Uma Aplicação do Teorema da Alfândega

Observe que podemos obter o Teorema do Valor Intermediário como corolário do Teorema da Alfândega.

Corolário 4.4. Seja f : [a, b] → R contínua. Se f(a) < d < f (b) então existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = d.

Demonstração. Dada f : [a, b] → R contínua com f(a) < d < f(b), tomemos C = [a, b], que pela Proposição 4.5 é conexo, e X = {x ∈ [a, b]; f (x) < d}. Então, pelo Teorema

da Alfândega existe c ∈ ∂X, logo, existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = d.

Uma outra aplicação do Teorema da Alfândega é apresentada em (CRISPINO, 2001), onde é feita no contexto de sistemas dinâmicos. Existem múltiplas aplicações interessantes do Teorema do Valor intermediário. A seguir, com o intuito de mostrarmos uma delas que é na demonstração do Teorema do Ponto Fixo de Brouwer, observemos a seguinte definição:

Definição 4.3. Seja f : M → M . Dizemos que um ponto x ∈ M é um ponto fixo de f quando f (x) = x.

Exemplo 4.6. A aplicação

f : R −→ R

x 7−→ f (x) = x2

tem apenas dois pontos fixos, a saber, 0 e 1. Com efeito, 0 e 1 são as únicas soluções de f (x) = x, isto é, x2 _{= x.}



Um resultado bastante conhecido da Topologia é o Teorema do Ponto Fixo de Brouwer apresentado em (DOMINGUES, 1982), o qual é enunciado a seguir.

Teorema 4.2. (Teorema do Ponto Fixo de Brouwer). Se B = B[0; 1] é a bola unitária fechada do espaço Rn_{, então toda aplicação contínua f : B → B possui (pelo menos)}

um ponto fixo x ∈ B.

No presente trabalho apresentaremos a versão desse teorema para o caso n = 1.

Teorema 4.3. Toda função contínua f : [−1, 1] → [−1, 1] possui um ponto fixo x ∈ [−1, 1].

Demonstração. Consideremos a função contínua ξ : [−1, 1] −→ R x 7−→ ξ(x) = f (x) − x. Observe que ξ(−1) = f (−1) + 1 ≥ −1 + 1 = 0 e ξ(+1) = f (+1) − 1 ≤ +1 − 1 = 0.

Portanto, ξ(+1) ≤ 0 ≤ ξ(−1) e então, pelo Teorema do Valor Intermediário, segue que existe x ∈ [−1, 1] tal que ξ(x) = 0. Como ξ(x) = f (x) − x vem que ξ(x) = 0 implica f (x) − x = 0 e então f (x) = x.

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CONCLUSÃO

Cremos ter alcançado o objetivo do trabalho. Com efeito, conseguimos apresen- tar os principais conceitos e resultados da teoria de Conjuntos Conexos e realçamos o Teorema da Alfândega, onde exibimos uma demonstração mais detalhada, elementar e acessível aos leitores que ainda possuem dificuldade em relação ao entendimento da demonstração do mesmo, além de apresentar uma aplicação de tal teorema na demonstração do Teorema do Valor Intermediário. O uso dos conhecimentos a respeito de espaços métricos como topologia dos espaços métricos e funções contínuas foi fundamental para tal propósito. Vale salientar que tal trabalho possui conteúdos essen- ciais para, dentre outras coisas, auxiliar alunos que pretendem ingressar no mestrado acadêmico em matemática, visto que os conteúdos do mesmo são pré-requisitos e não são ofertados nas disciplinas obrigatórias dos cursos de matemática licenciatura, ficando à cargo dos alunos interessados fazerem o pedido da disciplina eletiva de espaços métricos juntamente com um professor capacitado para ministrá-la, o que nem sempre é possível por diversos motivos. Dessa forma, concluímos que a contribuição de tal trabalho é bastante clara nesse sentido. Objetivamos continuar buscando outros resultados em que possamos dar contribuição semelhante.

Em relação ao ganho de conhecimento ao realizar tal trabalho, considerando que trabalhamos com funções contínuas, topologia e conjuntos conexos, em espaços métricos quaisquer, que “fazem a ponte” para o mestrado acadêmico e que estão além dos conteúdos de graduação dos melhores cursos das melhores Universidades, é bastante considerável.

REFERÊNCIAS

BOLDRINI, J. L. Álgebra linear. 3. ed. São Paulo: Harper & Row do Brasil, 1980. CRISPINO, M. L. Estabilidade de conjuntos invariantes por uma classe de pertubações descontinuas da identidade. Rev. Math. Estat., v. 19, p. 285–296, 2001.

DIEUDONNÉ, J. Fundamentos de Análisis Moderno. 1. ed. Barcelona: Editorial Reverté. S.A., 1979.

DOMINGUES, H. H. Espaços métricos e introdução à topologia. 1. ed. São Paulo: Atual, 1982.

GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo, vol. 1 à 4. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2013. KREYSZIG, E. Introductory functional analysis with applications. wiley classics library edition. university of windsor: [s.n.], 1978.

LIMA, E. L. Elementos de Topologia Geral. 1. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1970. LIMA, E. L. Álgebra linear. 1. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2014.

LIMA, E. L. Curso de análise, vol. 2. 11. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2015. LIMA, E. L. Espaços métricos. 5. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2015.

LIMA, E. L. Análise real, vol. 1. 12. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2016. LIMA, E. L. Curso de análise, vol. 1. 14. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2016.

