2.5 Sequências em Espaços Métricos
2.5.3 Sequências de Cauchy
Definição 2.20. Uma sequência (xn)em M é dita uma sequência de Cauchy quando
dado ε > 0, existir n0 ∈ N tal que m, n > n0 implica d(xm, xn) < ε. Teorema 2.8. Toda sequência convergente é de Cauchy.
Demonstração. Suponhamos que xn→ a em M . Então dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal
que n > n0 implica d(xn, a) <
ε
2. Logo, para m, n > n0 temos d(xm, xn) ≤ d(xm, a) + d(a, xn) <
ε 2 +
ε 2 = ε.
Observação 2.16. A recíproca do Teorema 2.8 não é verdadeira, isto é, existem sequências de Cauchy que não convergem. Por exemplo, tome M = Q e a sequência
(xn) = (1; 1, 7; 1, 73; 1, 732; 1, 732; 1, 73205; . . .) .
Em M1 = R, (xn)converge para
√
3 = 1, 7320508 . . ., mas em M = Q, (xn)não
converge, mesmo sendo uma sequência de Cauchy. Teorema 2.9. Toda sequência de Cauchy é limitada.
Demonstração. Seja (xn)uma sequência de Cauchy. Então dado ε = 1, existe n0 ∈ N
tal que m, n > n0 implica d(xm, xn) < 1. Então, os termos {xn0+1, xn0+2, . . .} = Y estão em uma bola de diâmetro menor do que ou igual a 1, isto é, um conjunto limitado. Resta o conjunto X = {x1, x2, . . . , xn0} que é finito e portanto limitado. Logo {xn}n∈N= X ∪ Y é limitado.
Observação 2.17. Nem toda sequência limitada é de Cauchy. Por exemplo, a sequência cujo n−ésimo termo é xn = (−1)n, é da forma (xn) = (−1, 1, −1, 1, . . .), logo, (xn) é
limitada pois {−1, 1} é limitado, mas não é de Cauchy, visto que, dado ε = 1
2, para todo n0 ∈ N, existem p = 2n0+ 1, q = 2n0+ 2tais que
d (xp, xq) = d(−1, 1) = 2 > ε =
1 2, fornece-nos um absurdo.
Exemplo 2.24. Observe que a sequência cujo n−ésimo é xn= 1 +
1
2 + · · · + 1
n não é
de Cauchy, pois (xn)não é limitada.
Definição 2.21. (Espaço Métrico Completo). Um espaço métrico M é dito completo quando toda sequência de Cauchy em M é convergente em M .
3
TOPOLOGIA BÁSICA E FUNÇÕES
CONTÍNUAS EM ESPAÇOS MÉTRI-
COS
Neste capítulo apresentaremos alguns conhecimentos básicos sobre a topologia dos espaços métricos, a saber, conjuntos abertos e conjuntos fechados. Além disso apresentaremos alguns conceitos básicos sobre as funções contínuas relacionados às características elementares das mesmas e homeomorfismos. Recomendamos ao leitor, uma leitura prévia de (BOLDRINI, 1980) e (LIMA, 2016a), para uma leitura mais aprofundada sobre topologia indicamos (LIMA, 1970).
3.1
Conjuntos Abertos
Definição 3.1. Seja M um espaço métrico e X ⊂ M um subconjunto de M . Um ponto a ∈ X é ponto interior a X quando é centro de uma bola contida em X, isto é, quando existe r > 0 tal que d(x, a) < r ⇒ x ∈ X.
Definição 3.2. O conjunto de todos os pontos interiores a X é chamado interior de X em M e será denotado por int X.
Observação 3.1. Dizer que b ∈ X não é interior a X significa que toda bola de centro bcontém algum ponto que não pertence a X.
Definição 3.3. Chamamos fronteira de X em M ao conjunto ∂X, formado pelos pontos b ∈ M tais que toda bola aberta de centro b contém algum ponto de X e algum ponto do complementar M − X.
Exemplo 3.1. Considere X = [0, 3) ⊂ R = M, afirmamos que int X = (0, 3). Com efeito, dado a ∈ (0, 3) tomamos ε = min {3 − a, a} e, portanto, Ba;ε
2
⊂ (0, 3). Além disso observe que ∂X = {0, 3} pois para todo ε > 0, as bolas B(0; ε) e B(3; ε) intersectam
tanto X como R − X.
Exemplo 3.2. Considere X = {(x, 0); 0 ≤ x < 1} ⊂ R2 = M. Segue que int X = ∅ e
∂X = {(x, 0); 0 ≤ x ≤ 1}.
Os Exemplos 3.1 e 3.2 revelam que as noções de int X e ∂X são relativas, isto é, dependem do espaço métrico em que X está imerso.
Exemplo 3.3. Seja X = Q ⊂ R = M. Então int Q = ∅ e ∂Q = R. O mesmo vale para R − Q, isto é, se considerarmos X = (R − Q) ⊂ R = M. Então int (R − Q) = ∅ e ∂Q = R.
Observação 3.2. Se X ⊂ M e x ∈ M então ocorre uma e somente uma das possibili- dades
i) x ∈int X; ii) x ∈ ∂X;
iii) x ∈int (M − X).
Dessa forma, podemos concluir que
M =int X ∪ ∂X ∪ int (M − X),
onde int X, ∂X e int (M − X) são conjuntos disjuntos, além disso, podemos concluir que ∂X = ∂(M − X).
