quadrado de 25?
Afonso: 25 ao quadrado.
Professora: Sim, mas isso não é aplicando a regra que nós estabelecemos na última aula.
Paulo: Fazemos 3x2 dá 6.
Professora: Espera… 3 x 2 dá 6 e…?
Paulo: 5 x 5 dá 25. Fica 625.
Professora: Fica 625, era isto? Lembram-se?
António: Sim.
A discussão sobre a regra dura 13 minutos, sendo o excerto acima apresentado apenas uma pequena parte. Esta discussão contribui para o esclarecimento e compreensão da ligação entre o conceito de regra e a relação entre os números em questão. Embora não contenha situações de argumentação entre alunos, não deixa de ser relevante assinalar o modo como Rita actua. A professora tenta levar os alunos a identificarem-se com as afirmações presentes no Diapositivo 2 (Figura 4.3.), evita dar respostas com juízos de valor e, sempre que possível, pede-lhes que validem as suas ideias. Usa as seguintes estratégias para fomentar e sustentar a discussão: (i) pedido de opinião à turma sobre a ideia de um colega – O que é que acham da definição que o Ricardo deu acerca da regra? (ii) pedido de esclarecimento – O que é isso de factores em comum? e (iii) repetição das afirmações dos alunos – Isto aqui é para calcular
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números terminados em 5…. A propósito desta última estratégia, refere que a considera necessária embora preferisse não ter de a usar:
Julgo que não deveria ter repetido ou redito as frases dos alunos, mas apenas feito perguntas. Contudo, este redizer e a necessidade que senti em o fazer é devido ao facto dos alunos falarem muito baixo e nem todos ouvirem os diálogos. (ST13, p. 1)
2.ª Parte da aula
Para Rita, esta aula constitui mais um desafio à capacidade de promover discussões pela apresentação de argumentos que justifiquem diferentes raciocínios.
Assim, pede a Sara que junto do quadro interactivo, onde se encontra projectado o Diapositivo 3, explique o seu raciocínio. Refere ainda que vai “lá para trás” para que a aluna fale virada para os colegas pois, da análise do registo da aula anterior, percebe que a sua presença junto do aluno que está explicar faz com que este fale baixo e apenas para si.
Episódio 3 – O que é isso do número acima?
Sara explica à turma junto do quadro interactivo, onde se encontra projectado o Diapositivo 3 (Figura 4.4.) o modo como ela e Maria construíram a regra. A certo momento Rita pede-lhe que explique melhor a ideia do “número acima”.
Figura 4.4. Diapositivo 3 do PowerPoint
71 Professora: Então explique lá o seu raciocínio.
Sara: Então nós aqui fizemos o 1 a multiplicar pelo 2.
Professora: O 1 a multiplicar pelo 2. Mas tens de falar mais alto senão não se ouve.
Sara: Depois fizemos 5 x 5 que deu 25.
Professora: Sim.
Sara: Depois o 2 vem para aqui [para antes do 25] e fez 225.
Professora: E fez 225.
Sara: Depois, neste aqui, fizemos 2 x 3, que é o número acima, que deu 6. Depois…
Professora: Ó Sara, és capaz de explicar o que é isso do número acima?
[Sara não responde e olha para a sua ficha. Ricardo pede para falar]
Professora: Diz lá Ricardo! Fala para ela!
Ricardo: Multiplica-se pelo número acima porque o 5 já está na outra metade do… Duma recta, digamos assim, não é setora?
Professora: Na outra metade de uma…?
Ricardo: Como se fosse uma recta de 0 a 10, depois o 5… Aumentamos um para cima, como nos arredondamentos.
Professora: Será isso? Como nos arredondamentos? Será que o 5 multiplica pelo 6 porque o 6 está acima do 5, nos arredondamentos?
[silêncio]
Ricardo: Foi uma ideia, setora!
Professora: Claro que foi uma ideia! E foi uma ideia pertinente. A Sara tem que responder! Foi isso que pensou?
Sara: Eu acho que foi quando estávamos a preencher a tabela é que fizemos isso.
Professora: Quando estavam a preencher a tabela é que compreenderam o quê?
Sara: Que era sempre o número acima.
Professora: O número imediatamente a seguir. Então foi por… Porquê?
