Representação gráfica da equação de projecto

Por facilidade de representação gráfica, considere-se a equação de projecto com apenas duas variáveis. Os RFs, sendo independentes, serão representados num conjunto de eixos ortogonais. Considere-se o caso particular de uma matriz de projecto com coeficientes constantes.

1 11 1

2 22 2

RF a _. PP

RF = a PP (2.7)

Se o projecto for independente, apenas a11 e a22 serão significativos, pelo que para um

valor constante de cada PP, obtém-se rectas paralelas aos eixos das abcissas ou ordenadas (Graf. a), Figura 2.3). Assim, para o valor nulo de cada PP, a recta coincidirá com os eixos coordenados. Na figura, os eixos dos RFs e dos PPs são apresentados em separado para facilidade de leitura. A adaptação do sistema do estado A para um estado C pode ser feita autonomamente pelos caminhos A-B-C, ou A-D-C.

Se a matriz de projecto for triangular superior, as linhas no espaço dos RFs a PP2

constante serão horizontais e as linhas a PP1 constante, rectas oblíquas de inclinação

a22/a12.

Figura 2.3. Representação gráfica do processo de mapeamento

1 11 12 1

2 22 2

RF a a _. PP

RF = a PP (2.8)

Assim, o eixo PP1 será horizontal e o eixo PP2, oblíquo. O ajuste dos PPs indicado pela

A passagem do estado A ao estado C deve ser feita pelo caminho A-B-C. Se RF1 for

alcançado primeiro, passando o sistema ao estado D, o ajuste de PP2 com vista a alcançar

RF2, leva o sistema ao estado C’, diferente de C.

Finalmente, se o sistema for acoplado, as linhas a PP1 e a PP2 constante serão oblíquas

e para alcançar-se o estado C serão necessárias múltiplas iterações do sistema. Os eixos PP1 e PP2 serão oblíquos no espaço dos RFs, sendo ortogonais entre si para o caso

particular da matriz de projecto ser um operador de rotação.

Um sistema será independente se os eixos dos PPs no espaço RF forem ortogonais entre si e ortogonais aos eixos dos RFs. A equação de projecto poderá ser reescrita na seguinte forma: 1 11 12 1 11 12 1 2 2 21 22 2 21 22 RF a a _. PP a _.PP a _.PP RF = a a PP = a + a (2.9)

Ou seja, para cada PP constante, os RFs alcançados dependem dos vectores coluna VC1= 11 21 a a e VC2= 12 22 a

a . Aplicando o produto interno facilmente se obtém os ângulos entre eles. Uma medida da independência é a reangularidade, Rg, dada pelo produtório dos senos dos ângulos entre os eixos dos PPs. Para uma matriz de dimensão n, Rg será expressa por: i j 2 i 1,n 1 i j j i 1,n VC | VC Rg 1 ( ) || VC || . || VC || = − = + =

_∏

Para que um projecto seja independente, é condição necessária que R seja a unidade. Se, para além do mais, os eixos PP forem ortogonais aos eixos RF, o projecto será independente. A semangularidade, Sg, é uma medida da ortogonalidade referida, dada pelo produtório dos senos dos ângulos entre os eixos PP e os RF. Sendo ej um qualquer versor

do espaço RF, Sg é obtido de:

i j 2 i 1,n i j 1,n VC | e Sg 1 ( ) || VC || = = =

_∏

2.5.3 Tolerâncias

A matriz de projecto tem importância decisiva na tolerância admissível para os PPs. Por facilidade de representação gráfica, considere-se novamente um projecto com dois RF e dois PPs, com coeficientes constantes na matriz de projecto. Esta equação pode ser entendida como uma mudança entre espaços, representados pelo domínio físico e funcional. Num projecto independente, as variações nos PPs e ∆PPs influenciarão variações nos RFs e ∆RFs, de acordo com a expressão:

1 11 1 2 22 2 RF a _. PP RF a PP ∆ ∆ = ∆ ∆ (2.12)

As variações referidas podem ser encaradas como alterações desejadas no estado do sistema, dentro da sua gama de funcionamento, ou como variações inusitadas nos PPs.

