As proposições A e B são independentes, pois, em princípio, pode-se ter qualquer uma delas verdadeira ou falsa independentemente do valor lógico que seja atribuído à outra.
As proposições A e C são dependentes. De fato uma vez que se tenha atribuído algum valor lógico a uma delas, a outra, necessariamente fi cará obrigada ao valor lógico oposto, dado que C é a negação de A.
As proposições A e D também são dependentes. Isto pode ser constatado obser-vando que ao colocarmos qualquer uma das duas com Falsa a outra, obrigatoriamente, será Verdadeira.
Número de Linhas de uma Tabela-Verdade
Se uma tabela-verdade tem como componentes as proposições P1, P2, ..., Pn, duas a duas independentes, então o número de linhas desta tabela-verdade será igual a:
n n
L 2
Exemplo: Sejam P1, P2 e P3, três proposições independentes entre si, então a tabela verdade da proposição composta “(P1 e P2) ou não-P3” terá 23 = 8 linhas, como se pode ver abaixo:
P1 P2 P3 (P1 e P2) não-P3 (P1 e P2) ou não-P3
1 V V V V F V
2 V V F V V V
3 V F V F F F
4 V F F F V V
5 F V V F F F
6 F V F F V V
7 F F V F F F
8 F F F F V V
Exercícios Resolvidos
1. Todos os bons estudantes são pessoas tenazes. Assim sendo:
a) Alguma pessoa tenaz não é um bom estudante.
b) O conjunto dos bons estudantes contém o conjunto das pessoas tenazes.
c) Toda pessoa tenaz é um bom estudante.
d) Nenhuma pessoa tenaz é um bom estudante.
e) O conjunto das pessoas tenazes contém o conjunto dos bons estudantes.
Solução:
Alterna va: e
Dizer que “todos os bons estudantes são pessoas tenazes” equivale a dizer que dentro do conjunto que reúne todas as pessoas tenazes acharemos todos os bons estudantes. Assim sendo, podemos dizer que o conjunto das pessoas tenazes contém o conjunto dos bons estudantes. Isto poderia ser visualizado com um diagrama de conjuntos (diagrama de Euler-Venn).
2. Represente com diagramas de conjuntos:
I) Algum A é B.
II) Algum A não é B.
III) Todo A é B.
IV) Se A, então B.
V) Nenhum A é B.
Solução:
I)
II)
III e IV)
V)
3. Dê uma negação para cada uma das proposições abaixo.
a) O tempo será frio e chuvoso.
b) Ela estudou muito ou teve sorte na prova.
c) Maria não é morena ou Regina é baixa.
d) Se o tempo está chuvoso então está frio.
e) Todos os corvos são negros.
f) Nenhum triângulo é retângulo.
g) Alguns sapos são bonitos.
h) Algumas vidas não são importantes.
Solução:
a) O tempo não será frio ou não será chuvoso.
b) Ela não estudou muito e não teve sorte na prova.
c) Maria é morena e Regina não é baixa.
d) O tempo está chuvoso e não está frio.
e) Algum corvo não é negro.
f) Algum triângulo é retângulo.
g) Nenhum sapo é bonito.
h) Todas as vidas são importantes.
4. Todo baiano gosta de “axé music”. Sendo assim:
a) Todo aquele que gosta de “axé music” é baiano.
b) Todo aquele que não é baiano não gosta de “axé music”.
c) Todo aquele não gosta de “axé music” não é baiano.
d) Algum baiano não gosta de “axé music”.
e) Alguém que não goste de “axé music” é baiano.
Solução:
Alterna va: c
Assumindo que “todo baiano gosta de ‘axé music’” podemos dizer que o conjunto dos baianos (conjunto B) encontra-se completamente dentro do conjunto dos que gostam de ‘axé music’ (conjunto A). Qualquer um que esteja fora do conjunto A não poderá estar no conjunto B pois B está dentro de A. Mas todos os que não gostam de ‘axé music’ estão fora do conjunto A. Logo todos os que não gostam de ‘axé music’ estão fora do conjunto B. Ou seja: todo aquele que não gosta de
‘axé music’ não é baiano.
5. Se Ana é altruísta então Bruna é benevolente. Se Bruna é benevolente então Cláu-dia é conservadora. Sabe-se que CláuCláu-dia não é conservadora. Nestas condições pode-se concluir que:
a) Ana não é benevolente.
b) Bruna não é altruísta.
c) Ana não é conservadora.
d) Cláudia não é altruísta.
e) Ana não é altruísta.
Solução:
Alterna va: e
Esta questão faz uso de uma estrutura bem conhecida na Lógica: a cadeia de pro-posições condicionais – A implica B que implica C ... Por outro lado, toda vez que uma proposição condicional como ‘Se A então B’ for verdadeira será verdadeira também ‘Se não-B então não-A’(repare a ordem!), onde não-B e não-A são as negações das proposições B e A, respec vamente. Deste modo, quando sabemos que ‘Se A então B’ e sabemos que B não ocorre, podemos concluir que A também não ocorre. Neste problema podemos representar a cadeia de proposições condi-cionais dada como A implica B que implica C que implica D. Como temos a negação de D, teremos também não-C, não-B e não-A consecu vamente. Ou seja: Cláudia não é conservadora, Bruna não é benevolente e Ana não é altruísta. As demais opções não podem ser aceitas como conclusões pois não há dados sufi cientes no enunciado para decidir se são verdadeiras ou se são falsas.