Porque olharam para a tabela. Porque viram…
Sara: Porque quando fizemos a tabela, fizemos com a calculadora.
Professora: Sim.
Sara: Depois estivemos a ver coisas que podiam ter em comum, para fazer uma regra, e percebemos que era sempre um número acima.
Esta discussão revela o modo como a professora tenta levar os alunos a apresentar e discutir as suas ideias e argumentos. Rita cria condições para que a argumentação ocorra pois pede aos alunos que falem de modo a que os restantes ouçam, fomenta a troca de ideias, pede justificações e promove a reflexão sobre as mesmas, assumindo o papel de moderadora da discussão. Ao sugerir a Ricardo que apresente a sua justificação a Sara, a professora proporciona-lhes a possibilidade de debater o assunto. No entanto, o argumento do aluno não constitui um bom suporte para a validade da conjectura de Sara. Ele faz uma analogia entre o produto pelo número
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consecutivo e a regra dos arredondamentos, o que se conclui não se aplicar à situação em questão. Rita, sem emitir a sua opinião sobre a validade deste argumento remete a questão à turma, efectuando uma pergunta em que focaliza o assunto em debate – Será que o 5 multiplica pelo 6 porque o 6 está acima do 5, nos arredondamentos?” Pretende sustentar este momento de argumentação mas a turma não se manifesta e então pede a Sara que confirme se foi deste modo que pensou. A aluna não emite uma opinião explícita sobre a razão apontada por Ricardo mas este desafio fê-la pensar sobre o modo como pode garantir a sua conclusão. Refere que foi por observação que perceberam a relação entre os números pois estiveram “a ver coisas que podiam ter em comum, para fazer uma regra” o que as levou a concluir que “era sempre um número acima” (TA2, p. 5).
Episódio 4 – Como “dividir” o número?
Com o objectivo de levar Sara a verificar que a regra é válida para qualquer número, Rita propõe-lhe que a aplique a um número grande, 1555. A polémica surge quando Sara e Carolina decompõem o número em 15|55 e efectuam 15 x 16 e António, Paulo e Ricardo consideram que se deve fazer 155|5 e efectuar 155 x 156. Há desacordo e os alunos apresentam as suas razões sobre o modo como a regra funciona:
Professora [para Sara]: Eu quero que expliques… 15552. Diz a Sara ali que é 15 x 16! [dirige-se à turma]
António: É 155.
Paulo: Vezes 156.
Professora: Diz que é 155 x 156. Mas falem para ela!
Carolina: Setora, setora, ela fez o número ao meio!
Professora: E será que se tem de dividir o número?
António: Não.
Professora: Como é que se divide o número António?
António: Fica um 5 que é para dar o 25 e depois faz-se 155 x 156.
Sara, ao ouvir a opinião de António, reformula a sua resposta e regista no quadro o seu “novo” raciocínio (Figura 4.5.). A alteração de opinião de Sara leva Rita a questionar a outra aluna, Carolina, sobre a sua intervenção: Setora, setora ela fez o número ao meio!
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Figura 4.5. Aplicação da regra a 15552
Professora: Ó Rita porque é que dizias que era cortar o número ao meio?
Explica-me.
Carolina: Porque nós na outra aula também cortámos o número ao meio.
Professora: Vê lá aí no 105, o que é que tu fizeste. Foi cortar o número ao meio?
Carolina: Em cima sim [na tabela do enunciado].
Professora: Em cima sim, porque só eram números com 2 algarismos, não é? [Carolina acena positivamente com a cabeça] Então e se o número tivesse 3 algarismos? Era cortar ao meio?
Ricardo: Não, era deixar o 5 de parte.
Professora: Não. Era deixar o 5 de parte, diz o Ricardo, o Paulo. Sara! O que está aí no quadro?
Sara: Fiz assim! [a aluna faz um traço entre o 155 e o 5 no número 1555.
Fica 155|5]
Carolina: Deixou o 5 de parte.
Professora: Deixou o 5 de parte, diz a Carolina.
Sara: Fiz 155 x 156, que era o número acima. E deu-me 24180.
Professora: Depois…
Sara: Depois, 5 x 5 deu 25. Juntei 24180 com o 25 e deu. 2.418.025.
Professora: E deu 2.418.025.
