Come¸camos essa se¸c˜ao com um exemplo que nos diz que a Proposi¸c˜ao 1.4.3
n˜ao ´e v´alida em espa¸cos de Hardy do polidisco, em particular do bidisco. Isso se deve ao fato da Alternativa de Coburn falhar em H2pD2q (para mais detalhes veja [9, p. 1045]): Exemplo 3.3.1. Seja ϕpz1, z2q z12z22 z
2
1z22 em L8pT2q. Pelo Teorema 3.2.4 temos que
Tϕ ´e Cp1,1q-sim´etrico sobre H2pD2q. Por outro lado, segue de (3.2.3) que
Tϕpz1,z2qpz1z2q P pz1z 3 2 z 3 1z2q Qpz1qQpz23q Qpz 3 1qQpz2q 0,
e portanto ambos Tϕ e Tϕ n˜ao s˜ao injetivos.
Os pr´oximos resultados, em sua maioria, referem-se a operadores de Toeplitz sobre H2pD2q cujos s´ımbolos s˜ao produtos do tipo ϕ upzqvpwq, onde u e v s˜ao fun¸c˜oes L8. Para n˜ao haver confus˜ao, denotaremos por tu e tv os operadores de Toeplitz sobre o
espa¸co de Hardy do disco com s´ımbolos u e v respectivamente e Tϕ o operador de Toeplitz
sobre o espa¸co de Hardy do bidisco. Nesse contexto, considerando H2pzq e H2pwq os espa¸cos de Hardy sobre o disco nas vari´aveis z e w respectivamente, temos que
H2pD2q H2pzq b H2pwq.
Lema 3.3.2. ([9, Lemma 12]) Sejam u, v P L8 e ϕ upzqvpwq. Ent˜ao Tϕ TupzqTvpwq
Proposi¸c˜ao 3.3.3. Sejam u e v fun¸c˜oes n˜ao nulas em L8 e ϕ upzqvpwq. Se tu ´e sim´etrico
complexo com conjuga¸c˜ao J1 : H2pzq Ñ H2pzq e tv ´e sim´etrico complexo com conjuga¸c˜ao
J2 : H2pwq Ñ H2pwq, ent˜ao Tϕ ´e C-sim´etrico sobre H2pD2q, onde C J1b J2.
Demonstra¸c˜ao. De fato, dados fpzq P H2pzq e gpwq P H2pwq, temos pelo Lema 3.3.2 e por (3.2.3) que Tϕfpzqgpwq TuTvfpzqgpwq TuPpfpzqvpwqgpwqq TuQpfpzqqQpvpwqgpwqq Tufpzqtvgpwq tufpzqtvgpwq tutvfpzqgpwq,
ou seja Tϕ tubtv. Desse modo, temos pela Proposi¸c˜ao3.1.1que Tϕ´e J1bJ2-sim´etrico. Corol´ario 3.3.4. Nas condi¸c˜oes da proposi¸c˜ao anterior, se tu ´e Cλ1-sim´etrico e tv ´e Cλ2-
sim´etrico, ent˜ao Tϕ ´e Cλ-sim´etrico, onde λ pλ1, λ2q.
Demonstra¸c˜ao. Pela proposi¸c˜ao anterior ´e suficiente mostrar que Cpλ1,λ2q Cλ1 b Cλ2. De
fato, basta ver que para pβ1, β2q P N2, temos pCλ1 b Cλ2q z β1 b wβ2 λ 1 β1 zβ1 b λ 2 β2 zβ2 C pλ1,λ2q z β1 b wβ2.
Usando o corol´ario anterior vamos verificar a simetria complexa do operador
Tϕ do Exemplo 3.2.5 de outra maneira.
Exemplo 3.3.5. Se ϕ P L2pT2q ´e definida por
ϕpz, wq zw4 izw2 izw2 zw4 zw4 izw2 izw2 zw4,
ent˜ao Tϕ ´e Cp1,iq-sim´etrico. Com efeito, basta ver que o s´ımbolo ϕ pode ser reescrito
como um produto ϕpz, wq upzqvpwq, onde upzq z z e vpwq w4 iw2 iw2 w4, e observar que, nesse caso, tu ´e C1-sim´etrico e tv ´e Ci-sim´etrico sobre H2pD2q.