6. Todo atleta é bondoso. Nenhum celta é bondoso. Daí pode-se concluir que:
a) Algum atleta é celta.
b) Nenhum atleta é celta.
c) Nenhum atleta é bondoso.
d) Alguém que seja bondoso é celta.
e) Ninguém que seja bondoso é atleta.
Solução:
Alterna va: b
Sejam A = o conjunto dos atletas, B o conjunto das pessoas bondosas e C o conjunto dos celtas. De acordo com o enunciado, o conjunto A esta totalmente dentro de B pois ‘todo atleta é bondoso’. O conjunto C está completamente fora de B pois
‘nenhum celta é bondoso’. Sendo assim os conjunto A e C não podem ter qualquer elemento em comum, pois o primeiro está dentro de B e o segundo, fora. Ou seja:
nenhum atleta é celta.
7. Se chove então faz frio. Assim sendo:
a) Chover é condição necessária para fazer frio.
b) Fazer frio é condição sufi ciente para chover.
c) Chover é condição necessária e sufi ciente para fazer frio.
d) Chover é condição sufi ciente para fazer frio.
e) Fazer frio é condição necessária e sufi ciente para chover.
Solução:
Alterna va: d
Esta questão faz referência aos conceitos de necessidade e de sufi ciência e às relações destes conceitos com as proposições condicionais. Como já vimos, numa proposição condicional ‘Se A então B’ a ocorrência de A implica (garante) a ocor-rência de B. Então dizemos que A é uma condição sufi ciente para a ocorrência de B, ou simplesmente que A é sufi ciente para B. Por outro lado, sabemos que a não ocorrência de B implica a não ocorrência de A, ou seja: sem a ocorrência de B certamente A também não ocorreria. Por este mo vo dizemos que B é uma condição necessária para a ocorrência de A, ou simplesmente que B é necessária para A. No contexto da questão: Chuva é condição sufi ciente para frio. Frio é condição necessária para chuva.
8. Numa compeƟ ção de enigmas, três espertas parƟ cipantes de uma das equipes propõem um desafi o dizendo o seguinte:
Míriam: A Ana Flávia mente.
Ana Flávia: A Anna Laryssa é que mente.
Anna Laryssa: A Míriam e a Ana Flávia é que mentem.
O desafi o consiste em descobrir, de acordo com as afi rmações feitas, quem está menƟ ndo e quem está dizendo a verdade. Nestas condições, marque a alternaƟ va correta:
a) A única menƟ rosa é Míriam.
b) A única menƟ rosa é Ana Flávia.
c) Míriam e Anna Laryssa mentem.
d) Ana Flávia e Míriam mentem.
e) Anna Laryssa e Ana Flávia mentem.
Solução:
Alterna va: c
Míriam diz: “A Ana Flávia mente”. Suponha que o que Míriam diz seja verdade.
Então Ana Flávia é mesmo men rosa. Sendo a Ana Flávia men rosa, o que ela diz
é men ra e, portanto, a Anna Laryssa diz a verdade. Por sua vez, se Anna Laryssa diz a verdade, então Míriam deve ser men rosa. Ora, isto contradiz a suposição inicial de que Míriam diz a verdade. Logo, não é possível que Míriam tenha dito a verdade. Então Míriam mente e, se Míriam mente, Ana Flávia diz a verdade e, portanto, Anna Laryssa mente.
9. Um anƟ quário acordou assustado quando o alarme instalado em sua casa acusou, às 2 horas da madrugada, que sua loja estava sendo invadida. Chamou a polícia por telefone e saiu correndo para a loja que fi cava apenas a uma quadra de sua residência. Tudo o que o pobre anƟ quário conseguiu ver foi um carro saindo em disparada, mas não conseguiu ver quem estava no carro e nem mesmo soube dizer quantos eram os seus ocupantes. Após invesƟ gar o caso, o deteƟ ve Berloque Gomes conseguiu apurar os seguintes fatos:
– O carro visto pelo anƟ quário foi realmente o carro usado para a fuga;
– Ninguém mais, exceto três conhecidos delinquentes, Ário, Bário e Cário, pode-riam estar envolvidos no assalto;
– Cário nunca praƟ ca um assalto sem usar, pelo menos, Ário como cúmplice;
– Bário não sabe dirigir.
AdmiƟ ndo que os fatos apurados por Berloque Gomes sejam verdadeiros, pode-se concluir logicamente que:
a) Bário é necessariamente inocente.
b) Cário é necessariamente inocente.
c) Ário é necessariamente inocente.
d) Cário é necessariamente culpado.
e) Ário é necessariamente culpado.