Este episódio inicia-se com uma divergência de opinião entre alguns alunos referente ao modo de “aplicar” a regra. A professora pede a Sara, defensora da ideia 15|55, que apresente o seu raciocínio e, perante a exposição da aluna, focaliza a atenção da turma para o “15x16”. Os alunos que têm uma opinião divergente apresentam, igualmente, a sua forma de resolver a questão, É 155x156. A professora rediz a afirmação dos alunos e Carolina, que concorda com Sara, tenta apresentar, com fundamento no seu trabalho na aula anterior, uma razão para efectuar a divisão do número 1555 “ao meio”. De facto, a aluna reitera a sua ideia e refere: Porque nós na outra aula também cortámos o número ao meio. As questões de Rita: E será que se tem de dividir o número? e Vê lá aí no 105, o que é que tu fizeste. Foi cortar o número ao meio?, em conjunto com as observações dos alunos que discordam deste procedimento, levam a aluna a reconsiderar o seu raciocínio e a concluir que não está correcto. A aluna
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reflecte sobre a sua afirmação, reconsiderando porque razão “cortava o número ao meio” e conclui que o faz quando este tem apenas dois algarismos. A intervenção de Ricardo reforça a ideia da necessidade de “ter de deixar o 5 de parte”. Esta discussão e troca de argumentos leva a aluna a convencer-se, pois, de facto, tinha sido deste modo que efectuou o quadrado de 105. A explicação de Sara, sobre a aplicação da regra a 15552, após pensar na afirmação de António, traduz igualmente a sua compreensão sobre o modo de aplicar a regra e promove a aceitação da sua validade para qualquer número terminado em 5.
Episódio 5 – Há conjecturas diferentes. Umas válidas outras não!
O Diapositivo 5 contém três conjecturas – Raciocínios I, II e III – retiradas da ficha de trabalho de Carolina e Tomás (Figura 4.6.) e constitui o suporte à discussão em torno da sua legitimidade e validade.
Figura 4.6. Diapositivo 5 do Power Point
O Raciocínio I corresponde à regra a que se chegou na aula anterior e constitui o que, na sua maioria, os alunos têm registado nas fichas de trabalho. Porém, este par de alunos, em particular Carolina, gosta de apresentar resoluções alternativas, sempre que lhe é proposto um desafio. Parece ser o caso do Raciocínio II que Rita considera “muito interessante” pois lembra-lhe a tabuada, “82+8 é o 8x(8+1), ou seja, o 8x9” (ST3, p. 8) e do Raciocínio III, que refere não ter visto antes, e que corresponde a uma estratégia diferente, que resulta para o quadrado de 85, mas que não é válida para determinar o
Raciocínio II - diferente e válido
Raciocínio III - diferente e inválido Raciocínio I - igual à Regra
75 quadrado de 95, por exemplo. Estas conjecturas podem ser pontos de partida para promover a discussão entre os alunos. Rita mostra alguma resistência em “gastar” mais tempo com esta tarefa, inicialmente prevista para dois tempos. No entanto, a oportunidade de explorar o Raciocínio II, uma conjectura válida que não necessita ir
“buscar o consecutivo” pois depende apenas “[do] próprio número” (ST3, p. 9), foi determinante na sua decisão de avançar para a discussão.
Na aula desafia os alunos dizendo: “Eu quero que todos olhem para esta regra, depois da Carolina explicar e vamos ver se é tão válida, ou não, quanto outras que nós já vimos” (TA4, p. 13). A aluna explica o Raciocínio I e todos os alunos confirmam tratar- se da regra.
Questiona a aluna sobre a “tabelinha cá em baixo”, ou seja, o Raciocínio II.
Carolina explica e simultaneamente escreve no quadro (Figura 4.7.):
Figura 4.7. Registo do Raciocínio II aplicado a 852
Carolina: Fiz 8 ao quadrado. Do 85, não é? O 8. Divido o número ao meio [a aluna refere-se à divisão 8|5] O 8 ao quadrado dá 64.
Depois fiz 64 + 8.
Professora: 64 +8, que dá?
[A aluna consulta a sua ficha de trabalho e responde]
Carolina: Que dá 72.
Professora: Dá 72. E agora?
Carolina: Fiz 5 ao quadrado.
Professora: 5 ao quadrado.
Carolina: Que dá 25.
