CAMPUS DE ARAPIRACA
CURSO DE MATEMÁTICA LICENCIATURA
GILMAR DOS SANTOS BATISTA
Conjuntos Conexos e o Teorema da Alfândega
Arapiraca
2018
Conjuntos Conexos e o Teorema da Alfândega
Trabalho de conclusão de curso apre-sentado ao corpo docente do Curso de Matemática Licenciatura da Universidade Federal de Alagoas - UFAL, Campus de Arapiraca, como requisito parcial para obtenção do grau de Licenciado em Matemática.
Orientador: Prof. Me. Ornan Filipe de Araújo Oliveira
Arapiraca
2018
meus professores, colegas e pessoas que contribuíram direta ou indiretamente para a produção dessa monografia.
AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus por toda graça recebida e por ter permitido-me chegar até aqui. Aos meus pais José e Margarida, por todo apoio em todos os sentidos durante minha jornada, e a todos os demais familiares, em especial meus irmãos Marcos e Gilberto, pelo apoio ao longo de toda a minha vida.
À minha companheira Allanny Karla, por todo amor, carinho e apoio em todos os sentidos há mais de dois anos. Te amo meu amor!
À banca examinadora, por ter aceito o convite de avaliar este trabalho. Aos professores Ornan, Rinaldo, Fábio Bóia, Eben, Alcindo, Vanessa, José Arnaldo, Ademá-ria, José Barros e Wagner. Em especial ao meu orientador, professor Ornan Filipe de Araújo Oliveira, pela orientação, conselhos, incentivos, apoio e por toda matemática que aprendi com ele (inclusive, grande parte desta monografia foi desenvolvida com base nas aulas de espaços métricos que tive com ele durante a minha graduação na UFAL), que o fazem muito mais do que um orientador pra mim, ao professor Alcindo, pelos conselhos desde o primeiro período de curso e pela matemática que ele me ensinou, ao professor Rinaldo por ser o cara gente boa e pelas inúmeras ajudas prestadas (inúmeras mesmo, inclusive foi com ele que eu tive o primeiro contato com o LATEX), ao
professor Fábio, pelas diversas ajudas ao longo do curso por ser o cara legal que ele é e por toda matemática que eu aprendi com ele, ao professor Eben, pelas ajudas em diversos momentos e pela matemática que ele me ensinou, ao professor José Barros, pelos conselhos e incentivos ao longo do curso, a professora Vanessa, pelas ótimas aulas de estágio supervisionado e a professora Ademária, pelos incentivos e ótimas aulas de estatística.
Agradeço também aos professores Afonso, Elthon, Fábio Rotilli, Ester, Sarah, Emanoelly, Vicente, Aline, Ricardo, Luciano, Rosemeire, Kallaran. Em especial ao professsor Elthon, pelos incentivos e pelas ótimas aulas de lógica, ao professor Afonso, pelas diversas dicas de informática que guardo comigo até hoje, a professora Ester, pelas ótimas aulas de sociedade, que levarei comigo a onde for, ao professor Kallaran, pelas ótimas aulas de física e ao professor Vicente, pelos conhecimentos transmitidos. Agradeço a todos os professores citados acima pelos conhecimentos transmitidos, que são de fundamental importância para a minha formação em todos os sentidos e que me impulsionam, direta ou indiretamente, à agir de forma a promover um mundo melhor.
Agradeço aos amigos de infância Everton e Willames, por todas as ajudas, apoio, conselhos e companheirismo. Aos meus amigos de turma, em especial aos amigos Ray, Draytonn, Ivanilson, José Ricardo, Cleysson, Vitor, Jaime, Gabriel, Wilson, Adelmo,
juntos. Aos amigos Fernando, Sebastião, Edicláudio, Deivid, Samuel, Henrique, Rodrigo Mattheus, Rodrigo Costa e João Paulo, pelos diversos momentos juntos, aventuras, brincadeiras, ajudas e apoios. Por fim, agradeço à todas as pessoas que contribuíram direta ou indiretamente para a produção dessa monografia, MUITO OBRIGADO!.
no coração os meus mandamentos; se der ouvidos à sabedoria e inclinar o coração para o discernimento; se clamar por entendimento e por discernimento gritar bem alto; se procurar a sabedoria como se procura a prata e buscá-la como quem busca um tesouro escondido, então você entenderá o que é temer o SENHOR e achará o conhecimento de Deus.” - Provérbios 2, 1-5.
Este trabalho tem como objetivo principal apresentar os conceitos e resultados mais relevantes da teoria de conjuntos conexos e enfatizar o Teorema da Alfândega que é um importante resultado relacionado à mesma. Para tanto foi feito um estudo sobre espaços métricos, e, topologia básica e funções contínuas em espaços métricos. Para enfatizar o Teorema da Alfândega busca-se apresentar uma demonstração mais didática do mesmo explorando a definição de fronteira de um conjunto de um espaço métrico, deixando tal demonstração mais clara e evidente ao leitor, e além disso busca-se aprebusca-sentar uma aplicação de tal teorema em uma demonstração interessante do Teorema do Valor Intermediário.
Palavras-chave: Conjuntos Conexos. Teorema da Alfândega. Topologia. Espaços Métricos.
ABSTRACT
This paper aims to present the most relevant concepts and results of the theory of related sets and to emphasize the Customs Theorem which is an important result related to it. For this, a study was made on metric spaces, and, basic topology and continuous functions in metric spaces. In order to emphasize the Customs Theorem it is sought to present a more didactic demonstration of the same by exploring the definition of the boundary of a set of a metric space, leaving such a demonstration clearer and more evident to the reader, and furthermore, it seeks to present an application of such theorem in an interesting demonstration of the Intermediate Value Theorem.
Figura 1 – Ilustração das métricas d, d0 e d00 em um caso particular do R3. . . . 19
Figura 2 – Interpretação gráfica da métrica da convergência uniforme. . . 23
Figura 3 – Representação geométrica do gráfico de g contido na bola aberta B(f ; r). . . 32
Figura 4 – Representação intuitiva da Propriedade 2.1. . . 33
Figura 5 – Representação intuitiva da Propriedade 2.2. . . 33
Figura 6 – Representação intuitiva da Propriedade 2.3. . . 34
Figura 7 – Representação intuitiva da Propriedade 2.4. . . 34
Figura 8 – Representação intuitiva da Propriedade 2.5. . . 35
Figura 9 – Representação intuitiva da Observação 2.6. . . 35
Figura 10 – Interpretação geométrica da equivalência das métricas d, d0 e d00. . . 37
Figura 11 – Representação da bola B1 0;1 2 . . . 40
Figura 12 – Ilustração da função f fora da bola B1 0;1 2 no caso i). . . 41
Figura 13 – Ilustração da função f fora da bola B1 0;1 2 no caso ii). . . 42
Figura 14 – Sequência (f1, f2, f3, . . .)convergindo para a função nula. . . 45
Figura 15 – Ilustração da definição de função contínua. . . 58
Figura 16 – Sequência (f1, f2, f3, . . .)convergindo para a função f . . . 62
Figura 17 – Representação de uma função contínua e bijetiva f tal que f−1 não é contínua. . . 66
Figura 18 – Representação meramente ilustrativa relacionada ao Teorema da Alfândega. . . 73
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO . . . . 12
2 ESPAÇOS MÉTRICOS . . . . 13
2.1 Métricas . . . 13
2.1.1 Definição e Exemplo de Espaço Métrico . . . 13
2.1.2 Subespaços . . . 14
2.2 Distância de um Ponto a um Conjunto . . . 26
2.2.1 Distância Entre Conjuntos . . . 27
2.2.2 Diâmetro de um Conjunto . . . 28
2.3 Bolas e Esferas . . . 28
2.3.1 Definições de Bola Aberta, Bola Fechada e Esfera . . . 28
2.3.2 Propriedades Gerais das Bolas Abertas . . . 33
2.4 Métricas Equivalentes e Normas Equivalentes . . . 36
2.4.1 Métricas Equivalentes . . . 36
2.4.2 Normas Equivalentes . . . 38
2.5 Sequências em Espaços Métricos . . . 43
2.5.1 Sequências em R . . . 47
2.5.2 Sequências em Espaços Vetoriais Normados . . . 48
2.5.3 Sequências de Cauchy . . . 49
3 TOPOLOGIA BÁSICA E FUNÇÕES CONTÍNUAS EM ESPAÇOS MÉTRICOS 51 3.1 Conjuntos Abertos . . . 51
3.2 Conjuntos Fechados . . . 54
3.3 Definições e Exemplos de Funções Contínuas . . . 57
3.4 Características Elementares das Funções Contínuas . . . 60
3.5 Homeomorfismos . . . 65
4 CONJUNTOS CONEXOS E O TEOREMA DA ALFÂNDEGA . . . . 69
4.1 Definições e Exemplos . . . 69
4.2 Algumas Propriedades dos Conjuntos Conexos . . . 71
4.3 Teorema da Alfândega . . . 73
4.3.1 Uma Aplicação do Teorema da Alfândega . . . 73
5 CONCLUSÃO . . . . 75
REFERÊNCIAS . . . . 76
1
INTRODUÇÃO
Neste trabalho apresentaremos os principais conceitos e resultados da teoria de Conjuntos Conexos, onde realçaremos o Teorema da Alfândega, que é um resultado importante relacionado à mesma, e uma demonstração mais detalhada, clara e acessí-vel do mesmo, na qual buscaremos explorar a definição de fronteira de um conjunto de um espaço métrico, deixando tal demonstração mais evidente ao leitor, além disso, apresentaremos uma aplicação de tal teorema. Para tanto foi feito um estudo sobre, dentre outras coisas, espaços métricos, e, topologia básica e funções contínuas em espaços métricos.
Este trabalho é composto por três capítulos e um apêndice. No primeiro capítulo apresentaremos alguns conhecimentos básicos sobre espaços métricos, concluindo o mesmo fazendo um relato sobre sequências em espaços métricos. No segundo capítulo será tratado a topologia básica dos espaços métricos além de ser feito uma abordagem as funções contínuas, o qual é encerrado com um estudo dos homeomorfismos. Por fim, no terceiro capítulo trataremos dos conceitos e resultados mais relevantes da teoria de Conjuntos Conexos que por sua vez possuem grande importância tanto no enunciado quanto na demonstração do Teorema da Alfândega, enunciaremos e demonstraremos tal teorema e concluiremos tal capítulo fazendo uma aplicação do Teorema da Alfândega em uma demonstração interessante do Teorema do Valor Intermediário, onde este último será apresentado como um corolário do primeiro.
