Consideraremos três configurações de feixes diferentes: regime de baixa energia (LE), regime de energia média (ME) e regime de alta energia (HE) [12, 23]. Com esses feixes, vamos verificar as modificações no número de eventos detectados para perturbações LIV muito pequenas da ordem de 10−23. Além disso, realizamos uma análise 𝜒2 para encontrar as restrições para o
parâmetro LIV 𝛾 até 2 𝜎 de Confidence Level (C.L.) para cada valor diferente do 𝛿-CP do cenário de três neutrinos.
∙ Detector de tamanho fiducial de 35 kton de argônio líquido (como usado em [23]); ∙ 3 diferentes fluxos (LE, ME e HE) para DUNE são analisados [23];
∙ Seções de choque de neutrinos foram obtidas de GLOBES [24, 25]; ∙ 5% de incertezas sistemáticas;
∙ Nenhum background foi considerado; ∙ A eficiência é definida como 100%;
∙ Assumimos uma corrida com o cenário FHC (principalmente feixe de neutrinos) de 5 anos de coleta de dados;
∙ Assumimos que o feixe inicial é composto apenas por neutrinos do múon e anti-neutrinos do múon.
∙ O cálculo das probabilidades analíticas assim como a análise estatística foram feitos em um programa utilizando a linguagem Mathematica.
Da seção 4.3, sabemos que a presença de LIV mudará fortemente as probabilidades de neutrinos. O método de detecção em argônio é charge blind, então, para calcular o número de eventos, devemos somar todos os estados relacionados a léptons carregados de neutrinos.
Analisamos o parâmetro LIV nos canais de evento e-like (eventos de elétrons no detector) e
𝜇-like (eventos de múon no detector). Uma combinação desses canais nas análises estatísticas
mostra os melhores resultados para restringir o parâmetro LIV.
A referência [23] apresenta três cenários diferentes para os fluxos de neutrinos e calculamos o número de eventos para todos eles. Isso é muito relevante, já que a dependência de energia no mecanismo de LIV é muito diferente da oscilação usual de neutrinos. O uso de diferentes configurações será usado para tentar melhorar o teste de sensibilidade para o parâmetro LIV.
4.5.1
Eventos tipo Elétron
No painel superior (inferior) da Fig. (4.5) mostramos o número de eventos tipo elétron para a hierarquia normal (invertida). A largura dos binsé de 0,25 GeV e a curva vermelha representa o número de eventos avaliados quando tomamos os parâmetros de oscilação em seus valores de best fit (consulte a Tab. 4.1) para o cenário padrão de três neutrinos, mas com 𝛿 = 1,4 𝜋. Barras de erro também são mostradas. Da esquerda para a direita, diferentes fluxos de neutrinos - menor energia (LE), média energia (ME) e alta energia (HE) - são explorados. As curvas laranja e cinza são avaliadas considerando-se LIV 𝛾 ̸= 0 e os outros parâmetros de oscilação
CAPÍTULO 4. OSCILAÇÕES DE NEUTRINOS NA PRESENÇA DE LIV 53 padrão fixados em seus valores de best fit e 𝛿 = 1.4𝜋. A curva laranja superior (inferior), para
𝛾 positivo, representa o caso de 𝛾 = 10−23 (𝛾 = 10−24). O passo entre as curvas LIV é de 100.5.
As curvas cinzas, para 𝛾 negativo, têm um passo entre as curvas LIV de −10−0.5. Eles começam por 𝛾 = −10−23, que é a curva com menor número de eventos e terminam em 𝛾 = −10−24, que coincide com o cenário padrão de três neutrinos com os parâmetros no best fit.
As curvas que variam CP, em azul, estão relacionadas ao cenário padrão de três neutrinos com os outros parâmetros fixados em seu valor de best fit e 𝛿 variando de 𝛿 = 3𝜋2 (máximo número de eventos em azul) para 𝛿 = 𝜋2 (mínimo número de eventos em azul), enquanto o 𝛿 = 0 está em algum lugar no meio.
Notamos que, à medida que a energia aumenta, o parâmetro LIV domina os argumentos da probabilidade de conversão, como vimos mais claramente na Eq.(4.3.2). Para 𝛾 positivo, a probabilidade aumenta e, como conseqüência, o número de eventos também aumenta. Esse comportamento é mais evidente no feixe HE por 𝛾 = 10−23, onde o cenário LIV prediz cinco vezes mais eventos nas regiões de maior energia (cerca de 7 GeV e maiores) em comparação ao cenário de três neutrinos. Também notamos que, no caso do feixe ME, embora a diferença do cenário LIV e do cenário de três neutrinos seja apenas cerca de duas vezes o número de eventos quando a energia é maior que 4 GeV, o fluxo de ME tem muito mais eventos para o cenário LIV do que o cenário padrão de três neutrinos, além de deslocar o pico de maneira significativa à medida que o valor do parâmetro LIV aumenta. Isso será importante na discussão do espaço de parâmetros para o LIV.
