Resultados Preparat´ orios

O resultado central que provaremos, e do qual as afirmativas feitas acima seguir˜ao, diz que toda matriz Apode ser levada por uma transforma¸c˜ao do tipoP⁻¹AP a uma matriz da formaD+N, ondeD´e diagonal eN ´e nilpotente (ou seja, tal que N^q = 0 para algumq) e tais que D eN comutam: DN =N D. Essa ´e a afirmativa principal do c´elebre

“Teorema da Decomposi¸c˜ao de Jordan”, que demonstraremos nas p´aginas que seguem.

Esse Teorema da Decomposi¸c˜ao de Jordan generaliza os teoremas sobre diagonalizabilidade de matrizes: para matrizes diagonaliz´aveis tem-se simplesmenteN= 0 para umP conveniente.

Antes de nos dedicarmos `a demonstra¸c˜ao desses fatos precisaremos de alguma prepara¸c˜ao.

10.7.1 Resultados Preparat´ orios

• Somas diretas de subespa¸cos

SejaV um espa¸co vetorial eV1eV2dois de seus subespa¸cos. Dizemos queV ´e asoma diretadeV1eV2se todo vetor

{vm+1, . . . , vn}´e uma base emV2, ent˜ao nessa baseAter´a a forma

A =







A1 0_{m, n−m} 0_{n−m, m} A2





. (10.102)

ondeA1∈Mat (C, m) eA2∈Mat (C, n−m).

E. 10.33 Exerc´ıcio. Justifique a forma (10.102). 6

A representa¸c˜ao (10.102) ´e dita ser umarepresenta¸c˜ao em blocos diagonaisde A, os blocos sendo as submatrizesA1

eA2.

Um fato relevante que decorre imediatamente de (10.102) e da Proposi¸c˜ao 10.3, p´agina 472, e que usaremos frequen-temente adiante, ´e que seA=A1⊕A2 ent˜ao

det(A) = det(A1) det(A2).

• Operadores nilpotentes

Seja V um espa¸co vetorial e N : V → V um operador linear agindo emV. O operadorN ´e dito ser um operador nilpotentese existir um inteiro positivoqtal que N^q = 0. O menorq∈Npara o qualN^q = 0 ´e dito ser o´ındicedeN.

Vamos a alguns exemplos.

E. 10.34 Exerc´ıcio. Verifique que_{0 1 0}

0 0 1 0 0 0

e_{0 1 0}

1 0 1 0−1 0

s˜ao matrizes nilpotentes de ´ındice3. 6

E. 10.35 Exerc´ıcio. Verifique que_{0a c}

0 0b 0 0 0

coma6= 0eb6= 0´e uma matriz nilpotente de ´ındice3. 6

E. 10.36 Exerc´ıcio. Verifique que_{0 0 0}

0 0 1 0 0 0

eN =_{0 1 0}

0 0 0 0 0 0

s˜ao matrizes nilpotentes de ´ındice2. 6

O seguinte fato sobre os autovalores de operadores nilpotentes ser´a usado adiante.

Proposi¸c˜ao 10.31 Se N ∈ Mat (C, n) ´e nilpotente, ent˜ao seus autovalores s˜ao todos nulos. Isso implica que seu polinˆomio caracter´ıstico ´e qN(x) =xⁿ, x∈C. Se o ´ındice de N ´e q ent˜ao o polinˆomio m´ınimo de N ´e mN(x) = x^q,

x∈C. 2

No Corol´ario 10.5, p´agina 531, demonstraremos que uma matriz ´e nilpotente se e somente se seus autovalores forem todos nulos.

Prova da Proposi¸c˜ao 10.31. SeN = 0 o ´ındice ´e q= 1 e tudo ´e trivial. Seja N 6= 0 com ´ındiceq >1. Seja v6= 0 um autovetor de N com autovalor λ: N v =λv. Isso diz que 0 =N^qv =λ^qv. Logo λ^q = 0 e, obviamente, λ= 0. ´E claro ent˜ao que qN(x) =xⁿ. Que o polinˆomio m´ınimo ´emN(x) =x^q segue do fato quemN(x) deve ser um divisor de qn(x) (isso segue do Teorema 10.3 junto com o Teorema de Hamilton-Cayley, Teorema 10.4), p´agina 486). LogomN(x) ´e da formax^k para algumk≤n. Mas o menorktal quemN(N) =N^k= 0 ´e, por defini¸c˜ao, igual aq. Isso completa a prova.

