Figura 13. Desenho da ciclóide Fonte: Pascal, (1954, p. 180) 1.7.1 Considerações gerais
A ciclóide, curva descrita pelo movimento de um ponto fixo sobre uma circunferência que gira apoiando-se sobre uma linha reta (e conseqüentemente sobre um plano) é muito rica em propriedades matemáticas e físicas, tendo desempenhado um papel importante no desenvolvimento inicial dos métodos do Cálculo.17
Galileu foi um dos primeiros a chamar a atenção para a importância desta curva, recomendando seu uso na construção de arcos e pontes.
O estudo dedicado a roulette (ciclóide) está intimamente ligado a um momento da vida de Pascal relacionado com um conflito interior, refletido na dicotomia entre a adesão à ciência e à experiência religiosa. Boyer (2001, p. 252) sintetiza o contexto afirmando:
Na noite de 23 de novembro de 1654, das 22hs e 30 min. às 24hs e 30 min. Pascal experimentou um êxtase religioso que fez com que abandonasse a ciência e a matemática pela teologia. O resultado foi que escreveu Lettres provinciales e Pensées; só por um breve período, de 1658-1659, é que Pascal voltou à matemática. Uma noite em 1658, uma dor de dente ou mal-estar impediu-o de dormir e, para se distrair da dor, ele voltou-se para o estudo da ciclóide. Milagrosamente a dor melhorou, e Pascal tomou isso como um sinal de Deus de que o estudo da matemática não Lhe desagradava.
17 Devido a quantidade e variedade de disputas e controvérsias entre os matemáticos para provar suas
propriedades, a ciclóide foi apelidada , segundo Bell (1948:108), A Helena da Geometria, numa menção ao episódio da história grega envolvendo Helena, mulher de Menelau, da qual se diz que muitos homens tentaram conquistá-la.
Dedicaremos no capítulo 2 uma maior atenção ao fato; entretanto, aqui fica um breve registro sobre o contexto no qual emerge a produção da obra de Pascal relativa à ciclóide.
1.7.2 Estrutura e características do trabalho
O estudo sobre a ciclóide é apresentado nas Oeuvres complètes (PASCAL, 1954) como sendo constituído de onze partes:
Problemata de ciclóide
Reflexions sur les com conditions des prix Histoire de la roulette
Recit de l¶examenet du jugement
Lettre de M. Dettonville a M. de Carcavi Traité des trilignes rectangles
Propriété des sommes simples Traité des sinus du quart du cercle Traité des arcs de cercle
Petit traité des solides circulaires Traité général de la roulette
Numa visão geral deste capítulo, emergem algumas considerações. Neste estudo Pascal encontra solução para problemas ligados a certas áreas e volumes, obtidos a partir do giro de um arco de ciclóide em torno de diversos eixos, além de determinação de centros de gravidade associados. Pascal chegava às suas soluções pelo método dos indivisíveis, do pré-cálculo, uma forma equivalente de se avaliar muitas das integrais definidas que figuram nos atuais cursos de cálculo. No seu trabalho sobre integração e especulações sobre infinitesimais, utilizou ocasionalmente desenvolvimentos com termos de pequenas quantidades, nos quais ele desprezava os termos de menor ordem, antecipando a idéia controversa de Newton de que (x + dx) ( y + dy) - xy = xdy + ydx.
Figura 14. Foto de um manuscritos com desenhos da ciclóide Fonte: Béguin (1953, p. 168)
Pascal defendeu este seu procedimento apelando mais para a intuição do que para a lógica.
Pascal desafiou os matemáticos de seu tempo com meia dúzia de tais questões, oferecendo uma premiação para aqueles que apresentassem soluções, sendo um dos juízes Roberval. Só duas coleções de soluções foram apresentadas e mesmo assim continham alguns erros de cálculo. Pascal não os premiou e decidiu publicar suas próprias soluções, com outros resultados.
de A. Dettonville (1658-1659).18
As questões do concurso e as Lettres de A. Dettonville focalizaram o interesse sobre a ciclóide, mas despertaram intrigas e controvérsias. Os dois finalistas, Antoine de Lalouvere e John Wallis, ambos matemáticos competentes, se aborreceram por não terem recebido os prêmios; por outro lado, os matemáticos italianos ficaram insatisfeitos porque a Histoire de Ia roulette desconhecia os méritos de Torricelli, sendo concedida a prioridade na descoberta somente a Roberval.
Grande parte do material contido nas Lettres de A. DettonvilIe, como a igualdade entre os arcos de espirais e parábolas e as questões do concurso sobre a ciclóide já era conhecido por Roberval e Torricelli; entretanto, parte disso pela primeira vez era impresso.
Entre os resultados novos, Boyer (2001) destaca a igualdade do comprimento de um arco da ciclóide generalizada [ DNij ± aVHQijy = a-aFRVijHDVHPL-circunferência da elipse x = 2a (1+k ) FRVij\= 2a (1- k) VHQij$GHPRQVWUDomRHUDIHLWDUHWRULFDPHQWH e não simbolicamente, como eram muitas das demonstrações de Pascal.
Mesmo sendo muito valiosa e profunda a abordagem da ciclóide feita por Pascal, tornou-se obsoleta em virtude do tratamento analítico dado àquela curva. Nos problemas que Pascal estudou são apresentadas suas soluções muito mais simples e gerais. Todavia ele foi um desbravador e inspirou, mesmo com métodos superados, vários construtores que usaram em seus projetos, arcadas que são ciclóides, juntando economia com harmonia estética. Também na construção de relógios de pêndulo lançaram mão dos estudos de Pascal sobre a ciclóide.
Investigando a integração da função seno em seu Traité des sinus du quart du cercle (Tratado sobre os senos num quadrante de um círculo), Pascal chegou muito próximo da descoberta do cálculo, a ponto de Leibniz mais tarde escrever que, ao ler essa obra, uma luz subitamente jorrou sobre ele.
18 O nome Amos Dettonville era um anagrama de Louis de Montalte, o pseudônimo usado por Pascal nas