Raciocínio Lógico
A1-AT555 15/4/2013
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Título da obra: TJ-AM – Tribunal de Jus ça do Estado do Amazonas Cargo: Analista Judiciário I – Nível Superior
Adendo: Raciocínio Lógico
(Conforme Edital nº 002/2013 – TJ/AM, de 11 de Março de 2013 [re fi cado em 19 de Março de 2013] – FGV)
Autor:
Júlio Lociks
DIRETORIA EXECUTIVA Norma Suely A. P. Pimentel PRODUÇÃO EDITORIAL Rosângela Sandy Tiago EDIÇÃO DE TEXTO Cláudia Freires Paulo Henrique Ferreira CAPA
Ralfe Braga ILUSTRAÇÃO Fabrício Matos Micah Abe PROJETO GRÁFICO Ralfe Braga
ASSISTENTE EDITORIAL Gabriela Tayná Moura de Abreu ASSISTENTE DE PRODUÇÃO Laiany Calixto
EDITORAÇÃO ELETRÔNICA Adenilton da Silva Cabral Carlos Alessandro de Oliveira Faria Diogo Alves
Marcos Aurélio Pereira REVISÃO
Ana Paula Oliveira Pagy Dinalva Fernandes Érida Cassiano Giselle Bertho
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Publicado em abril/2013
Entendimento da estrutura lógica de relações arbitrárias entre pessoas, lugares, objetos ou eventos fi c cios. Dedução de novas relações fornecidas e avaliação das condições usadas para estabelecer a estrutura daquelas relações. Compreensão e análise da lógica de uma situação. Raciocínio verbal, raciocínio matemá co, raciocínio sequencial.
Orientação espacial e temporal. Formação de conceitos e discriminação de elementos ... 5
SUMÁRIO
Raciocínio Lógico-Quan ta vo
TJ-AM
NOÇÕES DE LÓGICA
O Que é uma Proposição?Denomina-se proposição a toda sentença, expressa em palavras ou símbolos, que exprima um juízo ao qual se possa atribuir, dentro de certo contexto, somente um de dois valores lógicos possíveis: verdadeiro ou falso.
Somente às sentenças declaraƟ vas pode-se atribuir valores de verdadeiro ou falso, o que ocorre quando a sentença é, respec vamente, confi rmada ou negada. De fato, não se pode atribuir um valor de verdadeiro ou de falso às demais formas de sentenças como as interroga vas, as exclama vas e outras, embora elas também expressem juízos.
São exemplos de proposições as seguintes sentenças declara vas:
O número 6 é par.
O número 15 não é primo.
Todos os homens são mortais.
Nenhum porco espinho sabe ler.
Alguns canários não sabem cantar.
Se você estudar bastante, então aprenderá tudo.
Eu falo inglês e espanhol.
Míriam quer um sapaƟ nho novo ou uma boneca.
Não são proposições:
Qual é o seu nome?
Preste atenção ao sinal.
Caramba!
Proposição Simples
Uma proposição é dita proposição simples ou proposição atômica quando não contém qualquer outra proposição como sua componente.
Isto signifi ca que não é possível encontrar como parte de uma proposição simples alguma outra proposição diferente dela. Não se pode subdividi-la em partes menores tais que alguma delas seja uma nova proposição.
Exemplo:
A sentença “Cínthia é irmã de Maurício” é uma proposição simples, pois não é possível iden fi car como parte dela qualquer outra proposição diferente. Se tentarmos separá-la em duas ou mais partes menores nenhuma delas será uma proposição nova.
RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO
Júlio Lociks
Proposição Composta
Uma proposição que contenha qualquer outra como sua parte componente é dita proposição composta ou proposição molecular. Isto quer dizer que uma proposição é composta quando se pode extrair como parte dela uma nova proposição.
Exemplo: A sentença “Cínthia é irmã de Maurício e de Júlio” é uma proposição composta, pois é possível re rar-se dela duas outras proposições: “Cínthia é irmã de Maurício” e “Cínthia é irmã de Júlio”.
Conec vos Lógicos (ou Estruturas Lógicas)
Existem alguns termos e expressões que estão frequentemente presentes nas proposições compostas tais como “não”, “e”, “ou”, “se ... então” e “se e somente se”
aos quais denominamos conecƟ vos lógicos ou estruturas lógicas.
Exemplo: A sentença “Se x não é maior que y, então x é igual a y ou x é menor que y” é uma proposição composta na qual se pode observar alguns conec vos lógicos (“não” , “se ... então” e “ou”) que estão agindo sobre as proposições simples “x é maior que y”, “x é igual a y” e “x é menor que y”.
Os conec vos lógicos agem sobre as proposições a que estão ligados de tal modo que o valor lógico (verdadeiro ou falso) de uma proposição composta depende somente:
– do valor lógico de cada uma de suas proposição componentes;
– e da forma como estas proposições componentes sejam ligadas pelos conec vos lógicos u lizados.
Exemplo: Compare as seguintes proposições e seus respec vos valores lógicos:
Proposições Valores Lógicos
O número 10 é inteiro. V
O número 10 ímpar. F
O número 10 é inteiro e é ímpar. F O número 10 é inteiro ou é ímpar. V V = verdadeiro ; F = falso
Algumas proposições compostas recebem denominações especiais de acordo com a estrutura usada para ligar as proposições componentes.
O reconhecimento de tais estruturas é muito importante para a análise e a reso- lução dos problemas de raciocínio lógico que estudaremos mais adiante.
A tabela seguinte mostra as seis principais estruturas lógicas e suas denominações.
A par r deste ponto, passaremos a nos referir a estas estruturas como estruturas fundamentais:
Estruturas fundamentais Denominações
Não-A Negação
A ou B Disjunção
Ou A ou B Disjunção Exclusiva
A e B Conjunção
Se A, então B Condicional
A se e somente se B Bicondicional Negação: Não-A
Dada uma proposição qualquer A denominamos negação de A a proposição composta que se obtém a par r da proposição A acrescida do conec vo lógico “não”
ou de outro equivalente.
A negação “não-A” pode ser representada simbolicamente como:
~A ou
A
ou ainda
A
Podem-se empregar também, como equivalentes de “não-A”, as seguintes ex- pressões:
Não é verdade que A;
É falso que A.
Uma proposição A e sua negação “não-A” terão sempre valores lógicos opostos.
Tabela-Verdade da Negação (~A)
Na tabela apresentada a seguir, denominada tabela-verdade, podemos observar os resultados possíveis da negação “~A” para cada um dos valores lógicos que A pode assumir.
A Não-A
V F
F V
Como se pode observar na tabela-verdade, uma proposição qualquer e sua ne- gação nunca poderão ser simultaneamente verdadeiras ou simultaneamente falsas.
Conjunção: A e B
Denominamos conjunção a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conec vo “e”.
A conjunção “A e B” pode ser representada simbolicamente como:
A B
Exemplo: Dadas as proposições simples:
A: Elisabeth é mãe de Cínthia.
B: Elisabeth é mãe de Maurício.
A conjunção A e B pode ser escrita como:
A B: Elisabeth é mãe de Cínthia e de Maurício.
Uma conjunção é verdadeira somente quando as duas proposições que a compõem forem verdadeiras. Ou seja, a conjunção “A B” é verdadeira somente quando A é verdadeira e B é verdadeira também.