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Professora: Sim.
Carolina: Juntei o 72 com o 25.
Professora: Então isso tudo que a menina fez aí é exactamente igual ao que ali está na primeira linha [refere-se a 82+8=72]. Agora será que isso é válido para todos os números que nós ali temos, que nós calculámos? Vamos experimentar para outro número qualquer terminado em 5, Rita?
Rita confirma que o raciocínio apresentado pela aluna corresponde ao que está registado no PowerPoint e sugere-lhe que o experimente noutro número. A sua intenção é “levar a aluna e a turma à verificação de que esta estratégia é igualmente válida” (ST4, p. 4), embora esteja consciente de que os alunos não conseguem perceber logo a igualdade entre as expressões 8x9 e 82+8.
Figura 4.8. Registo do Raciocínio II aplicado a 13252
Os alunos que assistem à aplicação do Raciocínio II a 13252, não questionam nem levantam objecções, o que parece traduzir a aceitação desta conjectura (Figura 4.8.). De facto, o processo de “deixar o 5” e efectuar 1322+132 conduz a um resultado igual ao produzido por “deixar o 5” e efectuar 132x133. Esta conjectura parece ser aceite como válida por permitir obter os mesmos resultados que a regra, pelo menos para mais um número.
Com o objectivo de levar os alunos a perceber que existem conjecturas inválidas Rita propõe a Carolina a explicação e justificação do Raciocínio III. A aluna refere que esta regra surge da tentativa de “descobrir outra forma de fazer esse raciocínio” (TA2, p. 12) e
77 acrescenta ter verificado a sua validade apenas para o 852. A professora incentiva a aluna a mostrar a aplicação deste raciocínio a 952 e dirige-lhe questões que a orientam como: Tinha de multiplicar o quê pelo quê? ou Utilizando aquela regra que tu tens ali, tu tens 8x5, certo? Esta estratégia da professora permite aos outros alunos acompanhar o raciocínio de Carolina e participar na verificação da validade da conjectura – Raciocínio III. Este facto verifica-se quando Rita questiona a aluna sobre o modo de proceder para o 952 e perante a sua hesitação Ricardo afirma: “9x5 dá 45. Depois faz-se 45+45 que dá 90. Depois faz-se 90-9 que dá 81” (TA2, p. 12). A afirmação de Ricardo revela que o aluno ouve atentamente as orientações da professora, compreende o raciocínio da colega e sente à vontade em emitir a sua opinião. Pelo encadeamento de ideias, isto é pela argumentação, mostra que o Raciocínio III aplicado a 952 não permite obter o 90 de 90|25, o que refuta a validade desta conjectura.
Rita refere que esta é uma “boa oportunidade para explorar a validade da conjectura” (RR5, p. 1) e que a questão E dá o que nós pretendemos? [ou seja, os dois primeiros algarismos de 9025] que dirige à turma, pretende ser o impulso para a reflexão sobre a afirmação de Ricardo e a validade da conjectura. A maior parte dos alunos responde Não o que leva Rita a perguntar Porquê?
Professora: Não! Porquê João?
João: Não porque tem que dar… Tem que dar 90.
(…)
Carolina: Ó setora, se eu apagasse esta parte aqui [90-9] já dava!
Professora: Mas repara tu… Isso é correcto. Só que tu tiveste mais esta operação aqui [90-9]. Portanto se fizesses estas operações em todos os números, será que era válido para todos?
Alunos [em coro]: Não.
(…)
[O Paulo está a dizer qualquer coisa que a professora não entende]
Professora: Eu não ouvi o que o Paulo disse e eu gostava que a Rita também respondesse, àquilo que o Paulo está a dizer.
[Paulo fala alto e para Rita]
Paulo: Se fizermos 952 dá 9025. E esses números [refere-se ao 81 que resulta de 90-9] não são os primeiros algarismos dessa metade [refere-se ao 90 de 9025].
Professora: Pois! Então o que é que isso quer dizer Rita?
Carolina: Que não dá.
Professora: Que não dá para todos, não é? Aceitam isto que a Rita está a dizer?
António: Sim aceitamos.
