CAMPINAS
Instituto de Matem´
atica, Estat´ıstica e
Computa¸c˜
ao Cient´ıfica
MARCOS DOS SANTOS FERREIRA
Simetria complexa e universalidade para
operadores de Toeplitz do polidisco
Campinas
2020
Simetria complexa e universalidade para operadores de
Toeplitz do polidisco
Tese apresentada ao Instituto de Matem´atica, Estat´ıstica e Computa¸c˜ao Cient´ıfica da Uni-versidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a obten¸c˜ao do t´ıtulo de Doutor em Matem´atica.
Orientador: Sahibzada Waleed Noor
Este exemplar corresponde `
a vers˜
ao
final da Tese defendida pelo aluno
Marcos dos Santos Ferreira e
orien-tada pelo Prof. Dr. Sahibzada Waleed
Noor.
Campinas
2020
Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Ana Regina Machado - CRB 8/5467
Ferreira, Marcos dos Santos,
F413s FerSimetria complexa e universalidade para operadores de Toeplitz do polidisco / Marcos dos Santos Ferreira. – Campinas, SP : [s.n.], 2020.
FerOrientador: Sahibzada Waleed Noor.
FerTese (doutorado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.
Fer1. Espaços de Hardy. 2. Operadores de Toeplitz. 3. Operador simétrico complexo. I. Noor, Sahibzada Waleed, 1984-. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. III. Título.
Informações para Biblioteca Digital
Título em outro idioma: Complex symmetry and universality for Toeplitz operators of
polydisk
Palavras-chave em inglês:
Hardy spaces Toeplitz operators
Symmetric complex operator
Área de concentração: Matemática Titulação: Doutor em Matemática Banca examinadora:
Sahibzada Waleed Noor [Orientador] Anne Caroline Bronzi
Sergio Antonio Tozoni Christina Brech Ximena Mujica Serdio
Data de defesa: 29-05-2020
Programa de Pós-Graduação: Matemática
Identificação e informações acadêmicas do(a) aluno(a)
- ORCID do autor: https://orcid.org/0000-0002-5060-561X - Currículo Lattes do autor: http://lattes.cnpq.br/7976045409154094
pela banca examinadora composta pelos Profs. Drs.
Prof(a). Dr(a). SAHIBZADA WALEED NOOR
Prof(a). Dr(a). ANNE CAROLINE BRONZI
Prof(a). Dr(a). SERGIO ANTONIO TOZONI
Prof(a). Dr(a). CHRISTINA BRECH
Prof(a). Dr(a). XIMENA MUJICA SERDIO
A Ata da Defesa, assinada pelos membros da Comissão Examinadora, consta no SIGA/Sistema de Fluxo de Dissertação/Tese e na Secretaria de Pós-Graduação do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.
Agrade¸co a Deus, por tudo. Principalmente por ter me permitido chegar at´e aqui.
Agrade¸co aos meus pais Edson e Thelma. Pela educa¸c˜ao, pelo apoio e pela confian¸ca depositadas em mim.
Agrade¸co a minha esposa Maria Isabel por ter conseguido superar comigo todos os momentos dif´ıceis durante esse per´ıodo.
Aos meus filhos N´ıcolas, Nicole e Nina por me darem for¸cas e motiva¸c˜ao para sempre buscar o melhor para todos n´os.
Ao meu orientador Waleed Noor. Pela qualidade na orienta¸c˜ao, pelas aulas ministradas e pelo entusiasmo que o mesmo demonstra sempre que fala em Matem´atica.
Aos colegas e amigos que tive a oportunidade de conhecer e conviver durante o doutorado. Pelo companheirismo nos estudos, pelas conversas informais (principalmente nas horas do caf´e) e pelas palavras de apoio (muitas vezes vindas em momentos cr´ıticos). Em especial a Andressa, Daniel, Eduardo, Miguel e Sime˜ao.
Ao Instituto de Matem´atica, Estat´ıstica e Computa¸c˜ao Cient´ıfica pela oportu-nidade a mim dada, pela ´otima infraestrutura e pelo excelente corpo docente.
Por fim, `a Universidade Estadual de Santa Cruz, situada em Ilh´eus/BA, por ter me concedido o afastamento para minha capacita¸c˜ao e pela ajuda de custo que recebi durante todo o per´ıodo.
Neste trabalho estudamos propriedades alg´ebricas de operadores de Toeplitz Tϕ sobre os
espa¸cos de Hardy do disco H2 e do polidisco H2pDnq principalmente quando associadas `a simetria complexa e `a universalidade desses operadores.
Em rela¸c˜ao `a simetria complexa, provamos resultados que relacionam propriedades alg´ e-bricas de Tϕ com propriedades geom´etricas de ϕ, descrevemos o espectro de Tϕ quando
ϕ n˜ao necessariamente ´e cont´ınuo e caracterizamos quando Tϕ sobre H2pDnq ´e sim´etrico
complexo com uma determinada fam´ılia de conjuga¸c˜oes.
Em rela¸c˜ao `a universalidade, mostramos alguns casos em que Tϕ ´e um operador universal para H2 e para H2pDnq quando ϕ ´e anal´ıtico e quando ´e apenas cont´ınuo. Al´em disso, apresentamos rela¸c˜oes de universalidade e simetria complexa para operadores de Toeplitz sobre H2 e H2pDnq.
Palavras-chave: espa¸co de Hardy, operador de Toeplitz, operador sim´etrico complexo, operador universal.
In this work we study algebraic properties of Toeplitz operators Tϕ on Hardy spaces of
the disk H2 and polydisk H2pDnq especially when associated with complex symmetry and universality of these operators.
Regarding complex symmetry, we prove results that relate algebraic properties of Tϕ
with geometric properties of ϕ, we describe the spectrum of Tϕ when ϕ is not necessarily
continuous and we characterize when Tϕ on H2pDnq is complex symmetric with a given
conjugation family.
Regarding universality, we show some cases where Tϕ is a universal operator for H2 and for H2pDnq when ϕ is analytic and when it is just continuous. In addition, we present relations of universality and complex symmetry for Toeplitz operators on H2 and H2pDnq. Keywords: Hardy space, Toepltiz operator, complex symmetric operator, universal opera-tor.
N Conjunto dos inteiros n˜ao negativos
D Disco unit´ario aberto no plano complexo C
T Fronteira de D
Dn Polidisco: produto cartesiano de n c´opias de D
Tn Toro: produto cartesiano de n c´opias de T
H Espa¸co de Hilbert complexo separ´avel LpH) Algebra dos operadores limitados sobre H´ KpH) Algebra dos operadores compactos sobre H´
T Adjunto de um operador T
I Operador identidade
l2 Espa¸co de Hilbert das sequˆencias quadrado som´aveis com entradas complexas
l2pHq Espa¸co das sequˆencias quadrado som´aveis com entradas em H L8 Espa¸co das fun¸c˜oes mensur´aveis essencialmente limitadas sobre T L2 Espa¸co de Hilbert das fun¸c˜oes quadrado integr´aveis sobre T H2 Espa¸co de Hardy do disco unit´ario
H2pDnq Espa¸co de Hardy do polidisco
Tϕ Operador de Toeplitz com s´ımbolo ϕ sobre H2 ou H2pDnq
tu Operador de Toeplitz com s´ımbolo u sobre H2
p
ϕpnq n-´esimo coeficiente de Fourier de uma fun¸c˜ao ϕP L8 CpTq Espa¸co das fun¸c˜oes cont´ınuas sobre T
H8 Espa¸co das fun¸c˜oes anal´ıticas e limitadas sobre D I Espa¸co dos operadores de Toeplitz sobre H2
wpT q Espectro de Weyl do operador T P LpHq
KerpT q N´ucleo de um operador T P LpHq
RanpT q Imagem de um operador T P LpHq
Ranpϕq Imagem de uma fun¸c˜ao ϕ
Introdu¸c˜ao . . . 11
1 PRELIMINARES . . . 15
1.1 Espa¸co de Hardy H2 . . . 15
1.2 Operadores de Toeplitz sobre H2 . . . 18
1.3 Operadores sim´etrico complexos sobre espa¸cos de Hilbert . . . 21
1.4 Simetria complexa de operadores de Toeplitz sobre H2 . . . 22
2 SIMETRIA COMPLEXA DOS OPERADORES DE TOEPLITZ SO-BRE ESPA¸COS DEFINIDOS NO DISCO . . . 25
2.1 Uma caracteriza¸c˜ao para operador de Toeplitz sim´etrico complexo . 26 2.2 Curvas sem enrolamento e o espectro de Tϕ . . . 27
2.3 Continuidade da fun¸c˜ao espectral restrita ao espa¸co I . . . 31
2.4 Operadores de Toeplitz sobre o espa¸co de Dirichlet. . . 33
3 SIMETRIA COMPLEXA DOS OPERADORES DE TOEPLITZ SO-BRE O ESPA¸CO DE HARDY DO POLIDISCO. . . 36
3.1 Simetria complexa do produto tensorial de operadores limitados . . 36
3.2 Simetria complexa dos operadores de Toeplitz sobre H2pDnq . . . . 39
3.3 Propriedades alg´ebricas e de simetria complexa para operadores de Toeplitz sobre H2pD2q . . . 44
4 OPERADORES DE TOEPLITZ UNIVERSAIS . . . 49
4.1 Universalidade dos operadores de Toeplitz sobre H2pDnq . . . 50
4.2 Universalidade versus simetria complexa . . . 56
REFERˆENCIAS . . . 58
ANEXO A – OPERADORES DE TOEPLITZ SOBRE O ESPA¸CO DE DIRICHLET . . . 61
ANEXO B – PRODUTO TENSORIAL SOBRE ESPA¸COS DE HIL-BERT . . . 63
Introdu¸c˜
ao
A combina¸c˜ao da teoria dos operadores limitados sobre espa¸cos de Hilbert com a an´alise complexa nos fornece uma grande quantidade de resultados elegantes e alguns famosos problemas em aberto dentro da matem´atica. O estudo dos espa¸cos de Hardy e dos operadores sobre esses espa¸cos ´e um excelente exemplo da combina¸c˜ao dessas teorias. Por exemplo, o bem conhecido resultado que garante que toda fun¸c˜ao cont´ınua sobre r0, 1s pode ser aproximada uniformemente por polinˆomios com expoentes primos (veja [38, Corollary 2.5.3]) tem como ingrediente principal o teorema fundamental sobre os zeros de fun¸c˜oes no espa¸co de Hardy ([38, Corollary 2.4.10]). Tamb´em, o espa¸co de Hardy ´
e necess´ario para o entendimento da estrutura dos subespa¸cos invariantes do operador shift unilateral (veja [38, Theorem 2.2.12]). Al´em disso, muitos conceitos elementares dos espa¸cos de Hilbert derivam das f´ormulas integrais de Poisson (veja [38, Theorem 1.1.21]) e de Cauchy (veja [38, Theorem 1.1.19]), ambas inseridas no contexto do espa¸co de Hardy. O espa¸co de Hardy (nome dado em homenagem a G. H. Hardy) ´e o conjunto de todas fun¸c˜oes anal´ıticas cujas s´eries de potˆencias tem coeficientes complexos quadrado som´aveis (Defini¸c˜ao 1.1.1). O espa¸co de Hardy de fun¸c˜oes anal´ıticas sobre D ´e comumente denotado por H2 e visto que ele ´e isomorfo ao espa¸co de sequˆencias quadrado som´aveis l2 temos que H2 ´e um espa¸co de Hilbert separ´avel.