Procuramos ser muito objetivos e consideraremos conhecidos pelo leitor os principais resultados e as principais propriedades sobre conjuntos, funções, números naturais, números reais e espaços vetoriais. Tais conhecimentos podem ser encontra-dos em livros de Cálculo, Análise Real. ou Álgebra Linear.
Sobre o documento
Com o intuito de facilitar a leitura, utilizaremos o símbolo para encerrar uma demonstração e o símbolopara marcar o final dos exemplos. A título de informação
usamos os editores de imagens e documentos vetoriais Inkscape1 e CorelDRAW2.
Além disso, todo o texto e fórmulas contido nos gráficos foram convertidos do formato .pdf, gerado pelo PDFLaTeX, para .svg através so site Online-Converter3
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2
ESPAÇOS MÉTRICOS
Neste capítulo apresentaremos alguns conhecimentos básicos, de forma sen-sivelmente detalhada necessários ao entendimento de tal trabalho, a saber, métricas, espaço métrico, subespaço de um espaço métrico, distância de um ponto a um conjunto, distância entre conjuntos e diâmetro de um conjunto. Recomendamos ao leitor, uma leitura prévia de (GUIDORIZZI, 2013), (LIMA, 2014) e (LIMA, 2016b).
2.1
Métricas
Definição 2.1. (Métrica). Considere M 6= ∅. Uma função d : M × M → R que a cada par (x, y) ∈ M × M associa um número real único d(x, y) é chamada métrica em M se as seguintes condições são satisfeitas para quaisquer x, y, z ∈ M :
(1) d(x, y) ≥ 0, e, d(x, y) = 0 ⇔ x = y; (2) d(x, y) = d(y, x);
(3) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).
Observação 2.1. d(x, y) lê-se: distância de x até y.
O postulado(2) informa que d(x, y) é uma função simétrica das variáveis x e y. A condição(3) chama-se desigualdade do triângulo; originada no fato de que, no plano euclidiano, o comprimento de um dos lados de um triângulo não excede a soma dos outros dois.
2.1.1
Definição e Exemplo de Espaço Métrico
Definição 2.2. (Espaço Métrico). Denominamos espaço métrico ao par (M, d) em que M é um conjunto não vazio e d é uma métrica em M .
Os elementos de um espaço métrico podem ser de natureza arbitrária: números, vetores, matrizes, funções, conjuntos, etc. Entretanto, nós os chamaremos sempre os pontos de M . Em diversos momentos o conjunto M será apresentado como espaço métrico e denotaremos apenas M ao invés de (M, d) ficando como subentendida a métrica de M .
Exemplo 2.1. (Métrica discreta ou Métrica zero-um). Considere M 6= ∅ e a função d : M × M → R dada por d(x, y) = 0, se x = y 1, se x 6= y logo, d é uma métrica em M e (M, d) é um espaço métrico.
Com efeito, veja que d satisfaz(1): • É óbvio que d(x, y) ≥ 0.
• d(x, y) = 0 ⇒ x = y (pois se fosse x 6= y deveríamos ter d(x, y) = 1). • x = y ⇒ d(x, y) = 0 (pela definição de d).
Note que d satisfaz(2):
• x = y ⇒ d(x, y) = 0 = d(y, x). • x 6= y ⇒ d(x, y) = 1 = d(y, x).
Observe que d satisfaz(3):
• x = y ⇒ d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) é óbvio.
• x 6= y ⇒ d(x, y) = 1 ≤ d(x, z) + d(z, y)? Analisando as possibilidades, temos: 1◦ caso: x = z ⇒ z 6= y, logo, 1 ≤ 0 + 1.
2◦ caso: x 6= z ⇒ d(x, z) = 1, portanto, 1 ≤ 1+ 0 ou 1 .
Logo, d é uma métrica em M .
2.1.2
Subespaços
Exemplo 2.2. (Subespaço; métrica induzida). Se (M, d) é um espaço métrico, todo subconjunto S ⊂ M pode ser considerado como espaço métrico, basta considerar a restrição de d a S × S, isto é, usar entre os elementos de S a mesma distância que os mesmos possuíam como elementos de M . Fazendo isso, S torna-se um subespaço de
Exemplo 2.3. (Métrica Usual em R). R tem uma métrica usual dada por d : R × R −→ R
(x, y) 7−→ d(x, y) = |x − y|
tal métrica decorre das propriedades do módulo.
Exemplo 2.4. (O Espaço Euclidiano Rn). Há três métricas naturais em Rn. Sejam
x = (x1, . . . , xn)e y = (y1, . . . , yn)pontos de Rn, então definimos:
d(x, y) =p(x1− y1)2+ · · · + (xn− yn)2 = " n X i=1 (xi− yi)2 # 1 2 , d0(x, y) = |x1 − y1| + · · · + |xn− yn| = n X i=1 |xi− yi| e d00(x, y) = max {|x1− y1|, . . . , |xn− yn|} = max 1≤i≤n{|xi − yi|}.
Logo d, d0, d00 : Rn → R são métricas, pois, tomando x = (x1, . . . , xn),
y = (y1, . . . , yn)e z = (z1, . . . , zn)em Rn, temos:
A1) d é métrica. Com efeito, note que d satisfaz (1):
• d(x, y) ≥ 0 pois é a raiz quadrada de um número não negativo. • Observe que x = y ⇒ xi = yi, ∀i ⇒ xi− yi = 0, ∀i ⇒ d(x, y) = √02+ · · · + 02 = 0. • Note que d(x, y) = 0 ⇒ d2(x, y) = 0 ⇒ (x1 − y1)2+ · · · + (xn− yn)2 = 0 ⇒ xi− yi = 0, ∀i ⇒ xi = yi, ∀i ⇒ x = y.
Veja que d satisfaz(2):
• d(x, y) = " n X i=1 (xi− yi)2 # 1 2 = " n X i=1 (yi− xi)2 # 1 2 = d(y, x).
Com o intuito de provarmos(3), provaremos inicialmente a chamada Desigual-dade de Cauchy-Schwarz em Rn cujo enunciado é o seguinte:
Se x = (x1, . . . , xn)e y = (y1, . . . , yn)são pontos arbitrários em Rn, então: n X i=1 |xi· yi| ≤ n X i=1 x2i ! 1 2 · n X i=1 yi2 ! 1 2 .
De fato, observemos que:
(r − s)2 ≥ 0 ⇒ r2 − 2rs + s2 ≥ 0 ⇒ r2 + s2 ≥ 2rs ⇒ rs ≤ 1 2(r 2+ s2 ), ∀ r, s ∈ R. Tomemos: p = n X i=1 x2i ! 1 2 , q = n X i=1 yi2 ! 1 2 , r = |xi| p e s = |yi| q . Então temos: |xi| p · |yi| q ≤ 1 2 x2 i p2 + y2 i q2 , ∀i ∈ {1, . . . , n}. (2.1)
De (2.1) seguem as seguintes desigualdades: |x1| p · |y1| q ≤ 1 2 x2 1 p2 + y12 q2 |x2| p · |y2| q ≤ 1 2 x2 2 p2 + y2 2 q2 .. . ≤ ... |xn| p · |yn| q ≤ 1 2 x2 n p2 + yn2 q2
Somando tais desigualdades membro a membro obtemos:
n X i=1 |xi| p · |yi| q ≤ 1 2 n X i=1 x2i p2 + 1 2 n X i=1 yi2 q2 Portanto 2 p · q n X i=1 |xi· yi| ≤ n X i=1 x2 i p2 + n X i=1 y2 i q2 (2.2) Como p = n X i=1 x2i ! 1 2 e q = n X i=1 y2i ! 1 2 , segue que p2 = n X i=1 x2i e q2 = n X i=1 y2i.
Dessa forma, substituindo p2 e q2 por n X i=1 x2i e n X i=1
o segundo membro de (2.2) é igual à 2, assim (2.2) fica: 2 p · q n X i=1 |xi· yi| ≤ 2. Logo n X i=1 |xi· yi| ≤ n X i=1 x2i ! 1 2 · n X i=1 yi2 ! 1 2 . Então, provemos(3). • Note que [d(x, y)]2 = n X i=1 (xi− yi)2 = n X i=1 (xi− zi + zi− yi)2 = n X i=1 (xi− zi)2+ 2 n X i=1 (xi− zi) · (zi− yi) + n X i=1 (zi− yi)2 ≤ n X i=1 (xi− zi)2+ 2 " n X i=1 (xi− zi)2 # 1 2 · " n X i=1 (zi− yi)2 # 1 2 + n X i=1 (zi− yi)2 = v u u t n X i=1 (xi− zi)2+ v u u t n X i=1 (zi− yi)2 2 = [d(x, z) + d(z, y)]2.
Onde, na desigualdade acima foi utilizado a desigualdade de Cauchy-Schwarz, segue que d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y). Logo, d é métrica em Rn.
A2) d0 é métrica. De fato, veja d0 satisfaz(1): • d0(x, y) ≥ 0pois é uma soma de módulos.
• Note que
x = y ⇒ xi = yi, ∀i
⇒ xi− yi = 0, ∀i
• Observe que
d0(x, y) = 0 ⇒ |x1 − y1| + · · · + |xn− yn| = 0
⇒ |xi − yi| = 0, ∀i
⇒ xi = yi, ∀i
⇒ x = y.
Veja que d0 satisfaz (2):
• d0(x, y) = n X i=1 |xi− yi| = n X i=1 |yi− xi| = d0(y, x).
Perceba que d0 satisfaz(3):
• Note que d0(x, y) = n X i=1 |xi− yi| = n X i=1 |xi− zi+ zi− yi| ≤ n X i=1 |xi− zi| + n X i=1 |zi− yi| = d(x, z) + d(z, y). Portanto, d0 é métrica em Rn.
A3) d00é métrica. De fato, perceba que d00satisfaz (1): • É óbvio que d00(x, y) ≥ 0. • Note que d00(x, y) = 0 ⇒ max 1≤i≤n{|xi− yi|} = 0 ⇒ |xi − yi| = 0, ∀i ⇒ xi − yi = 0, ∀i ⇒ xi = yi, ∀i ⇒ x = y.
• x = y ⇒ xi = yi, ∀i ⇒ xi− yi = 0, ∀i ⇒ d(x, y) = max
1≤i≤n{0} = 0.