Definição 3.4. Seja M um espaço métrico e A ⊂ M. Dizemos que A é aberto em M quando todos os pontos de A são pontos interiores a A, isto é, int A = A. Assim,
A ⊂ M é aberto ⇔ A ∩ ∂A = ∅.
Proposição 3.1. Toda bola aberta B(a; r) em um espaço métrico M é um conjunto aberto.
Demonstração. Decorre da Propriedade 2.2 de bolas abertas.
Corolário 3.1. Seja X ⊂ M , então int X é um conjunto aberto.
Demonstração. Com efeito, tomemos a ∈ int X. Então existe um número real r > 0 tal que B(a; r) ⊂ X. Pela Proposição 3.1, para todo x ∈ B(a; r) existe s > 0 tal que B(x, s) ⊂ B(a; r), logo B(x; s) ⊂ X. Dessa forma, todo ponto x ∈ B(a; r) é interior a X, ou seja, B(a; r) ⊂ int X. Portanto, int X é um conjunto aberto.
Note que int X é o maior aberto contido em X, isto é, se A é aberto e A ⊂ X então A ⊂ int X, pois, basta observar que todo ponto a ∈ A é interior a A, logo como A ⊂ X, a ∈ int X.
Observação 3.3. Para provar que X não é aberto deve-se exibir um ponto x ∈ X tal que x /∈ int X. A partir disso, concluímos que ∅ é aberto em qualquer espaço métrico M.
Exemplo 3.4. Dados M espaço métrico, a ∈ M e ε > 0, o complementar da bola fechada B[a; ε] é um conjunto aberto A = M − B[a; ε]. Com efeito, seja c ∈ A, isto é, d(c, a) > ε. Tomemos um número δ > 0 tal que ε + δ < d(a, c). Pela Observação 2.6 as bolas fechadas B[a; ε] e B[c; δ] são disjuntas. Com maior razão, B[a; ε] ∩ B[c; δ] = ∅, isto é, B(c; δ) ⊂ M − B[a; ε]. Logo todo ponto c ∈ A é interior a A.
Teorema 3.1.
i) A união arbitrária de conjuntos abertos é um conjunto aberto. ii) A interseção finita de conjuntos abertos é um conjunto aberto. Demonstração. Seja A = S
i∈L
Ai, com Ai aberto em M para todo i ∈ L. Tomemos
a ∈ A. Então existe j ∈ L tal que a ∈ Aj. Como Aj é aberto, existe ε > 0 tal que
B(a; ε) ⊂ Aj ⊂ A. Logo a ∈ int A, isto é, A é aberto, e assim provamos i).
Para demonstrarmos ii), consideremos A =
n
T
i=1
Ai, com Ai aberto em M para
todo i ∈ {1, 2, 3, . . . , n}. Tomemos a ∈ A e portanto a ∈ Ai, para todo i ∈ {1, 2, 3, . . . , n}.
Então, existe εi > 0 tal que B(a; εi) ⊂ Ai, para todo i ∈ {1, 2, 3, . . . , n}. Tomando
ε = min {ε1, ε2, ε3, . . . , εn}, temos que B(a; ε) ⊂ Ai, para todo i. Logo B(a; ε) ⊂ n
T
i=1
Ai,
isto é, a ∈ int A. Assim, A é aberto.
Corolário 3.2. Um subconjunto A ⊂ M é aberto se, e somente se, é uma reunião de bolas abertas.
Demonstração. Com efeito, seja A ⊂ M um subconjunto aberto, logo para cada x ∈ Aexiste uma bola aberta Bx tal que x ∈ Bx ⊂ A o que se escreve também como
{x} ⊂ Bx ⊂ A. Tomando reuniões, vem que
A = [ x∈A {x} ⊂ [ x∈A Bx ⊂ A Logo A = S x∈A
Bx, o que mostra que todo aberto é uma reunião de bolas abertas.
Reciprocamente, se A = ∪Bλ é uma reunião de bolas abertas, então A é aberto em M ,
Exemplo 3.5. Considere Ai = −1 i, 1 i
⊂ R = M, com i ∈ N. Observe que
∞
T
i=1
Ai =
{0} que não é aberto, logo, a interseção arbitrária de conjuntos abertos nem sempre é
um conjunto aberto.
Lema 3.1. (Abertos em um Subespaço). Seja X ⊂ M . Considerando em X a métrica induzida por M , os conjuntos abertos no subespaço X são as interseções A ∩ X, onde Aé aberto em M .
Demonstração. Note que isto decorre da Observação 2.5, ou seja, do fato de que as bolas abertas em X tem a forma
BX(a; r) = B(a; r) ∩ X.
onde B(a; r) é uma bola aberta de centro a e raio r > 0, em M . Ora, os subconjuntos abertos do espaço X são, pelo Corolário 3.2, as reuniões de bolas abertas em X. Logo,
A0 ⊂ X é aberto ⇔ A0 =[ λ BλX =[ λ (Bλ∩ X) = [ λ Bλ ! ∩ X = A ∩ X,
onde A = ∪Bλ é aberto em M . Em particular, se X é aberto em M , os abertos do
subespaço X são os subconjuntos abertos de M que estão contidos em X. Quando X não é aberto em M então, evidentemente, todo conjunto aberto em M contido em X é também aberto em X, mas, existem subconjuntos A0 ⊂ X que são abertos em X mas não em M (O próprio X é um deles). Por exemplo, se 0 < ε < b − a, o intervalo [a, a + ε)é aberto no subespaço [a, b] da reta mas não é aberto em R.