J´a sabemos que o operador shift tz n˜ao ´e sim´etrico complexo sobre H2pDq.
Usando esse fato, obtemos um exemplo semelhante para H2pD2q:
Exemplo 3.3.6. O operador de Toeplitz Tz n˜ao ´e sim´etrico complexo sobre H2pD2q. De
fato, primeiro veja que Tz tz b IH2pDq uma vez que
Tzpfpzq b gpwqq ptzb t1q fpzq b gpwq ptzfpzqq b gpwq
tz b IH2pDq
para todos f P H2pzq e g P H2pwq. Assim, como o operador identidade ´e sim´etrico complexo, segue do Teorema 3.1.5 que Tz n˜ao ´e sim´etrico complexo.
O pr´oximo resultado ´e uma vers˜ao do Corol´ario 1.4.9 para operadores de Toeplitz sobre o espa¸co de Hardy do bidisco.
Proposi¸c˜ao 3.3.7. Sejam u e v fun¸c˜oes n˜ao nulas em CpTq e ϕ upzqvpwq. Se tu e tv s˜ao
sim´etrico complexos, ent˜ao σpTϕq Ranpϕq.
Demonstra¸c˜ao. Segue do Corol´ario 1.4.9 que σptuq Ranpuq e σptvq Ranpvq. Desse
modo, temos que:
σpTϕq σptub tvq σptuqσptvq Ranpϕq.
Antes do pr´oximo resultado, precisamos enunciar dois lemas:
Lema 3.3.8. ([9, Theorem 13]) Sejam u e v fun¸c˜oes n˜ao nulas em L8 e ϕ upzqvpwq. Ent˜ao KerpTϕq Kerptupzqq b H2pwq H2pzq b Kerptvpwqq .
Al´em disso, se KerpTϕq t0u ent˜ao dimKerpTϕq 8.
Lema 3.3.9. ([9, Corollary 14]) Sejam u e v fun¸c˜oes n˜ao nulas em L8 e ϕ upzqvpwq. Ent˜ao Tϕ ´e injetivo sobre H2pD2q se, e s´o se, ambos tu e tv s˜aos injetivos sobre H2.
Proposi¸c˜ao 3.3.10. Sejam u e v fun¸c˜oes n˜ao nulas em L8 e ϕ upzqvpwq. Se Tϕ ´e um
operador de Fredholm sobre H2pD2q, ent˜ao tu e tv s˜ao tamb´em operadores de Fredholm
sobre H2pzq e H2pwq respectivamente. Al´em disso, vale jptuq jptvq 0.
Demonstra¸c˜ao. Por hip´otese, as dimens˜oes de KerpTϕq e KerpTϕq s˜ao finitas e RanpTϕq
´
e fechado em H2pD2q. Ent˜ao Tϕ e Tϕ s˜ao injetivos sobre H
2pD2q (Lema3.3.8) e portanto
tu, tv, tu e tv s˜ao injetivos sobre H
2pDq (Lema 3.3.9). Agora, uma vez que
RanpTϕq Ranptub tvq Ranptuq b Ranptvq,
segue que ambos Ranptuq e Ranptvq s˜ao fechados em H2pzq e H2pwq respectivamente.
Desse modo, tu e tv s˜ao operadores de Fredholm e claramente jptuq jptvq 0.
Observamos que na proposi¸c˜ao anterior vale tamb´em a rec´ıproca. Na verdade podemos reformul´a-la e prov´a-la de uma forma mais direta e sem depender do Lema 3.3.9: Proposi¸c˜ao 3.3.11. Sejam u e v fun¸c˜oes n˜ao nulas em L8 e ϕ upzqvpwq. Ent˜ao Tϕ ´e
Demonstra¸c˜ao. Segue do fato de Tϕ tub tv e da Proposi¸c˜ao 3.1.6.
