Roteiro de atividades

Desenhar uma caixa em uma folha de papel A4, utilizando como instrumentos: lápis,

borracha, esquadros e régua. Depois de desenhada a caixa, transportar o desenho para um papelão, onde a caixa será montada. Ela poderá ter dimensões quaisquer, ou seja, poderá variar de acordo com a idéia de cada participante.

Obs1: o nome dessa caixa será “caixa piloto”.

Os objetivos específicos para este problema são:

a) fazer com que os alunos façam uso dos instrumentos: esquadro, régua, lápis, borracha, tesoura e fita adesiva;

b) reconhecer que a caixa é um objeto tridimensional e reforçar o conhecimento das dimensões dessa caixa: comprimento, largura e altura;

c) verificar se o processo de construção de uma caixa de papelão, a partir de sua planificação, lhes era familiar;

d) ver a possibilidade da socialização desse conhecimento ao formar grupos.

Problema 2

2.1 Desenhar um retângulo com as seguintes dimensões: comprimento: 1,6dm e largura: 1,0dm.

2.2 A partir desse retângulo, construir uma caixa, sem tampa, com altura igual a 0,1dm.

Obs: o nome dessa caixa será “caixa teste”.

Os objetivos esperados para este problema são: a) dar continuidade aos objetivos do Problema 1; b) reforçar os conceitos de grandeza e de medida;

c) identificar unidades padrão de sistemas métricos, relacionando-os.

Problema 3

Calcular a área do papelão gasto na construção da “caixa teste”, após sua montagem.

Os objetivos específicos para este problema são:

a) identificar as diferentes faces dessa caixa: suas formas e medidas;

b) perceber que os quadrados cortados nos cantos do retângulo não fazem parte da caixa.

c) identificar as diferentes estratégias utilizadas pelos alunos para resolver o problema.

d) recordar as fórmulas de áreas de quadrados e retângulos.

Problema 4

4.1 Utilizando o retângulo dado no Problema 2, quais seriam as áreas das bases de caixas, caso fossem construídas, com as alturas fornecidas no Quadro 1 abaixo?

Quadro 1

4.2 Preencher o quadro com as áreas encontradas.

4.3 Após o cálculo das áreas das bases dessas caixas, em um gráfico de pontos, representar essas áreas relacionando-as com suas respectivas alturas.

4.4 Depois de construído o gráfico, fazer uma análise das áreas das bases dessas caixas para os possíveis valores da altura.

Os objetivos específicos para este problema são:

a) levar os alunos à construção de um gráfico de pontos;

b) ao manipular as caixas construídas/imaginadas, fazer com que os alunos interpretem a variação das áreas da base das caixas com as alturas possíveis; c) perceber os limites para as alturas possíveis dessas caixas.

altura (cm) área (cm2) 0 1 2 3 4 5

Problema 5

5.1 Desenhar um retângulo com as seguintes dimensões: comprimento: 1,6dm e largura: 1,0dm.

5.2 Fazer uma análise do que ocorreria se cortássemos quadrados, nos cantos desse retângulo, dentro dos limites possíveis para a altura dessa caixa, onde a medida do lado do quadrado cortado representa a altura da caixa, e essa altura é medida por um número racional qualquer.

Observação: Chamaremos essa caixa de “caixa 1”.

Objetivos específicos para este problema são:

a) falar sobre diferentes conjuntos numéricos;

b) fazer com que os alunos se deparem com o importante conceito de variável na Álgebra.

c) levá-los a identificar o que é variável na Álgebra;

d) identificar uma fórmula matemática para a área da base de uma caixa de altura x; e) verificar se essa fórmula vale, face aos resultados obtidos, para x = 1 e x = 2.

Problema 6

Desenhar um retângulo com as seguintes dimensões: largura: 0,4dm e comprimento: 1,0dm. Fazer uma análise do que ocorreria se cortássemos quadrados, nos cantos desse retângulo, dentro dos limites possíveis para a altura dessa caixa, onde a medida do lado do quadrado cortado representa a altura da caixa e essa altura é medida por um número racional qualquer.

Observação: Chamaremos a caixa deste problema de “caixa 2”.

Problema 7

Desenhe um retângulo com as seguintes dimensões: largura: 0,4 dm; comprimento: 0,6dm. Fazer uma análise do que ocorreria se cortássemos quadrados, nos cantos desse

retângulo, dentro dos limites possíveis para a altura dessa caixa, onde a medida do lado do quadrado cortado representa a altura da caixa e essa altura é medida por um número racional qualquer.

Observação: Chamaremos a caixa deste problema de “caixa 3”.

Objetivos específicos para os Problemas 6 e 7 são:

a) ver esses problemas como responsáveis, pela fixação do conhecimento obtido no Problema 5;

b) deixar clara a passagem da Aritmética para a Álgebra; c) ter percepção de variabilidade;

d) tirar conclusões do que, a partir do Problema 5, se refere às possíveis alturas das caixas;

e) identificar uma fórmula matemática para a área da base da caixa com altura x; f) introdução do conceito de Polinômios e conceitos relacionados.

Problema 8 – Fixação dos conhecimentos novos construídos Tarefa 1 – Fazendo aplicações dos Problemas 5, 6 e 7

A Tarefa 1 tem por objetivo fixar conhecimentos novos construídos.