• d(x, y) = max
1≤i≤n{|xi− yi|} = max1≤i≤n{|yi− xi|} = d
00(y, x).
Veja que d00 satisfaz(3): • Temos que
d00(x, y) = max
1≤i≤n{|xi− yi|} = |xk− yk|, para algum k ∈ {1, . . . , n}
= |xk− zk+ zk− yk|
≤ |xk− zk| + |zk− yk|
≤ max
1≤i≤n{|xi− zi|} + max1≤i≤n{|zi− yi|}
= d00(x, z) + d00(z, y).
Assim, d00 é métrica em Rn. A métrica d é conhecida como métrica euclidiana,
já as métricas d0 e d00 são conhecidas como métrica da soma e métrica do máximo, respectivamente. Em R3 para a = (0, 0, 0) e b = (1, 1, 2) teríamos:
Figura 1 – Ilustração das métricas d, d0 e d00 em um caso particular do R3.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Proposição 2.1. Para d, d0 e d00vale: Dados x, y ∈ Rnentão
d00(x, y) ≤ d(x, y) ≤ d0(x, y) ≤ nd00(x, y).
Demonstração. Dados x = (x1, . . . , xn)e y = (y1, . . . , yn)pontos de Rn, segue que:
d(x, y) =p(x1− y1)2+ · · · + (xn− yn)2,
d0(x, y) = |x1 − y1| + · · · + |xn− yn| e
d00(x, y) = max {|x1− y1|, . . . , |xn− yn|}, para algum k ∈ {1, . . . , n}.
Provando a primeira desigualdade da Proposição 2.1: d00(x, y) = |xk− yk|, para algum k ∈ {1, . . . , n}
= p(xk− yk)2
≤ p(x1− y1)2 + · · · + (xn− yn)2
= d(x, y). Logo, d00(x, y) ≤ d(x, y).
Com o intuito de provar a segunda desigualdade da Proposição 2.1, usaremos o princípio da indução para provar a seguinte igualdade:
(|x1−y1|+· · ·+|xn−yn|)2 = |x1−y1|2+· · ·+|xn−yn|2+
X
i6=j
2|xi−yi||xj−yj|, i, j ∈ In (2.3)
onde In = {p ∈ N; p ≤ n}.
Observe que (2.3) vale para n = 1, pois
n = 1 ⇒ |x1− y1|2 = |x1 − y1|2.
Note que não aparece o somatório do segundo membro de (2.3), pois, se o mesmo aparecesse teríamos
|x1− y1|2+
X
i6=j
2|xi− yi||xj− yj|, i, j ∈ {1}
o que é um absurdo, visto que não podemos ter i 6= j e i, j ∈ {1}.
Suponhamos que (2.3) seja válida para n = k, e vamos mostrar que (2.3) vale para n = k + 1, logo, considere os seguintes ítens:
i) [(|x1− y1| + · · · + |xk− yk|) + |xk+1− yk+1|]2;
iii) |x1− y1|2+ · · · + |xk− yk|2+ X i6=j 2|xi − yi||xj − yj| + |xk+1− yk+1|2+ + 2 |x1− y1| |xk+1− yk+1| + · · · + 2 |xk− yk| |xk+1− yk+1|; i, j ∈ Ik; iv) |x1− y1|2+ · · · + |xk− yk|2+ |xk+1− yk+1|2+ X i6=j 2|xi − yi||xj − yj|; i, j ∈ Ik+1.
Observe agora que i) = ii), além disso, ii) = iii) por hipótese de indução, é fácil ver que iii) = iv), assim, i) = iv). Logo, (2.3) vale para n = k + 1, portanto, pelo princípio da indução (2.3) vale para todo n ∈ N.
Então, provando a segunda desigualdade da Proposição 2.1: [d0(x, y)]2 = (|x1− y1| + · · · + |xn− yn|)2 = |x1− y1|2+ · · · + |xn− yn|2 + X i6=j 2|xi− yi||xj − yj| ≥ |x1− y1|2+ · · · + |xn− yn|2 = [d(x, y)]2.
Onde, na passagem da primeira pra segunda igualdade acima, foi usado (2.3). Logo, [d(x, y)]2 ≤ [d0(x, y)]2
, assim d(x, y) ≤ d0(x, y), pois, d e d0 são ambas maiores do que ou iguais a zero.
Provando a terceira desigualdade da Proposição 2.1: d0(x, y) = |x1− y1| + · · · + |xn− yn|
≤ max
1≤i≤n{|xi − yi|} + · · · + max1≤i≤n{|xi− yi|}
= n max
1≤i≤n{|xi− yi|}
= n d00(x, y).
Logo, d0(x, y) ≤ n d00(x, y). Portanto, a Proposição 2.1 está provada.
Exemplo 2.5. (Espaço de Funções). Seja X um conjunto qualquer e f : X → R uma função limitada, ou seja, existe k = kf > 0 tal que |f (x)| ≤ k, para todo x ∈ X).
Denotaremos por B(X; R) o conjunto de todas as funções limitadas1 f : X → R. A soma e o produto de funções limitadas são limitadas. Definiremos em B(X; R) a seguinte métrica:
Para f, g ∈ B(X; R) definimos d(f, g) := sup
x∈X
|f (x) − g(x)|,
isto é
d(f, g) = sup
x∈X
W,
onde W = {|f (x) − g(x)|; x ∈ X}. Mostremos agora que d é uma métrica em B(X; R). De fato, perceba que d satisfaz(1):
• d(f, g) ≥ 0 pois |f (x) − g(x)| ≥ 0, para todo x ∈ X. • Note que d(f, g) = 0 ⇔ sup x∈X |f (x) − g(x)| = 0 ⇔ |f (x) − g(x)| = 0, ∀x ∈ X ⇔ f (x) = g(x), ∀x ∈ X ⇔ f = g.
Observe que d satisfaz(2):
• d(f, g) = sup
x∈X
|f (x) − g(x)| = sup
x∈X
|g(x) − f (x)| = d(g, f ).
Para mostrarmos que d satisfaz(3), isto é, que vale a desigualdade d(f, g) ≤ f (f, h) + d(h, g)com f, g, h ∈ B(X; R)
observemos que:
B1) Dados Y ⊂ R e Z ⊂ R limitados superiormente. Se y ≤ z, para todo y ∈ Y e para todo z ∈ Z então sup Y ≤ sup Z.
B2) Para cada x ∈ X, os conjuntos
Y = {|f (x) − g(x)|; x ∈ X} e
Z = {|f (x) − h(x)| + |h(x) − g(x)|; x ∈ X} satisfazem o itemB1) para o mesmo x, isto é, sup Y ≤ sup Z.
B3) sup(ϕ + ξ) ≤ sup ϕ + sup ξ, onde ϕ, ξ : X → R são limitadas superiormente. Assim, temos d(f, g) = sup x∈X |f (x) − g(x)| ≤ sup x∈X {|f (x) − h(x)| + |h(x) − g(x)|} ≤ sup x∈X |f (x) − h(x)| + sup x∈X |h(x) − g(x)| = d(f, h) + d(h, g).
Dessa forma, d(f, g) ≤ d(f, h) + d(h, g). Portanto, d é uma métrica em B(X; R), chamada métrica da convergência uniforme.
Tomando X = [a, b] ⊂ R e considerando f, g ∈ B(X; R), segue que d(f, g) = sup
x∈[a,b]
|f (x) − g(x)|
é o comprimento da maior das cordas verticais unindo os gráficos de g e f , como mostra a Figura 2.
Figura 2 – Interpretação gráfica da métrica da convergência uniforme.
[
[
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Exemplo 2.6. Em B ([0, 1]; R), qual a distância da função f(x) = x à função g(x) = x2?
Como estamos considerando o espaço métrico B([0, 1]; R) e a métrica da con-vergência uniforme, segue que d(f, g) = sup
x∈[0,1]
|x − x2|. Consideremos agora a função
h : [0, 1] ⊂ R −→ R
x 7−→ h(x) = x − x2.
Observe que a derivada de h é a função h0 : [0, 1] ⊂ R −→ R
x 7−→ h0(x) = 1 − 2x.
Observe agora que a derivada de h0 é a função h00: [0, 1] ⊂ R −→ R
Perceba que, se h0(x) = 0então x = 1 2, como h 00(x) = −2 < 0, para todo x ∈ [0, 1], segue que h00 1 2 = −2 < 0, logo, 1 2, h 1 2
é o ponto de máximo de h, como h 1
2
= 1
4, segue que a segunda coordenada de tal ponto vale 1
4. O que nos leva a concluir que d(f, g) = sup
x∈[0,1]
|x − x2| = 1
4.
Definição 2.3. (Norma). Seja E um espaço vetorial real. Uma norma em E é uma função real definida como segue
k · k : E −→ R
x 7−→ k · k(x) = kxk.
Observe que k · k associa a cada x ∈ E o número real kxk chamado norma de x. A norma cumpre as seguintes condições para x, y ∈ E e λ ∈ R:
N1) Se x 6= 0 então kxk 6= 0; N2) kλ xk = |λ| kxk;
N3) kx + yk ≤ kxk + kyk.
Onde na condição N2), o símbolo |λ| indica o valor absoluto do número λ. Observe também que ao pôr-mos λ = 0 e x = 0 emN2) temos |0| = 0, e, tomando-se λ = −1em N2) segue que k − xk = kxk, para todo x ∈ E. Além disso, perceba que para todo x ∈ E 0 = kx − xk = kx + (−x)k ≤ kxk + k − xk = kxk + | − 1|kxk = 2kxk.
Logo, 0 ≤ 2kxk, assim, kxk ≥ 0, para todo x ∈ E.
Definição 2.4. (Espaço Vetorial Normado). Denominamos espaço vetorial normado ao par (E, k · k) onde E é um espaço vetorial real e k · k é uma norma em E.
Exemplo 2.7. Tomando x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn, segue que (Rn, k · k), (Rn, k · k0) e
(Rn, k · k00)são exemplos de espaços vetoriais normados, onde
kxk = s n
X
i=1
kxk0 = n
X
i=1
|xi| (conhecida como norma da soma), e
kxk00= max
1≤i≤n|xi| (conhecida como norma do máximo).
Observação 2.2. Em B(X; R) definimos a norma de uma função f qualquer da seguinte forma
k · k : B(X; R) −→ R
f 7−→ k · k(f ) = sup
x∈X
|f (x)| que associa a cada função f ∈ B(X; R) o número real kf k = sup
x∈X
|f (x)|.