Solução:
Alterna va: e
Existem somente três hipóteses razoáveis:
1. Ário cometeu o crime sozinho.
2. Cário é culpado – Neste caso Ário também é culpado.
3. Bário é culpado – Neste caso, alguém o ajudou a dirigir o carro da fuga (pois ele não sabe dirigir). Se o motorista foi Cário, então Ário também é culpado (pois Cário nunca pra ca um roubo sem Ário). Se o motorista foi Ário, não se pode provar nada sobre Cário, mas Ário já está novamente implicado.
Como se pode notar, em qualquer das três hipóteses Ário está necessariamente envolvido.
10. Considere as afi rmaƟ vas seguintes:
I – A bolinha amarela está depois da branca.
II – A bolinha azul está antes da verde.
III – a bolinha que está imediatamente após a azul é maior que a que está antes desta.
IV – A bolinha verde é a menor de todas.
Com base nas quatro afi rmaƟ vas anteriores, a ordem correta das quatro bolinhas é:
a) Branca, amarela, azul, verde.
b) Branca, azul, amarela, verde.
c) Branca, azul, verde, amarela.
d) Azul, branca, amarela, verde.
e) Azul, branca, verde, amarela.
Solução:
Alterna va: b
As afi rma vas I e II estão sa sfeitas em todas as alterna vas de resposta dadas.
Assim, concentremos nossa atenção nas afi rma vas III e IV:
– A afi rma va III indica a existência de ao menos uma bolinha ANTES e ao menos uma bolinha DEPOIS da bolinha azul. Portanto, a bolinha azul não pode ser a primeira nem pode ser a úl ma. Isto elimina as alterna vas de resposta D e E.
– Ainda na afi rma va III temos que a bolinha que está imediatamente após a azul é MAIOR do que a bolinha que está antes desta. Além disto, sabemos pela afi rma va IV que a bolinha verde é a MENOR DE TODAS. Portanto a bolinha que está imediatamente após a azul não pode ser a verde. Isto elimina as alterna vas de resposta A e C.
Por exclusão, resta-nos apenas a alterna va de resposta B.
11. Alba, Bianca e Clara foram a uma festa com vesƟ dos de cores diferentes, sendo um azul, um branco e um carmim, mas não necessariamente nesta ordem. Atraído pela beleza das três jovens, um rapaz aproximou-se delas e lhes perguntou quem era cada uma delas. A de azul respondeu: “Alba está de branco.”. A que estava de branco retrucou: “Eu sou Bianca!”. Então aquela que estava vesƟ ndo carmim disse: “Clara é que está de branco.”. Perplexo, o rapaz pensou “Nossa, mas que confusão!”.
Sabendo que Alba disse a verdade e que Clara menƟ u, deduza as cores dos vesƟ dos de Alba, de Bianca e de Clara, nesta ordem:
a) Carmim, branco e azul.
b) Carmim, azul e branco.
c) Azul, carmim, e branco.
d) Azul, branco e carmim.
e) Branco, azul e carmim.
Solução:
Alterna va: b
– Se aquela que usava o ves do azul fosse Alba, ela teria men do ao dizer “Alba está de branco” mas sabemos que Alba diz a verdade. Logo Alba não pode estar de azul.
– Alba também não pode estar de branco pois aquela que estava de branco disse
“Eu sou Bianca” e sabe-se que Alba não poderia men r dizendo ser Bianca.
– Ora, se Alba não está de azul e também não está de branco, então Alba só pode estar usando o ves do carmim.
Então concluímos que a afi rmação de Alba (que estava de carmim) foi “Clara está de branco” e como sabemos que Alba diz a verdade o ves do de Clara é mesmo o branco.
Por exclusão, resta o ves do azul para Bianca e, de quebra, ainda poderíamos concluir que Bianca também men u!
Resumindo o que descobrimos, as cores dos ves dos de Alba, Bianca e Clara, nesta ordem são Carmim, Azul, e Branco.
12. (Esaf) Se Beto briga com Glória, então Glória vai ao cinema. Se Glória vai ao cinema, então Carla fi ca em casa. Se Carla fi ca em casa, então Raul briga com Carla. Ora, Raul não briga com Carla. Logo,
a) Carla não fi ca em casa e Beto não briga com Glória.
b) Carla fi ca em casa e Glória vai ao cinema.
c) Carla não fi ca em casa e Glória vai ao cinema.
d) Glória vai ao cinema e Beto briga com Glória.
e) Glória não vai ao cinema e Beto briga com Glória.
Solução:
Alterna va: a
Se Beto brigasse com Glória, Glória iria ao cinema, Carla fi caria em casa e Raul brigaria com Carla.
Raul não brigou com Carla. Logo, Beto não briga com Glória, Glória não vai ao cinema e Carla não fi ca em
Casa. A única alterna va concordante com estas conclusões é a letra A: “Carla não fi ca em casa e Beto não briga com Glória”.