Além disso, notamos que o feixe de LE aumenta a amplitude como o esperado da Eq. (4.3.2), mas como há poucos neutrinos na região de maior energia e a maioria deles está no máximo de probabilidade local para o DUNE (em torno de 2.2 GeV), a posição do pico (fase dos argumentos da probabilidade de conversão) do cenário padrão de três neutrinos não muda muito, pois nessa região de energia os parâmetros do cenário padrão de três neutrinos ainda são mais relevantes que o valor do parâmetro LIV.
Para o valor do parâmetro LIV negativo, podemos ver um comportamento semelhante, mas, em vez de aumentar o número de eventos, ele diminui. Os mesmos argumentos se aplicam à IH. Esse comportamento diferente para cada fluxo é a principal razão pela qual escolhemos trabalhar com três fluxos diferentes.
4.5.2
Eventos tipo 𝜇
No painel superior (inferior) da Fig. (4.6) mostramos o número de eventos tipo 𝜇 para a hierarquia normal (invertida). A largura dos binsé de 0,25 GeV e a curva vermelha representa o número de eventos avaliados quando tomamos os parâmetros de oscilação em seus valores de best fit (consulte a Tab. 4.1) para o cenário padrão de três neutrinos, mas com 𝛿 = 1,4
𝜋. Barras de erro também são mostradas. Da esquerda para a direita, diferentes fluxos de
neutrinos - menor energia (LE), média energia (ME) e alta energia (HE) - são explorados. As curvas laranja e cinza são avaliadas considerando-se LIV 𝛾 ̸= 0 e os outros parâmetros de oscilação padrão fixados em seus valores de best fit e 𝛿 = 1.4𝜋. As curvas laranjas superiores (inferiores), para 𝛾 positivo (negativo), representam o caso de 𝛾 = 10−23 (𝛾 = 10−24).
O passo entre as curvas LIV é de 100.5.
As curvas cinzas, para 𝛾 negativo, têm um passo entre as curvas LIV de −10−0.5. Elas começam por 𝛾 = −10−23, que é o maior valor do número de eventos para NH e o menor valor do número de eventos para IH, e terminam em 𝛾 = −10−24, e elas se sobrepoem ao cenário padrão de três neutrinos com os parâmetros no best fit. As curvas de CP, em azul, estão relacionadas ao cenário padrão de três neutrinos com os parâmetros fixados em seu valor de best fit e 𝛿 variando de 𝛿 = 3𝜋2 (valor mínimo do número de eventos em azul para NH e máximo para IH) para 𝛿 = 𝜋2 (valor máximo do número de eventos em azul para NH e mínimo para IH), enquanto o 𝛿 = 0 está em algum lugar no meio.
Notamos que o canal tipo 𝜇 é menos sensível ao parâmetro LIV, como esperado na Eq. (4.3.5) e na Eq. (4.3.6). O parâmetro LIV positivo diminui o número de eventos de muon para NH e aumenta para IH (no canal e-like tivemos apenas um aumento no número de eventos de elétrons) e o valor do parâmetro LIV negativo aumenta o número de eventos de muon para NH e diminui para IH (no canal e-like, tivemos apenas uma diminuição no número de eventos de elétrons). Essa sensibilidade à energia para o valor do parâmetro LIV poderia ser uma maneira de diferenciar um efeito LIV de outros efeitos não padrão.
4.5.3
Espaço de parâmetros LIV
Para estudar o comportamento do parâmetro 𝛾 LIV, realizamos uma análise 𝜒2. Primeiro,
queremos verificar o potencial do experimento DUNE para restringir o parâmetro LIV. O teste 𝜒2 é escrito da seguinte forma:
𝜒2 = min 𝜃23,𝛿ts nmax ∑︁ 𝑖=1 (𝑁𝑖(𝛾 ̸= 0, 𝛿ts) − N𝑖(𝛾 = 0, 𝛿))2 𝜎2 𝑖 , (4.5.1)
onde 𝑁𝑖 é o número de eventos de elétron e múon em algum intervalo de energia (bin) com sua
respectiva incerteza (𝜎𝑖) e 𝛿ts é a fase CP do modelo LIV e 𝛿 é a fase CP do cenário padrão de
três neutrinos. A soma é feita até nmax, que é o último bin e que corresponde ao número total de
bins. N𝑖(𝛾 = 0, 𝛿) e 𝑁𝑖(𝛾 ̸= 0, 𝛿ts) são os números de eventos sem e com o LIV, respectivamente.
A incerteza total 𝜎𝑖 está relacionada com as incertezas estatística (𝜎𝑖) e sistemática (𝜎
sys
𝑖 ).
