Resultado Principal. Enunciado e Demonstra¸c˜ ao

Come¸camos com um resultado t´ecnico mas relevante sobre os valores singulares de matrizes antissim´etricas.

Teorema 10.34 . Seja A ∈ Mat (R, m) uma matriz antissim´etrica, e sejam (α1, . . . , αr), onde 1 ≤ r ≤ m, e αk ∈[0, ∞)para todo k, seus valores singulares distintos. Ent˜ao, cada valor singular n˜ao nulo possui degenerescˆencia par. No caso de m ser par, a degenerescˆencia do valor singular nulo (se o houver) ´e tamb´em par. No caso de m ser

´ımpar, a degenerescˆencia do valor singular nulo ´e ´ımpar. 2

Prova. Seja A ∈Mat (R, m) uma matriz antissim´etrica real. A matrizA^TA, ´e n˜ao negativa, autoadjunta e real. Os chamados valores singulares deAs˜ao os autovalores da matriz√

A^TA, os quais s˜ao, naturalmente, n˜ao negativos. Vamos denotar por os valores singularesdistintosdeA por (α1, . . . , αr), onde 1≤r≤m, eαk ∈[0, ∞) para todok. Vamos denotar porǫk ∈Na multiplicidade do valor singularαk. Naturalmente

Xr k=1

ǫk =m.

Convencionamos que osq^′ primeiros sejam n˜ao nulos e os demais, se os houver, s˜ao nulos: αk >0 para 1≤k≤q^′ e αk= 0 parak > q^′.

Vamos denotar por (β1, . . . , βm) a lista de valores singulares de A, incluindo degenerescˆencia. Ou seja, cada αk, com 1≤k≤r, comparece nessa lista repetido ǫk-vezes.

Convencionamos tamb´em que os q primeiros elementos da lista (β1, . . . , βm) sejam n˜ao nulos e os demais, se os houver, s˜ao nulos: βk >0 para 1≤k≤q masβk= 0 parak > q. Est´a claro queq=

q^′

X

k=1

ǫk.

Vamos denotar poru1, . . . , umautovetores normalizados deA^TAcorrespondentes `a lista (β1, . . . , βm). Escolhemos esses autovetores compondo uma base ortonormal (o que ´e sempre poss´ıvel porA^TA ser autoadjunta). Assim,

A^TAuj = β_j²uj, j = 1, . . . , m .

Eles podem ser escolhidos reais, poisA^TA´e real e autoadjunta. Pela conven¸c˜ao osqprimeiros correspondem a autovalores n˜ao nulos de A^TA.

Definimos agora novosqvetores por

vj := 1 βj

Auj, j = 1, . . . , q .

Como escolhemos osuj’s reais, os vetoresvj s˜ao tamb´em reais, j´a queA´e uma matriz real eβj ´e real.

Temos queA^TAuj=β_j²uj,j = 1, . . . , q, e, com a defini¸c˜ao acima, A^Tvj = 1

βj

A^TAuj = βjuj , j = 1, . . . , q . (10.161) A rela¸c˜aoA^Tvj =βjuj implica

AA^Tvj = βjAuj = β²_jvj, j = 1, . . . , q . (10.162) Assim, temos

vj = 1 βj

Auj e uj = 1 βj

A^Tvj

antissimetria

= −1

βj

Avj , j = 1, . . . , q . (10.163) A primeira ´e uma defini¸c˜ao e a segunda foi obtida em (10.161).

Os vetoresvj,j = 1, . . . , q, s˜ao tamb´em ortonormais:

hvi, vji^C = 1

βiβjhAui, Auji^C = 1

βiβjhui, A^TAuji^C = βj

βihui, uji^C = βj

βi

δi,j = δi,j, (10.164) i, j∈ {1, . . . , q}.

Para os vetores uj comj = q+ 1, . . . , m, que s˜ao autovetores deA^TAcom autovalor nulo (se os houver), temos kAujk^2C = hAuj, AujiC = huj, A^TAujiC = 0. Analogamente, para os vetores vj com j = q+ 1, . . . , m, que s˜ao autovetores deAA^T com autovalor nulo (se os houver), temoskA^Tvjk^2C=hA^Tvj, A^TvjiC=hvj, AA^TvjiC = 0. Como A=−A^T, conclu´ımos que

Auj = A^Tuj = Avj = A^Tvj para todosj = q+ 1, . . . , m . (10.165) A rela¸c˜ao (10.162) nos ensinou quevj, comj = 1, . . . , q, s˜ao autovetores deAA^T com autovalores n˜ao nulos. Como AA^T ´e autoadjunto, o complemento ortogonal do subespa¸co gerado porv1, . . . , vq ´e o n´ucleo deAA^T. Assim, podemos completar esses vetoresv1, . . . , vq com um conjunto adicional de vetores ortonormaisvq+1, . . . , vmque s˜ao autovetores deAA^T com autovalores nulos.