Os operadores mais estudados e mais conhecidos sobre H2 s˜ao os operadores de Toeplitz. Os operadores de Toeplitz s˜ao operadores cujas matrizes com respeito `a base canˆonica de H2 tem diagonais constantes. As principais propriedades alg´ebricas dos operadores de Toeplitz foram introduzidas por A. Brown e P. Halmos no c´elebre artigo [4]. Geralmente, denotamos por Tϕ o operador de Toeplitz com s´ımbolo ϕP L8 definido por
Tϕf P pϕfq,
para cada f P H2, onde P ´e a proje¸c˜ao ortogonal de L2 sobre H2.
Embora existam diversos resultados em torno da classe dos operadores de Toe-plitz, relacionados por exemplo ao produto, `a invertibilidade, aos espectros e a seu adjunto, a ocorrˆencia dessa classe em outras ´areas da matem´atica sugere que esses operadores desempenham um papel na teoria dos operadores mais do que se imagina. Al´em disso, pouco se sabe sobre as estruturas do n´ucleo e da imagem dos operadores de Toeplitz.
A classe dos operadores sim´etrico complexos tem desempenhado um importante papel no estudo dos operadores de Toeplitz, principalmente no final da d´ecada passada. Dizemos que um operador limitado T sobre um espa¸co de Hilbert separ´avel H ´e sim´etrico complexo se existir uma conjuga¸c˜ao C : H Ñ H (Defini¸c˜ao 1.3.1) tal que CT TC.
A classe dos operadores sim´etrico complexos foi introduzida por S. Garcia e M. Putinar [19,20] e abrange uma ampla classe de operadores tais como todos os operadores normais, os operadores de Hankel, os operadores de Toeplitz de compress˜ao e diversos operadores integrais a exemplo dos operadores de Volterra. Para resultados mais gerais envolvendo operadores sim´etrico complexos recomendamos [21,22,30,25,39]. O estudo dos operadores de Toeplitz sim´etrico complexos tamb´em fornece profundas e importantes conex˜oes em diversos problemas na mecˆanica quˆantica (veja [2, 23]).
Recentemente, E. Ko e J. Lee em [31] mostraram uma caracteriza¸c˜ao para operador de Toeplitz sim´etrico complexo sobre H2 via coeficientes de Fourier de seu s´ımbolo. Mais precisamente, eles mostraram:
Teorema 0.0.1. (Teorema 1.4.1) Se ϕpzq 8 ¸
n8
p
ϕpnqzn P L8, ent˜ao Tϕ ´e sim´etrico
complexo com a conjuga¸c˜ao Cλfpzq fpλzq se, e s´o se, pϕpnq λnϕppnq, para todo n P Z
e algum λP T.
Quando λ 1, denotamos a conjuga¸c˜ao C1 por J e nesse caso temos que J fpzq fpzq, para toda f P H2. ´E comum chamarmos J de conjuga¸c˜ao canˆonica. Um dos motivos ´e que ela “pouco” interfere, como aplica¸c˜ao, na fun¸c˜ao f . Outro motivo ´e observado no Teorema 2.1.3. Al´em disso, existem poucas conjuga¸c˜oes definidas explicitamente sobre o espa¸co de Hardy H2. Na verdade, conhecemos apenas outra e que ´e obtida a partir da composi¸c˜ao de um operador de composi¸c˜ao com J (veja [18, Example 2.4]).
Em [41] S. Noor introduziu o conceito de curvas sem enrolamento (Defini¸c˜ao
1.4.5) e mostrou que, para ϕP L8 cont´ınua, se Tϕ ´e sim´etrico complexo, ent˜ao ϕ ´e uma
curva sem enrolamento (Teorema 1.4.7). Esse resultado ´e bem interessante pois relaciona propriedades alg´ebricas do operador Tϕ com propriedades geom´etricas de seu s´ımbolo ϕ.
Al´em disso, como consequˆencia (Corol´ario 1.4.9), temos que σpTϕq Ranpϕq.
Parte desse trabalho ´e dedicada ao estudo dos operadores de Toeplitz sobre o espa¸co de Hardy H2, principalmente quando associadas `a simetria complexa destes. Resultados an´alogos tamb´em s˜ao obtidos para operadores de Toeplitz sobre o espa¸co de Dirichlet (Se¸c˜ao2.4). No Cap´ıtulo 2 destacamos os seguintes resultados:
Teorema 2.1.3: Garante que o operador Tϕ sobre H2 ´e sim´etrico complexo se, e s´o
se, ele ´e unitariamente equivalente a um operador J -sim´etrico. Proposi¸c˜oes 2.2.1 e2.2.2: Caracterizam curvas sem enrolamento.
Teorema 2.2.7: Estende o Teorema 1.4.7 para operadores de Toeplitz quando o s´ımbolo pertence a ´algebra H8 CpTq.
Proposi¸c˜oes 2.2.8e2.2.9: Descrevem o espectro de Tϕ quando ϕ n˜ao necessariamente
´
e cont´ınuo.
Teorema2.3.2e Proposi¸c˜ao 2.3.4: Fornecem casos de continuidade da fun¸c˜ao espectro quando restrita ao espa¸co dos operadores de Toeplitz.
O estudo dos operadores de Toeplitz sobre o espa¸co de Hardy n˜ao ´e estrito apenas ao disco. De fato, o conceito e algumas propriedades dos operadores de Toeplitz sobre o espa¸co de Hardy do disco H2 s˜ao adaptadas para os espa¸cos de Hardy: da esfera unit´aria H2pSnq (para detalhes, veja [10, 14]), da bola unit´aria H2pBnq (para detalhes veja [36]) e do polidisco H2pDnq (para detalhes veja [24]). Dentre as diversas diferen¸cas que existem para os operadores de Toeplitz sobre esses espa¸cos, destacamos as seguintes:
Em H2, para ϕ P L8 n˜ao nula, ao menos um dos operadores T
ϕ e Tϕ ´e injetivo
(Teorema 1.2.12). J´a em H2pDnq, em particular no bidisco, isso n˜ao vale em geral (Exemplo 3.3.1).
Em H2, para ϕP L8, tem-se }T
ϕ} }ϕ}8 (veja [15, Corollary 7.8]). Em H2pBnq,
esse fato n˜ao vale em geral (veja [36, Proposition 1.3.(iv)]). Al´em disso, o ´unico operador de Toeplitz compacto no disco ´e o operador nulo (veja [15, p. 162] ou [38, Theorem 3.2.17]); J´a na bola, existem operadores de Toeplitz compactos n˜ao nulos (veja [36, Lemma 1.6]).
Em H2, a dimens˜ao do n´ucleo do operador T
zk ´e k, para todo k ¥ 1. J´a em H
2pDnq,
temos que a dimens˜ao do n´ucleo do operador Tzk ´e infinita (veja [8, p. 3873]).
Neste trabalho tamb´em fazemos um estudo dos operadores de Toeplitz sobre o espa¸co de Hardy de um subconjunto do espa¸co Cn, mais especificamente sobre o polidisco Dn. Esse estudo consta do Cap´ıtulo 3 e destacam-se os seguintes resultados:
Teorema3.1.5: Fornece uma caracteriza¸c˜ao para o produto tensorial de dois opera-dores S, T P LpHq ser sim´etrico complexo.
Teorema 3.2.4: Apresenta uma vers˜ao do Teorema1.4.1 para operadores de Toeplitz sobre H2pDnq.
Proposi¸c˜ao3.3.7: Fornece uma vers˜ao do Corol´ario1.4.9 para operadores de Toeplitz sobre H2pD2q.
Teorema3.3.13: Apresenta uma vers˜ao do Teorema 1.4.7para operadores de Toeplitz sobre H2pD2q.
No Cap´ıtulo 4 estudamos alguns casos de universalidade para operadores de Toepltiz sobre o espa¸co de Hardy do disco, bidisco e polidisco. O uso dos operadores universais no sentido de Rota (para mais detalhes veja [12]) tem sido uma importante ferramenta para estudar o famoso Problema do Subespa¸co Invariante (PSI).
Um operador U P LpHq ´e chamado de operador universal para H se para cada operador limitado n˜ao nulo A sobre H, existem um subespa¸co invariante M para U , um escalar n˜ao-nulo µ e um isomorfismo linear X de H sobre M tais que U X µXA. Por sua vez, o PSI pode ser formulado da seguinte maneira: Dados um espa¸co de Hilbert complexo separ´avel H e um operador limitado T sobre H, T possui um subespa¸co invariante n˜ao trivial? A rela¸c˜ao entre o PSI e operadores universais ´e a seguinte: Se U ´e um operador universal para o espa¸co de Hilbert H, ent˜ao o PSI ´e equivalente a afirma¸c˜ao que todo subespa¸co invariante de dimens˜ao infinita de U cont´em um subespa¸co invariante pr´oprio n˜ao trivial. Devido a essa rela¸c˜ao, nos ´ultimos anos, muitos matem´aticos tˆem se dedicado ao estudo dos espa¸cos universais com o intuito de resolverem o PSI, que ainda continua sem solu¸c˜ao para espa¸cos de Hilbert separ´aveis de dimens˜ao infinita.