Exemplo 2.8. Todo espaço vetorial normado (E, k · k) torna-se um espaço métrico, basta considerar a métrica d(x, y) = kx − yk. Dizemos que essa métrica é proveniente da norma, assim, as métricas d, d0 e d00do Exemplo 2.4 são provenientes das normas k · k, k · k0 e k · k00, citadas no Exemplo 2.7, respectivamente. Vale ressaltar que a norma
de um vetor qualquer de um espaço vetorial normado é igual a distância de tal vetor até a origem, isto é, dado um espaço vetorial normado (E, k · k) e um vetor x ∈ (E, k · k) segue que kxk = d(x, 0) onde d é a métrica proveniente da norma k · k de E.
Definição 2.5. (Produto Interno). Um produto interno num espaço vetorial real E é uma função
h , i : E × E −→ R
(x, y) 7−→ h , i(x, y) = hx, yi
que associa a cada par (x, y) ∈ E × E um número real hx, yi, chamado o produto interno de x por y que cumpre as seguintes condições para x, y, z ∈ E e λ ∈ R:
P1) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi; P2) hλ x, yi = λ hx, yi;
P3) hx, yi = hy, xi; P4) x 6= 0 ⇒ hx, xi > 0.
Exemplo 2.9. Podemos definir uma norma a partir de um produto interno, basta considerar kxk =phx, xi, isto é, kxk2 = hx, xi.
A norma assim definida satisfazN1) e N2) da Definição 2.3, note que tal norma satisfazN3) visto que
kx + yk2 = hx + y, x + yi
= hx, xi + 2hx, yi + hy, yi ≤ kxk2+ 2kxkkyk + kyk2
Onde, na desigualdade acima foi utilizado a desigualdade de Cauchy-Schwarz.
Logo, kx + yk ≤ kxk + kyk.
Observação 2.3. Nem toda norma em um espaço vetorial E provém de um produto interno, quando isto ocorre vale a lei do paralelogramo
kx + yk2+ kx − yk2 = 2 kxk2+ kyk2 que é uma consequência da definição kxk =phx, xi.
2.2
Distância de um Ponto a um Conjunto
Definição 2.6. Seja (M, d) um espaço métrico, a ∈ M e X ⊂ M um subconjunto não vazio de M . Chamamos a distância de a ao conjunto X e indicamos d(a, X) o seguinte número real
d(a, X) = inf {d(a, x); x ∈ X} .
Note que d(a, X) está bem definida, pois, 0 é uma cota inferior de {d(a, x); x ∈ X}. Exemplo 2.10. Tomando M = R, X = {1, 2, 3, 4} e a = 6, determine d(a, X).
d(a, X) = inf {d(a, x); x ∈ X}
= inf {d(6, 1), d(6, 2), d(6, 3), d(6, 4)} = inf {5, 4, 3, 2} = 2. Logo d(a, X) = 2. Exemplo 2.11. Tomando M = R, X = 1,1 2, 1 3, . . . e a = 0, determine d(a, X). d(a, X) = inf {d(a, x); x ∈ X}
= inf 1,1 2, 1 3, . . . = inf 1 n; n ∈ N = 0.
Uma demonstração para o fato de que inf X = 0 é dada no Exemplo A.7 do
Apêndice A. Logo d(a, X) = 0.
Observação 2.4. Se a ∈ X então d(a, X) = 0, entretanto não vale a recíproca, pois o Exemplo 2.11 mostra que podemos ter d(a, X) = 0 mesmo com a /∈ X.
2.2.1
Distância Entre Conjuntos
Definição 2.7. Sejam (M, d) um espaço métrico e X e Y subconjuntos não-vazios de M. Chamamos distância de X a Y e indicamos d(X, Y ) o seguinte número real não nulo
d (X, Y ) = inf {d(x, y); x ∈ X e y ∈ Y } .
Note que d(X, Y ) está bem definida, pois, 0 é uma cota inferior do conjunto {d(x, y); x ∈ X e y ∈ Y }
visto que se X ∩ Y 6= ∅ então d(X, Y ) = 0, e, se X ∩ Y = ∅ então d(X, Y ) > 0.
Proposição 2.2. Seja (M, d) um espaço métrico, e um conjunto não vazio X ⊂ M , com p, q ∈ M . Então |d(p, X) − d(q, X)| ≤ d(p, q). Demonstração. d(p, X) ≤ d(p, x), ∀x ∈ X ≤ d(p, q) + d(q, x), ∀x ∈ X. Logo, d(p, X) − d(p, q) ≤ d(q, x), ∀x ∈ X.
Assim, d(p, X)−d(p, q) é uma cota inferior de {d(q, x); x ∈ X} e portanto é menor do que ou igual à inf
x∈X{d(q, x)} = d(q, X). Dessa forma, d(p, X) − d(p, q) ≤ d(q, X), portanto d(p, X) − d(q, X) ≤ d(p, q). (2.4) Analogamente: d(q, X) ≤ d(q, x), ∀x ∈ X ≤ d(q, p) + d(p, x), ∀x ∈ X. Logo, d(q, X) − d(q, p) ≤ d(p, x), ∀x ∈ X ⇒ d(q, X) − d(p, q) ≤ d(p, x), ∀x ∈ X.
Assim, d(q, X)−d(p, q) é uma cota inferior de {d(p, x); x ∈ X} e portanto é menor do que ou igual à inf
x∈X{d(p, x)} = d(p, X). Dessa forma, d(q, X) − d(p, q) ≤ d(p, X), portanto −d(p, q) ≤ d(p, X) − d(q, X). (2.5) Segue de (2.4) e (2.5) que −d(p, q) ≤ d(p, X) − d(q, X) ≤ d(p, q). Então, |d(p, X) − d(q, X)| ≤ d(p, q).
2.2.2
Diâmetro de um Conjunto
Definição 2.8. Seja (M, d) um espaço métrico e ∅ 6= X ⊂ M. Suponhamos que exista um número real k > 0 tal que d(x, y) ≤ k, para todo x, y ∈ X. Neste caso dizemos que X é um conjunto limitado. Ao número real
sup {d(x, y); x, y ∈ X} chamamos diâmetro do conjunto X e denotamos diam (X).
2.3
Bolas e Esferas
A ideia geométrica de bola foge a nossa intuição por assumir aspectos muitas vezes surpreendentes. Vale ressaltar que a noção de bola é fundamental no estudo dos espaços métricos.
2.3.1
Definições de Bola Aberta, Bola Fechada e Esfera
Definição 2.9. (Bola Aberta). Uma bola aberta de centro a e raio r é o conjunto B(a; r) = {x ∈ M ; d(x, a) < r}
Definição 2.10. (Bola Fechada). Uma bola fechada de centro a e raio r é o conjunto B[a; r] = {x ∈ M ; d(x, a) ≤ r}
onde M é um espaço métrico, a ∈ M , r ∈ R e r > 0.
Definição 2.11. (Esfera). Uma esfera de centro a e raio r é o conjunto S(a; r) = {x ∈ M ; d(x, a) = r}
onde M é um espaço métrico, a ∈ M , r ∈ R e r > 0. Note que
B[a; r] = B(a; r) ∪ S(a; r).
Além disso, veja que se a métrica d é proveniente de uma norma k · k, isto é, se d(x, y) = kx − yk, então basta fazermos as devidas substituições nas definições anteriores, ou seja, basta “trocar” d(x, a) por kx − ak nas definições 2.9, 2.10 e 2.11. Observação 2.5. Seja X um subespaço do espaço métrico M e BX(a; r)a bola aberta
de centro a e raio r > 0, relativamente à métrica induzida em X. Então BX(a; r) = B(a; r) ∩ X.
Exemplo 2.12. Considere o espaço métrico M munido da métrica zero-um. Então, para todo a ∈ M segue que
• Se r > 1 então B(a; r) = B[a; r] = M e S(a; r) = ∅; • Se r < 1 então B(a; r) = B[a; r] = {a} e S(a; r) = ∅;
• Se r = 1 então B(a; 1) = {a}, B[a; 1] = M e S(a; 1) = M − {a}. Exemplo 2.13. A métrica usual da reta descrita no Exemplo 2.3 fornece para a ∈ R e r > 0os seguintes conjuntos:
• Bola aberta de centro a e raio r descrita por
B(a; r) = {x ∈ R; d(x, a) < r} = {x ∈ R; |x − a| < r} = {x ∈ R; −r < x − a < r} = {x ∈ R; a − r < x < a + r} = (a − r, a + r).
• Esfera de centro a e raio r dada por S(a; r) = {a − r, a + r}.
Exemplo 2.14. Em R2, vejamos as bolas e esferas que as métricas d, d0 e d00 do
Exemplo 2.4 geram para o centro a = (a1, a2)e raio r > 0.
Tomemos x = (x1, x2) ∈ R2. Observe que a métrica d fornece:
• O interior do círculo de centro a e raio r dado por B(a; r) = x ∈ R2; d(x, a) < r = x ∈ R2; d ((x1, x2), (a1, a2)) < r = nx ∈ R2;p(x1 − a1)2+ (x2− a2)2 < r o = x ∈ R2; (x1− a1)2+ (x2− a2)2 < r2 .
• O círculo de centro a e raio r juntamente com seu interior descrito por B[a; r] = x ∈ R2; d(x, a) ≤ r = x ∈ R2; d ((x1, x2), (a1, a2)) ≤ r = nx ∈ R2;p(x1− a1)2 + (x2− a2)2 ≤ r o = x ∈ R2; (x1− a1)2+ (x2− a2)2 ≤ r2 .
• O círculo de centro a e raio r dado por
S(a; r) = x ∈ R2; d(x, a) = r = x ∈ R2; d ((x1, x2), (a1, a2)) = r = nx ∈ R2;p(x1− a1)2+ (x2− a2)2 = r o = x ∈ R2; (x1− a1)2+ (x2 − a2)2 = r2 .
Note que a métrica d0 fornece:
• O interior do quadrado de centro a e diagonais paralelas aos eixos, onde ambas possuem comprimento 2r, dado por
B(a; r) = x ∈ R2; d0(x, a) < r
= x ∈ R2; d0((x1, x2), (a1, a2)) < r
= x ∈ R2; |x1− a1| + |x2− a2| < r .