Professora: (…) Nesta regra que a Rita escreveu, que supostamente iria considerar como válida sempre, isto funcionou para o 72, e depois
78
acrescentar-se-á aqui o tal 25, não é Rita? Pronto. Para o 90 [quer dizer 95] já não dá, mas diz: “Se eu tirar esta parte, já dá”. Será que isto então poderá ser considerado uma regra?
António: Não.
Professora: Se para uns dá e para outros não dá!
Alunos: Não.
Professora: Então uma regra tem de ser válida para…
Alunos: Todos!
Convencer a turma, em particular Carolina, que a conjectura não é válida requer que a professora a institua como objecto de análise, promova o confronto de ideias e fomente a apresentação de justificações. Além destes aspectos pode identificar-se igualmente uma atitude da professora mais moderadora da discussão, sem recurso à validação imediata de ideias, o que promove a reflexão sobre as afirmações proferidas pelos alunos.
Com a apresentação do contra-exemplo por Ricardo e com a discussão sobre as condições a que tem de atender uma conjectura para que seja considerada uma regra válida para todos, os alunos convencem-se das razões pelas quais esta tem de ser refutada.
Episódio 6 – Pela propriedade distributiva…
Rita pretende que os alunos reflictam sobre a semelhança entre os dois processos – Raciocínio I e II – que permitem determinar o quadrado de um número terminado em 5, pelo que lhes propõe que observem das duas expressões – 82+8 e 8x9 – e que tentem a partir de uma chegar à outra. Os alunos demonstram alguma dificuldade em realizar esta tarefa e a professora pergunta-lhes: “Sabem o que é que é a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição?” (TA2, p. 16). Obtém, como previa, o silêncio da turma. Refere que “teve a sensação de que não ia conseguir levar os alunos à conclusão que queria” (DB, p.10) e daí ter assumido um papel mais directivo. Ao analisar o registo desta aula reconhece que “podia ter feito diferente mas o tempo estava a passar e eles não respondiam” (DB, p. 10). Ainda que com alguma dificuldade, Rita promove uma construção conjunta da igualdade entre as duas expressões e recorre à aplicação da propriedade distributiva como garantia de passagem de uma expressão para a outra (Figura 4.9.).
79
Figura 4.9. Comparação entre 82 + 8 e 8 x 9
Professora: Por exemplo, se tiverem isto assim 3 x (2+5). Como é que eu consigo fazer esta operação? Sem resolver primeiro o que está dentro dos parêntesis.
[não há resposta]
Paulo: 3 x 2… [não se entende o que o aluno diz]
Professora: Olhem lá, isto dá quanto? 6+15. Que dará 21.Agora façam lá esta continha sem ser pela propriedade distributiva. Ora 2+5 dá 7 e 7x3 dá 21. Agora reparem o que a Rita aqui fez. Eu queria que fosses tu a explicar isto! 82 + 8, diz ela, que dá 72. O que é que eu posso fazer aqui? Olhem lá para aqui… O que é que há de comum entre este 8 e este?
Aluno: Serem iguais.
Professora: Serem iguais. Reparem que este que está aqui e este que está aqui [refere-se ao 3 que há de comum no exemplo] Não são iguais?
Então eu não posso andar para trás até encontrar este factor comum?
[a turma não reage]
Professora: Então eu não poderei fazer aqui [na estratégia da Carolina]
de modo a arranjar uma coisa destas [propriedade distributiva]?
Aluno: 8 x 8.
Professora: 8x8 + 8x… Quanto? Para dar oito, o 8 tem de ser 8 vezes quanto?
Aluno: Vezes 1.
[a professora escreve no quadro 8x8 + 8x1]
Professora: O que é que há de comum entre este [8x8] e este [8x1]? Não é o 8? Então agora querem ver uma coisa? Se eu puser o 8 em evidência, o que é que sobra para dentro dos parêntesis?
Aluno: O 1.
Professora: O 1, aqui. E que mais?
Aluno: E o outro 8.
Professora: E o outro 8 [escreve 8 x (8+1)]. E isto não é o 8 vezes quanto?
Ricardo: O 9.
80
Dados 82 + 8
Conclusão 8x9
Garantia Pela propriedade
distributiva 82+8=8x(8+1)=8x9
Professora: 8 vezes quanto?
Alunos: 9.
Professora: Então não estamos a multiplicar o número pelo seu consecutivo?
Alunos: Sim.
