2.4 Análise não-linear de séries temporais
2.4.2 Reconstrução do espaço de fase e teorema de Takens
Séries temporais são sequencias de escalares, que representam medições de processo, em período de amostragem fixado. A análise de séries temporais leva em conta o fato de que os pontos de tomados no tempo podem ter uma estrutura interna (como autocorrelação, tendência ou sazonalidade) que deve ser contabilizada. A análise de séries temporais possui dois objetivos principais como identificar a natureza de um fenômeno e a predição de valores futuros. Portanto, um requisito de identificar o padrão de uma série temporal observada pode ser extrapolado para prever eventos futuros [140].
O espaço de fase avalia de forma completa a caracterização da dinâmica de sistemas, pois relaciona suas variáveis de estado. Contudo, quando um experimento é observado (medido) resulta em séries temporais. Metodologias para reconstrução do espaço de fase, através das séries temporais podem auxiliar na avaliação da dinâmica do sistema investigado.
As características em estudar um sistema pelo seu espaço de estado são:
1. Representar tudo o que o sistema pode ser, portanto, todos estados possíveis, e seus formatos descrevem qualidades ou propriedades do sistema.
2. Evolução temporal através do traçado da sucessão de pontos 3. Visualização das mudanças das variáveis dinâmicas;
4. Que os estados são especificados por vetores;
5. Identificar características invariantes sob a evolução dinâmica
Como um estado pode ser especificado por um vetor, sua dinâmica m-dimensional em tempo discreto é 𝑋𝑛+1= 𝐹(𝑋𝑛), ou em tempo contínuo 𝑑(𝑋(𝑡)) 𝑑𝑡⁄ = 𝑓(𝑡, 𝑋(𝑡)). Uma sequência de pontos, passada nas equações anteriores, resultam em trajetórias do sistema dinâmico, que pode divergir para o infinito ou se estabelecer numa área limitada. A região limitada ou bacia de atração é um conjunto de condições iniciais atraídas para o mesmo comportamento assintótico. Após a evolução do sistema, considerando um tempo suficientemente longo, forma-se um subespaço de fase chamado de atrator, contendo características invariantes [32].
2.4.3.1 Método de reconstrução do espaço de fase
As razões para reconstruir um espaço de fase são:• Para um sistema determinístico, uma vez um estado corrente fixado, os estados em todos os tempos futuros são determinados também.
• Estabelecer um espaço de fase para o sistema de tal forma que a especificação de um ponto, neste espaço, especifique o estado do sistema. Um estado específico do sistema pode ser
Página 58 representado por um ponto no espaço de fase e evolução do tempo do sistema cria uma trajetória no espaço de fase reconstruído.
Para um sistema que pode ser modelado fenomenologicamente, o espaço de fase é conhecido a partir de suas equações de movimento. Já para estudos que envolvem experimentos e ocorrência da resposta caótica, a descrição matemática é muitas vezes desconhecida. Portanto, estudar a dinâmica do sistema significa estudar a dinâmica do espaço de fase. Um espaço de fase reconstruído refere-se a métodos para inferência de informações topológicas e geométricas para reconstrução de seu atrator a partir de observações.
O teorema de imersão (incorporação) de Whitney sugere que um mapa qualquer de uma n-variedade para o espaço Euclidiano de dimensão 2𝑛 + 1 uma imersão, ou seja, a imagem da n-variedade está completamente desdobrada no espaço maior. Com 2𝑛 + 1 independentes sinais medidos de um sistema pode ser considerado como um mapa de conjunto de estados no espaço 2𝑛 + 1, o teorema de Whitney implica que cada estado pode ser identificado unicamente por um vetor de 2𝑛 + 1 medições, reconstruindo assim o espaço de fase [141]. A desvantagem da aplicação deste teorema é a necessidade de 2𝑛 + 1 sinais genéricos para reconstrução do espaço de fase.
2.4.3.2 Teorema de Takens
A contribuição do teorema de imersão de Takens foi demonstrar que as propriedades do espaço de fase podem ser reconstruídas através da medição de um único sinal, ao invés 2n+1 sinais. Comparações entre aplicações do teorema de Whitney e Takens mostraram que sinais de coordenada de atraso seriam suficientes para incorporar uma variedade de dimensão n [71].