• O quadrado de centro a juntamente com seu interior, onde tal quadrado possui diagonais com comprimento 2r, paralelas aos eixos, descrito por
B[a; r] = x ∈ R2; d0(x, a) ≤ r
= x ∈ R2; d0((x1, x2), (a1, a2)) ≤ r
= x ∈ R2; |x1− a1| + |x2− a2| ≤ r .
• O quadrado de centro a e diagonais paralelas aos eixos, onde ambas possuem comprimento 2r, dado por
S(a; r) = x ∈ R2; d0(x, a) = r
= x ∈ R2; d0((x1, x2), (a1, a2)) = r
= x ∈ R2; |x1− a1| + |x2− a2| = r .
Observe agora que a métrica d00 fornece:
• O interior do quadrado de centro a e lados de comprimento 2r, paralelos aos eixos, descrito por
B(a; r) = x ∈ R2; d00(x, a) < r
= x ∈ R2; d00((x1, x2), (a1, a2)) < r
= x ∈ R2; max {|x1− a1|, |x2− a2|} < r .
• O quadrado de centro a juntamente com seu interior, onde tal quadrado possui lados com comprimento 2r, paralelas aos eixos, dado por
B[a; r] = x ∈ R2; d00(x, a) ≤ r
= x ∈ R2; d00((x1, x2), (a1, a2)) ≤ r
= x ∈ R2; max {|x1− a1|, |x2− a2|} ≤ r .
• O quadrado de centro a e lados de comprimento 2r, paralelos aos eixos, descrito por S(a; r) = x ∈ R2; d00(x, a) = r = x ∈ R2; d00((x1, x2), (a1, a2)) = r = x ∈ R2; max {|x1 − a1|, |x2− a2|} = r .
Exemplo 2.15. Considere novamente B ([a, b], R) com a métrica da convergência uni-forme apresentada no Exemplo 2.5. Encontrando a bola B[f ; r], com f ∈ B ([a, b], R):
B[f ; r] = {g ∈ B ([a, b], R) ; d(g, f ) ≤ r} = ( g ∈ B ([a, b], R) ; sup x∈[a,b] |g(x) − f (x)| ≤ r ) . Assim, temos |g(x) − f (x)| ≤ r, ∀x ∈ [a, b],
logo
f (x) − r ≤ g(x) ≤ f (x) + r, ∀x ∈ [a, b].
Dessa forma, as funções g ∈ B[f ; r] são aquelas cujos gráficos estão na faixa de amplitude 2r em torno do gráfico de f . Note que se g pertence à bola aberta B(f ; r), então o gráfico de g está contido na faixa aberta, formada pelos pontos (x, y) ∈ R2 tais
que x ∈ [a, b] e f (x) − r < y < f (x) + r, como mostra a Figura 3.
Figura 3 – Representação geométrica do gráfico de g contido na bola aberta B(f ; r).
[ [
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Definição 2.12. Seja (M, d) um espaço métrico. Um ponto x ∈ M é dito ponto isolado de M se existir ε > 0 tal que B(x; ε) = {x}.
Exemplo 2.16. Note que com a métrica zero-um, todo ponto de M é ponto isolado, pois, tomando r = 1
2 < 1 e x ∈ M temos B(x; ε) = {x}.
Exemplo 2.17. Considerando N = {1, 2, 3, . . .} com a métrica induzida de R, segue que todo ponto de N é isolado, pois, temos que para a ∈ N, B(a; ε) = {x ∈ N; |x − a| < ε}.
Tomando ε < 1 segue que B(a; ε) = {a}.
Exemplo 2.18. Num espaço normado E 6= {0} não existem pontos isolados. Primeiramente, mostremos que qualquer vetor x 6=0 não é ponto isolado. Como E 6= {0}, existe em particular um vetor u ∈ E tal que u 6= 0. Consideremos v = ε
2 · u
kuk ∈ E, veja que
d(v,0) = kvk = ε 2 kuk · u = ε 2 kuk· kuk = ε 2 < ε. Logo, v ∈ B(0; ε).
Mostremos agora que w ∈ E não é ponto isolado, com w 6= 0. Tomemos v = w + ε 2· w kwk e então d(v, w) = kv − wk = w + ε 2 · w kwk− w = ε 2 kwk· w = ε 2 kwk· kwk = ε 2 < ε. Logo, v ∈ B(w; ε).
2.3.2
Propriedades Gerais das Bolas Abertas
Observemos agora algumas propriedades das bolas abertas B(x; r) de um espaço métrico qualquer (M, d).
Propriedade 2.1. Dadas B(x; ε) e B(x; δ), se ε ≤ δ então B(x; ε) ⊆ B(x; δ). Figura 4 – Representação intuitiva da Propriedade 2.1.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Demonstração. Seja y ∈ B(x; ε) então, d(y, x) < ε ≤ δ, logo y ∈ B(x; δ).
Propriedade 2.2. Dado y ∈ B(x; ε), então existe δ > 0 de modo que B(y; δ) ⊂ B(x; ε). Figura 5 – Representação intuitiva da Propriedade 2.2.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Demonstração. Tomemos δ = ε − d(x, y) e mostremos que B(y; δ) ⊂ B(x; ε). Seja então z ∈ B(y, δ). Logo
Assim,
d(z; x) < ε ⇒ z ∈ B(x; ε). Note que 0 < δ ≤ ε − d(x, y) funciona.
Propriedade 2.3. Sejam B(x; ε) e B(y; δ) bolas não disjuntas. Dado z ∈ B(x; ε)∩B(y; δ) então existe λ > 0 tal que
B(z; λ) ⊂ B(x; ε) ∩ B(y; δ).
Figura 6 – Representação intuitiva da Propriedade 2.3.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Demonstração. Devido a Propriedade 2.2 existem λ1, λ2 ∈ R∗+ tal que B(z, λ1) ⊂
B(x; ε)e B(z, λ2) ⊂ B(y; δ).
Tomando λ = min{λ1, λ2}, então B(z; λ) ⊂ B(z; λ1)e B(z; λ) ⊂ B(z; λ2), logo
B(z; λ) ⊂ B(x; ε) ∩ B(y; δ).
Propriedade 2.4. Sejam x 6= y pontos de um espaço métrico (M, d). Se d(x, y) = r, então Bx;r 2 ∩ By;r 2 = ∅.
Figura 7 – Representação intuitiva da Propriedade 2.4.
Demonstração. Suponha que existe z ∈ Bx;r 2 ∩ By;r 2 . Assim, r = d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, z) < r 2 + r 2 = r logo r < r, absurdo! Então, Bx;r
2 ∩ By;r 2 = ∅.
Propriedade 2.5. Dadas as bolas B(x; ε) e B(y; δ), se ε + δ ≤ d(x, y) então B(x; ε) ∩ B(y; δ) = ∅.
Figura 8 – Representação intuitiva da Propriedade 2.5.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Demonstração. Suponha que existe z ∈ B(x; ε) ∩ B(y; δ). Então, ε + δ ≤ d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, z) < ε + δ logo ε + δ < ε + δ, absurdo! Portanto, B(x; ε) ∩ B(y; δ) = ∅.
Observação 2.6. Se ε + δ < d(x, y) então as bolas fechadas B[x; ε] e B[y; δ] são disjuntas.
Figura 9 – Representação intuitiva da Observação 2.6.
Com efeito, se fosse d(x, z) ≤ ε e d(y, z) ≤ δ, teríamos d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) ≤ ε + δ < d(x, y).
Logo, d(x, y) < d(x, y), o que seria um absurdo.
Propriedade 2.6. O diâmetro de uma bola B(x; r) é menor do que ou igual a 2r. Demonstração. Dados y, z ∈ B(x; r) quaisquer,
d(y, z) ≤ d(y, x) + d(x, z) < r + r
= 2r, ∀y, z ∈ B(x; r).
Logo, 2r é uma cota superior do conjunto {d(y, z); y, z ∈ B(x; r)}. Portanto diam (B(x; r)) = sup {d(y, z); y, z ∈ B(x; r)} ≤ 2r.
Observação 2.7. Pode ocorrer do diâmetro da bola ser menor do que 2r. Basta considerar M reduzido a um único ponto. Então B(a; r) = {a}, logo
diam (B(a; r)) = sup {d(x, y); x, y ∈ B(a; r)} = 0.
Outro exemplo é quando consideramos M = Z, a ∈ Z e r > 0, r /∈ Z. Então diam (B(a; r)) < 2r.
2.4
Métricas Equivalentes e Normas Equivalentes
2.4.1
Métricas Equivalentes
Nesta seção consideraremos d1 e d2 duas métricas num mesmo espaço M ,
B1(a; ε)a bola de centro a e raio ε > 0, segundo a métrica d1 e B2(a; ε)a bola de centro
ae raio ε > 0 segundo a métrica d2.
Definição 2.13. (Métricas Equivalentes). Sejam d1 e d2métricas sobre o mesmo espaço
M. Dizemos que d1 e d2 são métricas equivalentes se, para cada a ∈ M qualquer que
seja a bola B1(a; ε), existe λ > 0 de modo que B2(a; λ) ⊂ B1(a; ε)e qualquer que seja a
bola B2(a; λ)existe ε > 0 de modo que B1(a; ε) ⊂ B2(a; λ). Se d1 e d2 são equivalentes,
Exemplo 2.19. É intuitivo que as métricas d, d0 e d00 em R2 são equivalentes, pois
podemos inscrever um círculo em todo quadrado e um quadrado em todo círculo, como mostra a Figura 10.
Figura 10 – Interpretação geométrica da equivalência das métricas d, d0 e d00.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Observação 2.8. Da Definição 2.13 e da Propriedade 2.2 segue que se d1 e d2 são
métricas equivalentes sobre M então toda bola B1(a; ε)é uma reunião de bolas B2(a; δ)
e vice-versa.
Com efeito, dado b ∈ B1(a; ε), pela Propriedade 2.2 existe um número real λ > 0
tal que B1(b; λ) ⊂ B1(a; ε).Como d1 ∼ d2 existe δ > 0 tal que B2(b; δ) ⊂ B1(b; λ).
Logo
B2(b; δ) ⊂ B1(a; ε), ∀b ∈ B1(a; ε)
e portanto B1(a; ε)é uma reunião de bolas na métrica d2.
Proposição 2.3. Sejam d1 e d2 métricas sobre um conjunto M . Se existem r, s ∈ R∗+
tais que
r · d1(x, y) ≤ d2(x, y) ≤ s · d1(x, y), ∀x, y ∈ M
então d1 ∼ d2.