As bases ortonormais {u1, . . . , um} e {v1, . . . , vm} s˜ao denominadas bases singulares `a esquerda e `a direita, respectivamente.

E importante observar aqui que as rela¸c˜´ oes (10.163) implicamhvk, uki^C= 0 para todok ∈ {1, . . . , q}. De fato, hvk, ukiC = −1

βkhvk, AvkiC = − 1

βkhA^Tvk, vkiC = −huj, vkiC = −hvk, ukiC, (10.166) o que estabelece que hvk, ukiC = 0 para todok ∈ {1, . . . , q}, como desejado. Acima, usamos queuj evk s˜ao vetores reais e, portanto,huk, vkiC=hvk, ukiC=hvk, ukiC.

Um outro ponto importante a se observar ´e que, devido `a antissimetria deA, as matrizesA^TA eAA^T s˜ao iguais, pois ambas valem −A². Disso segue automaticamente que, caso βj 6= βk, para algum par j, k ∈ {1, . . . , q}, ent˜ao hvj, ukiC = 0, pois nesse caso ambos os vetores vj e uk seriam autovetores da mesma matriz autoadjunta −A² com autovalores distintos. De fato,

β²_jhvj, ukiC = D

−A² vj, uk

E

C = D

vj, −A² uk

E

C

= β_k²hvj, uki^C ∴ β_j²−β²_k

hvj, uki^C = 0 =⇒ hvj, uki^C = 0. (10.167)

Por´em, mesmo no caso em que βj0 = βk0 para algum par j0, k0 ∈ {1, . . . , q}, podemos escolher os vetores hvj, ukiC= 0,

Como hvk, ukiC= 0 para todo k∈ {1, . . . , q}, vemos que cada autovalor deA^TA=AA^T ´e ao menos duplamente degenerado, poisukevk s˜ao autovetores com o mesmo autovalorβk e s˜ao linearmente independentes, poishvk, ukiC= 0.

Afirmamos que a degenerescˆencia de cada autovalor ´e sempre par. Para provar isso ´e conveniente fazermos uma escolha espec´ıfica dos vetoresu1, . . . , umque comp˜oem uma base de autovetores ortonormais deA^TA=AA^T.

Vamos supor que um dado autovalor n˜ao nulo βp deA^TA=AA^T tenha uma degenerescˆencia maior que dois e que up e vp sejam dois correspondentes autovetores. Ent˜ao, como ´e bem sabido, podemos escolher um vetor, que listamos como up+1, tamb´em autovetor deA^TA= AA^T com autovalor βp e de sorte queup+1 seja ortogonal a up e a vp e de norma 1. Afirmamos que o correspondente vetorvp+1:= _β¹

p+1Aup+1 = _β¹

pAup+1 ´e igualmente ortogonal aup, avp e a up+1. A ortogonalidade entrevp+1evp j´a foi estabelecida em (10.164), enquanto que a ortogonalidade entrevp+1 eup+1

foi provada em (10.166). Para provar quevp+1 eup s˜ao ortogonais, observemos que hvp+1, upiC = −1

βphvp+1, AvpiC = −1

βphA^Tvp+1, vpiC

βp=βp+1

= −hup+1, vpiC = 0, (10.168) pois up+1 foi escolhido ortogonal a vp e a up. Assim, vemos que up, vp, up+1 e vp+1 s˜ao mutuamente ortogonais, e, portanto, linearmente independentes, al´em de serem todos autovalores de A^TA=AA^T com o mesmo autovalor³⁶.

Esse proceder pode ser estendido a degenerescˆencias maiores, indicando que a cada autovalor deA^TA=AA^T existem autovetoresup1, . . . , uph evp1, . . . , vph para algumh∈N, todos mutuamente ortogonais e normalizados a 1.

Conclu´ımos disso que os vetores u1, . . . , uq todos s˜ao ortogonais entre si e ortogonais aos vetoresv1, . . . , vq, que tamb´em s˜ao ortogonais entre si (todos tˆem norma 1). Segue disso tamb´em que 2q≤m.

A degenerescˆencia do autovalor nulo ´e exatamentem−2q. Esse valor ´e sempre par semfor par e sempre ´ımpar se mfor ´ımpar. No caso demser par e m= 2q, n˜ao ocorre o autovalor nulo, o que n˜ao pode se dar casomseja ´ımpar.

• Lista canˆonica de valores singulares de uma matriz antissim´etrica

Vamos agora introduzir a para n´os relevante no¸c˜ao delista canˆonica de valores singularesde uma matriz antissim´etrica.

Consideremos primeiramente o caso de matrizes antissim´etricas de ordem par.