Dentre os resultados que encontram-se no Cap´ıtulo 4, destacamos:
Teoremas4.1.7 e 4.1.11: Generalizam o Teorema 4.1.4 em duas situa¸c˜oes: no disco, estende o resultado para a ´algebra H8 CpTq e no bidisco, apresenta uma vers˜ao an´aloga relativamente mais simples.
Teoremas4.1.19 e 4.1.25: Apresentam caracteriza¸c˜oes para que Tϕ seja um operador universal para H2pDnq, com n ¥ 2.
Proposi¸c˜oes 4.2.2, 4.2.5 e 4.2.8: Relacionam universalidade com simetria complexa para operadores de Toeplitz sobre H2pDnq.
1 Preliminares
Neste cap´ıtulo inicial apresentamos a maioria dos conceitos e resultados que ser˜ao necess´arios para uma boa compreens˜ao desse trabalho. Dentre esses conceitos e resultados destacamos aqueles que est˜ao relacionados ao espa¸co de Hardy e aos operadores de Fredholm, de Toeplitz e os sim´etrico complexos. Os resultados cl´assicos constam essencialmente em [15,38].
1.1
Espa¸co de Hardy H
2Defini¸c˜ao 1.1.1. O espa¸co de Hardy, denotado por H2, consiste de todas as fun¸c˜oes anal´ıticas sobre D cujos coeficientes complexos de sua s´erie de potˆencias s˜ao quadrado som´aveis, ou seja,
H2 # f : fpzq 8 ¸ n0 anzn e 8 ¸ n0 |an|2 8 + .
Definimos o produto interno em H2 por xf, gy ¸8 n0 anbn, onde fpzq 8 ¸ n0 anzn e gpzq 8 ¸ n0 bnzn
e a norma do vetor f por
}f} 8 ¸ n0 |an|2 1{2 .
Uma vez que a aplica¸c˜ao panq8n0 ÞÑ
8 ¸
n0
anzn ´e um isomorfismo de l2 sobre H2,
segue que H2 ´e um espa¸co de Hilbert separ´avel.
Defini¸c˜ao 1.1.2. Para cada λP D, a fun¸c˜ao kλ definida por
kλpzq
1 1 λz ´
e chamada de n´ucleo de reprodu¸c˜ao para λ em H2.
Uma vez que a avalia¸c˜ao de pontos ´e um funcional linear limitado sobre H2, segue do teorema da representa¸c˜ao de Riesz que, para cada λ P D, existe uma ´unica
kλ P H2 tal que
para toda f P H2. ´
E comum tratarmos H2 como um subespa¸co de L2. De fato, considerando tenpeitq eint: n P Zu a base ortonormal (canˆonica) de L2, definimos o seguinte subespa¸co
de L2: H2 ! r f P L2 : A r f , en E 0, para n 0).
Note que rf P H2 se sua s´erie de Fourier ´e tal que r fpeitq 8 ¸ n0 aneint com 8 ¸ n0 |an|2 8.
Desse modo, temos que H2 ´e um subespa¸co fechado de L2 e que existe um isomorfismo natural entre H2 e H2, a saber a aplica¸c˜ao
8 ¸ n0 aneintÞÑ 8 ¸ n0 anzn.
Denotamos por H8 o espa¸co formado por todas fun¸c˜oes que s˜ao anal´ıticas e limitadas sobre D. Temos que H8´e um espa¸co de Banach com a norma}f}8 supt|fpzq| :
z P Du e ´e tal que H8 H2. A segunda afirma¸c˜ao segue da seguinte alternativa para a defini¸c˜ao do espa¸co de Hardy:
Observa¸c˜ao 1.1.3. ([38, Theorem 1.1.12]) Seja f uma fun¸c˜ao anal´ıtica sobre D. Ent˜ao
f P H2 se e s´o se sup 0 r 1 1 2π »2π 0 |fpreitq|2dt 8.
A identifica¸c˜ao entre H2 e H2 acima mencionada, embora natural, n˜ao descreve do ponto de vista ´obvio a rela¸c˜ao entre f P H2 e rf P H2 como fun¸c˜oes. O que garante, de fato, que podemos tratar f P H2 como sendo uma fun¸c˜ao sobre T ´e um resultado que iremos enunciar a seguir.
Sejam rf P H2 cuja s´erie de Fourier ´e 8 ¸
n0
aneint e f P H2 cuja s´erie de potˆencias
´ e
8 ¸
n0
anzn. Para 0 r 1, seja fr definida por
frpeitq fpreitq
8 ¸
n0
anrneint.
Claramente, temos que fr P H2 para cada um desses r e vale:
Proposi¸c˜ao 1.1.4. ([38, Corollary 1.1.28]) Se f P H2, ent˜ao lim
rÑ1fpre
itq rfpeitq
O shift unilateral ´e um dos operadores mais interessantes na teoria dos opera-dores lineares, em especial pelo estudo de subespa¸cos invariantes destes operaopera-dores. Em nosso trabalho n˜ao ´e diferente: al´em de caracterizar operadores de Toeplitz, o operador shift unilateral ´e um cl´assico exemplo de um operador de Toeplitz que n˜ao ´e sim´etrico complexo.
Defini¸c˜ao 1.1.5. Definimos o operador shift unilateral U : l2 Ñ l2 por
Upa0, a1, a2, q p0, a0, a1, a2, q. ´
E f´acil ver que o operador shift ´e uma isometria, isto ´e }Uf} }f}, e que seu adjunto ´e dado por
Upa0, a1, a2, a3, q pa1, a2, a3, q.
Defini¸c˜ao 1.1.6. Definimos o operador Mz (multiplica¸c˜ao por z) sobre H2 por
Mzfpzq zfpzq.
Note que Mz age como o shift unilateral, uma vez que se fpzq
8 ¸ n0 anzn, ent˜ao Mzfpzq 8 ¸ n0
anzn 1. Na verdade, temos `a seguinte:
Observa¸c˜ao 1.1.7. O operador Mz sobre H2 ´e unitariamente equivalente a U .
Defini¸c˜ao 1.1.8. Seja ϕ uma fun¸c˜ao em L8. O operador de multiplica¸c˜ao por ϕ ´e definido por Mϕf ϕf, para cada f P L2.
Defini¸c˜ao 1.1.9. Uma fun¸c˜ao ϕ P H8 satisfazendo |rϕpeitq| 1 para quase todo t P π ´e
chamada de fun¸c˜ao interior.
Defini¸c˜ao 1.1.10. Se H ´e um espa¸co de Hilbert, ent˜ao a ´algebra quociente LpHq{KpHq ´e uma ´algebra de Banach chamada de ´algebra de Calkin.
O homomorfismo natural de LpHq sobre LpHq{KpHq ser´a denotado por π. Para cada T em LpHq, definimos o espectro essencial de T , denotado por σepT q, como sendo o
espectro de πpT q.
Defini¸c˜ao 1.1.11. Um operador T P LpHq ´e chamado de operador de Fredholm se πpT q ´
e um elemento invert´ıvel de LpHq{KpHq.
Note que o espectro essencial de um operador T pode ser descrito da seguinte maneira:
σepT q tλ P C : T λI n˜ao ´e de Fredholmu .
Uma defini¸c˜ao equivalente para o conceito de operador de Fredholm ´e o Teorema de Atkinson:
Teorema 1.1.12. ([15, Theorem 5.17]) Dado T P LpHq, ent˜ao T ´e um operador de Fredholm se, e s´o se, a imagem de T ´e fechada e dimKerpT q e dimKerpTq s˜ao finitas.
Se T ´e um operador de Fredholm, definimos seu ´ındice (tamb´em chamado de ´ındice cl´assico) por
jpT q dimKerpT q dimKerpTq.
Os operadores de Fredholm que possuem ´ındice zero s˜ao chamados de operadores de Weyl. Nessa dire¸c˜ao, definimos o espectro de Weyl de um operador T por
wpT q tλ P C : T λI n˜ao ´e um operador de Weylu .
Evidentemente, temos σepT q wpT q σpT q.
1.2
Operadores de Toeplitz sobre H
2Defini¸c˜ao 1.2.1. Para cada ϕ em L8, o operador de Toeplitz com s´ımbolo ϕ ´e o operador Tϕ definido por
Tϕf P pϕfq,
para cada f em H2, onde P ´e a proje¸c˜ao ortogonal de L2 sobre H2. ´
E bem frequente, na literatura, observamos alguns autores abusarem da nota¸c˜ao e, por motivos ´obvios, definirem operadores de Toeplitz Tϕ sobre o espa¸co de Hardy usando
a nota¸c˜ao H2 em vez de H2. O que garante esse abuso na nota¸c˜ao ´e a Proposi¸c˜ao 1.1.4 e, nessa dire¸c˜ao, vamos tamb´em substituir H2 por H2.
Proposi¸c˜ao 1.2.2. ([38, Theorem 3.2.8]) A aplica¸c˜ao ξ : L8 Ñ I, dada por ξpϕq Tϕ, ´e
linear, limitada, injetora e preserva adjunto (isto ´e, Tϕ Tϕ).
Um operador de Toeplitz Tϕ ´e anal´ıtico se ϕ P H8 e coanal´ıtico se Tϕ ´e
anal´ıtico. Observe que se Tϕ ´e anal´ıtico, ent˜ao Tϕ ´e injetivo. De fato, se ϕP H8 segue da
Observa¸c˜ao 1.1.3 que ϕf P H2, para toda f P H2, e portanto Tϕf ϕf. Desse modo,
temos que Tϕ ´e injetivo.