Mais sobre matrizes nilpotentes ser´a estudado na Se¸c˜ao 10.7.3 onde, em particular, discutiremos a chamadaforma canˆonica de matrizes nilpotentes.

• O n´ucleo e a imagem de um operador linear

Seja V um espa¸co vetorial eA:V →V um operador linear agindo em V.

On´ucleodeA´e definido como o conjunto de todos os vetores que s˜ao anulados porA:

N(A) := {x∈V|Ax= 0}.

A imagemdeA´e definida por

R(A) := {x∈V| ∃y∈V tal quex=Ay}.

Afirmamos queN(A) eR(A) s˜ao dois subespa¸cos deV. Note-se primeiramente que 0∈N(A) e 0∈R(A) (por quˆe?).

Fora isso, sexey∈N(A) ent˜ao, para quaisquer escalaresαeβ,

A(αx+βy) = αAx+βAy = 0,

provando que combina¸c˜oes linearesαx+βx^′ tamb´em pertencem aN(A). Analogamente sexex^′∈R(A) ent˜ao existem y ey^′∈V comx=Ay,x^′=Ay^′. Logo

αx+βx^′ = A(αy+βy^′), provando que combina¸c˜oes linearesαx+βytamb´em pertencem aR(A).

Para um operadorA fixado, ek∈N, vamos definir

N_k = N(A^k) e R_k = R(A^k).

Esses subespa¸cosN_k eR_k s˜ao invariantes porA. De fato, sex∈N_k, ent˜aoA^k(Ax) =A(A^kx) =A0 = 0, mostrando que Ax∈N_k. Analogamente, sex∈R_k ent˜aox=A^ky para algum vetory. Logo,Ax=A(A^ky) =A^k(Ay), mostrando que Ax∈R_k.

Afirmamos que

N_k ⊂N_k+1 (10.103)

e que

R_k ⊃R_k+1.

As demonstra¸c˜oes dessas afirmativas s˜ao quase banais. Sex∈N_k ent˜ao A^kx= 0. Isso obviamente implica A^k+1x= 0.

Logox∈N_k+1e, portanto,N_k ⊂N_k+1. Analogamente, sex∈R_k+1ent˜ao existeytal quex=A^k+1y. Logox=A^k(Ay), o que diz quex∈R_k. PortantoR_k+1⊂R_k.

Isso diz que os conjuntos N_k formam uma cadeia crescente de conjuntos:

{0} ⊂ N₁ ⊂ N₂ ⊂ · · · ⊂ N_k ⊂ · · · ⊂ V , (10.104) e osR_k formam uma cadeia decrescente de conjuntos:

V ⊃ R₁ ⊃ R₂ ⊃ · · · ⊃ R_k ⊃ · · · ⊃ {0}. (10.105) Consideremos a cadeia crescente (10.104). Como os conjuntos N_k s˜ao subespa¸cos de V, ´e claro que a cadeia n˜ao pode ser estritamente crescente seV for um espa¸co de dimens˜ao finita, ou seja, deve haver um inteiro positivoptal que N_p=N_p+1. Sejapo menor n´umero inteiro para o qual isso acontece. Afirmamos que para todok≥1 valeN_p=N_p+k. Vamos provar isso. Se x ∈ N_p+k ent˜ao A^p+kx= 0, ou seja, A^p+1(A^k−1x) = 0. Logo, A^k−1x ∈ N_p+1. Dado que N_p=N_p+1, isso diz queA^k−1x∈N_p, ou seja,A^p(A^k−1x) = 0. Isso, por sua vez, afirma quex∈N_p+k−1. O que fizemos ent˜ao foi partir dex∈N_p+ke concluir quex∈N_p+k−1. Se repetirmos a argumenta¸c˜aokvezes concluiremos quex∈N_p. Logo,N_p+k⊂N_p. Por (10.103) tem-se, por´em, queN_p⊂N_p+k e, assim,N_p+k =N_p.