SejaA∈Mat (R, m) uma matriz antissim´etrica de ordem parme sejam (α1, . . . , αr), para algumr∈ {1, . . . , m}, os valores singularesdistintosdeA. Pelo Teorema 10.34, p´agina 555, cadaαk tem degenerescˆencia par (inclusive o valor singular nulo, se ocorrer, pois 2n´e par). Vamos escrever comoǫk = 2δk a degenerescˆencia do valor singular αk, sendo δk∈N. Tem-se, portanto, quer≤m/2, pois

Xr k=1

2δk =m e cadaδk ´e maior ou igual a 1.

Consideremos a lista (σ1, . . . , σm/2) constru´ıda repetindo-se cada valor singular distintoαk um n´umeroδk de vezes (a metade de sua degenerescˆencia). Com isso a lista dos valores singulares deA´e da forma

(σ1, . . . , σm) = (σ1, . . . , σm/2, σ1, . . . , σm/2),

sendo que cada cada valor singular distintoαk comparece 2δk vezes, sua devida multiplicidade. Note-se que alguns σk’s podem ser nulos.

A lista (σ1, . . . , σm/2) ser´a denominada aqui alista canˆonica dos valores singularesdeA.

Exemplo 10.3 Se α1 e α2 s˜ao os valores singulares distintos de uma matriz antissim´etrica A, de ordem m= 6, com degene-rescˆencias 2δ1= 2 e 2δ2 = 4, respectivamente, ent˜ao a lista canˆonica dos valores singulares deA´e (σ1, σ3, σ3) = (α1, α2, α2) e a lista dos seis valores singulares deA, repetindo degenerescˆencias, ´e (σ1, σ3, σ3, σ4, σ5, σ6) = (α1, α2, α2, α1, α2, α2). ◊ Consideremos agora o caso de matrizes antissim´etricas de ordem ´ımpar. Seja A ∈ Mat (R, m) uma matriz antis-sim´etrica de ordem ´ımparm, e sejam (α1, . . . , αr), para algumr∈ {1, . . . , m}, os valores singularesdistintosdeA.

Pelo Teorema 10.34, p´agina 555, cadaαk n˜ao nulo tem degenerescˆencia par, mas o autovalor nulo tem degenerescˆencia

´ımpar. Sejam−2qa degenerescˆencia do autovalor nulo.

36Decorre de (10.162) quev_p+1tem o mesmo autovalor deu_p+1

Consideremos a lista (σ1, . . . , σ(m−1)/2) constru´ıda repetindo-se cada valor singular n˜ao nulo distintoαkum n´umero δk de vezes (a metade de sua degenerescˆencia) e o autovalor nulo um n´umero (m−1)/2−qvezes. Com isso, a lista dos valores singulares deA´e da forma

(σ1, . . . , σm) = (σ1, . . . , σ(m−1)/2, σ1, . . . , σ(m−1)/2, 0),

sendo que cada cada valor singular n˜ao nulo distintoαk comparece 2δkvezes e o autovalor nulom−2qvezes, suas devidas multiplicidades.

Tamb´em nesse caso a lista (σ1, . . . , σ(m−1)/2) ´e denominada lista canˆonica dos valores singulares deA.

E importante notas que tanto no caso par quanto no ´ımpar a lista (σ´ 1, . . . , σm) difere na lista (β1, . . . , βm) apenas por uma permuta¸c˜ao. Ambas contˆem os autovalores n˜ao nulos degenerados um n´umero par de vezes, os demais sendo os autovalores nulos.

Por uma quest˜ao de simplicidade notacional, vamos denotar os autovetores do operador A^TA =AA^T associados a cadaσk poruk evk.

•Enunciado e demonstra¸c˜ao do teorema de diagonaliza¸c˜ao por blocos de matrizes antissim´etricas reais Passemos agora ao enunciado e `a demonstra¸c˜ao do resultado principal, o qual ´e um corol´ario do Teorema 10.34, p´agina 555.

Seja A ∈ Mat (R, m) uma matriz antissim´etrica, ou seja, tal que A^T = −A. Afirmamos que A pode ser levada por uma transforma¸c˜oes de similaridade produzidas por certas matrizes ortogonais a certas formas em blocos. Mais especificamente, afirmamos:

Teorema 10.35 Seja A ∈ Mat (R, m) uma matriz antissim´etrica e seja m^′ := ⌊m/2⌋. Seja (σ1, . . . , σm^′) a lista canˆonica dos valores singulares de A.

Ent˜ao, existe uma matriz ortogonal P ∈Mat (R, m)tal que

P^TAP =







0_m′ D

−D 0_m′





 caso m seja par, ou











0_m′ D 0

−D 0_m′ ... 0 . . . 0











casom seja ´ımpar, (10.169)

onde D ´e em ambos os casos a matriz diagonal m^′×m^′

D =









 σ1

. ..