Proposi¸c˜ao 1.2.3. ([38, Theorem 3.2.11]) Para ψ e ϕ em L8, TψTϕ ´e um operador de
Toeplitz se, e s´o se, Tψ ´e coanal´ıtico ou Tϕ ´e analitico. Em ambos os casos, TψTϕ Tψϕ.
Operadores de Toeplitz normais foram bem caracterizados por Brown e Halmos. Esta caracteriza¸c˜ao ´e uma consequˆencia do seguinte:
Teorema 1.2.4. ([38, Theorem 3.2.15]) Um operador de Toeplitz ´e auto-adjunto se, e s´o se, seu s´ımbolo ´e uma fun¸c˜ao com valores reais em quase todos os pontos.
Corol´ario 1.2.5. ([38, Corollary 3.2.16]) O operador de Toeplitz Tϕ ´e normal se, e s´o se,
existem n´umeros complexos c e d e uma fun¸c˜ao real ψ em L8 tais que ϕ cψ d quase sempre.
Proposi¸c˜ao 1.2.6. ([15, Proposition 7.6]) Se ϕ ´e uma fun¸c˜ao em L8 tal que Tϕ ´e invert´ıvel,
ent˜ao ϕ ´e invert´ıvel em L8.
Como veremos neste e em outros cap´ıtulos, o espectro de um operador de Toeplitz poder´a ser calculado explicitamente. Para tanto, um conceito que ser´a necess´ario ´
e o seguinte:
Defini¸c˜ao 1.2.7. Para ϕ em L8, a imagem essencial de ϕ ´e definida por
essranpϕq λ P C : m eit:|ϕpeitq λ| (¡ 0, para todo ¡ 0(,
onde m ´e a medida de Lebesgue normalizada.
Note que se ϕ P L8, ent˜ao}ϕ}8 sup t|λ| : λ P essranpϕqu.
Como corol´ario da proposi¸c˜ao anterior, temos o teorema da inclus˜ao espectral: Corol´ario 1.2.8. ([15, Corollary 7.7]) Se ϕ est´a em L8, ent˜ao
essranpϕq σpMϕq σpTϕq.
Como consequˆencia do corol´ario anterior, temos que }Tϕ} }ϕ}8 para todo
ϕP L8 (veja [15, Corollary 7.8]).
Proposi¸c˜ao 1.2.9. ([15, Corollary 7.14]) Se ϕ ´e uma fun¸c˜ao em L8 tal que Tϕ ´e um
operador de Fredholm, ent˜ao ϕ ´e invert´ıvel em L8.
O pr´oximo resultado caracteriza operadores de Toeplitz invert´ıveis quando o s´ımbolo ϕ est´a em H8:
Teorema 1.2.10. ([15, Theorem 7.21]) Se ϕ ´e uma fun¸c˜ao em H8, ent˜ao Tϕ ´e invert´ıvel
se, e s´o se, ϕ ´e invert´ıvel em H8.
Proposi¸c˜ao 1.2.11. ([15, Proposition 7.22]) Se ϕ est´a em CpTq e ψ est´a em L8, ent˜ao
TϕTψ Tϕψ e TψTϕ Tψϕ s˜ao operadores compactos.
Um dos resultados centrais da teoria dos operadores de Toeplitz ´e sem d´uvida a Alternativa de Coburn:
Teorema 1.2.12. ([15, Proposition 7.24]) Se ϕ ´e uma fun¸c˜ao em L8 n˜ao nula, ent˜ao ao menos um dos operadores Tϕ e Tϕ ´e injetivo.
Corol´ario 1.2.13. ([15, Corollary 7.25]) Se ϕ ´e uma fun¸c˜ao em L8 tal que Tϕ ´e um
operador de Fredholm, ent˜ao Tϕ ´e invert´ıvel se, e s´o se, jpTϕq 0.
O pr´oximo resultado caracteriza operadores de Toeplitz de Fredholm quando o s´ımbolo ϕ est´a em CpTq. Entretanto, precisamos da seguinte defini¸c˜ao:
Defini¸c˜ao 1.2.14. Sejam γ : T Ñ C uma fun¸c˜ao cont´ınua (ou seja, γ ´e uma curva fechada) e λ um ponto que n˜ao pertence a imagem de γ. O ´ındice de λ com respeito a γ (tamb´em chamado de n´umero de enrolamento de γ sobre λ) ´e definido por
Indγpλq 1 2πi » γ dz z λ.
Teorema 1.2.15. ([15, Theorem 7.26]) Se ϕP CpTq, ent˜ao Tϕ ´e um operador de Fredholm
se, e s´o se, ϕ n˜ao se anula em T. Neste caso jpTϕq Indϕp0q.
Corol´ario 1.2.16. ([15, Corollary 7.27]) Se ϕP CpTq, ent˜ao Tϕ ´e invert´ıvel se, e s´o se, ϕ
n˜ao se anula em T e Indϕp0q 0.
A Alternativa de Coburn nos fornece explicitamente o espectro dos operadores de Toeplitz com s´ımbolo cont´ınuo.
Corol´ario 1.2.17. ([15, Corollary 7.28]) Se ϕP CpTq, ent˜ao
σpTϕq Ranpϕq Y tλ P C : Indϕpλq 0u .
Terminamos essa se¸c˜ao com dois resultados que ser˜ao ´uteis para provarmos o Teorema 2.2.7. Antes, lembremos que para ϕpeitq
8 ¸
n8
p
ϕpnqeint P L8 e 0 r 1, a extens˜ao harmˆonicaϕ de ϕ sobre D ´e dada porr
r ϕpreitq 8 ¸ n8 p ϕpnqr|n|eint.
Teorema 1.2.18. ([15, Theorem 6.45]) Se ϕP H8 CpTq, ent˜ao ϕ ´e invert´ıvel se, e s´o se, existem δ, ¡ 0 tais que
|rϕpreitq| ¥ , para todo 1 δ r 1.
Teorema 1.2.19. ([15, Theorem 7.36]) Se ϕ P H8 CpTq, ent˜ao Tϕ ´e um operador de
Fredholm se, e s´o se, existem δ, ¡ 0 tais que |rϕpreitq| ¥ para todo 1 δ r 1. Em
1.3
Operadores sim´etrico complexos sobre espa¸cos de Hilbert
Lembremos que um operador antilinear sobre H ´e uma aplica¸c˜ao T : H Ñ H tal que
Tpf λgq T pfq λT pgq,
para todo λP C e f, g P H.
Defini¸c˜ao 1.3.1. Uma conjuga¸c˜ao C sobre um espa¸co de Hilbert H ´e um operador antili-near C : HÑ H que satisfaz:
(a) C2 I. (C ´e involutiva)
(b) xCf, Cgy xg, fy, para todos f, g P H. (C ´e isom´etrica)
Defini¸c˜ao 1.3.2. Dizemos que um operador T P LpHq ´e sim´etrico complexo se existe uma conjuga¸c˜ao C sobre H tal que CT TC. Nesse caso, diremos que T ´e C-sim´etrico.
Operadores sim´etrico complexos generalizam o conceito de matrizes sim´etricas da ´algebra linear. De fato, dada uma conjuga¸c˜ao C, ´e bem conhecido (veja [19, Lemma 1]) que existe uma base ortonormal penq8n0 para H tal que Cen en, para todo n 0, 1, .
Logo, se T ´e C-sim´etrico ent˜ao
xT en, emy xCem, CT eny xem, TCeny xT em, eny ,
e portanto T tem uma representa¸c˜ao matricial sim´etrica. Na verdade, tamb´em vale a rec´ıproca. Ou seja, se existe uma base ortonormal de H tal que T tem uma representa¸c˜ao matricial sim´etrica, ent˜ao T ´e um operador sim´etrico complexo (veja [19, Proposition 2]).
A seguir, apresentamos alguns dos exemplos mais cl´assicos de operadores sim´etrico complexos.
Exemplo 1.3.3. Seja L2pµq um espa¸co de Lebesgue, onde µ ´e uma medida de Borel positiva no plano com suporte compacto. Afirmamos que o operador de multiplica¸c˜ao Mz sobre
L2pµq ´e sim´etrico complexo com a conjuga¸c˜ao Cfpzq fpzq. De fato, ´e f´acil ver que C ´e uma conjuga¸c˜ao sobre L2pµq e como
CMzfpzq Cpzfpzqq zfpzq Mzfpzq MzCfpzq,
para toda f em L2pµq, temos o desejado.
Exemplo 1.3.4. Todo operador normal ´e sim´etrico complexo. De fato, segue do Teorema espectral para operadores de multiplica¸c˜ao que todo operador normal ´e unitariamente equivalente a um operador de multiplica¸c˜ao sobre L2pµq (veja [43]). Assim, visto que o operador de multiplica¸c˜ao Mz sobre L2pµq ´e sim´etrico complexo e simetria complexa ´e
invariante por equivalˆencia unit´aria (veja Lema 2.1.1), temos que todo operador normal ´e sim´etrico complexo.
Exemplo 1.3.5. O operador de Volterra V fpxq »x
0
fptqdt sobre L2r0, 1s ´e sim´etrico
complexo com a conjuga¸c˜ao Cfptq fp1 tq.
Exemplo 1.3.6. Uma matriz de Toeplitz de ordem finita n define um operador sim´etrico complexo sobre Cn. De fato, basta ver que a aplica¸c˜ao Cnpz1, z2, , znq : pzn, , z2, z1q ´
e uma conjuga¸c˜ao sobre Cn e que CnT TCn, onde T ´e o operador associado a uma
matriz de Toeplitz.
A seguir, apresentamos algumas propriedades b´asicas a respeito de operadores sim´etricos complexos que ser˜ao utilizadas ao longo do nosso trabalho.
Proposi¸c˜ao 1.3.7. ([19, Proposition 1]) Seja T : HÑ H um operador sim´etrico complexo. Ent˜ao:
(i) T ´e injetivo se, e s´o se, RanpT q ´e densa em H. (ii) Se T ´e Fredholm, ent˜ao jpT q 0.