Tabela-Verdade da Conjunção (A B)
Na tabela apresentada a seguir (tabela-verdade) podemos observar todos os resultados possíveis da conjunção “A e B” para cada um dos valores lógicos que A e B podem assumir.
A B A B
V V V
V F F
F V F
F F F
Disjunção: A ou B
Denominamos disjunção a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conec vo “ou”.
A disjunção A ou B pode ser representada simbolicamente como:
A B
Exemplo: Dadas as proposições simples:
A: Alberto fala espanhol.
B: Alberto é universitário.
A disjunção “A ou B” pode ser escrita como:
A B: Alberto fala espanhol ou é universitário.
Para que a disjunção “A ou B” seja verdadeira basta que pelo menos uma de suas proposições componentes seja verdadeira.
Em outras palavras, se A for verdadeira ou se B for verdadeira ou mesmo se ambas, A e B, forem verdadeiras, então a disjunção “A ou B” será verdadeira.
Ou seja, a disjunção “A ou B” é falsa somente quando A é falsa e B é falsa também.
Tabela-Verdade da Disjunção (A B)
Na tabela-verdade apresentada a seguir podemos observar os resultados da disjunção “A ou B” para cada um dos valores que A e B podem assumir.
A B A B
V V V
V F V
F V V
F F F
Disjunção Exclusiva: ou A ou B
Denominamos disjunção exclusiva a proposição composta formada por duas proposições quaisquer onde cada uma delas esteja precedida pelo conec vo “ou”.
A disjunção exclusiva ou A ou B pode ser representada simbolicamente como:
A B
(observe o sublinhado no símbolo ) Exemplo: Dadas as proposições simples:
A: O número 19 é par.
B: O número 19 é ímpar.
A disjunção exclusiva “ou A ou B” pode ser escrita como:
A B: Ou o número 19 é par ou o número 19 é ímpar.
Uma disjunção exclusiva é verdadeira somente quando uma e apenas uma das proposições que a compõem for verdadeira.
Ou seja, a disjunção exclusiva “ou A ou B” é verdadeira somente quando A e B têm valores lógicos contrários (A é verdadeira e B é falsa ou vice-versa).
Se A e B verem o mesmo valor lógico (ambas verdadeiras ou ambas falsas) então a disjunção exclusiva será falsa.
Tabela-Verdade da Disjunção Exclusiva (A B)
Na tabela-verdade apresentada a seguir podemos observar os resultados da disjunção exclusiva “ou A ou B” para cada um dos valores que A e B podem assumir.
A B A B
V V F
V F V
F V V
F F F
Condicional: Se A então B
Denominamos condicional a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conec vo “Se ... então” ou por uma de suas formas equivalentes.
A proposição condicional “Se A, então B” pode ser representada simbolicamente como:
A B
Exemplo: Dadas as proposições simples:
A: José é alagoano.
B: José é brasileiro.
A condicional “Se A, então B” pode ser escrita como:
A B: Se José é alagoano, então José é brasileiro.
Na proposição condicional “Se A, então B” a proposição A, que é anunciada pelo uso da conjunção “se”, é denominada condição ou antecedente enquanto a proposição B, apontada pelo advérbio “então” é denominada conclusão ou consequente.
As seguintes expressões podem ser empregadas como equivalentes de “Se A, então B”:
Se A, B;
B, se A;
Todo A é B;
A implica B;
A somente se B;
A é sufi ciente para B;
B é necessário para A.
Uma condicional “Se A então B” é falsa somente quando sua condição (A) é verdadeira e sua conclusão (B) é falsa, sendo verdadeira em todos os outros casos.
Isto signifi ca que numa proposição condicional, a única situação inaceitável é termos uma condição verdadeira e uma conclusão falsa.
Na tabela-verdade apresentada a seguir podemos observar os resultados da pro- posição condicional “Se A então B” para cada um dos valores que A e B podem assumir.
A B A B
V V V
V F F
F V V
F F V
Alguns dos resultados da tabela acima podem parecer absurdos à primeira vista.
A fi m de esclarecer o signifi cado de cada um dos resultados possíveis numa sen- tença condicional, considere a seguinte situação: numa tarde de domingo um casal está sentado no sofá da sala de seu apartamento assisƟ ndo a um fi lme quando a campainha toca. A mulher, que se diz sensiƟ va, diz: “Se for uma mulher, então ela estará trazendo um pacote nas mãos”. O marido, que não costuma dar muita impor- tância às previsões da mulher, resmunga “Vamos ver se você está mesmo certa!” e vai abrir a porta.
Em que conjunto de situações poderemos dizer que a previsão da mulher estava errada?
Há quatro situações a serem analisadas:
1a – Quem tocou a campainha era realmente uma mulher que estava mesmo trazendo um pacote nas mãos. Neste caso teremos que reconhecer que a previsão da mulher era correta (este caso corresponde ao que está descrito na primeira linha da tabela-verdade apresentada para a condicional).
2a – Quem tocou a campainha era realmente uma mulher, mas ela não estava trazendo um pacote nas mãos. Neste caso podemos dizer que a previsão da mulher mostrou-se errada (este caso corresponde ao que está descrito na segunda linha da tabela-verdade apresentada para a condicional).
3a – Quem tocou a campainha não era uma mulher embora es vesse mesmo tra- zendo um pacote nas mãos. Neste caso não podemos dizer que a previsão da mulher estava errada, pois ela não disse que somente uma mulher poderia estar trazendo um pacote nas mãos. Acontece que toda proposição deve ser ou verdadeira ou falsa e esta não é falsa. Então é verdadeira! (Este caso corresponde ao que está descrito na terceira linha da tabela-verdade apresentada para a condicional)
4a – Quem tocou a campainha não era uma mulher e nem mesmo estava trazendo um pacote nas mãos. Neste caso também não podemos dizer que a previsão da mu- lher estava errada, pois a previsão de que a pessoa traria um pacote nas mãos estava condicionada ao fato de que a pessoa fosse uma mulher. Não sendo uma mulher, não teria necessariamente que trazer um pacote nas mãos. Novamente, a proposição não é falsa. Logo, é verdadeira (este caso corresponde ao que está descrito na quarta linha da tabela-verdade apresentada para a condicional).
Cuidado: Usualmente, quando empregarmos uma sentença do po “se A então B”
esperamos que exista alguma forma de relacionamento entre A e B ou que guardem entre si alguma relação de causa e efeito.
Neste sen do, aceitaríamos com facilidade, por exemplo, a proposição “Se um número inteiro termina com o algarismo 8 então este número é par”.
No mesmo sen do, tenderíamos a recusar proposições como:
“se um triângulo tem três lados então o número sete é primo”
Ou, ainda:
“se um quadrado tem sete lados então fala-se o português no Brasil”
Provavelmente recusaríamos a primeira dizendo algo como:
“O que é que tem a ver um triângulo ter três lados com o fato de o número sete ser primo?”
Quanto à segunda, é quase certo que alguém a recusasse alegando algo como:
“Para começar, um quadrado não tem sete lados, mas quatro. E mesmo que Ɵ vesse, isto não tem nada a ver com falar-se ou não o português no Brasil”.