σm^′









 ,

e onde0_m′ ´e a matrizm^′×m^′identicamente nula, sendo queσj s˜ao os valores singulares deA, ou seja, s˜ao os autovalores de √

A^TA (alguns dos quais podem ser nulos).

Alternativamente, existe matriz ortogonal Qtal que

Q^TAQ =





















A1

. ..

. ..

A_m′

0m−2m′



















 ,

onde cada Ak, k= 1, . . . , m^′, ´e uma matriz antissim´etrica2×2: Ak = _−σ⁰_k^σ₀^k

, onde novamenteσk s˜ao os valores singulares de A (isto ´e, os autovalores de √

A^TA) e 0_m−2m′ ´e a matriz (m−2m^′)×(m−2m^′)) identicamente nula.

Todos os demais elementos de matriz fora dos blocos s˜ao nulos. 2

Prova. Seja q ≤ m^′ o n´umero de elementos n˜ao nulos na lista canˆonica (σ1, . . . , σm^′). Recordando que 2q ≤ m, definamosm^′=⌊m/2⌋. ´E claro que q≤m^′.

Vamos considerar os dois conjunto (u1, . . . , um) e (v1, . . . , vm) de autovetores que introduzimos na prova do Teorema 10.34, p´agina 555, mas reordenados de forma que seus autovalores sejam osσk’s. Mais especificamente,

A^TAuj = σjuj, j= 1, . . . , q , A^TAvj = σjvj, j= 1, . . . , q , e os demais tendo autovalor zero.

A ideia ´e considerarmos bases ortonormais constitu´ıdas pelos 2qvetoresu1, . . . , uq, v1 , . . . , vq e mais, digamos, os m−2qvetoresuq+1, . . . , um, que s˜ao autovetores de autovalor nulo deA^TA=AA^T e s˜ao ortogonais aos 2qanteriormente listados. Como visto na prova do Teorema 10.34, p´agina 555,

Consideremos uma nova base ortonormal f := f1, . . . , fm

≡

u1, . . . , um^′, v1, . . . , vm^′, um^′+1, . . . , um

,

ou seja, com

fj = ujδ1, ..., m^′(j) +vj−m^′+1δm^′+1, ...,2m^′(j) +ujδ2m^′+1, ..., m(j), j= 1, . . . , m onde,

δa1, ..., al(j) :=









1, sej∈ {a1, . . . , al}, 0, de outra forma.

A quest˜ao agora ´e saber como ser˜ao os elementos de matriz de A essa base. Para isso, observe-se que para j, k ∈ {1, . . . , q},

huj, AukiC = σkhuj, vkiC = 0, huj, AvkiC = −σkhuj, ukiC = −σkδj, k, hvj, AukiC = σkhvj, vkiC = −σkδj, k,

hvj, AvkiC = −σkhvj, ukiC = 0.

(10.170)

Devido a (10.165),huj, AukiC=hvj, AukiC= 0 para todoj sekfor maior queq. Observe-se que os valores singularesσj comj > q (sendo q≤m^′) s˜ao todos nulos, se os houver.

Disso vˆe-se facilmente que na base f a matriz antissim´etricaAassume a forma em blocos



casomseja ´ımpar, (10.172)

ondeD´e em ambos os casos a matriz diagonalm^′×m^′

Observe-se que os elementos diagonaisσj comj > q(sendoq≤m^′) s˜ao todos nulos, se os houver.

A mudan¸ca de base da base canˆonica `a base ortonormal f ´e realizada por uma matriz ortogonal P. portanto, estabelecemos queP^TAP assume a uma das formas de (10.172), dependendo demser par ou ´ımpar.

Se considerarmos alternativamente a base ortonormal g := g1, . . . , gm

≡

u1, v1, u2, v2, . . . , um^′ vm^′, um^′+1, . . . , um

,

´e f´acil ver, seguindo os mesmos passos acima, queAassume a forma de blocos ao longo da diagonal principal



Observe-se que a baseg´e obtida da basef por permuta¸c˜oes. Assim, a passagem de uma a outra ´e tamb´em implementada por uma matriz ortogonal (que implementa as permuta¸c˜oes). Com isso e das observa¸c˜oes anteriores, conclu´ımos que existe uma matriz ortogonalQtal queQ^TAQassume a forma de blocos (10.173). Isso completa a demonstra¸c˜ao.

A Se¸c˜ao 10.8.6, p´agina 561, apresenta um relevante corol´ario do Teorema 10.35, denominado Teorema de Williamson.

No documento Cap´ıtulo 10 T´opicos de ´Algebra Linear. I Conte´udo (páginas 95-101)