Selecção das seguintes opções na janela Method:

Cluster Method: BETWEEN-GROUPS LINKAGE Measure: INTERVAL;

EUCLIDEAN DISTANCE;

2.4.2. Noções de densidade e de distância inter-grupal

Ao utilizar-se o conceito de distância económica na delimitação de regiões, haverá que distinguir:

- As distâncias entre espaços elementares;

- As distâncias inter-grupais, ou seja, entre os agrupamentos que se vão constituindo.

Se A é um território constituído por um conjunto de espaços elementares r, temos que:

A =

r

r=1 R

*

Os espaços elementares podem ser reunidos em agrupamentos (ou clusters), que constituem subconjuntos de A e que designaremos por c , de tal modo que

c = A

c=1 C

2.4.2. NOÇÕES DE DENSIDADE E DE DISTÂNCIA INTER-GRUPAL 77

Se tomarmos rc como o elemento genérico do agrupamento c, a

soma dos elementos de cada agrupamento deverá ser igual ao agrupamento:

r = c

rc =1c Rc

*

A densidade de um agrupamento c é um indicador da distância económica média entre todos os espaços elementares que o compõem. A densidade dos espaços elementares de um agrupamento será tanto maior quanto mais pequena for essa distância média.

Assim, se d_r

c r c

' for a distância económica entre dois espaços

elementares rc e r_c

' _{do agrupamento c, e R}

c o respectivo número de

espaços elementares, o inverso da densidade do agrupamento será dado por46: D_{cc r} R R c c c c 2 2 1 1 = d R - 1) 2 r r r c c r r R c c ' c ' c ' c c  ₍    〈 = =

∑

∑

Este indicador da densidade de um agrupamento define-se como sendo igual ao somatório dos quadrados das distâncias económicas entre os espaços elementares (pertencentes a um mesmo agrupamento), dividido por metade do número de elementos da matriz dessas distâncias, deduzidos dos elementos da diagonal principal, que naturalmente são nulos. Daí o afirmar-se que a densidade corresponde a uma distância média intra-grupal. Essas distâncias podem representar-se numa matriz D_{c c}', tal que:

Densidade de um agrupamento.

Densidade que corresponde a uma distância média intra- grupal.

1c … Rc

1c

D_{c c}= d_{r r}

c c′ Rc

A distância inter-grupal é a distância económica média entre espaços elementares r_c e r _c′ pertencentes a dois agrupamentos, c e c':

D d cc r R c c c c ' ' ' 2 2 1 1 = R R r c c r r R c' ' c' c c = =

∑

∑

Do mesmo modo, que para as distâncias intra-grupais, as distâncias inter-grupais (entre espaços elementares pertencentes a agrupamentos diferentes) podem representar-se numa matriz

D

c c', tal que: 1c’ … Rc’ 1c D_{c c′}= d_{r r} c c′ Rc’

Se tivéssemos um conjunto de espaços elementares agrupados em três regiões, poderíamos continuar a calcular as distâncias inter- grupais entre os elementos da várias regiões.

Do mesmo modo que anteriormente, temos agora, depois de reordenadas as linhas e as colunas, uma matriz alargada, em que cada elemento é uma matriz D_{c c′} do tipo das anteriormente explicitadas.

46

Tenhamos presente que a matriz de distâncias económicas é simétrica

2.4.3. A FORMAÇÃO DE AGRUPAMENTOS HOMOGÉNEOS 79 1 1 1 c . . .Rc 1c2.. .Rc2 1c3. . .Rc3 1 1 1 c c R . . . Dc1c1 Dc1c1 Dc1c1 1 2 2 c c R . . . Dc2c1 Dc1c1 Dc1c1 1 3 3 c c R . . . Dc1c1 Dc1c1 Dc1c1

Posto isto, interessa ver como se processam as várias fases de delimitação de regiões homogéneas.

2.4.3. A formação de agrupamentos homogéneos

Vamos abordar a questão da formação de agrupamentos tomando como ponto de partida a informação reunida em matrizes de similaridades, de proximidades ou de distâncias económicas. Os espaços referidos nestas matrizes serão considerados como os espaços elementares necessários para agregação. Através de um processo de natureza iterativa, procuraremos proceder à escolha dos espaços elementares que vão fazer parte de cada agrupamento.

As matrizes de proximidade permitem-nos estabelecer hierarquias de proximidade, sem realizar a sua quantificação, enquanto que as matrizes de distância económica dão-nos uma medida dessa proximidade. No que se segue, referimo-nos sempre a matrizes de distância económica. A utilização das matrizes de similaridades em nada alteraria a metodologia a apresentar, apenas se deverá ter em

As matrizes de similaridade, distância e de proximidade como ponto de partida. Os espaços referidos nessas matrizes serão considerados como os espaços

conta que para qualquer elemento genérico de uma matriz de similaridades se tem:

s_rr′= f (d-1 _rr′)

Um critério básico a ser seguido na formação dos agrupamentos será o de que a distância entre um agrupamento c de espaços elementares e um novo espaço elementar r não deverá ser superior a

α D_{c c} 2 sendo α uma constante fixada à priori, embora, normalmente,

se possa admitir que se deva aproximar da unidade. Este critério tem como fundamento o facto de se admitir que o alargamento de um agrupamento inicial com novos espaços elementares, não se deve realizar à custa da destruição da coerência interna entre os espaços elementares que compõem o agrupamento inicial.

Tal critério corresponde a tomar-se como princípio genérico de agregação, o de que as distâncias económicas entre os espaços elementares de uma região devem ser inferiores às distâncias económicas entre espaços elementares pertencentes a regiões diferentes, o que está de acordo com a noção de regiões homogéneas.

O processo de agrupamento terá natureza iterativa, e cada iteração é composta por 3 fases de análise e cálculo:

1) Com base na matriz de distâncias económicas entre espaços elementares, procede-se à escolha dos espaços elementares que apresentem menor distância económica entre si, e sejam contíguos. Isto é, selecciona-se ri e rj , tais que:

d _r

j

r

r r r r

i = m in d' '

sendo r, r’ = 1, ..., R e, ri e rj espaços contíguos.

Critério básico a ser seguido na formação dos agrupamentos.

O processo de agrupamento terá natureza iterativa, e cada iteração é composta por 3 fases de análise e cálculo: 1ª Fase

2.4.3. A FORMAÇÃO DE AGRUPAMENTOS HOMOGÉNEOS 81

Com estes dois espaços elementares constitui-se um primeiro agrupamento (provisório), que designaremos de c₁1 47. Um agrupamento só deixará de ser provisório quando já não for possível acrescentar-lhe mais espaços elementares. É o que se tentará nos passos que se seguem. Nesta iteração obtém-se:

c₁1 = r_i* r_j

2) Seguidamente, procede-se à reestimação das distâncias económicas entre c₁1 e cada um dos restantes espaços

elementares, procedendo-se depois à anexação (que começa por ser provisória) do espaço elementar rk que estiver mais

próximo do agrupamento c₁1 e lhe seja contíguo.

3) Para se verificar se o alargamento deve ou não ser mantido, procede-se aos seguintes passos:

Tendo c1 sido provisoriamente definido, como:

c ₁1 = r_i*r_j