Demonstra¸c˜ao. (i) Primeiro note que, se KerpT q 0 ent˜ao KerpTq 0. De fato, supondo que T ´e C-sim´etrico e que Tf 0 para f P H temos que
CTf 0 ñ T Cf 0 ñ Cf 0 ñ f 0.
Desse modo, segue que rRanpT qsK KerpTq t0u e assim
closrRanpT qs rRanpT qsKK t0uK H,
ou seja T ser injetivo implica RanpT q ser densa em H. Reciprocamente, se closrRanpT qs H, ent˜ao
rKerpTqsK rRanpT qsKK H
e portanto KerpTq t0u. Desse modo, como T ´e sim´etrico complexo, segue que T ´e injetivo.
(ii) Como T ´e um operador de Fredholm, segue que dimKerpT q e dimKerpTq s˜ao finitas. Por outro lado, uma vez que T ´e C-sim´etrico podemos observar que C : KerpT q Ñ KerpTq ´
e um isomorfismo isom´etrico antilinear e portanto dimKerpT q dimKerpTq. Desse modo, temos que jpT q 0.
1.4
Simetria complexa de operadores de Toeplitz sobre H
2Os primeiros trabalhos envolvendo simetria complexa de operadores de Toeplitz sobre espa¸cos de Hardy no disco unit´ario s˜ao devidos a K. Guo e S. Zhu [25] e E. Ko e J. Lee [31]. Na tentativa de obterem uma caracteriza¸c˜ao para operadores de Toeplitz
sim´etricos complexos, Ko e Lee consideraram a fam´ılia de conjuga¸c˜oes Cλ : H2 Ñ H2
dada por
Cλfpzq fpλzq, (1.4.1)
com λ P T e mostraram o seguinte resultado: Teorema 1.4.1. ([31, Theorem 2.4]) Seja ϕpzq
8 ¸
n8
p
ϕpnqzn em L8. Ent˜ao Tϕ ´e Cλ
-sim´etrico se, e s´o se, ϕppnq λnϕppnq, para todo n P Z.
No que segue, escreveremos J para denotar a conjuga¸c˜ao C1. Por motivos ´
obvios ´e comum chamarmos J de conjuga¸c˜ao canˆonica sobre H2.
Observa¸c˜ao 1.4.2. Seja ϕ P L8. Se Tϕ ´e C-sim´etrico, ent˜ao Tαϕ β tamb´em ´e C-sim´etrico
para todos α, β P C. De fato, basta observar que
CTαϕ β CpαTϕ βIq pαTϕ βIqC Tαϕ β C. (1.4.2)
Um fato simples de verificar, por´em muito importante, e que ´e uma consequˆencia do Teorema 1.2.12 ´e a seguinte:
Proposi¸c˜ao 1.4.3. Se ϕP L8 ´e n˜ao constante e Tϕ ´e sim´etrico complexo, ent˜ao ambos Tϕ
e Tϕ s˜ao injetivos.
Um exemplo bem conhecido de operador de Toeplitz que n˜ao ´e sim´etrico complexo ´e o operador shift Tz. Existem v´arias formas de mostrar que Tz n˜ao ´e sim´etrico
complexo. A seguir apresentamos uma delas:
Proposi¸c˜ao 1.4.4. (veja [31, Theorem 2.1] ou [41, Proposition 2.2]) Se ϕ P L8 ´e n˜ao constante e Tϕ ´e sim´etrico complexo, ent˜ao Tϕ n˜ao ´e anal´ıtico nem coanal´ıtico.
Demonstra¸c˜ao. Suponhamos que Tϕ ´e anal´ıtico. Nesse caso, vamos mostrar que Tϕ n˜ao
pode ser sim´etrico complexo. De fato, sejam λ P D e f P H2. Lembrando que fpλq xf, kλy
temos que A Tϕkλ ϕpλqkλ, f E xkλ, Tϕfy ϕpλq xkλ, fy Tϕfpλq ϕpλqfpλq 0,
e portanto Tϕkλ ϕpλqkλ, ou seja, cada kλ ´e um autovetor para Tϕ. Desse modo, Tϕ
n˜ao pode ser sim´etrico complexo. De fato, se ocorrer o contr´ario, Tϕϕpλq t´amb´em ser´a
sim´etrico complexo e portanto, pela proposi¸c˜ao anterior, ambos Tϕϕpλq e Tϕϕpλq ser˜ao
injetivos. Mas isso ´e uma contradi¸c˜ao. Logo Tϕ n˜ao ´e sim´etrico complexo.
De maneira an´aloga, se supormos que Tϕ ´e coanal´ıtico, provaremos que cada kλ
´
Os pr´oximos resultados, devido a S. Noor [41], estabelecem rela¸c˜oes geom´etricas do s´ımbolo ϕ P L8com a simetria complexa do operador Tϕ. Antes, precisamos da seguinte:
Defini¸c˜ao 1.4.5. ([41, p. 458]) Uma curva fechada γ : T Ñ C ´e chamada de curva sem
enrolamento se Indγpzq 0 para todo z P C Ranpγq.
Observe que toda curva fechada cuja imagem ´e um segmento de reta em C ´e um exemplo de curva sem enrolamento. Nesse sentido, Brown e Halmos nos fornecem uma grande fam´ılia de operadores de Toeplitz sim´etricos complexos cujos s´ımbolos s˜ao curvas sem enrolamento:
Proposi¸c˜ao 1.4.6. ([41, Proposition 3.1]) Se ϕP CpTq, ent˜ao Tϕ ´e normal se, e s´o se, a
imagem de ϕ ´e um segmento de reta.
De fato, Noor observou um fato interessante sobre simetria complexa de opera-dores de Toeplitz induzidos por s´ımbolos cont´ınuos:
Teorema 1.4.7. ([41, Theorem 3.2]) Se ϕ P CpTq e Tϕ ´e sim´etrico complexo, ent˜ao ϕ ´e
uma curva sem enrolamento.
O teorema anterior, al´em de nos fornecer uma condi¸c˜ao suficiente para que um operador de Toeplitz com s´ımbolo cont´ınuo seja sim´etrico complexo, relaciona propriedades alg´ebricas e anal´ıticas de um operador de Toeplitz com propriedades geom´etricas de seu s´ımbolo. Em particular, temos outra forma de justificarmos que o operador shift Tz n˜ao ´e
sim´etrico complexo e temos um caso especial para obter o espectro de Tϕ:
Corol´ario 1.4.8. ([41, Corollary 3.3]) Se ϕ ´e uma curva fechada simples, ent˜ao Tϕ n˜ao ´e
sim´etrico complexo.
Corol´ario 1.4.9. ([41, Corollary 3.4]) Se ϕ P CpTq e Tϕ ´e sim´etrico complexo, ent˜ao
2 Simetria complexa dos operadores de
Toe-plitz sobre espa¸cos definidos no disco
Neste cap´ıtulo apresentamos resultados relacionados `a simetria complexa de operadores de Toeplitz sobre o espa¸co de Hardy do disco unit´ario e sobre o espa¸co de Dirichlet.
Na Se¸c˜ao 2.1 mostramos que toda conjuga¸c˜ao C sobre H2 est´a relacionada, por meio de um operador unit´ario, com a conjuga¸c˜ao canˆonica J dada por J fpzq fpzq (Lema 2.1.2). Usamos esse fato para mostrar que um operador de Toeplitz sobre H2 ´e sim´etrico complexo se, e s´o se, ele ´e unitariamente equivalente a um operador J -sim´etrico (Teorema 2.1.3).
Na se¸c˜ao 2.2 apresentamos duas caracteriza¸c˜oes para o conceito de curvas sem enrolamento. Tal conceito foi introduzido por Noor em [41] e ´e uma condi¸c˜ao necess´aria para um operador de Toeplitz ser sim´etrico complexo (Teorema1.4.7). Al´em disso apresentamos uma extens˜ao para o Teorema 1.4.7quando o s´ımbolo ϕ pertence `a ´algebra H8 CpTq (Teorema 2.2.7). Tamb´em apresentamos dois resultados que descrevem o espectro de um operador de Toeplitz Tϕ sobre H2 quando ϕ P L8 n˜ao necessariamente ´e uma fun¸c˜ao
cont´ınua. No primeiro (Teorema 2.2.8), mostramos que se Tϕ ´e sim´etrico complexo, ent˜ao
σpTϕq σepTϕq.
J´a a Proposi¸c˜ao 2.2.9 garante que
σpTϕq essranpϕq Y tλ P C : jpTϕλq 0u
desde que as transla¸c˜oes Tϕλ sejam operadores de Fredholm para todo λR essranpϕq.
Na Se¸c˜ao 2.3 apresentamos um caso de continuidade da fun¸c˜ao espectral
σ : I Ñ K que leva cada operador de Toeplitz Tϕ sobre H2 em seu espectro σpTϕq
(Teorema2.3.2). Mais precisamente, mostramos que, se ϕ ´e um s´ımbolo espectral (Defini¸c˜ao
2.2.10), ent˜ao a fun¸c˜ao σ ´e cont´ınua em Tϕ. Usando o mesmo argumento, conclu´ımos
tamb´em que se ϕ ´e uma curva sem enrolamento, ent˜ao σ ´e cont´ınua em Tϕ.
Na Se¸c˜ao 2.4apresentamos vers˜oes de alguns resultados relacionados `a simetria complexa, espectro e continuidade da fun¸c˜ao espectral para operadores de Toeplitz sobre o espa¸co de Dirichlet.
2.1
Uma caracteriza¸c˜
ao para operador de Toeplitz sim´etrico
com-plexo
Nesta se¸c˜ao mostramos que um operador de Toeplitz Tϕ sobre o espa¸co de
Hardy H2 ´e sim´etrico complexo se, e s´o se, ele ´e unitariamente equivalente a um operador J -sim´etrico (Teorema 2.1.3).
Lembremos que dois operadores A, B P LpHq s˜ao unitariamente equivalentes se existir um operador unit´ario U sobre H tal que A UBU .
Lema 2.1.1. Sejam T e S operadores unitariamente equivalentes sobre um espa¸co de Hilbert H. Se T ´e sim´etrico complexo, ent˜ao S tamb´em ´e sim´etrico complexo.