A ideia de usar coordenadas de atraso de tempo para representar um estado do sistema é resgatada da teoria das equações diferenciais ordinárias, em que os teoremas de existência afirmam que há solução única para um vetor de estados, [𝑦(𝑡), 𝑦̇(𝑡), 𝑦̈(𝑡), … ]. O teorema desenvolvido por Takens e aperfeiçoado por Sauer [142] demonstrou que o uso de medidas atuais e passadas de uma variável permite a captura de boa parte das informações do sistema. O método envolve a criação de um sistema de coordenadas alternativo a partir de medidas passadas. Em outras palavras, um eixo coordenado pode representar a medida hoje 𝑋(𝑡) e outro eixo a medida minutos antes 𝑋(𝑡 − 𝜏), e assim por diante caso envolva mais eixos. O teorema mostrou que o estado completo de um sistema caótico pode, pelo menos em teoria, estar embutido (imerso ou incorporado) em uma série temporal de uma única variável [143]. Numa reconstrução, a partir de séries temporais e coordenadas de atraso de tempo, a estrutura topológica é preservada.
Embora a teoria sugira atrasos arbitrários de coordenadas de atraso para reconstruir o atrator, a eficiência com uma quantidade limitada de dados é aumentada por boas escolhas no atraso de tempo 𝜏, conforme a Figura 22. Critérios para escolha de tempo de atraso apropriado tem rodeado os métodos de medida de auto correlação e informação mútua. O estudo de atraso para busca de coordenadas de atraso que reconstrua o atrator com a mesma topologia é apresentado na Figura 22. O item (a) da Figura 22, destacado, apresenta o atrator baseado em modelo, enquanto o restante da sequência, apresenta topologias do atrator reconstruído para diferentes configurações de atraso de tempo 𝜏. Conforme apresentado em (d), da Figura 22, o atraso 𝜏 = 7, apresentou a topologia mais semelhante ao atrator original, a menos de ligeira redução da faixa operacional da ordenada (-30 a 30 para -20 a 20). Os espaços de estado reconstruídos (b), (c), (e) e (f), da Figura 22, representam topologias anômalas em relação ao atrator original.
Página 59 Figura 22 - Estudo de atraso para coordenadas de atraso de tempo. Adaptado de [144].
Portanto, se 𝜏 for pequeno comparado com as escalas de tempo internas do sistema, os elementos sucessivos dos vetores de atraso são fortemente correlacionados. Se 𝜏 é muito grande, os elementos sucessivos tornam-se quase independentes, e os pontos preenchem uma grande nuvem, onde as estruturas determinísticas são confinadas às escalas muito pequenas [32]. As estatísticas não-lineares dependem do comportamento de escalas do sistema e podem ser influenciadas pela escolha inadequada dos atrasos, durante a metodologia de reconstrução dos atratores a partir de séries temporais.
Muitos critérios para escolha do atraso, como o da autocorrelação, são baseados em estatísticas lineares, não levando em conta a dinâmica não-linear. Conforme sugerido por Fraser e Swinney [145], o uso do critério para escolha do atraso no primeiro mínimo da evolução da informação mútua. A informação mútua advém da Teoria da Informação, pode ser calculada através da Equação 30 e relaciona a quantidade de informação que uma variável contém sobre outra, ou ainda, a quantidade de incerteza, reduzida em uma certa variável, a partir do quanto se conhece da outra.
𝐼𝜖(𝜏) = ∑ 𝑝𝑖𝑗(𝜏) 𝑖,𝑗
(𝑙𝑛 (𝑝𝑖𝑗(𝜏))) − 2 ∑ 𝑝𝑖 𝑖
(𝑙𝑛(𝑝𝑖)) Equação 30
Supondo reconstruções a partir de uma variável, a informação mútua é o que se sabe de 𝑋(𝑡 + 𝜏) quando se conhece 𝑋(𝑡). Na Equação 30, é possível construir um histograma de resolução 𝜖 para distribuição de probabilidade dos dados. O 𝑝𝑖 representa a probabilidade que o sinal assume o valor dentro da i- ésima caixa do histograma, 𝑝𝑖𝑗
(
𝜏)
é a probabilidade de 𝑋(𝑡) está na caixa i e 𝑋(𝑡 + 𝜏) está na caixa j. Então, é possível traçar o valor de distribuição de probabilidade em função dos atrasos [32]. O primeiro mínimo de𝐼(
𝜏)
marca o atraso de tempo em que 𝑋(𝑡 + 𝜏) acrescenta informação máxima obtida sobre 𝑋(𝑡), ou seja, a redundância é a menor. Uma desvantagem, é que não razões teóricas para garantir que sempre haverá um mínimo. O critério do primeiro mínimos é válido apenas para imersões bidimensionais, como realizadas neste trabalho. Outros critérios para decisão do atraso de tempo, também podem ser alcançados através da correlação integral, como usado pelo software RRCHAOS [72].Página 60 As resoluções devem ser selecionadas de modo a ler um valor de 𝜏 estável. Para pequenos valores de 𝜏, 𝐼𝜖