Professora: A regra será, ou não será, a mesma? Rita. Mas é muito interessante como a Rita e o Tomás conseguiram utilizar ou estabelecer ou formular uma maneira diferente da mesma regra.
Concordam? Achas que é a mesma coisa ou não?
Carolina: Sim.
Rita propõe aos alunos a validação da igualdade entre duas expressões com recurso à propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição. Os alunos já estudaram esta propriedade mas neste caso revelam alguma dificuldade na sua a aplicação. A professora conduz os alunos recorrendo a questões que focalizam a sua atenção para aspectos que possibilitam a passagem de uma expressão para a outra. Ao acompanhar o seu raciocínio e ao responder às suas questões os alunos tiveram um papel activo no processo de construção de um argumento que valida a igualdade entre as duas expressões (Figura 4.10.).
Figura 4.10. Estrutura do argumento Pela propriedade distributiva
Durante a construção deste argumento Rita envereda “por um caminho mais directivo” (RR6, p. 2), na sua opinião, igualmente rico “pois conduz os alunos à apropriação da propriedade distributiva” (RR6, p. 2). Esta situação decorre sobretudo de ter “percebido que os alunos já tinham ouvido falar da propriedade distributiva mas não a sabiam utilizar” (RR6, p. 2). Esta abordagem pode ter contribuído para a consolidação de um conteúdo desta propriedade e para a compreensão da sua aplicação à situação em
81 causa. O objectivo inicial, de levar os alunos a entender a igualdade entre as duas expressões, parece ter sido assim concretizado, como Rita refere ter sentido:
Do que me lembro de ler nos olhares dos alunos, apenas o Paulo parecia, saber aplicar a propriedade distributiva. Todavia, o importante desta decisão vai no sentido de todos em conjunto, construirmos um conhecimento novo que permitiu validar a igualdade entre as duas conjecturas. (RR6, p. 2)
Episódio 7 - De contra-exemplo a exemplo
O contra-exemplo de António – “0,555555 ao quadrado não dá!” – resulta do aluno efectuar o cálculo, com recurso à calculadora, e no visor aparecer 0,308641358, o que o leva a afirmar “Isto não é válido!”. Este episódio mostra como os alunos chegam à conclusão que a regra é válida mesmo para números como o do exemplo de António.
Rita mostra o Diapositivo 7 (Figura 4.11.) e pede aos alunos que estiveram presentes na aula de ITIC que expliquem aos colegas o que fizeram e como se convenceram de que o contra-exemplo de António não é válido.
Figura 4.11. Diapositivo 7 do PowerPoint
Carolina: Nós fizemos no Excel aqueles seis 5, acho eu! Fizemos aquilo ao quadrado.
Professora: Aquilo ao quadrado, e o que é que deu?
Carolina: Deu um número grande mas não acabava em 25. Porque o número das parcelas que havia lá era pequeno e então tivemos de aumentar o número das parcelas para dar esse número acabado em 25. Tivemos de pôr em 12 parcelas. [a aluna diz “parcelas”
para significar “casas decimais”]
82
Rita rediz o que a aluna refere de modo que todos os alunos consigam perceber que é por se conseguir visualizar mais casas decimais que se conclui que 0,5555552 também termina em 25. Com o objectivo de convencer os alunos, Rita pede-lhes que realizem esta experiência e reflictam sobre o que observam. Os alunos visualizam o número 0,308641358, mas não colocam questões. A professora prossegue.
Professora: Mas agora falta aqui ver outra coisa. Olhem lá este número aqui 0,55555. Como é que nós calculávamos o quadrado deste número? Era tirar este último 5, lembram-se o que fizemos lá nas TIC? Tirar o último 5 e ficava o quadrado que é 25. Depois temos que multiplicar este número 0,5555 por quanto?
Aluno: Ao quadrado.
Professora: Por…?
Aluno: 2.
Professora: Tirando este número aqui, que é este 5. Qual é o número utilizando a regra, que vem imediatamente a seguir a este? [pede o consecutivo de 0,5555]
Alunos: é o 6.
Professora: Em vez deste 5 vem quanto?