A incerteza total 𝜎𝑖 é dada pela fórmula usual:
CAPÍTULO 4. OSCILAÇÕES DE NEUTRINOS NA PRESENÇA DE LIV 55 Utilizamos 𝜎stat
𝑖 =
√︁
𝑁𝑖(𝛾 = 0, 𝛿) e 𝜎𝑖sys = 𝑎𝑁𝑖(𝛾 = 0, 𝛿), onde 𝑎 = 5%. Para uma análise
mais profunda dos efeitos das incertezas sistemáticas, verifique ref. [18] Na análise, os parâmetros sin2𝜃
12, Δ𝑚221, Δ𝑚231 e sin2𝜃13 são colocados em seus valores de
best fit, mostrados na Tabela 4.1. O parâmetro 𝛾 será restrito até 2𝜎 de C.L., e realizamos uma marginalização sobre 𝛿ts e 𝜃23. Nossos resultados são apresentados na Fig. 4.7, onde mostramos
a sensibilidade do parâmetro 𝛾 em termos de todos os valores possíveis da fase 𝛿 -CP.
Além disso, da Fig. (4.7), notamos que temos diferentes sensibilidades para o parâmetro LIV para diferentes configurações de feixe de neutrinos. No entanto, eles não diferem muito uns dos outros e são todos da mesma ordem de grandeza.
Para uma melhor compreensão de quão significativa é a dependência do fluxo na restrição do parâmetro 𝛾 em termos de várias fases 𝛿 -CP, na Fig. (4.8) plotamos os mesmos resultados, mas apenas com as curvas 2𝜎.
Da Fig. (4.8), dependendo do valor da fase 𝛿 -CP, um feixe poderia ser melhor do que o outro. Embora o feixe ME, em geral, seja melhor de que outros feixes para restringir 𝛾.
Por exemplo: para NH com 𝛿-CP = 3.23 e na região positiva de 𝛾, o feixe LE claramente restringe 𝛾 melhor que os feixes ME e HE. Mas para quase todas as outras regiões, o feixe ME restringe 𝛾 melhor. A partir desses resultados, aprendemos que aumentando as estatísticas para energias mais altas (do feixe LE para o feixe ME) pode-se obter uma restrição geral maior em 𝛾. Mas, uma vez que o feixe HE possui menos eventos no total, as restrições de 𝛾 em geral diminuem.
A Tabela 4.2 resume as restrições para os parâmetros LIV com 𝛿-CP = 1.4𝜋 para todos os fluxos na hierarquia normal e na hierarquia invertida. Como o feixe DUNE será semelhante ao feixe LE, os resultados mostram que, no pior cenário, DUNE pode restringir o parâmetro LIV |𝛾|> 5.0 × 10−24 com 2 𝜎 de C.L. neste modelo de LIV.
Podemos também notar que o comportamento geral da curva de exclusão difere do caso NH para o caso IH. Como há uma mudança no sinal de Δ𝑚2
31 do caso NH para o IH, as
probabilidades vão mudar. Então, a posição dos picos com módulo máximo para 𝛾 vai da região positiva, para o caso NH, para a região negativa, para o caso IH.
LE ME HE
NH 𝛾 𝜖 [−3.9 × 10−24, 5.0 × 10−24] 𝛾 𝜖 [−3.4 × 10−24, 5.3 × 10−24] 𝛾 𝜖 [−4.4 × 10−24, 6.7 × 10−24] IH 𝛾 𝜖 [−1.7 × 10−24, 3.4 × 10−24] 𝛾 𝜖 [−1.2 × 10−24, 3 × 10−24] 𝛾 𝜖 [−1.9 × 10−24, 4.0 × 10−24]
Tabela 4.2: Restrições para o parâmetro LIV com 𝛿 = 1.4𝜋 e 2𝜎 C.L. para hierarquia normal e invertida e todos os fluxos [13].
Uma comparação entre nossos resultados no parâmetro LIV e outros trabalhos não é trivial, pois há uma grande variedade de modelos com diferentes inserções do parâmetro LIV e diferentes canais de oscilação que foram analisados. Por exemplo, considerando os dados atmosféricos
de neutrinos da MACRO e do canal 𝜈𝜇 → 𝜈𝜏, os autores da Ref. [26, 27] encontraram um
limite no parâmetro LIV de cerca de 6 × 10−24. Além disso, na Ref. [28], efeitos de LIV de ordem 8.1 × 10−25 com 90 % C.L. foram impostas. Também, recentemente a colaboração ICECUBE [29] usou seus neutrinos atmosféricos de alta energia (400 GeV - 18 TeV) para restringir o parâmetro LIV análogo em 2.7 × 10−28 em um intervalo de confiança de 90 % de CL a 95 % CL. Considerando o canal 𝜈𝜇 → 𝜈𝑒 e os dados de neutrinos atmosféricos, o Super-
Kamiokande colocou um limite em um parâmetro LIV da ordem de 8.0 × 10−27 [30]. Um limite anterior de 9.6 × 10−20 no mesmo canal de oscilação de neutrinos foi obtido pela colaboração MiniBooNE [31].