Proposi¸c˜ao 3.3.12. Sejam u, v P CpTq fun¸c˜oes n˜ao nulas e ϕ upzqvpwq. Ent˜ao Tϕ ´e
invert´ıvel se, e s´o se, u e v n˜ao se anulam sobre T e Indup0q Indvp0q 0.
Demonstra¸c˜ao. Segue do fato que diz que, em espa¸cos de Hilbert, o produto tensorial de dois operadores ´e invert´ıvel se, e s´o se, cada um dos operadores ´e invert´ıvel e do Corol´ario
1.2.16.
O Teorema 1.2.15 nos diz que, para ϕP CpTq, tϕ ´e um operador de Fredholm
se, e s´o se, ϕ n˜ao se anula. Neste caso, tem-se jptϕq Indϕp0q. Desse modo, se tϕ ´e
sim´etrico complexo ent˜ao
Indϕpλq 0, @λ R Ranpϕq,
ou melhor jptϕλq 0, para todo λ R Ranpϕq. Como n˜ao temos um conceito para o
Indϕpλq quando ϕ P CpT2q podemos explorar uma vers˜ao do Teorema 1.4.7 substituindo
Indϕpλq por jptϕλq:
Teorema 3.3.13. Sejam u e v fun¸c˜oes n˜ao nulas em CpTq e ϕpz, wq upzqvpwq. Se tu e
tv s˜ao sim´etrico complexos, ent˜ao
jpTϕλq 0, @λ R Ranpϕq.
Demonstra¸c˜ao. Como tu e tv s˜ao sim´etrico complexos, ent˜ao Tϕ tamb´em ´e sim´etrico
complexo. Denote γz ϕ|Tpz, q e γw ϕ|Tp, wq e observe que dado λ R Ranpϕq, temos que γz λ e γw λ n˜ao se anulam sobre T. Desse modo tγzλ e tγwλ s˜ao operadores de
Fredholm e valem
jptγzλq Indγzλp0q e jptγwλq Indγwλp0q.
Agora, visto que tγzλ e tγwλ s˜ao sim´etrico complexos, segue que jptγzλq jptγwλq 0
e portanto Indγzλp0q Indγwλp0q 0. Assim Tϕλ ´e um operador de Fredholm. Por
fim, como Tϕλ ´e sim´etrico complexo, segue que jpTϕλq 0 para todo λ R Ranpϕq.
No teorema anterior, embora utilizamos os fatos de tu e tv serem sim´etrico
complexos para garantir que jpTϕλq 0, na verdade essa hip´otese ´e necess´aria apenas
para gatantir que Tϕλ ´e um operador de Fredholm. De fato, pelo [16, Corollary, p. 208]
temos que se ϕ P CpT2q ´e tal que Tϕ ´e um operador de Fredholm, ent˜ao Tϕ tem ´ındice nulo.
Apesar de curioso, esse fato se repete em outras ocasi˜oes. Por exemplo para operadores de Toeplitz sobre o espa¸co de Hardy da esfera unit´aria (veja [10, Corollary, p. 436] ou [36, Theorem 1.1]).
Proposi¸c˜ao 3.3.14. Se ϕP CpT2q, ent˜ao
Demonstra¸c˜ao. Dado λ P C, temos pelo Teorema A.0.14 que Tϕλ ´e um operador de
Fredholm se, e s´o se, γzλ and γwλ n˜ao se anulam sobre T e Indγzλp0q Indγwλp0q 0.
Ou seja, Tϕλ ´e um operador de Fredholm se, e s´o se, λ R pRanpγzq Y Ranpγwqq e
Indγzpλq Indγwpλq 0, como desejado.
O pr´oximo resultado tem uma vers˜ao mais geral para operadores de Toeplitz sobre o espa¸co de Hardy do disco (Corol´ario 1.2.13). Mais geral no sentido de n˜ao exigir que o s´ımbolo ϕ perten¸ca a H8pDq. Antes, precisamos do seguinte lema:
Lema 3.3.15. ([8, Proposition 1.6]) Seja ϕP H8pD2q. Se KerpTϕq t0u, ent˜ao a dimens˜ao de KerpTϕq ´e infinita.