Esse po de recusa parece razoável, pois nestas afi rmações falta algo que relacione a primeira parte da proposição (condição) com a segunda (conclusão).
No entanto, segundo as regras da Lógica, estas duas proposições são verdadeiras!
Para verifi carmos isto, basta analisarmos cada uma delas seguindo as regras estudadas:
Vejamos:
Proposição: Se um triângulo tem três lados então o número sete é primo.
Esta é uma proposição do po “Se A então B”.
A condição da proposição é:
A: Um triângulo tem três lados.
(verdade) A conclusão é:
B: O número sete é primo.
(verdade)
Como sabemos, uma proposição condicional onde a condição e a conclusão sejam, ambas, verdadeiras será ela mesma, também, verdadeira.
Confi ra na tabela-verdade:
A B A → B
V V V
V F F
F V V
F F V
Proposição: Se um quadrado tem sete lados então fala-se o português no Brasil”
A proposição é do po “Se A então B”.
Condição da sentença:
A: Um quadrado tem sete lados.
(falso)
Conclusão da sentença é:
B: Fala-se o português no Brasil.
(verdade)
Como sabemos, TODA proposição condicional com condição FALSA é, sempre, VERDADEIRA (independentemente de a conclusão ser verdadeira ou falsa).
Confi ra na tabela-verdade:
A B A → B
V V V
V F F
F V V
F F V
Assim, percebemos que, para a Lógica, o valor lógico de uma proposição composta independe da existência de qualquer relação entre as proposições dadas.
Bicondicional: A se e somente se B
Denominamos bicondicional a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conec vo “se e somente se”.
A proposição bicondicional “A se e somente se B” pode ser representada simbo- licamente como:
A B
Exemplo: Dadas as proposições simples:
A: Adalberto é meu o.
B: Adalberto é irmão de um de meus pais.
A proposição bicondicional “A se e somente se B” pode ser escrita como:
A B: Adalberto é meu o se e somente se Adalberto é irmão de um de meus pais.
Como o próprio nome e símbolo sugerem, uma proposição bicondicional “A se e somente se B” equivale à proposição composta “se A então B e se B então A”.
Podem-se empregar também como equivalentes de “A se e somente se B” as seguintes expressões:
A se e só se B;
Todo A é B e todo B é A;
Todo A é B e reciprocamente;
Se A então B e reciprocamente;
A é necessário e sufi ciente para B;
A é sufi ciente para B e B é sufi ciente para A;
A é necessário para B e B é necessário para A.
A proposição bicondicional “A se e somente se B” é verdadeira somente quando A e B têm o mesmo valor lógico (ambas são verdadeiras ou ambas são falsas), sendo falsa quando A e B têm valores lógicos contrários.
Na tabela-verdade apresentada a seguir podemos observar os resultados da proposição bicondicional “A se e somente se B” para cada um dos valores que A e B podem assumir.
A B A B
V V V
V F F
F V F
F F V
Sentenças Abertas
Dizemos que uma expressão P(x) é uma sentença aberta na variável x se, e so- mente se, P(x) se tornar uma proposição sempre que subs tuirmos a variável x por qualquer elemento pertencente a certo conjunto denominado universo de discurso.
Note que, ao subs tuirmos a variável da sentença aberta por um elemento dado do seu universo de discurso, a proposição resultante não tem que ser Verdadeira.
Exemplo: A expressão 2x + 5 = 25 é uma sentença aberta na variável x. Quando subs tuímos a variável pelo número 5 obtemos uma proposição Falsa: 2(5) + 5 = 25.
Tautologia
Uma proposição composta é uma tautologia se e somente se ela for sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos das proposições que a compõem.
Deste modo, quando uma proposição composta for uma tautologia, a úl ma co- luna de sua tabela-verdade será o valor lógico V (verdadeiro) em todas as suas linhas.
Exemplo:
A proposição “Se (A e B) então (A ou B)” é uma tautologia, pois é sempre verda- deira independentemente dos valores lógicos de A e de B, como se pode observar na tabela-verdade abaixo:
A B A e B A ou B (A e B) (A ou B)
V V V V V
V F F V V
F V F V V
F F F F V
Contradição
Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições é uma contra- dição se e somente se ela for sempre falsa, independentemente dos valores lógicos das proposições que a compõem.
Portanto, quando uma proposição composta for uma contradição a úl ma coluna de sua tabela-verdade será o valor lógico F (falso) em todas as suas linhas.
Exemplo:
A proposição “A se e somente se não A” é uma contradição pois é sempre falsa, independentemente dos valores lógicos de A e de não A, como se pode observar na tabela-verdade abaixo:
A ~A A ~A
V F F
F V F
O exemplo acima mostra que uma proposição qualquer A e sua negação, ~A, nunca serão ambas verdadeiras nem ambas falsas.
Relação entre Tautologia e Contradição
Sabemos que uma tautologia é sempre verdadeira enquanto uma contradição, sempre falsa, daí pode-se concluir que:
A negação de uma tautologia é sempre uma contradição.
e
A negação de uma contradição é sempre uma tautologia.
Con ngência
Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições é uma con- Ɵ ngência se e somente se for possível que ela seja verdadeira tanto quanto que ela também seja falsa, dependendo dos valores lógicos das proposições que a compõem.
Assim, quando uma proposição composta for uma con ngência, a úl ma coluna de sua tabela-verdade deverá apresentar o valor lógico V (verdadeiro) pelo menos uma vez e, também, o valor lógico F (falso) pelo menos uma vez.
Exemplo:
A proposição “Se A então B” é uma con ngência, pois será Falsa quando A for Verdadeira e B Falsa, sendo Verdadeira em todos os outros casos.
As Três Leis Fundamentais do Pensamento Lógico
Alguns autores citam três princípios como sendo fundamentais para o pensamento lógico.
Princípio da Iden dade
Se uma proposição qualquer é verdadeira, então ela é verdadeira.
Em símbolos:
P P
Princípio da Não Contradição
Nenhuma proposição pode ser verdadeira e também ser falsa.
Em símbolos:
~(P ~P)
Princípio do Terceiro Excluído
Uma proposição ou é verdadeira ou é falsa.
Em símbolos:
ou P ou ~P Implicação Lógica
Dizemos que a proposição A implica (ou acarreta) a proposição B se, e somente se, for impossível termos simultaneamente A verdadeira e B falsa na proposição condicional “Se A então B” (em símbolos: AB).
Quando A implica B anotamos:
A B
(lê-se: A implica B ou A acarreta B) Propriedades da Implicação Lógica
São propriedades da relação de implicação lógica:
1ª – A A (refl exiva);
2ª – Se A B e se B C então A C (transi va);
3ª – A implicação lógica NÃO é simétrica.
Proposições Logicamente Equivalentes
Dizemos que duas proposições são logicamente equivalentes ou simplesmente equivalentes quando sa sfazem às duas condições seguintes:
1o – são compostas pelas mesmas proposições simples;
2o – têm tabelas-verdade idênƟ cas.
Uma consequência prá ca da equivalência lógica é que ao trocar uma dada proposição por qualquer outra que lhe seja equivalente, estamos apenas mudando a maneira de dizê-la.