Demonstração. Demonstremos a primeira desigualdade da Proposição 2.3.
Seja a um ponto de M . Devemos mostrar que dada B1(a; ε)existe λ1 ∈ R∗+ tal
que
Com efeito, basta tomarmos λ1 = ε · r e teremos que se b ∈ B2(a; ε · r) então
b ∈ B1(a; ε), pois, observe que
d1(b, a) ≤
1
r · d2(b, a) < 1
r · ε · r = ε.
Logo b ∈ B1(a; ε). Demonstremos agora a segunda desigualdade da Proposição
2.3.
Consideremos a bola B2(a; ε), onde a é um ponto de M . Devemos mostrar que
existe λ2 ∈ R∗+ tal que
B1(a; λ2) ⊂ B2(a; ε).
Com efeito, tomando λ2 =
ε
s segue que se c ∈ B1(a; λ2)então c ∈ B2(a; ε), pois, observe que
d2(c, a) ≤ s · d1(c, a) < s ·
ε s = ε. Logo c ∈ B2(a; ε).
Exemplo 2.20. As métricas d, d0 e d00 do Exemplo 2.4 são equivalentes devido as
Proposições 2.1 e 2.3.
Observação 2.9. A recíproca da proposição 2.3 não é verdadeira.
2.4.2
Normas Equivalentes
Usaremos a notação k · k1 e k · k2 para duas normas em um mesmo espaço
vetorial E. As métricas induzidas sobre E por tais normas serão d1e d2respectivamente. Definição 2.14. (Normas Equivalentes). Duas normas sobre o mesmo espaço vetorial E dizem-se equivalentes se, e somente se, as métricas induzidas por essas normas sobre E são equivalentes.
Observação 2.10. Se k · k1 e k · k2 são as normas consideradas, e, d1 e d2 são
respectivamente, as métricas induzidas então a equivalência da Definição 2.14 significa que dada uma bola B1(a; ε), com a ∈ E, existe uma bola B2(a; δ)de modo que B2(a; δ) ⊂
B1(a; ε)e vice-versa.
Proposição 2.4. Duas normas k·k1e k·k2sobre um espaço vetorial E são equivalentes
se, e somente se, existem r, s ∈ R∗+ tais que
r · kxk1 ≤ kxk2 ≤ s · kxk1, ∀x ∈ E.
Demonstração. Suponhamos que duas normas quaisquer k · k1 e k · k2 sobre um
(i) Tomemos B1(0; 1) então existe δ > 0 de modo que B2(0; δ) ⊂ B1(0; 1).
Con-sideremos r ∈ R∗+ tal que r < δ. O vetor v =
r · x kxk2 pertence a B2(0; δ) visto que kv − 0k2 = kvk2 = r · x kxk2 2 = r kxk2 · kxk2 = r < δ, x 6= 0.
Como B2(0; δ) ⊂ B1(0; 1)então v ∈ B1(0; 1)e portanto
kv − 0k1 < 1 ⇒ r · x kxk2 1 < 1 ⇒ r kxk2 · kxk1 < 1 ⇒ r · kxk1 < kxk2, x 6= 0.
(ii) Tomemos B2(0; 1), então existe δ > 0 tal que B1(0; δ) ⊂ B2(0; 1). Consideremos
s ∈ R∗+tal que
1 s < δ. O vetor v = x
s · kxk1
pertence a bola B1(0; δ)pois
kv − 0k1 = kvk1 = x s · kxk1 1 = 1 s · kxk1 · kxk1 = 1 s < δ, x 6= 0. Como B1(0; δ) ⊂ B2(0; 1)temos que v ∈ B2(0; 1)e portanto
kv − 0k2 < 1 ⇒ kvk2 < 1 ⇒ x s · kxk1 2 < 1 ⇒ 1 s · kxk1 · kxk2 < 1 ⇒ kxk2 < s · kxk1, x 6= 0.
Finalmente, se x = 0, temos a igualdade pois k0k1 = k0k2 = 0.
Suponhamos agora que dadas duas normas k · k1 e k · k2 sobre um espaço
vetorial E existem r, s ∈ R∗+ tais que
r · kxk1 ≤ kxk2 ≤ s · kxk1, ∀x ∈ E.
Então, para o vetor x − y ∈ E vale
r · kx − yk1 ≤ kx − yk2 ≤ s · kx − yk1.
Dessa forma
r · d1(x, y) ≤ d2(x, y) ≤ s · d1(x, y).
Exemplo 2.21. Mostraremos que se M for igual ao conjunto das funções reais contí-nuas definidas no intervalo [0, 1], isto é, M = C[0, 1] então as normas
kf k1 = sup {|f (x)|; x ∈ [0, 1]} e kf k2 =
Z 1
0
|f (x)| dx.
não são equivalentes. De fato, consideremos B1
0;1
2
como mostra a Figura 11.
Figura 11 – Representação da bola B1
0;1
2
.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Vamos mostrar que para todo λ > 0, a bola B2(0; λ) 6⊂ B1
0;1 2 . Analisando as possibilidades temos i) λ ≤ 1 2; ii) λ > 1 2.
Se ocorrer i) então consideremos o número 0 ≤ a < 2λ ≤ 1 e a função
f (x) = −1 ax + 1, se 0 ≤ x ≤ a; 0, se x > a. Observe que f ∈ C[0, 1] e que f ∈ B2(0; λ) pois
kf − 0k2 = kf k2 = Z 1 0 |f (x)| dx = Z a 0 −1 ax + 1 dx + Z 1 a −1 ax + 1 dx = Z a 0 −1 ax + 1 dx + Z 1 a 0 dx = Z a 0 −1 ax + 1 dx + 0 = Z a 0 −1 ax + 1 dx, e Z a 0 −1 ax + 1 dx = −x 2 2a+ x a 0 = −a 2 2a + a − −0 2 2a+ 0 = −a a + 2a 2a = a 2, visto que a
2 é o valor da área limitada por f , pelo eixo x e pelo eixo y, que é a área do triângulo de base a e altura 1, tal situação está ilustrada na Figura 12.
Figura 12 – Ilustração da função f fora da bola B1
0;1
2
no caso i).
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Se ocorrer ii) então consideremos novamente o número 0 ≤ a < 2λ e a função
f (x) = −1 ax + 1, se 0 ≤ x ≤ a; 0, se x > a.
Observe que agora temos três possibilidades para o número a, sendo elas iii) 0 ≤ a < 1;
iv) a = 1; v) a > 1.
Os casos iii) e iv) recaem no que foi mostrado em i) fornecendo-nos Z 1
0
|f (x)| dx = a 2.
Já no caso v), observe que f ∈ C[0, 1] e que f ∈ B2(0; λ) pois
Z 1 0 |f (x)| dx = Z 1 0 −1 ax + 1 dx = Z 1 0 −1 ax + 1 dx < a 2 visto que Z 1 0
|f (x)| dx é o valor da área limitada pela reta x = 1, pelo eixo x, pelo eixo y e pela função f , observe que tal área é menor do que a área do triângulo de base a e altura 1, isto é, é menor do que a
2, a Figura 13 ilustra tal situação
Figura 13 – Ilustração da função f fora da bola B1
0;1
2
no caso ii).
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Observe, porém que tanto no caso i) quanto no caso ii) f /∈ B1
0;1 2 , pois kf − 0k1 = kf k1 = sup {|f (x)|; x ∈ [0, 1]} = 1 > 1 2.
2.5
Sequências em Espaços Métricos
Definição 2.15. (Sequência). Seja (M, d) um espaço métrico. Toda função f : N −→ M
n 7−→ f (n) = xn
é chamada sequência de elementos de M . Usaremos a notação (x1, x2, . . . , xn, . . .)ou (xn)n∈Nou (xn)
para representar uma tal sequência.
Observação 2.11. Uma sequência e o conjunto dos termos de uma sequência são con-ceitos distintos. Por exemplo, o conjunto dos termos da sequência (xn) = (1, 2, 3, 1, 2, 3, . . .)
é {xi; i ∈ N} = {1, 2, 3}, porém
(xn) = (1, 2, 3, 1, 2, 3, . . .) 6= {xi; i ∈ N} = {1, 2, 3}.
Definição 2.16. (Subsequência). Seja (xn) uma sequência em M e {n1, n2, . . .} ⊂ N
com n1 < n2 < · · ·, então a aplicação
fn: {n1, n2, . . .} −→ M
ni 7−→ f (ni) = xni recebe o nome de subsequência de (xn).
Exemplo 2.22. Consideremos (xn) = (1, 2, 3, 1, 2, 3, . . .), logo
• k ∈ {3, 6, 9, . . .} ⊂ N ⇒ (xnk) = (xn3, xn6, xn9, . . .) = (3, 3, 3, . . .).
• p ∈ {1, 2, 5, 7, 8, . . .} ⊂ N ⇒ (xnp) = (xn1, xn2, xn5, xn7, xn8, . . .) = (1, 2, 2, 1, 2, . . .). Então, (xnk) = (3, 3, 3, . . .)e (xnp) = (1, 2, 2, 1, 2, . . .)são subsequências de (xn).
Observação 2.12. Toda subsequência pode ser escrita como uma sequência pois tomando {n1, n2, . . .} ⊂ N, segue que
fn: {n1, n2, . . .} −→ M
ni 7−→ f (ni) = xni é equivalente a
fn : N −→ M
Definição 2.17. (Limite de uma Sequência). Seja (M, d) um espaço métrico. Dizemos que um ponto p ∈ M é limite de uma sequência (xn)de pontos de M se, para toda bola
B(p; ε)existe um índice n0 ∈ N tal que
n ≥ n0 ⇒ xn∈ B(p; ε).
Usaremos a notação lim xn = p, ou lim
n∈Nxn = p, ou limn→∞xn = p, ou xn → p,
para indicar que o limite de uma tal sequência é p, vale ressaltar que a expressão xn→ p lê-se “xntende para p” ou “converge para p”. Chamamos de convergente uma
sequência que possui limite e de divergente uma que não possui.
Proposição 2.5. Uma sequência (xn)em M converge para p ∈ M se, e somente se,
para qualquer ε > 0, existe um índice n0 ∈ N tal que n ≥ n0 implica d(xn, p) < ε. Demonstração. De fato, temos que xn ∈ B(p; ε) se, e somente se, d(xn, p) < ε.