Alunos: 6
Professora: Então toda a gente a multiplicar 0,5555 pelo número imediatamente a seguir, não é? Olhem, vejam lá se não dá isto aqui [aponta para o PowerPoint ]
Os alunos seguem as orientações da professora e verificam que o cálculo de 0,5555552 pode efectuar-se com recurso à regra, pelo que se conclui que o contra- exemplo que António é refutado porque se mostrou que afinal era um exemplo.
No final da aula a professora propõe aos alunos que efectuem 123452, apresentando por escrito a sua resolução. Todos os alunos explicaram o seu procedimento com recurso à regra (Figura 4.12.) à excepção de Carolina que usou o Raciocínio II (Figura 4.13).
Figura 4.12. Resolução de 123452 por Paulo
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Figura 4.13. Resolução de 123452 por Carolina
Face às respostas e raciocínios apresentados ao desafio proposto Rita afirma que
“estão evidentes as diferentes estratégias, inicialmente utilizadas” (RR6, p. 3) e que “os alunos recorreram às estratégias cuja validade foi conferida por todos” (RR6, p. 3) o que a deixa satisfeita.
Reflexão
A realização de uma segunda aula sobre a tarefa Quadrado de um número terminado em 5, levou-nos a pensar, por um lado, se em circunstâncias ditas “normais”
teríamos conseguido discutir todas as estratégias que os alunos elaboram e por outro
“até que ponto é vantajoso voltar a pedir aos alunos que repitam a mesma experiência”
(DB, p. 10). De facto, consideramos que esta nova abordagem permite a clarificação de assuntos como: o modo de “dividir” o número para aplicar a regra, a relação da regra com a calculadora e a consolidação e expansão de ideias, como a analogia entre diferentes raciocínios. Porém, sentimos que em certos momentos se estavam a “forçar assuntos que eles já tinham compreendido” (DB, p. 10) e questionamo-nos até que ponto isso foi benéfico.
A mais-valia desta “repetição” concretiza-se na oportunidade de Rita em promover a discussão entre os alunos e na possibilidade de mudança na sua prática lectiva, em relação à promoção da argumentação na aula de Matemática. De facto, é evidente a diferença entre o seu papel na primeira aula e nesta. Ao visualizarmos o registo desta aula percebemos que enquanto moderadora de debates promove mais a troca de ideias, entre os alunos, tarefa nem sempre fácil de concretizar, “pois numa aula
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dinâmica não se consegue perceber logo que está ali uma oportunidade para os colocar a discutir” (DB, p. 10). Como estratégia para superar esta dificuldade identificamos o incentivo ao diálogo, entre os alunos, sempre que “detecta[r] algo que podia ser esclarecido ou que não estava ainda bem compreendido”. As acções associadas a esta estratégia são: a repetição das afirmações dos alunos, a chamada de atenção da turma em relação ao que alguns alunos dizem, o pedido de comentários, reflexões e manifestações de opinião embora por vezes estas tentativas sejam infrutíferas.
Consideramos que com a continuação deste modo de conduzir, o discurso “que os alunos se habituarão a saber participar, a pensar nas questões dos outros” (DB, p. 11), ou seja, o estabelecimento de normas sociais de participação deve ser um trabalho sistemático e contínuo.
Durante a sessão de trabalho em que analisamos esta aula, experimentamos um sentimento de satisfação e realização em relação aos resultados quanto à promoção da argumentação na sala de aula. Este sentimento é registado por Rita numa das suas reflexões individuais:
Ao longo da aula percebi a forma diferente como a estava a dinamizar.
No final, senti uma satisfação muito grande porque consegui que os alunos tivessem um papel mais activo e interventivo. O meu protagonismo foi menor. Embora nem todos tivessem participado de uma forma voluntária, por feitio, por falta de hábito ou por revelarem algumas dificuldades, acho que de uma maneira geral, todos tiveram um contributo positivo no desenvolvimento da actividade e na construção do conhecimento pretendido. (RR6, p. 3)
Do ponto de vista do conteúdo matemático esta aula centrou-se nas semelhanças e diferenças entre diferentes raciocínios e na necessidade de se provar a validade de uma conjectura. De facto, as acções de Rita nesta aula, no que respeita à promoção de um discurso argumentativo, caracterizam-se por incidir sobretudo no pedido de justificações e na discussão de ideias, com o objectivo de chegar a um consenso (plano argumentativo). Do ponto de vista da mobilização de saberes, raciocínios, conceitos ou propriedades matemáticas (plano epistémico), a análise desta aula permite afirmar que a professora promove oportunidades para que os alunos argumentem matematicamente. A justificação que alguns alunos apresentam – foi por observação – embora não seja a desejada para provar a relação entre um número terminado em 5 e o seu quadrado, é a possível atendendo aos conhecimentos dos alunos e à forma como foi conduzida a discussão.