A equivalência lógica entre duas proposições, A e B, pode ser representada sim- bolicamente como:
A B
(lê-se: A é equivalente a B)
As proposições A e B serão equivalentes se, e somente se, for impossível termos simultaneamente A verdadeira com B falsa ou A falsa com B verdadeira na proposição bicondicional “ A se, e somente se, B” (em símbolos: AB).
Regras de Equivalência
Da defi nição de equivalência lógica podem-se demonstrar as seguintes equiva- lências:
1. A A (refl exiva);
2. Se A B então B A (simétrica);
3. Se A B e se B C então A C (transi va);
4. Se A e B são duas tautologias então A B;
5. Se A e B são duas contradições então A B.
Leis de comuta vidade 6. A B B A 7. A B B A 8. A B B A 9. A B B A Leis de associa vidade 10. (A B) C A (B C) 11. (A B) C A (B C) Leis de distribu vidade
12. A (B C) (A B) (A C) 13. A (B C) (A B) (A C)
Lei da dupla negação 14. ~(~A) A
Equivalências da Condicional 15. A B ~A B 16. A B ~B ~A Equivalências da Bicondicional 17. A B (A B) (B A) 18. A B (A B) (~B ~A) 19. A B ~(A B)
Leis de Morgan
20. ~(A B) ~A ~B 21. ~(A B) ~A ~B
Negação de Proposições Compostas
Um problema de grande importância para a lógica é o da iden fi cação de proposi- ções equivalentes à negação de uma proposição dada. Negar uma proposição simples é uma tarefa que não oferece grandes obstáculos. Entretanto podem surgir algumas difi culdades quando procuramos iden fi car a negação de uma proposição composta.
Como vimos anteriormente, a negação de uma proposição deve ter sempre valor lógico oposto ao da proposição dada. Deste modo, sempre que uma proposição A for verdadeira, a sua negação não-A deve ser falsa e sempre que A for falsa, não-A deve ser verdadeira.
Em outras palavras a negação de uma proposição deve ser contraditória com a proposição dada.
A tabela a seguir mostra as equivalências mais comuns para as negações de algu- mas proposições compostas:
Proposição Negação direta Equivalente da Negação
A e B Não (A e B) Não A ou não B
A ou B Não (A ou B) Não A e não B Se A então B Não (se A então B) A e não B A se e
somente se B
Não (A se e somente se B)
Ou A ou B
Todo A é B Não (todo A é B) Algum A não é B Algum A é B Não (algum A é B) Nenhum A é B
Diagramas Lógicos
Um diagrama lógico é um esquema que busca representar as relações existentes entre as diversas partes que compõem uma proposição.
O modelo mais comum para diagramas lógicos é o dos diagramas de Venn-Euler.
Neste capítulo aprofundaremos nossos estudos sobre os digramas lógicos estu- dando uma variação do modelo de Venn-Euler que nos permi rá uma representação mais precisa do que aquela vista anteriormente.
Universo de discurso (U)
Denomina-se universo de discurso o conjunto de tudo o que se admite como possível em um dado contexto.
Deste modo, qualquer proposição possível será um subconjunto do universo de discurso.
O universo de discurso será sempre indicado pela região interna de um retângulo.
Cada proposição é indicada por uma região delimitada dentro do universo de discurso.
U = universo de discurso A = proposição
Uma proposição é verdadeira em qualquer ponto dentro de sua região sendo falsa em todos os demais pontos do universo de discurso.
Na região 1 a proposição A é verdadeira.
Na região 2 a proposição A é falsa.
Na região 1 A e B são falsas.
Na região 2 A é verdadeira e B é falsa.
Na região 3 A e B são verdadeiras.
Na região 4 A é falsa e B é verdadeira.
Ao representar uma estrutura lógica por um diagrama lógico somente as regiões para as quais o resultado da tabela-verdade da estrutura representada for verdadeiro serão sombreadas.
Diagrama Lógico da Negação
Num diagrama de conjuntos, se a proposição A for representada pelo conjunto A, então a negação “não-A” corresponderá ao conjunto complementar de A.
Diagrama Lógico da Conjunção
Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos através de um diagrama, a conjunção “A B” corresponderá à interseção do conjunto A com o conjunto B, A B.
Diagrama Lógico da Disjunção
Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos através de um dia- grama, a disjunção “A B” corresponderá à união do conjunto A com o conjunto B.
Diagrama Lógico da Disjunção Exclusiva
Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos através de um dia- grama, a disjunção exclusiva “A B” corresponderá à união da parte do conjunto A que não está em B (AB) com a parte do conjunto B que não está em A (BA).
(AB) (BA)
Observe que isto equivale à diferença entre a união e a interseção dos conjuntos A e B.
(AB) (A B)
Diagramas Lógicos da Condicional “A B”
Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos através de um dia- grama, a proposição condicional “Se A então B” poderá ser indicada de dois modos:
1º Como nos casos anteriores, sombreando somente as regiões dos conjuntos A e B correspondentes às linhas cujo resultado é V na tabela-verdade da proposição condicional.
2º Como a inclusão do conjunto A no conjunto B (A está con do em B).
Diagramas Lógicos da Bicondicional
Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos através de um dia- grama, a proposição bicondicional “A se e somente se B” corresponderá à igualdade dos conjuntos A e B.
Proposições Categóricas
Na lógica clássica (também chamada lógica aristotélica) o estudo da dedução era desenvolvido usando-se apenas quatro pos especiais de proposições, denominadas proposições categóricas.
As proposições categóricas podem ser universais ou parƟ culares, cada uma destas podendo ser afi rmaƟ va ou negaƟ va. Temos, portanto, quatro proposições categóricas possíveis.
As quatro proposições categóricas possíveis, em suas formas ơ picas, são apre- sentadas no quadro seguinte:
Afi rma vas Nega vas Universais Todo A é B. Nenhum A é B.
Par culares Algum A é B. Algum A não é B.
Sujeito e Predicado de uma Proposição Categórica
Dada uma proposição categórica em sua forma pica chamamos de:
– sujeito o elemento da sentença relacionado ao quan fi cador da proposição;
– predicado o elemento que se segue ao verbo.
Exemplos:
Proposições
Categóricas Sujeito Predicado Todo atleta nato é um ven-
cedor
atleta nato um vencedor Nenhum ser vivo é imortal ser vivo imortal Algum quadro é obra de arte quadro obra de arte Algum polí co não é honesto polí co honesto
Representações Gráfi cas
Deve-se ao matemá co suíço Leonhard Euler (1707-1783) a ideia de representar as proposições categóricas por meio de diagramas que, por isto, são denominados diagramas de Euler ou diagramas lógicos.
Nas representações gráfi cas das proposições categóricas considere o signifi cado dos seguintes sinais que aparecerão em certas regiões dos conjuntos citados:
Sinal Signifi cado
x Esta região tem pelo menos um elemento.
? Esta região pode ter elementos ou não.
Todo A é B.
Algum A é B.
Nenhum A é B.
Algum A não é B.
Neste úl mo caso é importante lembrar que o conjunto B não poderá resultar total- mente vazio. Isto se deve em obediência a um dos princípios da lógica das proposições categóricas que estabelece que “toda classe tem que possuir pelo menos um elemento”.
Quan fi cação
A quan fi cação é uma forma de estabelecer uma relação entre sujeito e predicado de uma proposição.