Demonstra¸c˜ao. De fato, seja U um operador unit´ario tal que T USU e suponha que T ´e C-sim´etrico. Afirmamos que F : UCU ´e uma conjuga¸c˜ao sobre H. De fato, ´e f´acil ver que
Fpf λgq F pfq λF pgq,
para todos f, g P H e λ P C. Agora, considerando B tfnu8n0 uma base ortonormal para
H temos que xF fn, F fmy xUCUfn, U CUfmy xCUf n, CUfmy xUf m, Ufny xfm, fny
e portanto F ´e isom´etrica. Por outro lado, claramente F ´e involutiva pois
F2 pUCUqpUCUq I
e assim F ´e uma conjuga¸c˜ao. Por fim temos que S ´e F -sim´etrico pois
SF SpUCUq pUT qCU UpCTqU UCpUSq F S
Lema 2.1.2. Se C ´e uma conjuga¸c˜ao sobre H2, ent˜ao existe um operador unit´ario U : H2 Ñ H2 tal que U C J U.
Demonstra¸c˜ao. Visto que C ´e uma conjuga¸c˜ao sobre H2, existe uma base ortonormal B1 pfnq8n0 para H2 tal que Cfn fn. Considere B penq8n0 a base canˆonica de H2
dada por enpzq zn e defina o operador U : H2 Ñ H2 dado por
U 8 ¸ n0 anfn ¸8 n0 anen. (2.1.1)
Uma vez que U fn en, para todo n 0, 1, 2, , temos que U ´e unit´ario. Agora, para fpzq 8 ¸ n0 anen P H2, temos que J fpzq 8 ¸ n0 anUpfnq UC 8 ¸ n0 anU1penq UCU1fpzq e portanto U C J U.
Teorema 2.1.3. Se ϕP L8, ent˜ao Tϕ ´e sim´etrico complexo se, e s´o se, Tϕ ´e unitariamente
equivalente a um operador J -sim´etrico.
Demonstra¸c˜ao. Suponha que Tϕ ´e sim´etrico complexo, digamos com uma conjuga¸c˜ao C
sobre H2. Assim, pelo Lema 2.1.2, temos que U C J U, onde U ´e o operador unit´ario definido em (2.1.1). Desse modo, o operador S UTϕU ´e unitariamente equivalente a Tϕ
e, pela demonstra¸c˜ao do Lema 2.1.1, temos que S ´e J -sim´etrico. A outra dire¸c˜ao segue diretamente do Lema 2.1.1 e temos o desejado.
Na verdade ´e poss´ıvel obter um resultado an´alogo ao Teorema 2.1.3 para operadores sim´etricos complexo sobre qualquer espa¸co de Hilbert separ´avel complexo H. Com efeito, esse fato ´e poss´ıvel pois a conjuga¸c˜ao canˆonica J fpzq fpzq sobre H2 tem uma an´aloga para qualquer espa¸co de Hilbert H. Ou seja, se B pfnq8n0 ´e uma base
ortonormal para H, ent˜ao JH : HÑ H dada por
JH 8 ¸ n0 λnfn ¸8 n0 λnfn ´
e uma conjuga¸c˜ao sobre H e vale:
Observa¸c˜ao 2.1.4. Se T P LpHq, ent˜ao T ´e sim´etrico complexo se, e s´o se, T ´e unitaria-mente equivalente a um operador JH-sim´etrico.
2.2
Curvas sem enrolamento e o espectro de T
ϕCome¸camos esta se¸c˜ao com duas alternativas para o conceito de curvas sem enrolamento. Na primeira, usamos uma t´ecnica semelhante `a usada na demonstra¸c˜ao do Teorema1.4.7.
Proposi¸c˜ao 2.2.1. Se ϕP L8 ´e cont´ınua, ent˜ao ϕ ´e uma curva sem enrolamento se, e s´o se, ambos Tϕλ e Tϕλ s˜ao injetivos para todo λR Ranpϕq.
Demonstra¸c˜ao. Sendo ϕ uma curva sem enrolamento, temos pela defini¸c˜ao e pelo Corol´ario
e portanto Tϕλ ´e injetivo.
Reciprocamente, se λR Ranpϕq ent˜ao ϕ λ ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua que n˜ao se anula em T. Assim, do Teorema 1.2.15 segue que Tϕλ ´e um operador de Fredholm e
jpTϕλq Indϕλp0q 1 2πi » γ1 dz z 1 2πi » γ2 dz z λ Indϕpλq,
onde γ1 Ranpϕ λq e γ2 Ranpϕq. Agora, sendo Tϕλ e Tϕλ injetivos, temos que
jpTϕλq dimKer pTϕλq dimKer Tϕλ
0, e assim Indϕpλq 0, ou seja ϕ ´e uma curva sem enrolamento.
A segunda caracteriza¸c˜ao para curvas sem enrolamento ´e:
Proposi¸c˜ao 2.2.2. Se ϕP L8 ´e cont´ınua, ent˜ao ϕ ´e uma curva sem enrolamento se, e s´o se, σpTϕq Ranpϕq.
Demonstra¸c˜ao. Uma das dire¸c˜oes j´a ´e conhecida. Suponha ent˜ao que σpTϕq Ranpϕq e
considere λ R Ranpϕq. Assim Tϕλ ´e um operador invert´ıvel e tal que Indϕpλq jpTϕλq.
Desse modo Indϕpλq 0, e temos o desejado.
Corol´ario 2.2.3. Se ϕP L8 ´e uma curva sem enrolamento, ent˜ao σpTϕq σepTϕq.
Demonstra¸c˜ao. Como ϕ ´e cont´ınua, segue do Teorema1.2.15que σepTϕq Ranpϕq. Desse
modo, a proposi¸c˜ao anterior garante o desejado.
A Proposi¸c˜ao 1.3.7 nos diz que todo operador sim´etrico complexo que ´e de Fredholm possui ´ındice nulo. Entretanto, existem operadores de Fredholm com ´ındice nulo que n˜ao s˜ao sim´etrico complexos:
Exemplo 2.2.4. Se ϕpzq z, ent˜ao Tϕ n˜ao ´e sim´etrico complexo e portanto nenhuma de
suas transla¸c˜oes ´e sim´etrica complexa (Observa¸c˜ao 1.4.2). Por´em, para todo λP C com |λ| ¡ 1, temos que Tϕλ ´e um operador de Fredholm e ´e tal que jpTϕλq Indϕpλq 0.
Naturalmente existem operadores sim´etricos complexo que n˜ao s˜ao de Fredholm: Exemplo 2.2.5. Se ϕpzq z z, ent˜ao Tϕ ´e um operador J -sim´etrico sobre H2, por´em
Agora apresentamos uma extens˜ao para o Teorema 1.4.7. Antes precisamos introduzir uma defini¸c˜ao. Para ϕ P L8, seja ϕ a extens˜r ao hamˆonica de ϕ sobre D. Considerando ent˜ao ϕr : T Ñ C dada por ϕrpeitq rϕpreitq, vemos que ϕr P CpTq e ent˜ao
podemos definir:
Defini¸c˜ao 2.2.6. Seja ϕ P H8 CpTq. Dizemos que ϕ ´e um s´ımbolo sem enrolamento se existe δ ¡ 0 tal que
@ 1 δ r 1 ñ Indϕrpλq 0, @λ R Ranpϕrq.
Teorema 2.2.7. Seja ϕP H8 CpTq n˜ao anal´ıtica. Se Tϕ ´e sim´etrico complexo, ent˜ao ϕ ´e
um s´ımbolo sem enrolamento.
Demonstra¸c˜ao. Seja λR Ranpϕrq, com 0 r 1. Visto que ϕr λ P CpTq H8 CpTq
´
e invert´ıvel, existem δ, ¡ 0 (Teorema1.2.18) tais que
pϕr λq reit ¥ , 1 δ r 1.
Desse modo, pelo Teorema 1.2.19 temos que Tϕλ ´e um operador de Fredholm e
Indϕrpλq Indϕrλp0q Indϕλp0q jpTϕλq.
Logo, como Tϕλ ´e sim´etrico complexo, segue que jpTϕλq 0, donde Indϕrpλq 0.
Observe que no teorema anterior exigimos que ϕ n˜ao seja anal´ıtica. Essa hip´otese ´
e essencial uma vez que, pela Proposi¸c˜ao 1.4.4, se ϕ P H8, ent˜ao Tϕ n˜ao ´e sim´etrico
complexo.
Quando ϕ P L8 ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua, o espectro e o espectro essencial de Tϕ
s˜ao bem conhecidos:
σpTϕq Ranpϕq Y tλ P C : Indϕpλq 0u e σepTϕq Ranpϕq.
Nosso objetivo agora ´e determinar o espectro de Tϕ para casos em que ϕ n˜ao
necessariamente ´e cont´ınua.
Proposi¸c˜ao 2.2.8. Seja ϕP L8. Se Tϕ ´e sim´etrico complexo, ent˜ao σpTϕq σepTϕq.
Demonstra¸c˜ao. Observe que ´e suficiente mostrar a inclus˜ao σpTϕq σepTϕq, uma vez que
a outra inclus˜ao ´e v´alida para todo operador limitado sobre um espa¸co de Hilbert. Seja ent˜ao λR σepTϕq. Assim, Tϕλ ´e um operador de Fredholm e como ´e sim´etrico complexo,
segue da Proposi¸c˜ao1.3.7(ii) que jpTϕλq 0. Desse modo, temos pelo Corol´ario 1.2.13
Observe que, se ϕ for cont´ınua, a proposi¸c˜ao anterior garante que σpTϕq
Ranpϕq. Esse fato mais espec´ıfico (j´a conhecido pelo Corol´ario2.2.3) nos faz crer que, de fato, a Proposi¸c˜ao2.2.8´e uma boa generaliza¸c˜ao para descrevermos o espectro de Tϕ.