Entregar aos alunos a folha de atividades abaixo, contendo três diferentes problemas:

Problema 1.a – “caixa 1” Problema 1.b – “caixa 2” Problema 1.c – “caixa 3” Figura 5

Nas atividades 1.a, 1.b e 1.c apresentam-se as caixas planificadas de altura x referentes aos Problemas 5, 6 e 7 e essas mesmas caixas desenhadas em perspectiva.

1.1 Pede-se que se apresentem as expressões algébricas que representam o comprimento e a largura da base da caixa planificada e, depois, escrever a fórmula da área da base da caixa em perspectiva.

1.2 Atribuir três ou mais valores distintos para a altura x nas caixas 2 e 3, Problemas 6 e 7, obedecendo às limitações impostas às alturas das caixas. Fazer um quadro, relacionando essas alturas às áreas das bases das caixas correspondentes. Construir um gráfico de pontos apoiado nos dados obtidos nesse quadro.

Tarefa 2 – Conceitualização – Dando sentido às áreas construídas

2.1 Escrevendo as áreas das bases das caixas 1, 2 e 3, apresentadas como produtos de

duas expressões algébricas, chegar, usando a propriedade distributiva, a uma soma algébrica que descreva essas áreas através de um novo objeto matemático: o Polinômio.

2.2 Reunir termos semelhantes, ordenar segundo potências crescentes ou decrescentes da variável e chegar à forma simplificada de um Polinômio.

Objetivo desta tarefa: Fazer com que os alunos percebam que, a partir de um produto de fatores, chega-se a uma soma algébrica usando a distributividade e que, inversamente, partindo-se de uma soma algébrica, pode-se chegar a um produto de fatores. Este processo é chamado “fatoração”.

Tarefa 3 – Operações com Polinômios

3.1 Adição algébrica de Polinômios.

Dados: A1 = 4x2 – 52x + 160; A2 = 4x2 – 28x + 40 e A3 = 4x2 - 20x + 24 ; efetuar as

A1 + A2

A1 + A2 + A3

A1 + A3

A1 − A2 − A3

Objetivo da tarefa 3.1 – saber operar com somas algébricas (adição e subtração).

3.2 – Multiplicação e Divisão Dados os Polinômios A1(x) = 4x2 – 52x + 160 A2 (x) = 4x2 – 28x + 40 A3 (x) = 4x2 - 20x + 24 Calcular: 3.2.1 A1 . A2 ; A2 . A3 e A1 . A3 3.2.2 2 1 A A ; 3 1 A A e 3 2 A A

3.2.3 – Fazer a comparação das áreas das bases das caixas 1, 2 e 3, para um

mesmo valor da altura, vista como uma razão (comparação multiplicativa entre duas grandezas).

a) Atribuir um valor numérico, para a variável x nas expressões dos

Polinômios A1(x) e A2(x) e encontrar a razão entre os valores numéricos desses

Polinômios, que são os valores numéricos das áreas das bases das caixas 1 e 2. Analogamente, para as caixas A1(x), A3(x) e A2(x), A3(x).

O objetivo desta tarefa é saber operar com multiplicação, divisão de valores numéricos de Polinômios e razão entre as áreas das bases das caixas.

Tarefa 4 – Listas de Atividades de fixação de conceitos da matemática nova construída Lista 1 - Exercício de aplicação

Lista 2 – Cálculo Algébrico

Lista 3 – Trabalhando conceitos através da resolução de problemas

1. A piscina da casa de Luís tem 8 m de largura e 10 m de comprimento. Ao seu redor, ele pretende construir uma calçada de largura y metros e revesti-la com pedras.

O valor de y ainda não está decidido, pois depende dos custos envolvidos. Por isso, Luís precisa fazer alguns cálculos. Vamos ajudá-lo.

a) Deduza uma fórmula para a área da calçada.

b) Cada metro quadrado de pedra custa R$ 18,00 e, para colocá-la, o pedreiro cobra

R$ 12,00 por metro quadrado. Escreva a fórmula que fornece o custo C da pedra e da mão-de- obra em função de y.

c) Use a fórmula e uma calculadora e preencha a tabela:

y (em metros) 0,5 1,0 1,5 2,0

C (em reais)

2. Efetue os cálculos, simplificando as expressões: a) 5x2 - 4x + 3x(x - 4) b) a3 - a(a2 + 2a) + 3a2 - 5a c) ₂ 3 2 3 15 2 8 K K K K +

3. Calcule a área de cada figura em função de x. Apresente o resultado na forma fatorada.

4. Veja as dimensões do bloco retangular:

Qual é o seu volume? Dê a resposta de duas maneiras: a) na forma fatorada;

b) na forma de um Polinômio, "desmanchando" a forma fatorada.

5. Expresse a área das figuras abaixo de duas maneiras.

Lista de atividades retirada do site da editora Scipione:

http://www.scipione.com.br/ap/didaticos/matematica_paratodos2/7c11.htm (última consulta: 20/02/2008).

Os objetivos específicos para o Problema 8 são:

a) chegar à divisão longa de Polinômios, mostrando que o conceito de divisão, como operação inversa da multiplicação, é o mesmo da divisão com números: isto é dividendo = quociente x divisor + resto, (D = q x d + r), embora sua técnica operatória seja bastante diferente.

b) fazer aplicação para a fixação de conceitos e conteúdos novos construídos. c) multiplicar Polinômios.