Quando dizemos “Todo atleta é um batalhador”, estamos fazendo referência a dois conjuntos – o conjunto daqueles que são atletas e o conjunto daqueles que são batalhadores. Assim, o sen do da sentença é que “todo aquele que pertença ao con- junto dos atletas, também pertence ao conjunto dos batalhadores”.
Na teoria dos conjuntos, os elementos de um conjunto é que são quan fi cados para que se possa estabelecer sua relação de per nência com um outro conjunto.
Representação Simbólica
Os quan fi cadores são representados por símbolos especiais e sua leitura é feita de modo ligeiramente diferente daquela como usamos nas proposições categóricas.
Q S S
Universal Todo,Para todo ou
Qualquer que seja
Par cular Existe algum
Par cular nega vo
Não existePar cular exclusivo I Existe um único
Exemplos:
Universal afi rma va:
Todo A é B.
x, xA xB
(para todo x, se xA então xB) Universal nega va:
Nenhum A é B.
x, xA xB
(para todo x, se xA então xB) Par cular afi rma va:
Algum A é B.
x, xA xB
(existe algum x tal que xA e xB) Par cular nega va:
Nenhum A é B.
x, xA xB(não existe x tal que xA e xB) Relações Quan fi cacionais
Duas proposições categóricas dis ntas, que tenham mesmo sujeito e mesmo predicado, ou não poderão ser ambas verdadeiras ou não poderão ser ambas falsas, ou as duas coisas.
Dizemos que estarão sempre em oposição.
São quatro os pos de oposição.
Observe o quadro a seguir que é conhecido como quadro de oposições.
1. Contraditórias – Uma proposição categórica qualquer e sua negação lógica são ditas contraditórias.
“Todo A é B” e “Algum A não é B” são contraditórias.
“Nenhum A é B” e “Algum A é B” são contraditórias.
Duas proposições contraditórias não podem ser ambas verdadeiras nem ambas falsas, tendo sempre valores lógicos opostos.
– Se soubermos que uma proposição qualquer é verdadeira, poderemos garan r que a sua contraditória será falsa.
– Se soubermos que uma proposição qualquer é falsa, poderemos garan r que a sua contraditória será verdadeira.
2. Contrárias – Uma afi rmaƟ va universal e a correspondente negaƟ va universal são ditas contrárias.
“Todo A é B” e “Nenhum A é B” são contrárias.
Duas sentenças contrárias nunca são ambas verdadeiras, mas podem ser ambas falsas.
– Se soubermos que uma universal qualquer é verdadeira poderemos garan r que a sua contrária é falsa.
– Por outro lado se soubermos que uma universal qualquer é falsa não poderemos garan r que a sua contrária seja falsa também.
3. Subcontrárias – Uma afi rmaƟ va parƟ cular e a correspondente negaƟ va par- Ɵ cular são ditas subcontrárias.
“Algum A é B” e “Algum A não é B” são subcontrárias.
Duas sentenças subcontrárias nunca são ambas falsas, mas podem ser ambas verdadeiras.
– Se soubermos que uma proposição par cular é falsa, poderemos garan r que a sua subcontrária é verdadeira.
– Por outro lado, se soubermos que uma proposição par cular é verdadeira não poderemos garan r que sua subcontrária seja verdadeira também.
4. Subalternas – Duas afi rma vas ou duas nega vas (sendo uma universal e sua par cular correspondente) são ditas subalternas.
“Todo A é B” e “Algum A é B” são subalternas.
“Nenhum A é B” e “Algum A não é B” são subalternas.
– Se soubermos que uma proposição universal é verdadeira então poderemos garan r que sua subalterna par cular também será verdadeira. A recíproca (da par cular para a universal) não pode ser garan da.
– Se soubermos que uma proposição par cular é falsa então poderemos garan r que sua subalterna universal será falsa também. A recíproca (da universal para a par cular) não pode ser garan da.
Existe uma forma simples de resumirmos o comportamento de duas proposições subalternas.
1º – Monte uma sentença condicional colocando as proposições subalternas na seguinte ordem:
Se (Universal) então (ParƟ cular)
2º – Marque o valor lógico (V ou F) junto da parte que contém a proposição cujo valor lógico é conhecido.
3º – Deduzimos quais valores lógicos poderão ter a subalterna restante de modo que a sentença condicional seja verdadeira.
Exemplos:
1. Sabemos que a proposição universal é verdadeira.
Se (universal) então (par cular)
V V
Portanto, a proposição parƟ cular também é verdadeira.
2. Sabemos que a proposição universal é falsa.
Se (universal) então (par cular)
F V ou F
Portanto, a proposição parƟ cular pode ser verdadeira ou falsa.
3. Sabemos que a proposição parƟ cular é verdadeira.
Se (universal) então (par cular)
V ou F V
Portanto, a proposição universal pode ser verdadeira ou falsa.
4. Sabemos que a proposição parƟ cular é falsa.
Se (universal) então (par cular)
F F
Portanto, a proposição universal também é falsa.
Argumento
Denomina-se argumento a relação que associa um conjunto de proposições P1, P2, ... Pn, chamadas premissas do argumento, a uma proposição C a qual chamamos de conclusão do argumento.
{P1, P2, ... Pn} ⇢ C
No lugar dos termos “premissa” e “conclusão” podem ser empregados os termos correspondentes “hipótese” e “tese”, respec vamente.
premissa = hipótese conclusão = tese Silogismo
Um argumento formado por exatamente três proposições, sendo duas como premissas e a outra como conclusão, é denominado silogismo.
{ P1, P2 } ⇢ C
Assim, são exemplos de silogismos os seguintes argumentos:
I. P1: Todos os arƟ stas são apaixonados.
P2: Todos os apaixonados gostam de fl ores.
C : Todos os arƟ stas gostam de fl ores.
II. P1: Todos os apaixonados gostam de fl ores.
P2: Míriam gosta de fl ores.
C : Míriam é uma apaixonada.
Silogismos Categóricos
Um silogismo é denominado categórico quando:
1o É composto por três proposições categóricas;
2o As três proposições categóricas devem conter, ao todo, três únicos termos;
3o Cada um dos termos deve ocorrer em exatamente duas das três proposições que compõem o silogismo.
Exemplo:
No silogismo:
P1: Todo bom atleta é persistente.
P2: Hudson é um bom atleta.
C: Hudson é persistente.
Os três termos são:
bom atleta – que ocorre nas duas premissas, P1 e P2;
persistente – que ocorre na primeira premissa e na conclusão;
Hudson – que ocorre na segunda premissa e na conclusão.
Termos de um Silogismo
Cada um dos termos que ocorrem num silogismo categórico tem um nome especial:
– Termo médio (M): é aquele que ocorre nas duas premissas.
– Termo maior (T): é o termo que ocorre como predicado da conclusão.
– Termo menor (t): é o termo que ocorre como sujeito da conclusão.
Forma Típica de um Silogismo Categórico
Um silogismo categórico é dito de forma ơ pica quando sa sfaz às três seguintes condições:
1o As três proposições categóricas que o integram estão em suas formas ơ picas;
2o A primeira premissa (premissa maior) tem o predicado da conclusão (termo maior) como um de seus termos;
3o A segunda premissa (premissa menor) tem o sujeito da conclusão (termo menor) como um de seus termos.