Na equação (2.12) foram considerados significativos os elementos da diagonal principal, que reflectem as variações num RFi devido à variação ocorrida num PPi. Muito embora os

elementos fora da diagonal fossem considerados nulos, é possível que alguns destes elementos sejam significativos, representando efeitos menores de diversos PPj nos RFi,

para (j i). Estes efeitos podem ser desprezados se |aii|>>|aij|(j i), ou seja, desde que a

diagonal principal seja dominante. A tolerância de cada RFi dependerá da variação imposta

pela tolerância do respectivo PPi e pelas tolerâncias dos restantes PPj. Seja a primeira

designada por RFi0 e a segunda por RFi de modo que, ∆RFi= RFi0+ RFi, então o

projecto é considerado independente, desde que (Teorema 8) [Cap.4, 2.1].

n ij j i j 1 j i a PP RF = ≠ ∆ ≤ δ (2.13)

Nesta situação, é válida a equação (2.12).

Num projecto independente, a tolerância de cada RF e RFi é dada por aii. PPi, ou a

tolerância de cada PPi é amplificada pelo factor aii. Assim, para uma determinada tolerância

RFi, o valor de PPi será tanto menor quanto maior for aii. Havendo vantagens na escolha

de PP com tolerâncias elevadas, se existirem duas possibilidades de PPs que possam cumprir um desejado RF, deve ser escolhido aquele cujo elemento aii na matriz de projecto

tiver menor módulo. Esta é a dificuldade de um projecto independente: a diagonal deve ser dominante e, ter ao mesmo tempo valores aii pequenos.

Na Figura 2.4, Graf.a) representa-se, para um projecto independente, as tolerâncias dos PPs e dos RFs centradas nas respectivas origens de eixos ortogonais.

Já num projecto desacoplável, a relação entre tolerâncias é dada por:

1 11 1 2 21 22 2 RF a _. PP RF a a PP ∆ ∆ = ∆ ∆ (2.14)

Ou seja, para os mesmos valores de tolerâncias dos RF indicados para um projecto independente, a tolerância de PP2 deve ser

inferior, dado que RF2=a21. PP1+a22. PP2

(Graf.b)).

Neste caso, verifica-se que, para a mesma tolerância de PP1, a região de

variação incondicional de PP2 é mais

limitada. Dependendo da matriz de projecto, esta região pode ser nula, caso em que as tolerâncias dos PPs ainda não escolhidos dependerão das escolhas dos PPs anteriores já efectuadas. Ou, dito de outro modo, a probabilidade de os RF serem mantidos nas tolerâncias de projecto é menor num projecto desacoplável do que num projecto independente [Apêndice 3C, 2.2]. Esta probabilidade será geralmente ainda menor num projecto acoplado.

Figura 2.4. Tolerâncias de PP e RF

Se se escolherem certos PPs com tolerâncias dadas, as tolerâncias resultantes para os RFs terão de ser maiores num projecto acoplado do que num projecto independente ou desacoplável, conforme se verifica pela equação:

1 11 21 1 2 21 22 2 RF a a _. PP RF a a PP ∆ ∆ = ∆ ∆ (2.15)

A variação no espaço RF e PP é ilustrada na Figura 2.4, Graf. c), na qual o espaço de variação incondicional dos PPs é mais reduzido que nos casos anteriores.

possível definir limites independentes de aceitação dos PPs, que garantam sempre que os equipamentos produzidos cumprem sempre os RFs para que foram projectados.

Do exposto, demonstra-se que a existência de dependências nas tolerâncias dos PPs tem grande importância na probabilidade de alcançar os RFs. Neste sentido, o primeiro axioma da AP relaciona-se com o seu segundo axioma.