85 Aulas 3 e 4: Grandezas directamente proporcionais
Aula 3 – 18.Nov.08
Preparação da aula
Para esta aula preparámos a tarefa Grandezas directamente proporcionais (Anexo 6) com questões que apelam à utilização do raciocínio proporcional em contextos reais (questões 1, 2 e 3) e questões referentes a relações matemáticas e explorações (questões 4 e 5). A sua estrutura deve-se: (i) à necessidade de Rita em
“avançar na matéria”, (ii) à vontade de propor aos alunos questões do quotidiano, que eles podem resolver pela aplicação de conhecimentos matemáticos, (iii) à intenção de levar os alunos a explicar e justificar raciocínios, em que não existe proporcionalidade directa entre duas grandezas (questões 2 e 4.1). A tarefa é resolvida a pares e após 45 minutos de actividade realiza-se a discussão dos resultados, com toda a turma, mediante a apresentação das resoluções dos diferentes grupos.
Desenvolvimento da aula
1.ª Parte da aula
Rita efectua uma breve revisão sobre o conceito de razão e de proporção e sobre a propriedade fundamental das proporções. Propõe a resolução de algumas situações do quotidiano no sentido de aferir as capacidades dos alunos neste domínio. Distribui a tarefa, interpreta-a em conjunto com a turma e refere algumas normas a que os alunos devem atender: o modo de trabalho ser a pares, a solicitação da professora deve ocorrer após discussão dentro do grupo e o registo escrito nas fichas de trabalho ter de ser a caneta. É esclarecido o significado de câmbio.
2.ª Parte da aula
Os alunos resolvem a tarefa de modo autónomo e discutem entre si as respostas.
Rita circula pela sala e verifica que a maior parte dos pares não a solicita para
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esclarecimento de dúvidas ou para a validação de ideias. Tais pedidos ocorrem com mais frequência quando resolvem as questões 2 e 4. Nestes casos, Rita opta pela devolução das questões ao grupo, evita dar respostas concretas e incentiva a procura de estratégias e justificações que resultem do diálogo, discussão, partilha e reflexão entre os alunos. Este modo de agir deve-se, essencialmente, à reflexão sobre o seu papel na orientação dos alunos, quando da análise das aulas anteriores, e reflecte uma tentativa de mudança pedagógica orientada para a promoção da argumentação:
A introdução de uma metodologia argumentativa na aula de Matemática consiste em alterar os papéis tradicionalistas, quer dos alunos quer do professor. Enquanto professora não basta apresentar tarefas desafiantes aos meus alunos, mas tenho de pensar na maneira como vou desenvolver neles a capacidade de pensar matematicamente. Não basta eu falar e o aluno ouvir. (RR4, p. 5)
3.ª Parte da aula
Rita inicia o momento de apresentação e discussão de resultados referindo a necessidade de se “partilhar tudo aquilo que todos fizeram e tentar chegar a um consenso sobre as respostas” (TA3, p. 3). Lê a primeira questão e pergunta à turma:
Porque é que se poderá dizer que um dia 1 euro vale aproximadamente 1,2 dólares?
Carolina contribui com a afirmação: Quer dizer que o dólar ou o euro podem descer ou subir. Esta ideia de variação do euro em relação ao dólar parece ser partilhada pelos restantes alunos, pelo que não há lugar a discussão sobre o seu significado.
Episódio 8 – À procura de uma justificação
Rita desafia os alunos a apresentar razões que justifiquem ou refutem a validade da afirmação da questão 1.1. - Quanto mais dólares valer o euro, mais vantajoso se torna comprar um produto americano. Neste episódio identificam-se três formas complementares de justificar a validade da afirmação, reconhecendo-se em todos eles a acção da professora em promover a apresentação de razões que sustentem as respostas dos alunos.
Professora: Têm que ouvir o que a Maria diz, para poderem comentar.