Exemplo:
Observe o silogismo categórico seguinte:
P1: Todo ar sta é brincalhão.
P2: Todo brincalhão é cortês.
C: Todo ar sta é cortês.
Este silogismo não está na forma ơ pica, pois o seu termo maior (cortês) está presente na segunda premissa e não na primeira.
Para colocá-lo na forma pica, no entanto, basta permutarmos a premissas entre si. Assim teremos:
P1: Todo brincalhão é cortês.
P2: Todo ar sta é brincalhão.
C: Todo ar sta é cortês.
Figura
Num silogismo categórico, na forma pica a posição do termo médio em cada uma das duas premissas varia de um silogismo para outro havendo quatro situações possíveis.
Cada uma dessas quatro situações corresponde a uma fi gura, conforme segue:
Primeira Figura – O termo médio ocorre “nos extremos”, ou seja, o termo médio ocorre como sujeito da primeira premissa e como predicado da segunda premissa.
Segunda Figura – O termo médio ocorre como predicado nas duas premissas.
Terceira Figura – O termo médio ocorre como sujeito nas duas premissas.
Quarta Figura – O termo médio ocorre “nos meios”, ou seja, o termo médio ocorre como predicado da primeira premissa e como sujeito da segunda premissa. É, portanto o inverso da primeira fi gura.
Modo
O modo de um silogismo de forma pica é determinado pelos Ɵ pos de proposições categóricas usados em sua construção.
Cada modo é representado por três vogais, cada uma delas indicando uma pro- posição categórica de modo que:
– A primeira vogal indica o po da proposição categórica da premissa maior;
– A segunda vogal indica o po da proposição categórica da premissa menor;
– A terceira vogal indica o po da proposição categórica da conclusão.
As vogais representa vas das proposições categóricas são:
A: Universal Afi rma va – Todo X é Y.
E: Universal Nega va – Nenhum X é Y.
I : Par cular Afi rma va – Algum X é Y.
O: Par cular Nega va – Algum X não é Y.
Exemplo:
O silogismo
“Todos os cantores são pessoas vaidosas;
Algumas pessoas vaidosas são chatas.
Logo, alguns cantores são pessoas chatas.”
É um silogismo do modo AII pois a primeira premissa é do po A (universal afi r- ma va) enquanto a segunda premissa é do po I (par cular afi rma va) e a conclusão é do po I (par cular afi rma va).
Além disso, podemos dizer também que este silogismo é da quarta fi gura, pois o termo médio ocorre nos “meios” das duas premissas.
Se enumerarmos todos os modos possíveis para um silogismo, verifi caremos que eles são, ao todo, 64.
1 2 3 4 5 6 7 : : : 64
AAA AAE AAI AAO
AEA AEE AEI : : : OOO Forma
Como podemos observar dos conceitos que estudamos de fi gura e de modo, um silogismo não é completamente caracterizado somente por sua fi gura nem somente por seu modo.
Ou seja, podemos ter dois silogismos categóricos de modos diferentes mas de mesma fi gura, assim como podemos ter dois silogismos categóricos de fi guras dife- rentes mas de mesmo modo.
Para caracterizarmos completamente um silogismo categórico, devemos iden fi car, conjuntamente, tanto seu modo quanto sua fi gura.
Ao defi nirmos tanto o modo quanto a fi gura de um silogismo, estamos iden fi - cando a sua forma.
( modo ) + ( fi gura ) = ( forma ) Exemplo:
Considere o seguinte silogismo categórico:
“Todo elemento perigoso é potencialmente nocivo à sociedade;
Todo motorista desatento é um elemento perigoso;
Logo, todo motorista desatento é potencialmente nocivo à sociedade”
é um silogismo da forma AAA-1 (modo AAA – primeira fi gura) Número de Formas Possíveis de Silogismos
Cada um dos 64 modos possíveis de um silogismo pode ocorrer em qualquer uma das 4 fi guras.
Portanto temos 644 = 256
Este é o total de formas diferentes possíveis para os silogismos.
De todos os 256 silogismos categóricos possíveis, somente uma pequena parte cons tui argumentos válidos, conceito este que passaremos a estudar a seguir.
Argumento Válido
Dizemos que um argumento é válido ou ainda que ele é legíƟ mo ou bem construído quando a sua conclusão é uma consequência obrigatória do seu conjunto de premissas.
Posto de outra forma:
Um argumento é válido quando, ao assumirmos as pre- missas do argumento como verdadeiras, a verdade da conclusão fi ca logicamente estabelecida.
Isto signifi ca que, num argumento válido, jamais poderemos ter uma conclusão falsa quando as premissas forem verdadeiras.
É importante observar que o estudo dos argumentos ocupa-se tão somente da validade destes e não leva em conta se as proposições que o compõem são realmente verdadeiras ou não.
Deste modo, ao se discu r a validade de um argumento é irrelevante saber se as premissas são realmente verdadeiras ou não.
Tudo que precisamos fazer é assumir que as premissas sejam todas verdadeiras e verifi car se isto obriga ou não a conclusão a ser também verdadeira.
Exemplo:
Considere o silogismo:
“Todos os pardais adoram jogar xadrez.
Nenhum enxadrista gosta de óperas.
Portanto, nenhum pardal gosta de óperas.”
Este silogismo está perfeitamente bem construído (veja o diagrama abaixo), sendo, portanto, um argumento válido muito embora a verdade das premissas seja ques onável.
Op = Conjunto dos que gostam de Óperas X = Conjunto dos que adoram jogar xadrez P = Conjunto dos pardais
Pelo diagrama pode-se perceber que nenhum elemento o conjunto P (pardais) pode pertencer ao conjunto Op (os que gostam de Óperas).
Argumento Inválido
Dizemos que um argumento é inválido, também denominado ilegíƟ mo, mal cons- truído ou falacioso, quando a verdade das premissas não é sufi ciente para garan r a verdade da conclusão.
Exemplo:
O silogismo:
“Todos os alunos do curso, passaram.
Maria não é aluna do curso.
Portanto, Maria não passou.”
é um argumento inválido, falacioso, mal construído, pois as premissas não ga- rantem (não obrigam) a verdade da conclusão (veja o diagrama abaixo).
P = Conjunto das pessoas que passaram.
C = Conjunto dos alunos do curso.
m = Maria.
Pelo diagrama vê-se que Maria pode ter passado mesmo sem ser aluna do curso.
(a primeira premissa não afi rmou que somente os alunos do curso haviam passado).
Na tabela abaixo podemos ver um resumo das situações possíveis para um ar- gumento:
Se um argumento é...
e as premissas... então a conclusão será:
Válido
(bem construído)
são todas verda- deiras
n e ce s s a r i a m e nte Verdadeira.
não são todas ver- dadeiras
ou Verdadeira ou Falsa.
Se um argumento é...
e as premissas... então a conclusão será:
Inválido (mal construído)
I n d e p e n d e n t e - mente de serem ou não todas ver- dadeiras
ou Verdadeira ou Falsa.
Noções sobre Cálculo de Predicados de 1a Ordem
Não existe um meio efe vo de testar a validade de todos os argumentos possíveis.