Proposi¸c˜ao 3.3.16. Seja ϕ P H8pD2q. Se Tϕ ´e um operador de Fredholm, ent˜ao Tϕ ´e
invert´ıvel se, e s´o se, jpTϕq 0.
Demonstra¸c˜ao. Uma das implica¸c˜oes ´e imediata e ´e v´alida para operadores limitados em geral. Suponha ent˜ao que jpTϕq 0. Visto que a dimens˜ao de KerpTϕq ´e finita,
segue do lema anterior que Tϕ ´e injetivo. Deste modo, como a imagem de Tϕ ´e fechada, temos que Tϕ ´e sobrejetivo. O resultado segue uma vez que Tϕ ´e tamb´em injetivo, pois
dimKerpTϕq dimKerpTϕq 0.
4 Operadores de Toeplitz universais
O Problema do Subespa¸co Invariante (PSI) ´e um importante problema em aberto na An´alise Funcional e o uso dos operadores universais no sentido de Rota tem sido uma ferramenta interessante para estudar esse problema. Uma formula¸c˜ao para o PSI diz que: Dados um espa¸co de Hilbert complexo separ´avel de dimens˜ao infinita H e um operador limitado T sobre H, T possui um subespa¸co invariante n˜ao trivial?
Lembremos que um subconjunto E H ´e um subespa¸co invariante de T se
E ´e um subespa¸co fechado de H e TpEq E. Em 1960, G.-C. Rota introduziu a ideia de um operador cuja estrutura de seus subespa¸cos invariantes ´e suficientemente rica a ponto de modelar todos os operadores sobre um espa¸co de Hilbert. Esse tipo de operador, denominado por Rota de operador modelo, motivou anos depois o conceito de operador universal. Os primeiros exemplos, bem como o conceito e propriedades gerais dos operadores universais s˜ao devidos a G.-C. Rota [44], I. Chalendar e J. R. Partington [7] e a C. Cowen e E. Gallardo-Guti´errez [12].
A rela¸c˜ao entre o PSI e operadores universais ´e a seguinte: Se U ´e um operador universal para o espa¸co de Hilbert H, ent˜ao o PSI ´e equivalente `a afirma¸c˜ao que todo subespa¸co invariante de dimens˜ao infinita de U cont´em um subespa¸co invariante pr´oprio n˜ao trivial. Devido a essa rela¸c˜ao, na ´ultima d´ecada, diversos pesquisadores tˆem dado aten¸c˜ao ao estudo dos operadores universais, a exemplo de [6, 7, 42, 11, 12,13, 33].
Neste cap´ıtulo apresentamos resultados e exemplos relacionados `a universalidade de operadores de Toeplitz sobre o espa¸co de Hardy do disco, bidisco e do polidisco. Como veremos (Observa¸c˜oes 4.1.24 e4.2.7) existem certas particularidades para a universalidade dos operadores de Toeplitz do disco e do polidisco.
Na Se¸c˜ao 4.1 generalizamos o Teorema4.1.4 em duas situa¸c˜oes: na primeira (Teorema 4.1.7), para operadores de Toeplitz sobre H2 quando seu s´ımbolo pertence `a
´
algebra H8 CpTq; na segunda situa¸c˜ao (Teorema 4.1.11), para operadores de Toeplitz sobre H2pD2q. Al´em disso, nos Teoremas4.1.19e4.1.25apresentamos duas caracteriza¸c˜oes para que Tϕ seja um operador universal (via condi¸c˜oes de Caradus) para H2pDnq, com
n ¥ 2.
Na Se¸c˜ao 4.2mostramos rela¸c˜oes de universalidade e simetria complexa para operadores de Toeplitz sobre H2pDnq, a exemplo das Proposi¸c˜oes4.2.2, 4.2.5 e4.2.8.