Observação 2.13. Note que se (xn) converge para p então, para todo r ∈ N, a
sub-sequência (xr, xr+1, xr+2, . . .)também converge para p. Exemplo 2.23. Considere C[0, 1] com a métrica
d(f, g) = sup {|f (x) − g(x)|; x ∈ [0, 1]}
A sequência (f1, f2, f3, . . .) onde fn(x) =
1
n, para x ∈ [0, 1] converge para a função nula, isto é, para a função
f : [0, 1] ⊂ R −→ R x 7−→ f (x) = 0. Notemos que f1(x) = 1 1 = 1, ∀x ∈ [0, 1] f2(x) = 1 2, ∀x ∈ [0, 1] f3(x) = 1 3, ∀x ∈ [0, 1] .. . = ... fn(x) = 1 n, ∀x ∈ [0, 1] .. . = ...
e que d(fn, f ) = d(fn, 0) = sup {|fn(x) − f (x)|; x ∈ [0, 1]} = sup 1 n − 0 ; x ∈ [0, 1] = sup 1 n; x ∈ [0, 1] = 1 n. Assim, dado ε > 0, tomamos n0 >
1
ε, isto é, 1 n0
< εe então, para n > n0 temos
d(fn, f ) = 1 n < 1 n0 < ε ⇒ fn→ f
onde na implicação acima foi usado a Proposição 2.5. A Figura 14 ilustra tal situação. Figura 14 – Sequência (f1, f2, f3, . . .) convergindo para a função nula.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Proposição 2.6. (Unicidade do Limite). Seja (xn)uma sequência convergente de um
espaço métrico M . Então, é único o limite dessa sequência.
Demonstração. Suponha que xn → p e xn → q com p 6= q. Seja r = d(p, q), então
tomando ε = r
2 temos que existem n1, n2 ∈ N tal que • n > n1 ⇒ xn∈ B(p; ε);
Tomando n0 = max {n1, n2} temos que para n > n0, xn ∈ B(p; ε) ∩ B(q; ε), o que
contraria a Propriedade 2.4.
Teorema 2.1. Sejam d1 e d2 métricas equivalentes sobre um conjunto M . Então uma
sequência (xn)de M converge no espaço (M, d1)para um ponto p ∈ M se, e somente
se, essa sequência converge em (M, d2).
Demonstração. Suponhamos que xn → p em (M, d1). Dado ε > 0, consideremos
B2(p; ε). Como d1 ∼ d2 existe λ > 0 tal que B1(p; λ) ⊂ B2(p; ε). Como xn→ p em (M, d1)
existe n0 ∈ N tal que n > n0 implica xn∈ B1(p; λ) ⊂ B2(p; ε). Logo, xn→ p em (M, d2).
Reciprocamente, suponhamos que xn → p em (M, d2). Dado ε > 0,
considere-mos B1(p; ε). Como d1 ∼ d2 existe λ > 0 tal que B2(p; λ) ⊂ B1(p; ε). Como xn→ p em
(M, d2)existe n0 ∈ N tal que n > n0 implica xn∈ B2(p; λ) ⊂ B1(p; ε). Logo, xn→ p em
(M, d1).
Teorema 2.2. Se uma sequência (xn)de pontos de um espaço métrico M converge
para p ∈ M , então toda subsequência de (xn)também converge para p. Demonstração. Se xn→ p então
∀ε > 0, ∃ n0 ∈ N; n > n0 ⇒ d(xn, p) < ε.
Como (xnk)é subsequência de (xn), existe nr ∈ N tal que nr > n0. Então, para nk > nr teremos d(xnk, p) < ε.
Observação 2.14. O fato de uma subsequência de (xn)convergir não significa que
(xn)converge, pois, veja que a sequência (xn) = (3, 0, 3, 0, 3, 0, . . .)diverge, entretanto,
(xn)possui duas subsequências que convergem, a saber,
(x2n) = (0, 0, 0, . . .)e (x2n−1) = (3, 3, 3, . . .).
Definição 2.18. (Sequência Limitada). Dizemos que uma sequência de pontos de um espaço métrico M é limitada se o conjunto {xn; n ∈ N} dos termos da sequência é
limitado, isto é, se existe k > 0 tal que d(xr, xs) < k para quaisquer dois pontos de (xn). Teorema 2.3. Toda sequência convergente é limitada.
Demonstração. Suponhamos que xn → p. Para B(p; 1), existe n0 ∈ N tal que
n > n0 implica d(xn, p) < 1. Eventualmente teremos fora da bola B(p; 1) os
pon-tos x1, x2, . . . , xn0. Então consideremos r > max {d(x1, p), d(x2, p), . . . , d(xn0, p)}, assim, tomando ε = max{r, 1} temos que xn∈ B(p; ε), para todo n ∈ N.
Observe que dados xr, xs elementos de (xn)temos
d(xr, xs) ≤ d(xr, p) + d(p, xs)
= ε + ε = 2ε.
Observação 2.15. Não vale a recíproca do Teorema 2.3. De fato, (xn) = (3, 0, 3, 0, . . .)
é limitada pois d(xr, xs) < 4, para todo r, s ∈ N, mas não é convergente.
2.5.1
Sequências em R
No espaço R é importante estudar as sequências chamadas monótonas que podem ser.
• Crescentes: sequências (xn)tal que xn+1 ≥ xn, para todo n ∈ N;
• Estritamente crescentes: sequências (xn)tal que xn+1 > xn, para todo n ∈ N;
• Decrescentes: sequências (xn)tal que xn+1 ≤ xn, para todo n ∈ N;
• Estritamente decrescentes: sequências (xn)tal que xn+1 < xn, para todo n ∈ N. Teorema 2.4. Toda sequência monótona limitada é convergente.
Demonstração. Seja (xn)uma sequência monótona limitada, sem perda de
generali-dade, suponhamos ser (xn)crescente. Seja a = sup n∈N
{xn}, vamos mostrar que xn→ a.
De fato, dado ε > 0, a−ε não é cota superior de {xn; n ∈ N}. Logo, existe n0 ∈ N tal que
xn0 ∈ (a − ε, a + ε) = B(a; ε). Como (xn)é crescente e n > n0 implica xn ∈ (a − ε, a + ε), logo, xn→ a.
Teorema 2.5. (Conservação do Sinal). Seja (xn)uma sequência em R e p ∈ R tal que
p > 0, logo.
i) Se lim xn= p, então existe n0 ∈ N tal que n ≥ n0 implica xn> 0.
Demonstração. Tomando ε = p. Pela definição de limite, existe n0 ∈ N tal que
n ≥ n0 ⇒ p − ε < xn< p + ε
⇒ p − p < xn< p + p
⇒ 0 < xn< 2p
⇒ xn > 0.
Isto prova i). Analogamente, a prova de ii) se dá da seguinte forma. Tomando ε = p. Pela definição de limite, existe n0 ∈ N tal que
n ≥ n0 ⇒ −p − ε < xn< −p + ε
⇒ −p − p < xn< −p + p
⇒ −2p < xn< 0
⇒ xn < 0.
Isto encerra a demonstração.
2.5.2
Sequências em Espaços Vetoriais Normados
Teorema 2.6. Seja (xn)uma sequência de pontos em um espaço vetorial normado E
que converge para a ∈ E. Então existe uma bola de centro em0 (vetor nulo de E) que contém todos os termos da sequência.
Demonstração. Como xn→ a, então existe n0 ∈ N tal que n > n0 implica xn∈ B(a; 1),
isto é,
kxnk = kxn− a + ak
≤ kxn− ak + kak
< 1 + kak.
Eventualmente, estarão fora de B(a; 1) os vetores x1, x2, . . . , xn0. Consideremos r > max {kx1k, kx2k, . . . , kxn0k} .
Tomando ε = max {1 + kak, r} temos que xn ∈ B(0; ε), para todo n ∈ N.
Definição 2.19. Se (xn) e (yn) são sequências num espaço vetorial definimos a
soma dessas sequências como sendo a sequência (x1+ y1, x2+ y2, . . . , xn+ yn, . . .) =
Se (αn) é uma sequência de números reais então definimos o produto das
sequências (αn)e (xn)como sendo a sequência (α1x1, α2x2, . . . , αnxn, . . .) = (αn)(xn). Teorema 2.7. Sejam (xn) e (yn)sequências em um espaço vetorial normado E. Se
lim xn= ae lim yn = b, então lim(xn+ yn) = a + b.
Demonstração. Dado ε > 0, se xn → a então existe n1 ∈ N tal que n > n1 implica
kxn− ak <
ε
2 e como yn → b então existe n2 ∈ N tal que n > n2 implica kyn− bk < ε 2. Então, tomando n0 = max {n1, n2} temos que n > n0 implica
k(xn+ yn) − (a + b)k = k(xn− a) + (yn− b)k ≤ kxn− ak + kyn− bk < ε 2 + ε 2 = ε. Logo, (xn+ yn) → (a + b).
Lema 2.1. Seja (xn)uma sequência de um espaço vetorial normado E. Se xn → a,
então kxnk → kak.
Demonstração. Basta mostrar que | kxnk − kak | ≤ kxn− ak pois então, dado ε > 0
existe n0 ∈ N tal que n > n0 implica | kxnk − kak | ≤ kxn− ak < ε. Assim,
• kxnk = kxn− a + ak ≤ kxn− ak + kak ⇒ kxnk − kak ≤ kxn− ak.
• kak = ka − xn+ xnk ≤ ka − xnk + kxnk = kxn− ak + kxnk ⇒ kak − kxnk ≤ kxn− ak.
Portanto, max {kxnk − kak, kak − kxnk} ≤ kxn− ak o que implica
| kxnk − kak | ≤ kxn− ak.
Logo kxnk → kak.
2.5.3
Sequências de Cauchy
Definição 2.20. Uma sequência (xn)em M é dita uma sequência de Cauchy quando
dado ε > 0, existir n0 ∈ N tal que m, n > n0 implica d(xm, xn) < ε. Teorema 2.8. Toda sequência convergente é de Cauchy.
Demonstração. Suponhamos que xn→ a em M . Então dado ε > 0, existe n0 ∈ N tal
que n > n0 implica d(xn, a) <
ε
2. Logo, para m, n > n0 temos d(xm, xn) ≤ d(xm, a) + d(a, xn) <
ε 2 +
ε 2 = ε.