Daí surge o interesse no desenvolvimento de um método que permita a dedução da conclusão de um argumento qualquer, ou seja, o cálculo axiomáƟ co de predicados.
Este assunto é vasto e uma abordagem completa exigiria, primeiramente, que se fundamentasse axioma camente o cálculo proposicional.
Faremos a seguir um breve resumo do assunto.
Sentenças Abertas
Considere uma expressão p(x) capaz de ser lida como uma proposição para cada valor atribuído a x num dado conjunto U não vazio, ou seja, p(x) ou é verdadeira ou é falsa para todo x pertencente a U.
Nessas condições dizemos que p(x) é uma sentença aberta em U.
Se p(x) é uma sentença aberta no conjunto U então esse conjunto é chamado conjunto-universo de discussão da sentença enquanto x é chamado variável de dis- cussão da sentença.
Exemplos:
Sentença aberta p(x) Universo Valor de p(2)
x > 3 Z Falso
2x+1 = 5 Z Verdadeiro
3x=10 Z Falso
Quando p(u) for verdadeira para algum u U dizemos que esse u confi rma p(x) ou ainda que u é uma solução de p(x).
É preciso fi car bem claro que as sentenças abertas não são verdadeiras nem são falsas. Ao subs tuirmos as variáveis das sentenças abertas por valores específi cos as sentenças tornam-se proposições. Estas sim é que são ou verdadeiras ou falsas. Por esse mo vo é que as sentenças abertas também são chamadas de funções proposicionais.
Conjunto-Verdade
Chama-se conjunto-verdade de p(x) em U, ou conjunto-solução de p(x) em U, ao conjunto que reúne todos os elementos de U que sejam solução de p(x), ou seja, para os quais p(x) é verdadeira.
O conjunto-verdade é representado costumeiramente por V ou por S.
V = {u U| p(u) é verdadeira}.
Exemplos:
Sentença aberta Universo Conjunto-Verdade x > 3 Z V={4, 5, 6, 7, 8, ...}
2x+1 = 5 Z V={2}
3x=10 Q V={10/3}
3x=10 Z V =
Sentenças com duas ou mais Variáveis
Uma sentença aberta pode ter duas ou mais variáveis.
p(x, y) sentença aberta nas variáveis, x e y.
p(x, y, z) sentença aberta nas variáveis, x, y e z.
p(x, y, z, w) sentença aberta nas variáveis, x, y, z e w.
No conjunto-verdade de uma sentença aberta com duas ou mais variáveis os elementos serão representados por pares ordenados ou por seus análogos para mais variáveis.
Exemplos:
– O conjunto-verdade da sentença aberta xy = 5 em Z será:
V={(1;5), (5;1), (−1; −5), (−5; −1)}
– O conjunto-verdade da sentença aberta 0 < (x+y+z) < 4 em N será:
V={(1; 1; 2), (1; 2; 1), (2; 1; 1)}
Operações lógicas sobre sentenças abertas
As operações lógicas proposicionais podem ser associadas às sentenças abertas criando outras sentenças abertas.
Assim, se p(x) e q(x) forem duas sentenças abertas quaisquer, serão também sentenças abertas:
~p(x)
~q(x) p(x) q(x) p(x) q(x) p(x) → q(x) p(x) ↔ q(x)
etc.
Propriedades
Se p(x) e q(x) são sentenças abertas discu das no universo U e Vp representa o conjunto-verdade de p(x), então valem as seguintes propriedades:
P1. O conjunto-verdade da negação ~p(x) é o complemento do conjunto verdade de p(x).
V~p = U − Vp
P2. O conjunto-verdade da disjunção p(x) q(x) é a união dos seus conjuntos- -verdade.
Vpq = Vp Vq
P3. O conjunto-verdade da conjunção p(x) q(x) é a interseção dos seus conjuntos- -verdade.
Vpq = Vp ∩ Vq
P4. O conjunto-verdade da condicional p(x) → q(x) é a união dos conjuntos-verdade de ~p(x) e de q(x).
Vp→q = V~p Vq
P5. O conjunto-verdade da bicondicional p(x) ↔ q(x) é a interseção dos conjuntos- -verdade de ~p(x) e de ~q(x).
Vp↔q = V~p ∩ V~q
Quan fi cação
Existem duas maneiras de se transformar uma sentença aberta em uma proposição.
Uma delas é atribuindo valores a suas variáveis. A outra é fazer uso da quanƟ fi cação.
As quan fi cações estabelecem relações de inclusão ou exclusão entre sujeito e predicado em certas sentenças que funcionarão como proposições.
O quadro seguinte resume as quatro proposições quan fi cacionais fundamentais:
Afi rma va Nega va Universal Todo A é B. Nenhum A é B.
Par cular Algum A é B. Algum A não é B.
Símbolos Quan fi cacionais
Quando dizemos “Todo atleta é um batalhador.” estamos fazendo referência a dois conjuntos – o conjunto daqueles que são atletas e o conjunto daqueles que são bata- lhadores. Assim, o sen do da sentença é que “todo aquele que pertença ao conjunto dos atletas, também pertence ao conjunto dos batalhadores”.
Na teoria dos conjuntos os elementos de um conjunto é que são quan fi cados para que se possa estabelecer sua relação de per nência com outro conjunto.
Os quan fi cadores são representados por símbolos especiais e sua leitura é usu- almente feita de modo ligeiramente diferente daquela como usamos nas proposições categóricas.
Quan fi cador Símbolo Signifi cado
Universal Todo,
Para todo ou Qualquer que seja
Par cular Existe algum
Par cular nega vo
Não existePar cular exclusivo I Existe um único Exemplos
Universal afi rma va:
Todo A é B.
x, xA → xB (para todo x, se xA então xB)
Universal nega va:
Nenhum A é B.
x, xA → xB (para todo x, se xA então xB) Par cular afi rma va:
Algum A é B.
x, xA xB
(existe algum x tal que xA e xB) Par cular nega va:
Nenhum A é B.
x, xA xB (não existe x tal que xA e xB) Par cular exclusiva:Só existe um número real que sa sfaz a igualdade x+2 = 6
I x, x R, x+2 = 6
(existe um único x tal que x R e x+2 = 6) Variáveis Livres
Dizemos que uma variável é livre em uma dada sentença se ela não está ligada a algum quan fi cador.
Exemplos
x ≤ 3 (x é variável livre)
x (x ≠ w) (x não é variável livre mas w é)
x (y (x ≥ y) ) (nem x nem y é livre) Regras de Inferência
Nas regras apresentadas abaixo:
– uma vírgula separa duas premissas;
– o sinal lê-se portanto e separa as premissas da conclusão;
– as premissas estão sempre à esquerda do sinal ; – a conclusão está sempre à direita do sinal ;
– Rec. signifi ca teorema recíproco do apresentado na linha anterior.
