Come¸camos essa se¸c˜ao com outra consequˆencia da Observa¸c˜ao4.1.2:
Observa¸c˜ao 4.2.1. Se uP L8, ent˜ao tu n˜ao pode ser simultaneamente sim´etrico complexo
e universal sobre H2. De fato, se tu for sim´etrico complexo teremos pela Proposi¸c˜ao 1.4.3
que dimKerptuq dimKerptuq 0. Por outro lado, sabemos pelo Teorema 4.1.1 e pela
Observa¸c˜ao 4.1.2 que o n´ucleo de um operador universal ´e sempre infinito.
Outra rela¸c˜ao entre simetria complexa e universalidade para operadores de Toeplitz ocorre quando seu s´ımbolo ´e uma fun¸c˜ao interior generalizada. De fato, se
ϕP H8pDnq ´e uma fun¸c˜ao interior generalizada n˜ao invert´ıvel, temos pelo Teorema 4.1.19
ou pelo Teorema 4.1.25 que Tϕ ´e um operador universal. Entretanto, quanto `a simetria complexa temos:
Proposi¸c˜ao 4.2.2. Seja ϕP H8pDnq uma fun¸c˜ao interior generalizada. Se Tϕ´e um operador universal para H2pDnq, ent˜ao Tϕ n˜ao ´e um operador sim´etrico complexo sobre H2pDnq.
Demonstra¸c˜ao. De fato, como Tϕ ´e um operador universal temos pelo Teorema 4.1.19que
Tϕ n˜ao ´e invert´ıvel. Na verdade, pela prova do Teorema 4.1.19 temos que Tϕ ´e injetivo
e tem imagem fechada. Assim, como Tϕ n˜ao ´e sobrejetivo segue que sua imagem n˜ao ´e
densa. Esses fatos impedem Tϕ de ser sim´etrico complexo (veja Proposi¸c˜ao 1.3.7(i)).
Em particular, temos os seguintes:
Corol´ario 4.2.3. Se ϕP H8pDnq ´e uma fun¸c˜ao interior n˜ao constante, ent˜ao Tϕ n˜ao ´e um
operador sim´etrico complexo sobre H2pDnq.
Demonstra¸c˜ao. Segue diretamente do Corol´ario 4.1.20 e da Proposi¸c˜ao 4.2.2.
Corol´ario 4.2.4. Se p p pz1, , znq ´e um polinˆomio com zeros em Dn mas sem zeros
em Tn, ent˜ao Tp n˜ao ´e um operador sim´etrico complexo sobre H2pDnq.
Demonstra¸c˜ao. Segue do Corol´ario 4.1.21e da Proposi¸c˜ao 4.2.2.
Na verdade, a Proposi¸c˜ao 1.3.7(i) nos oferece um fato relativamente mais geral do que a Proposi¸c˜ao 4.2.2, a saber:
Proposi¸c˜ao 4.2.5. Se ϕP L8pTnq ´e tal que Tϕ satisfaz as condi¸c˜oes de Caradus, ent˜ao Tϕ
n˜ao ´e um operador sim´etrico complexo.
Demonstra¸c˜ao. O resultado ´e imediato uma vez que, por hip´otese, KerpTϕq ´e n˜ao trivial
por´em a imagem de Tϕ ´e densa (pois Tϕ ´e sobrejetora). Desse modo temos pela Proposi¸c˜ao
1.3.7(i) que Tϕ n˜ao pode ser sim´etrico complexo.
Corol´ario 4.2.6. Seja ϕ P L8pTnq tal que Tϕ ´e sim´etrico complexo. Se Tϕ ´e sobrejetivo,
ent˜ao Tϕ n˜ao ´e um operador universal.
Demonstra¸c˜ao. Segue da Proposi¸c˜ao4.2.5 e da Observa¸c˜ao4.1.2.
Outro fato interessante envolvendo universalidade e simetria complexa para operadores de Toelpitz sobre H2 ´e:
Observa¸c˜ao 4.2.7. Se uP H8, ent˜ao tu nem ´e universal e nem sim´etrico complexo.
Proposi¸c˜ao 4.2.8. Se ϕP H8pDnq ´e n˜ao constante, ent˜ao Tϕ n˜ao ´e sim´etrico complexo.
Demonstra¸c˜ao. Suponha por absurdo que Tϕ ´e sim´etrico complexo. Assim, temos que
Tϕλ ´e sim´etrico complexo para todo λ P C (1.4.2). Em particular, para α P Dn fixo,
temos que Tϕϕpαq ´e sim´etrico complexo. Mas visto que Kα ´e um autovetor para Tϕ
(veja demonstra¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 1.4.4), temos que Tϕϕpαq n˜ao ´e injetivo, enquanto que
Tϕϕpαq ´e injetivo. Isso contraria a Proposi¸c˜ao 1.3.7 e portanto Tϕ n˜ao pode ser sim´etrico
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ANEXO A – Operadores de Toeplitz sobre o
espa¸co de Dirichlet
Nesta se¸c˜ao apresentamos todos os resultados que foram utilizados na Se¸c˜ao
2.4.
Teorema A.0.1. ([5, Theorem 8]) Se I IpC1q ´e a C-´algebra gerada por Tϕ : ϕP C1pDq
( , ent˜ao o ideal comutador CpC1q de I ´e igual a KpDq e I
K CpTq. Consequentemente, a seguinte sequˆencia curta
0Ñ K Ñ I Ñ CpTq Ñ 0 ´
e exata.