O pr´oximo resultado descreve o espectro de Tϕ quando este n˜ao ´e
necessaria-mente sim´etrico complexo:
Proposi¸c˜ao 2.2.9. Seja ϕ P L8. Se Tϕλ ´e um operador de Fredholm para todo λ R
essranpϕq, ent˜ao
σpTϕq essranpϕq Y tλ P C : jpTϕλq 0u .
Demonstra¸c˜ao. Pelo teorema da inclus˜ao espectral (Corol´ario1.2.8) temos que essranpϕq
σpTϕq. Agora, se λ R essranpϕq, temos por hip´otese que Tϕλ ´e um operador de Fredholm.
Assim, se jpTϕλq 0, segue do Corol´ario1.2.13 que Tϕλ n˜ao ´e invert´ıvel e assim temos
essranpϕq Y tλ P C : jpTϕλq 0u σpTϕq.
Seja agora λP σpTϕq. Se λ R essranpϕq, visto que Tϕλ ´e um operador de Fredholm,
nova-mente pelo Corol´ario 1.2.13, temos que jpTϕλq 0 e portanto λ P tλ P C : jpTϕλq 0u.
Por outro lado, se λ R tλ P C : jpTϕλq 0u, uma vez que λ P σpTϕq, temos pelo Corol´ario
1.2.13que Tϕλ n˜ao ´e um operador de Fredholm. Desse modo, por hip´otese, λP essranpϕq
e ent˜ao
σpTϕq essranpϕq Y tλ P C : jpTϕλq 0u ,
como desejado.
Apesar de parecer que estamos exigindo muito na proposi¸c˜ao anterior, tais exigˆencias s˜ao de certa forma bem razo´aveis. De fato, se ϕ for cont´ınua, uma vez que
essranpϕq Ranpϕq, teremos que λ R essranpϕq se, e s´o se, Tϕλ ´e Fredholm. Desse
modo a proposi¸c˜ao anterior ´e uma boa generaliza¸c˜ao para o Corol´ario 1.2.17.
A proposi¸c˜ao anterior nos fornece uma esp´ecie de generalia¸c˜ao para os Teoremas
1.4.7e 2.2.7. Para tanto, precisamos do seguinte conceito:
Defini¸c˜ao 2.2.10. Diremos que uma fun¸c˜ao ϕP L8 ´e um s´ımbolo espectral se σpTϕq
essranpϕq.
Corol´ario 2.2.11. Sob as condi¸c˜oes da Proposi¸c˜ao2.2.9, se Tϕ ´e sim´etrico complexo, ent˜ao
ϕ ´e um s´ımbolo espectral.
Demonstra¸c˜ao. ´E bem sabido (Observa¸c˜ao 1.4.2) que se Tϕ ´e sim´etrico complexo, ent˜ao
Tϕλ ´e tamb´em sim´etrico complexo para todo λP C. Desse modo, se λ P C ´e tal que Tϕλ
´
e um operador de Fredholm, ent˜ao jpTϕλq 0 (Proposi¸c˜ao 1.3.7(ii)). Nessas condi¸c˜oes
temos que o conjunto tλ P C : jpTϕλq 0u ´e vazio e assim segue da Proposi¸c˜ao 2.2.9 que
Observe que se ϕ ´e um s´ımbolo espectral cont´ınuo, ent˜ao ϕ ´e uma curva sem enrolamento. De fato, se ϕ P CpTq ´e um s´ımbolo espectral temos que
σpTϕq essranpϕq Ranpϕq
e portanto pela Proposi¸c˜ao2.2.2 temos que ϕ ´e uma curva sem enrolamento.
2.3
Continuidade da fun¸c˜
ao espectral restrita ao espa¸co I
Considere K o conjunto de todos subconjuntos compactos de C equipado com a m´etrica de Hausdorff dH dada por
dHpX, Y q max " sup xPX dpx, Y q, sup yPY dpy, Xq * ,
para todo X, Y P K. Ent˜ao, podemos considerar a fun¸c˜ao espectral σ : LpHq Ñ K que leva cada operador T P LpHq em seu espectro σpT q.
A continuidade da fun¸c˜ao σ restrita a subespa¸cos de LpHq j´a foi objeto de estudo de alguns trabalhos, por exemplo [17,28,29]. ´E bem conhecido que σ ´e semicont´ınua superior ([40, Theorem 1]) e que em sub´algebras n˜ao comutativas de LpHq, σ tem pontos de descontinuidades ([40, Corollary, p. 169]). Al´em disso, devido a um argumento de Newburgh em ([26, Solution 104]), sabemos que σ ´e cont´ınua quando restrita ao conjunto dos operadores normais.
Considerando I o subespa¸co de LpH2q consistindo de todos os operadores de Toeplitz, em ([17, Problem A]) os autores propuseram a seguinte quest˜ao:
Quest˜ao 2.3.1. A restri¸c˜ao de σ ao espa¸co I ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua?
Usando parte do argumento empregado na demonstra¸c˜ao do ([28, Theorem 10]) obtemos uma resposta parcial para a quest˜ao anterior, a saber:
Teorema 2.3.2. Seja ϕP L8. Se ϕ ´e um s´ımbolo espectral, ent˜ao σ : I Ñ K ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua em Tϕ.
Demonstra¸c˜ao. Por hip´otese, temos que σpTϕq essranpϕq. Seja ent˜ao ϕn P L8 tal que
}Tϕn Tϕ} Ñ 0. Inicialmente vamos mostrar que lim inf σpTϕnq σpTϕq.
Se λ P lim inf σpTϕnq, existe uma sequˆencia pλnq8n0 tal que λn P σpTϕnq para cada n e
λnÑ λ. Desse modo pTϕn λnq Ñ pTϕ λq. Agora, visto que o conjunto dos elementos invert´ıveis em LpH2q ´e aberto e cada Tϕn λn n˜ao ´e invert´ıvel, segue que Tϕ λ n˜ao ´e invert´ıvel, ou seja λP σpTϕq. Assim temos uma inclus˜ao.
Por outro lado, suponha que λR lim inf σpTϕnq. Assim existe uma subsequˆencia pϕnkq 8
n0
de pϕnq8n0 tal que para algum ¡ 0 tem-se
dist λ, σpTϕnkq
¡ , para todo k.
Agora, visto que essranpϕnkq σpTϕnkq segue que dist pλ, essranpϕnkqq ¡ , para todo k. Por fim, uma vez que }Tϕn Tϕ} Ñ 0 implica em }ϕn ϕ}8 Ñ 0, temos que
distpλ, essranpϕqq ¥
e portanto λR σpTϕq. Assim, garantimos que σpTϕq lim inf σpTϕnq e portanto
lim inf σpTϕnq σpTϕq.
Por outro lado, como lim inf σpTϕnq lim sup σpTϕnq, para cada n P N, supondo que existe
λ P lim sup σpTϕnq com λ R σpTϕq obteremos uma subsequˆencia pλnjq 8 j0 de pλnq8n0 tal que Tϕnj λnj
Ñ pTϕ λq, onde cada Tϕnj λnj ´e n˜ao invert´ıvel e Tϕ λ ´e invert´ıvel. Contradi¸c˜ao. Desse modo, temos que lim sup σpTϕnq lim inf σpTϕnq e assim temos que
lim inf σpTϕnq lim sup σpTϕnq σpTϕq, donde lim σpTϕnq σpTϕq.
Corol´ario 2.3.3. Seja ϕ P L8 tal que Tϕλ ´e um operador de Fredholm para todo λ R
essranpϕq. Se Tϕ ´e sim´etrico complexo, ent˜ao σ ´e cont´ınua em Tϕ.
Demonstra¸c˜ao. Segue diretamente do Corol´ario 2.2.11 e do teorema anterior.
Observe que o fato de σpTϕq essranpϕq foi essencial na demonstra¸c˜ao do
Teorema 2.3.2. Desse modo, podemos obter a continuidade de σ em outras situa¸c˜oes em que σpTϕq essranpϕq.
Proposi¸c˜ao 2.3.4. Seja ϕ P L8 cont´ınua. Se ϕ ´e uma curva sem enrolamento, ent˜ao
σ : I Ñ K ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua em Tϕ.
Demonstra¸c˜ao. A demonstra¸c˜ao ´e an´aloga `a do Teorema2.3.2 uma vez que, se ϕ ´e uma curva sem enrolamento, ent˜ao σpTϕq Ranpϕq essranpϕq (veja Proposi¸c˜ao 2.2.2).
Em particular, como Tϕ sim´etrico complexo implica em ϕ ser uma curva sem
enrolamento (Teorema 1.4.7), temos o seguinte:
Corol´ario 2.3.5. Seja ϕP L8 cont´ınua. Se Tϕ ´e sim´etrico complexo, ent˜ao σ : I Ñ K ´e
2.4
Operadores de Toeplitz sobre o espa¸co de Dirichlet
Nesta se¸c˜ao apresentamos vers˜oes de alguns resultados obtidos anteriormente, agora para operadores de Toeplitz sobre o espa¸co de Dirichlet.
Seja dA a medida de Lebesgue normalizada sobre D tal que a medida do disco ´e 1. O espa¸co de Sobolev L1,2 ´e o completamento do espa¸co de todas fun¸c˜oes diferenci´aveis
f sobre D tais que
}f}2 » D f dA 2 » D BfBz 2 BfBz2 dA 8.
O espa¸co L1,2 ´e um espa¸co de Hilbert com o produto interno xf, gy » D f dA » D gdA B Bf Bz, Bg Bz F L2 B Bf Bz, Bg Bz F L2 ,
onde o s´ımbolo x, yL2 significa o produto interno no espa¸co de Hilbert L2pD, dAq.
O espa¸co de Dirichlet D ´e o subespa¸co fechado de todas as fun¸c˜oes anal´ıticas
f P L1,2 tais que fp0q 0. Sendo P a proje¸c˜ao ortogonal de L1,2 sobre D, temos
P fpzq xf, kzy » D Bf Bw Bkz BwdApwq, onde kzpwq 8 ¸ l1 wlzl l , com z, w P D.