1. modus ponens A , AB B
2. modus tollens AB , ~B ~A 3. dupla negação
~(~B) B
4. introdução da conjunção A, B A B
5. eliminação da conjunção A B A
A B B 6. adição A, B A B
7. silogismo hipotéƟ co AB , BC AC 8. silogismo disjunƟ vo A B , ~A B A B , ~B A 9. dilema construƟ vo
(AB) (CD), A C B D 10. dilema destruƟ vo
(AB) (CD), ~B ~D A C Teoremas
T1- (A B) , BC (A C) T2- AB BA Rec- BA AB T3- AB , (AB) B T4- (A B) C A (BC) Rec- A (BC) (A B) C
T5- (A B) (C C) AB ( princ. da não contradição) T6- A (B C) , B AC
Proposições Dependentes
Sejam P1 e P2 duas proposições quaisquer. Dizemos que P2 é dependente de P1 se, e somente se, o valor lógico de P2 depende do valor lógico dado a P1.
Ou seja, pelo menos uma das seguintes situações deve ocorrer:
P1 Verdadeira obriga P2 Verdadeira ou
P1 Verdadeira obriga P2 Falsa ou
P1 Falsa obriga P2 Verdadeira ou
P1 Falsa obriga P2 Falsa
Dependência entre Proposições
Quanto à dependência entre duas proposições dadas, P1 e P2, podem ocorrer somente duas situa ções dis ntas:
1ª Nenhuma das duas proposições tem seu o valor lógico dependente do valor lógico da outra. Neste caso dizemos que não existe dependência ou ainda que as proposições consideradas são independentes.
2ª Cada uma das proposições tem seu o valor lógico dependente do valor lógico da outra. Neste caso dizemos que existe dependência ou ainda que as proposições consideradas são dependentes.
Exemplos: Considere as seguintes proposições:
A: Ana é alta;
B: Beto é baixo;
C: Ana não é alta;
D: Se Ana é Alta então Beto é baixo.
As proposições A e B são independentes, pois, em princípio, pode-se ter qualquer uma delas verdadeira ou falsa independentemente do valor lógico que seja atribuído à outra.
As proposições A e C são dependentes. De fato uma vez que se tenha atribuído algum valor lógico a uma delas, a outra, necessariamente fi cará obrigada ao valor lógico oposto, dado que C é a negação de A.
As proposições A e D também são dependentes. Isto pode ser constatado obser- vando que ao colocarmos qualquer uma das duas com Falsa a outra, obrigatoriamente, será Verdadeira.
Número de Linhas de uma Tabela-Verdade
Se uma tabela-verdade tem como componentes as proposições P1, P2, ..., Pn, duas a duas independentes, então o número de linhas desta tabela-verdade será igual a:
n n
L 2
Exemplo: Sejam P1, P2 e P3, três proposições independentes entre si, então a tabela verdade da proposição composta “(P1 e P2) ou não-P3” terá 23 = 8 linhas, como se pode ver abaixo:
P1 P2 P3 (P1 e P2) não-P3 (P1 e P2) ou não-P3
1 V V V V F V
2 V V F V V V
3 V F V F F F
4 V F F F V V
5 F V V F F F
6 F V F F V V
7 F F V F F F
8 F F F F V V
Exercícios Resolvidos
1. Todos os bons estudantes são pessoas tenazes. Assim sendo:
a) Alguma pessoa tenaz não é um bom estudante.
b) O conjunto dos bons estudantes contém o conjunto das pessoas tenazes.
c) Toda pessoa tenaz é um bom estudante.
d) Nenhuma pessoa tenaz é um bom estudante.
e) O conjunto das pessoas tenazes contém o conjunto dos bons estudantes.
Solução:
Alterna va: e
Dizer que “todos os bons estudantes são pessoas tenazes” equivale a dizer que dentro do conjunto que reúne todas as pessoas tenazes acharemos todos os bons estudantes. Assim sendo, podemos dizer que o conjunto das pessoas tenazes contém o conjunto dos bons estudantes. Isto poderia ser visualizado com um diagrama de conjuntos (diagrama de Euler-Venn).
2. Represente com diagramas de conjuntos:
I) Algum A é B.
II) Algum A não é B.
III) Todo A é B.
IV) Se A, então B.
V) Nenhum A é B.
Solução:
I)
II)
III e IV)
V)
3. Dê uma negação para cada uma das proposições abaixo.
a) O tempo será frio e chuvoso.
b) Ela estudou muito ou teve sorte na prova.
c) Maria não é morena ou Regina é baixa.
d) Se o tempo está chuvoso então está frio.
e) Todos os corvos são negros.
f) Nenhum triângulo é retângulo.
g) Alguns sapos são bonitos.
h) Algumas vidas não são importantes.
Solução:
a) O tempo não será frio ou não será chuvoso.
b) Ela não estudou muito e não teve sorte na prova.
c) Maria é morena e Regina não é baixa.
d) O tempo está chuvoso e não está frio.
e) Algum corvo não é negro.
f) Algum triângulo é retângulo.
g) Nenhum sapo é bonito.
h) Todas as vidas são importantes.
4. Todo baiano gosta de “axé music”. Sendo assim:
a) Todo aquele que gosta de “axé music” é baiano.
b) Todo aquele que não é baiano não gosta de “axé music”.
c) Todo aquele não gosta de “axé music” não é baiano.
d) Algum baiano não gosta de “axé music”.
e) Alguém que não goste de “axé music” é baiano.
Solução:
Alterna va: c
Assumindo que “todo baiano gosta de ‘axé music’” podemos dizer que o conjunto dos baianos (conjunto B) encontra-se completamente dentro do conjunto dos que gostam de ‘axé music’ (conjunto A). Qualquer um que esteja fora do conjunto A não poderá estar no conjunto B pois B está dentro de A. Mas todos os que não gostam de ‘axé music’ estão fora do conjunto A. Logo todos os que não gostam de ‘axé music’ estão fora do conjunto B. Ou seja: todo aquele que não gosta de
‘axé music’ não é baiano.
5. Se Ana é altruísta então Bruna é benevolente. Se Bruna é benevolente então Cláu- dia é conservadora. Sabe-se que Cláudia não é conservadora. Nestas condições pode-se concluir que:
a) Ana não é benevolente.
b) Bruna não é altruísta.
c) Ana não é conservadora.
d) Cláudia não é altruísta.
e) Ana não é altruísta.
Solução:
Alterna va: e
Esta questão faz uso de uma estrutura bem conhecida na Lógica: a cadeia de pro- posições condicionais – A implica B que implica C ... Por outro lado, toda vez que uma proposição condicional como ‘Se A então B’ for verdadeira será verdadeira também ‘Se não-B então não-A’(repare a ordem!), onde não-B e não-A são as negações das proposições B e A, respec vamente. Deste modo, quando sabemos que ‘Se A então B’ e sabemos que B não ocorre, podemos concluir que A também não ocorre. Neste problema podemos representar a cadeia de proposições condi- cionais dada como A implica B que implica C que implica D. Como temos a negação de D, teremos também não-C, não-B e não-A consecu vamente. Ou seja: Cláudia não é conservadora, Bruna não é benevolente e Ana não é altruísta. As demais opções não podem ser aceitas como conclusões pois não há dados sufi cientes no enunciado para decidir se são verdadeiras ou se são falsas.
6. Todo atleta é bondoso. Nenhum celta é bondoso. Daí pode-se concluir que:
a) Algum atleta é celta.
b) Nenhum atleta é celta.
c) Nenhum atleta é bondoso.
d) Alguém que seja bondoso é celta.
e) Ninguém que seja bondoso é atleta.