Teorema A.0.2. ([5, Theorem 13]) Suponha que ϕP C1pDq ´e tal que Tϕ ´e um operador de
Fredholm sobre D. Nessas condi¸c˜oes,
jpTϕq Indϕ|Tp0q.
Proposi¸c˜ao A.0.3. ([35, Proposition 2.4]) Se ϕP L1,8 H8pDq, ent˜ao
σepTϕq
£ 0 r 1
clospϕpDzrDqq .
Proposi¸c˜ao A.0.4. ([35, Corollary 2.5(c)]) Se ϕP L1,8 H8pDq, ent˜ao Tϕ ´e um operador
de Fredholm se, e s´o se, existem rP p0, 1q e δ ¡ 0 tais que |ϕpzq| ¡ δ para todo z P DzrD. Proposi¸c˜ao A.0.5. ([35, Proposition 2.6]) Se ϕP L1,8 H8pDq ´e tal que Tϕ´e um operador
de Fredholm, ent˜ao
jpTϕq Indϕpreiθqp0q,
com r pr´oximo de 1.
Proposi¸c˜ao A.0.6. ([35, Corollary 2.10(c)]) Seja hP P MpDq. Ent˜ao Th ´e um operador
de Fredholm se, e s´o se, existem r P p0, 1q e δ ¡ 0 tais que |hpzq| ¡ δ para todo z P DzrD. Teorema A.0.7. ([35, Theorem 2.11]) Se h P P MpDq ´e tal que Th ´e um operador de
Fredholm, ent˜ao
jpThq Indhpreiθqp0q,
com r pr´oximo de 1.
Proposi¸c˜ao A.0.8. ([35, Lemma 2.14]) Seja h P P MpDq. Se Th ´e um operador de
Proposi¸c˜ao A.0.9. ([35, Proposition 3.1]) Se ϕ, ψ P L1,8 H8pDq, ent˜ao TϕTψ Tϕψ e
TϕTψ Tψϕ s˜ao operadores compactos.
Teorema A.0.10. ([34, Theorem 5]) Seja ϕP L1,8 tal que Tϕ ´e n˜ao nulo. Ent˜ao ao menos
um dos operadores Tϕ e Tϕ ´e injetivo.
Corol´ario A.0.11. ([34, Corollary 6]) Seja ϕP L1,8 tal que Tϕ ´e um operador de Fredholm.
Ent˜ao Tϕ ´e invert´ıvel sobre D se, e s´o se, jpTϕq 0.
Corol´ario A.0.12. ([34, Corollary 7]) Se ϕP L1,8, ent˜ao σpTϕq wpTϕq.
Teorema A.0.13. ([17, Theorem 2.4]) Sejam Tn, T P LpHq, com n P N, tais que }TnT } Ñ
0. Suponha que f ´e uma fun¸c˜ao anal´ıtica cujo dom´ınio ´e um conjunto aberto contendo
σpT q. Se rTn, Ts P KpHq para cada n, ent˜ao
lim wpfpTnqq wpfpT qq.
Teorema A.0.14. ([32, Theorem 2.10]) Se ϕP CpT2q, ent˜ao Tϕ ´e um operador de Fredholm
ANEXO B – Produto tensorial sobre espa¸cos
de Hilbert
Defini¸c˜ao B.0.1. Um produto tensorial de H1 com H2 ´e um espa¸co de Hilbert P, munido de uma aplica¸c˜ao bilinear Ψ : H1 H2 Ñ P tal que:
1. o conjunto tΨpf, gq : f P H1, g P H2u ´e um subconjunto total de P. 2. xΨpf1, g1q, Ψpf2, g2qy xf1, f2y xg1, g2y , @f1, f2 P H1, g1, g2 P H2.
Se pP, Ψq ´e um produto tensorial de H1 com H2, ´e comum escrevermos f b g em vez de Ψpf, gq e H1b H2 em vez de P. Observe que na condi¸c˜ao 2., considerando
f1 f2 f e g1 g2 g obtemos
}f b g} }f}}g}, para todos f P H1 e gP H2.
Proposi¸c˜ao B.0.2. Com as devidas nota¸c˜oes para os operadores e seus respectivos espa¸cos de Hilbert, valem: 1. pT1 T2q b S T1b S T2b S pµT q b S µpT b Sq T b pµSq T b pS1 S2q T b S1 T b S1. 2. Ib I I. 3. pT b Sq Tb S.
4. T b S ´e invert´ıvel se, e s´o se, ambos T e S s˜ao invert´ıveis. Em qualquer caso, tem-se pT b Sq1 T1b S1.
ANEXO C – Fatos gerais de an´alise
funcional
Proposi¸c˜ao C.0.1. Seja T P LpHq. Se T ´e sobrejetivo, ent˜ao T ´e injetivo.
Proposi¸c˜ao C.0.2. Seja T P LpHq. Se T ´e injetivo e tem imagem fechada, ent˜ao T ´e sobrejetivo.
Defini¸c˜ao C.0.3. Um operador T sobre H ´e limitado por baixo se existe ¡ 0 tal que
}f} ¤ }T f}, para toda f em H.
Proposi¸c˜ao C.0.4. Seja T um operador sobre H. Ent˜ao T ´e limitado por baixo se, e s´o se,
T ´e injetivo e tem imagem fechada.
Proposi¸c˜ao C.0.5. ([15, Proposition 4.8]) Se T ´e um operador sobre H, ent˜ao T ´e invert´ıvel se, e s´o se, T ´e limitado por baixo e tem imagem densa.