Seja L1,18 o conjunto das fun¸c˜oes limitadas sobre D com a derivada parcial limitada com respeito a z no sentido de distribui¸c˜ao. Para ϕP L1,18, o operador de Toeplitz sobre D ´e definido por
Tϕfpzq » D Bpϕfq Bw Bkz BwdApwq. Agora, considerando o espa¸co
L1,8 " f P L1,2 : f,Bf Bz, Bf Bz P L8pDq * , temos que L1,8 H8 c a : cP L1,8, aP H8( ´ e um subconjunto de L1,18.
O primeiro resultado dessa se¸c˜ao ´e uma vers˜ao do Teorema1.4.7para operadores de Toeplitz sobre o espa¸co de Dirichlet quando o s´ımbolo ϕ pertence ao conjunto:
C1pDq " f : f,Bf Bz, Bf Bz P CpDq * .
Proposi¸c˜ao 2.4.1. Seja ϕP C1pDq. Se Tϕ ´e um operador sim´etrico complexo sobre D, ent˜ao
Demonstra¸c˜ao. A demonstra¸c˜ao ´e an´aloga `a do Teorema 2.2.7 e segue dos Teoremas A.0.1
e A.0.2.
Agora apresentamos outra vers˜ao do Teorema1.4.7 e do Teorema2.2.7 para operadores de Toeplitz sobre D cujo s´ımbolo pertence a L1,8 H8.
Proposi¸c˜ao 2.4.2. Seja ϕP L1,8 H8 uma fun¸c˜ao cont´ınua. Se Tϕ ´e sim´etrico complexo,
ent˜ao
Indγpλq 0, @λ R ϕpDzrDq
com r pr´oximo de 1 e γ ϕpreiθq.
Demonstra¸c˜ao. Sejam r em p0, 1q pr´oximo de 1 e λ R ϕpDzrDq. Defina φ P L1,8 H8 por φpzq ϕpzq λ.
Afirmamos que Tφ ´e um operador de Fredholm. De fato, se isso n˜ao ocorrer
existir´a (veja Proposi¸c˜aoA.0.4) uma sequˆencia pznq8n0 em DzrD tal que
|ϕpznq λ| ¤ 1{n
e portanto ϕpznq Ñ λ. Assim ir´a existir uma subsequˆencia pznkq 8
k0 de pznq8n0 tal que
znk Ñ z
P DzrD. Mas como ϕ ´e cont´ınua, segue que ϕpz
nkq Ñ ϕpz
q e portanto ϕpzq λ. Isso ´e uma contradi¸c˜ao, uma vez que λ R ϕpDzrDq.
Agora, uma vez que Tφ Tϕλ ´e sim´etrico complexo, segue que jpTϕλq 0 e
portanto, pela Proposi¸c˜aoA.0.5, temos que
0 jpTϕλq Indϕpreiθqλp0q Indϕpreiθqpλq, como desejado.
Agora sejam MpDq o conjunto de fun¸c˜oes anal´ıticas ψ sobre D tais que ψf P D para todo f P D e P o conjunto de todos polinˆomios anal´ıticos conjugados. Desse modo, temos pela Proposi¸c˜aoA.0.6 e pelo Teorema A.0.7 o seguinte:
Proposi¸c˜ao 2.4.3. Seja hP P MpDq. Se Th ´e sim´etrico complexo, ent˜ao
Indγpλq 0, @λ R hpDzrDq
com r pr´oximo de 1 e γ hpreiθq.
O Teorema 2.2.8 afirma que, para operadores de Toeplitz sim´etrico complexos
Tϕ sobre o espa¸co de Hardy, vale σpTϕq σepTϕq. Uma vez que o Teorema A.0.10 nos
fornece uma vers˜ao da Alternativa de Coburn para operadores de Toeplitz sobre o espa¸co de Dirichlet, temos os seguintes:
Proposi¸c˜ao 2.4.4. Seja ϕP L1,8 H8. Se Tϕ ´e sim´etrico complexo, ent˜ao
σpTϕq σepTϕq.
Demonstra¸c˜ao. Esse fato ´e uma consequˆencia do Corol´ario A.0.11 e a demonstra¸c˜ao ´e an´aloga `a do Teorema2.2.8.
Corol´ario 2.4.5. Se ϕP L1,8 H8 ´e tal que Tϕ ´e sim´etrico complexo, ent˜ao
σpTϕq
£ 0 r 1
clospϕpDzrDqq .
Demonstra¸c˜ao. Segue diretamente da proposi¸c˜ao anterior e da Proposi¸c˜aoA.0.3.
A Proposi¸c˜ao 2.4.4´e tamb´em v´alida para operadores de Toeplitz com s´ımbolo em P MpDq:
Proposi¸c˜ao 2.4.6. Seja hP P MpDq. Se Th ´e sim´etrico complexo, ent˜ao
σpThq σepThq.
Demonstra¸c˜ao. A demonstra¸c˜ao ´e an´aloga `a demonstra¸c˜ao do Teorema 2.2.8. Neste caso usamos a Proposi¸c˜aoA.0.8.
Mais uma consequˆencia da Proposi¸c˜ao A.0.8´e a seguinte: Proposi¸c˜ao 2.4.7. Se hP P MpDq, ent˜ao σpThq wpThq.
Terminamos essa se¸c˜ao apresentando outra classe de s´ımbolos para operadores de Toeplitz de modo que a fun¸c˜ao espectro seja cont´ınua. De fato, considerando o conjunto
T ! Tϕ : ϕP L1,8 H8 ) , temos:
Proposi¸c˜ao 2.4.8. Sejam Tϕn, Tϕ P T para todo n P N. Se }Tϕn Tϕ} Ñ 0, ent˜ao lim
nÑ8σpTϕnq σpTϕq.
Demonstra¸c˜ao. Primeiro, veja que rTϕn, Tϕs ´e um operador compacto para todo n P N (veja Proposi¸c˜aoA.0.9). Desse modo, temos pelo Teorema A.0.13 que
lim
nÑ8wpTϕnq wpTϕq,
e portanto lim
3 Simetria complexa dos operadores de
Toe-plitz sobre o espa¸co de Hardy do polidisco
Neste Cap´ıtulo apresentamos resultados de simetria complexa e de propriedades espectrais para operadores de Toeplitz sobre H2pDnq.
Na Se¸c˜ao 3.1 apresentamos caracteriza¸c˜oes para que o produto tensorial de dois operadores sobre H seja sim´etrico complexo (Teorema 3.1.5) e seja um operador de Fredholm (Proposi¸c˜ao3.1.6).
Na Se¸c˜ao3.2 generalizamos o Teorema 1.4.1 (Teorema3.2.4) para operadores de Toeplitz sobre H2pDnq. Na ocasi˜ao, adicionamos uma condi¸c˜ao (necess´aria e suficiente) para que o operador Tϕ seja Cλ-sim´etrico.
Na Se¸c˜ao3.3 apresentamos resultados sobre os espectros de Tϕ sobre H2pD2q
envolvendo ou n˜ao simetria complexa. Dentre esses, destacamos as Proposi¸c˜oes 3.3.7 e
3.3.14.
3.1
Simetria complexa do produto tensorial de operadores
limita-dos
Nesta se¸c˜ao vamos apresentar uma caracteriza¸c˜ao para que o produto tensorial de dois operadores limitados sobre espa¸cos de Hilbert seja sim´etrico complexo.
Proposi¸c˜ao 3.1.1. Sejam T1 : H1 Ñ H1 e T2 : H2 Ñ H2 operadores sim´etrico complexos com conjuga¸c˜oes C1 e C2 sobre H1 e H2, respectivamente. Ent˜ao T1 b T2 : H1 b H2 Ñ H1b H2 ´e tamb´em sim´etrico complexo com a conjuga¸c˜ao C1b C2.
Demonstra¸c˜ao. Primeiro note que C1b C2 ´e uma conjuga¸c˜ao sobre H1b H2. De fato, para
f1 P H1 e f2 P H2 temos que C1b C2 ´e antilinear: C1b C2ppf1b g1q ` λpf2 b g2qq C1 b C2ppf1 λf2q b pg1 g2qq pC1pf1 λf2qq b pC2pg1 g2qq C1f1 λC1f2 b pC2g1 C2g2q pC1f1b C2g1q ` λC1f2b C2g2 pC1b C2pf1b g1qq ` λ pC1b C2q pf2b g2q.
C1b C2 ´e involutiva: pC1b C2q 2pf 1b f2q pC1b C2q pC1f1b C2f2q C2 1f1b C22f2 f1b f2. C1b C2 ´e uma isometria: xC1b C2pf1b f2q, C1b C2pg1b g2qy xC1f1b C2f2, C1g1b C2g2y xC1f1, C1g1y xC2f2, C2g2y xg1, f1y xg2, f2y xg1b g2, f1b f2y . Por fim, ´e claro que T1b T2 ´e C1b C2-sim´etrico uma vez que:
pT1b T2q pC1b C2q f1b f2 T1C1f1 b T2C2f2 C1T1f1b C2T2f2
pC1b C2q pT1 b T2qf1b f2.
Um fato bem simples de verificar por´em ´util para o pr´oximo resultado ´e o: Lema 3.1.2. Se g P H2 ´e n˜ao nulo e f P H1 s˜ao tais que f b g 0, ent˜ao f 0. Demonstra¸c˜ao. De fato, basta observar que }f}}g} }f b g} 0, onde }g} 0.
Proposi¸c˜ao 3.1.3. Sejam T1 P LpH1q e T2 P LpH2q tais que T1 b T2 ´e C1 b C2-sim´etrico. Se existe g0 P H2 tal que 0 C2T2g0 T2C2g0, ent˜ao T1 ´e C1-sim´etrico.
Demonstra¸c˜ao. De fato, dados f P H1 e gP H2 temos que
pC1b C2qpT1 b T2qf b g pT1b T2qpC1b C2qf b g ou seja
C1T1fb C2T2g T1C1fb T2C2g. Desse modo, temos
pC1T1f T1C1fq b 2C2T2g0 0, @f P H1.
Assim, como 2C2T2g0 0 temos pelo lema anterior que C1T1f T1C1f para todo f P H1 e portanto T1 ´e C1-sim´etrico.