Assim, a cadeia (10.104) tem, no caso de V ter dimens˜ao finita, a forma

{0} ⊂ N₁ ⊂ N₂ ⊂ · · · ⊂ N_p = N_p+1 = · · · =N_p+k = · · · ⊂ V . (10.106) Como dissemos, pser´a daqui por diante o menor inteiro para o qual N_p =N_p+1. O lema e o teorema que seguem tˆem grande importˆancia na demonstra¸c˜ao do Teorema de Decomposi¸c˜ao de Jordan.

Lema 10.7 Com as defini¸c˜oes acima, N_p∩R_p ={0}, ou seja, os subespa¸cos N_p eR_p tˆem em comum apenas o vetor

nulo. 2

Demonstra¸c˜ao. Seja x tal que x ∈ N_p e x ∈ R_p. Isso significa que A^px = 0 e que existe y tal que x = A^py. Logo, A^2py=A^px= 0, ou seja,y∈N_2p. Pela defini¸c˜ao deptem-se queN_2p=N_p. Assim,y∈N_p. LogoA^py= 0. Mas, pela pr´opria defini¸c˜ao dey valia queA^py=x. Logox= 0.

Esse lema tem a seguinte consequˆencia importante.

Teorema 10.19 Com as defini¸c˜oes acima vale queV =N_p⊕R_p, ou seja, cada x∈V pode ser escrito de modo ´unico

Os vetores{A^pvm+1, . . . , A^pvn}s˜ao linearmente independentes. Isso se mostra com o seguinte argumento. Se existirem escalaresβm+1, . . . , βn tais que

´e tamb´em linearmente independente e, portanto, forma uma base em V. Suponhamos que haja constantes escalares α1, . . . , αn tais que esquerdo ´e obviamente um elemento da imagem deA^p, ou seja, deR_p. Contudo, j´a vimos (Lema 10.7) que o ´unico vetor queN_p eR_p tˆem em comum ´e o vetor nulo. Logo,

A rela¸c˜ao (10.108) implica α1 = · · · = αm = 0, pois {u1, . . . , um} ´e uma base em N_p. A rela¸c˜ao (10.109) implica αm+1 = · · · = αn = 0, pois {A^pv1, . . . , A^pvm} ´e uma base em R_p. Assim, todos os αi’s s˜ao nulos, provando que {u1, . . . , um, um+1, . . . , un} = {u1, . . . , um, A^pvm+1, . . . , A^pvn} ´e um conjunto de n vetores linearmente independentes.

Consequentemente, todo x∈V pode ser escrito na forma x =

Xn i=1

αiui = Xm i=1

αiui

| {z }

xn∈Np

+A^p Xn i=m+1

αivi

!

| {z }

xr∈R_p

.

Provar a unicidade dessa decomposi¸c˜ao fica como exerc´ıcio. Isso completa a demonstra¸c˜ao.

Uma das coisas que o teorema que acabamos de demonstrar diz ´e que, dado um operador A, o espa¸co V pode ser decomposto em uma soma direta de dois subespa¸cos, invariantes porA: um onde A´e nilpotente,N_p, e outro ondeA´e invers´ıvel,R_p. A´e nilpotente em N_p poisA^px= 0 para todo elementoxdeN_p. A´e invers´ıvel emR_p pois sex∈R_p´e tal queAx= 0 isso implicax∈N₁ ⊂N_p. Mas xs´o pode pertencer aN_p e aR_p se for nulo. Logo, emR_p, Ax= 0 se e somente se x= 0, provando queA ´e invers´ıvel²⁶. Para referˆencia futura formulemos essa afirmativa na forma de um teorema:

Teorema 10.20 Se A´e um operador linear n˜ao-nulo agindo em um espa¸co vetorial V =Cⁿ ent˜ao ´e poss´ıvel decompor V em dois subespa¸cos invariantes porA,V =S⊕T, de forma queA restrito aS´e nilpotente, enquanto queA restrito a

T´e invers´ıvel. 2

Esse ser´a o teorema b´asico do qual extrairemos a demonstra¸c˜ao do Teorema de Decomposi¸c˜ao de Jordan.