APÊNDICE A – ÍNFIMO E SUPREMO

Este apêndice apresenta alguns conceitos e resultados para auxiliar na leitura de tal trabalho, dentre os quais frisamos: conjunto limitado superiormente, conjunto limitado inferiormente, conjunto limitado, supremo, ínfimo e conjunto completo.

Definição A.1. Um conjunto X ⊂ R é dito limitado superiormente quando existe a ∈ R tal que x ≤ a, para todo x ∈ X. O número a é chamado cota superior de X. Analogamente, dizemos que X ⊂ R é limitado inferiormente quando existe b ∈ R tal que b ≤ x, ∀x ∈ X. O número b é chamado cota inferior de X.

Exemplo A.1. Considere o conjunto X = (−∞, 3] ⊂ R. Observe que X é limitado superiormente pois x ≤ 7, ∀x ∈ X. Observe também que 5 é cota superior de X. Entretanto, X não é limitado inferiormente. Considere agora o conjunto Y = (3, +∞) ⊂ R. Note que Y é limitado inferiormente pois 2 é cota inferior de Y visto que 2 ≤ y, ∀y ∈ Y . Note também que 3 é cota inferior pois 3 ≤ y, ∀y ∈ Y . 

Definição A.2. X ⊂ R é dito limitado quando é limitado superior e inferiormente. Isto equivale a dizer que existe um intervalo limitado [a, b] tal que X ⊂ [a, b]. É mais comum usarmos a seguinte condição equivalente:

X é limitado se existe k > 0 tal que |x| ≤ k, ∀x ∈ X.

Exemplo A.2. Considere o conjunto Z = (2, 5] ⊂ R. Observe que Z é limitado superior- mente pois 6 é cota superior visto que z ≤ 6, ∀z ∈ Z, e também inferiormente pois 1 é

cota inferior visto que 1 ≤ z, ∀z ∈ Z. 

Exemplo A.3. O conjunto X = (1, 3) ⊂ R é limitado, pois, existe 4 ∈ R∗+ tal que

|x| ≤ 4, ∀x ∈ X. 

Observação A.1. Do conteúdo apresentado, faz sentido perguntar-se: i) Qual é a menor das cotas superiores?

ii) Qual é a maior das cotas inferiores?

Definição A.3. Seja X ⊂ R um conjunto limitado superiormente. Um número b é dito o supremo de X quando b é a menor das cotas superiores de X. Explicitamente temos:

ii) _{Se existe c ∈ R tal que c é cota superior de X (x ≤ c, ∀x ∈ X), então b ≤ c (b é a} menor das cotas superiores).

O item ii) pode também ser reformulado assim:

ii)0 Se existe c ∈ R tal que c < b então existe x ∈ X tal que c < x ≤ b (c não é cota superior de X)

Escrevemos b = sup X para indicar que b é o supremo do conjunto X.

Definição A.4. Seja X ⊂ R um conjunto limitado inferiormente. Um número a é dito o ínfimo de X quando a é a maior das cotas inferiores de X. Explicitamente temos:

i) a ≤ x, ∀x ∈ X (a é cota inferior de X);

ii) Se existe c ∈ R tal que c é cota inferior de X (c ≤ x, ∀x ∈ X), então c ≤ a (a é a maior das cotas inferiores).

O item ii) pode também ser reformulado assim:

ii)0 _{Se existe c ∈ R tal que a < c então existe x ∈ X tal que a ≤ x < c (c não é cota} inferior de X)

Escrevemos a = inf X para indicar que a é o ínfimo do conjunto X.

Exemplo A.4. No Exemplo A.1, não existe inf X, pois tal conjunto não é limitado inferiormente, porém, X possui supremo, sendo 3 = sup X. Ainda no mesmo exemplo, 3 = inf Y, todavia não existe sup Y , pois, tal conjunto não é limitado superiormente. No

Exemplo A.2, 2 = inf Z e 5 = sup Z. 

Observação A.2. O conjunto dos números reais é completo. Isto significa que todo conjunto não vazio X ⊂ R, limitado superiormente possui supremo. Analogamente, todo conjunto não vazio X ⊂ R limitado inferiormente possui ínfimo.

Exemplo A.5. Q não é completo. Considere Q ∪ [0,√3) = {x ∈ Q : 0 ≤ x < √3}. Em R o supremo de Q ∪ [0,

√

3)seria√3_{, mas Q ∪ [0,}√3)_{não tem supremo em Q. } Exemplo A.6. O conjunto N dos números naturais é ilimitado superiormente.

Com efeito, suponha que N ⊂ R é limitado superiormente. Então existe c ∈ R tal que c = sup N. Assim, c − 1 não é cota superior de N e portanto existe n ∈ N tal que

absurdo, pois essa implicação contradiz o fato de c ser cota superior de N. 

Exemplo A.7. Mostre que se X = 1

n; n ∈ N 

então inf X = 0. De fato, como n > 0 então 0 < 1

n, ∀n ∈ N, ou seja 0 é cota inferior de X. Então, basta mostrar que qualquer número real c > 0 não é cota inferior de X. Com efeito, dado c > 0 existe n0 ∈ N tal que n0 >

1

c (pois N é ilimitado superiormente), ou seja, c > 1

n0

.Assim, dado c > 0, exibimos um elemento de X, a saber 1 n0

, tal que

0 < 1 n0

< c.