Observação 2.16. A recíproca do Teorema 2.8 não é verdadeira, isto é, existem sequências de Cauchy que não convergem. Por exemplo, tome M = Q e a sequência
(xn) = (1; 1, 7; 1, 73; 1, 732; 1, 732; 1, 73205; . . .) .
Em M1 = R, (xn)converge para
√
3 = 1, 7320508 . . ., mas em M = Q, (xn)não
converge, mesmo sendo uma sequência de Cauchy. Teorema 2.9. Toda sequência de Cauchy é limitada.
Demonstração. Seja (xn)uma sequência de Cauchy. Então dado ε = 1, existe n0 ∈ N
tal que m, n > n0 implica d(xm, xn) < 1. Então, os termos {xn0+1, xn0+2, . . .} = Y estão em uma bola de diâmetro menor do que ou igual a 1, isto é, um conjunto limitado. Resta o conjunto X = {x1, x2, . . . , xn0} que é finito e portanto limitado. Logo {xn}n∈N= X ∪ Y é limitado.
Observação 2.17. Nem toda sequência limitada é de Cauchy. Por exemplo, a sequência cujo n−ésimo termo é xn = (−1)n, é da forma (xn) = (−1, 1, −1, 1, . . .), logo, (xn) é
limitada pois {−1, 1} é limitado, mas não é de Cauchy, visto que, dado ε = 1
2, para todo n0 ∈ N, existem p = 2n0+ 1, q = 2n0+ 2tais que
d (xp, xq) = d(−1, 1) = 2 > ε =
1 2, fornece-nos um absurdo.
Exemplo 2.24. Observe que a sequência cujo n−ésimo é xn= 1 +
1
2 + · · · + 1
n não é
de Cauchy, pois (xn)não é limitada.
Definição 2.21. (Espaço Métrico Completo). Um espaço métrico M é dito completo quando toda sequência de Cauchy em M é convergente em M .
3
TOPOLOGIA BÁSICA E FUNÇÕES
CONTÍNUAS EM ESPAÇOS
MÉTRI-COS
Neste capítulo apresentaremos alguns conhecimentos básicos sobre a topologia dos espaços métricos, a saber, conjuntos abertos e conjuntos fechados. Além disso apresentaremos alguns conceitos básicos sobre as funções contínuas relacionados às características elementares das mesmas e homeomorfismos. Recomendamos ao leitor, uma leitura prévia de (BOLDRINI, 1980) e (LIMA, 2016a), para uma leitura mais aprofundada sobre topologia indicamos (LIMA, 1970).
3.1
Conjuntos Abertos
Definição 3.1. Seja M um espaço métrico e X ⊂ M um subconjunto de M . Um ponto a ∈ X é ponto interior a X quando é centro de uma bola contida em X, isto é, quando existe r > 0 tal que d(x, a) < r ⇒ x ∈ X.
Definição 3.2. O conjunto de todos os pontos interiores a X é chamado interior de X em M e será denotado por int X.
Observação 3.1. Dizer que b ∈ X não é interior a X significa que toda bola de centro bcontém algum ponto que não pertence a X.
Definição 3.3. Chamamos fronteira de X em M ao conjunto ∂X, formado pelos pontos b ∈ M tais que toda bola aberta de centro b contém algum ponto de X e algum ponto do complementar M − X.
Exemplo 3.1. Considere X = [0, 3) ⊂ R = M, afirmamos que int X = (0, 3). Com efeito, dado a ∈ (0, 3) tomamos ε = min {3 − a, a} e, portanto, Ba;ε
2
⊂ (0, 3). Além disso observe que ∂X = {0, 3} pois para todo ε > 0, as bolas B(0; ε) e B(3; ε) intersectam
tanto X como R − X.
Exemplo 3.2. Considere X = {(x, 0); 0 ≤ x < 1} ⊂ R2 = M. Segue que int X = ∅ e
∂X = {(x, 0); 0 ≤ x ≤ 1}.
Os Exemplos 3.1 e 3.2 revelam que as noções de int X e ∂X são relativas, isto é, dependem do espaço métrico em que X está imerso.
Exemplo 3.3. Seja X = Q ⊂ R = M. Então int Q = ∅ e ∂Q = R. O mesmo vale para R − Q, isto é, se considerarmos X = (R − Q) ⊂ R = M. Então int (R − Q) = ∅ e ∂Q = R.
Observação 3.2. Se X ⊂ M e x ∈ M então ocorre uma e somente uma das possibili-dades
i) x ∈int X; ii) x ∈ ∂X;
iii) x ∈int (M − X).
Dessa forma, podemos concluir que
M =int X ∪ ∂X ∪ int (M − X),
onde int X, ∂X e int (M − X) são conjuntos disjuntos, além disso, podemos concluir que ∂X = ∂(M − X).
Definição 3.4. Seja M um espaço métrico e A ⊂ M. Dizemos que A é aberto em M quando todos os pontos de A são pontos interiores a A, isto é, int A = A. Assim,
A ⊂ M é aberto ⇔ A ∩ ∂A = ∅.
Proposição 3.1. Toda bola aberta B(a; r) em um espaço métrico M é um conjunto aberto.
Demonstração. Decorre da Propriedade 2.2 de bolas abertas.
Corolário 3.1. Seja X ⊂ M , então int X é um conjunto aberto.
Demonstração. Com efeito, tomemos a ∈ int X. Então existe um número real r > 0 tal que B(a; r) ⊂ X. Pela Proposição 3.1, para todo x ∈ B(a; r) existe s > 0 tal que B(x, s) ⊂ B(a; r), logo B(x; s) ⊂ X. Dessa forma, todo ponto x ∈ B(a; r) é interior a X, ou seja, B(a; r) ⊂ int X. Portanto, int X é um conjunto aberto.
Note que int X é o maior aberto contido em X, isto é, se A é aberto e A ⊂ X então A ⊂ int X, pois, basta observar que todo ponto a ∈ A é interior a A, logo como A ⊂ X, a ∈ int X.
Observação 3.3. Para provar que X não é aberto deve-se exibir um ponto x ∈ X tal que x /∈ int X. A partir disso, concluímos que ∅ é aberto em qualquer espaço métrico M.
Exemplo 3.4. Dados M espaço métrico, a ∈ M e ε > 0, o complementar da bola fechada B[a; ε] é um conjunto aberto A = M − B[a; ε]. Com efeito, seja c ∈ A, isto é, d(c, a) > ε. Tomemos um número δ > 0 tal que ε + δ < d(a, c). Pela Observação 2.6 as bolas fechadas B[a; ε] e B[c; δ] são disjuntas. Com maior razão, B[a; ε] ∩ B[c; δ] = ∅, isto é, B(c; δ) ⊂ M − B[a; ε]. Logo todo ponto c ∈ A é interior a A.
Teorema 3.1.
i) A união arbitrária de conjuntos abertos é um conjunto aberto. ii) A interseção finita de conjuntos abertos é um conjunto aberto. Demonstração. Seja A = S
i∈L
Ai, com Ai aberto em M para todo i ∈ L. Tomemos
a ∈ A. Então existe j ∈ L tal que a ∈ Aj. Como Aj é aberto, existe ε > 0 tal que
B(a; ε) ⊂ Aj ⊂ A. Logo a ∈ int A, isto é, A é aberto, e assim provamos i).
Para demonstrarmos ii), consideremos A =
n
T
i=1
Ai, com Ai aberto em M para
todo i ∈ {1, 2, 3, . . . , n}. Tomemos a ∈ A e portanto a ∈ Ai, para todo i ∈ {1, 2, 3, . . . , n}.
Então, existe εi > 0 tal que B(a; εi) ⊂ Ai, para todo i ∈ {1, 2, 3, . . . , n}. Tomando
ε = min {ε1, ε2, ε3, . . . , εn}, temos que B(a; ε) ⊂ Ai, para todo i. Logo B(a; ε) ⊂ n
T
i=1
Ai,
isto é, a ∈ int A. Assim, A é aberto.
Corolário 3.2. Um subconjunto A ⊂ M é aberto se, e somente se, é uma reunião de bolas abertas.
Demonstração. Com efeito, seja A ⊂ M um subconjunto aberto, logo para cada x ∈ Aexiste uma bola aberta Bx tal que x ∈ Bx ⊂ A o que se escreve também como
{x} ⊂ Bx ⊂ A. Tomando reuniões, vem que
A = [ x∈A {x} ⊂ [ x∈A Bx ⊂ A Logo A = S x∈A
Bx, o que mostra que todo aberto é uma reunião de bolas abertas.
Reciprocamente, se A = ∪Bλ é uma reunião de bolas abertas, então A é aberto em M ,
Exemplo 3.5. Considere Ai = −1 i, 1 i
⊂ R = M, com i ∈ N. Observe que
∞
T
i=1
Ai =
{0} que não é aberto, logo, a interseção arbitrária de conjuntos abertos nem sempre é
um conjunto aberto.
Lema 3.1. (Abertos em um Subespaço). Seja X ⊂ M . Considerando em X a métrica induzida por M , os conjuntos abertos no subespaço X são as interseções A ∩ X, onde Aé aberto em M .
Demonstração. Note que isto decorre da Observação 2.5, ou seja, do fato de que as bolas abertas em X tem a forma
BX(a; r) = B(a; r) ∩ X.
onde B(a; r) é uma bola aberta de centro a e raio r > 0, em M . Ora, os subconjuntos abertos do espaço X são, pelo Corolário 3.2, as reuniões de bolas abertas em X. Logo,
A0 ⊂ X é aberto ⇔ A0 =[ λ BλX =[ λ (Bλ∩ X) = [ λ Bλ ! ∩ X = A ∩ X,
onde A = ∪Bλ é aberto em M . Em particular, se X é aberto em M , os abertos do
subespaço X são os subconjuntos abertos de M que estão contidos em X. Quando X não é aberto em M então, evidentemente, todo conjunto aberto em M contido em X é também aberto em X, mas, existem subconjuntos A0 ⊂ X que são abertos em X mas não em M (O próprio X é um deles). Por exemplo, se 0 < ε < b − a, o intervalo [a, a + ε)é aberto no subespaço [a, b] da reta mas não é aberto em R.
3.2
Conjuntos Fechados
Definição 3.5. Dizemos que um ponto a ∈ M é aderente a um subconjunto X de M quando d(a, X) = 0. Isto significa que existem pontos de X arbitráriamente próximos de a, isto é, dado ε > 0 existe x ∈ X tal que d(a, x) < ε.
Observação 3.4. Pela definição, se a ∈ X então a é aderente a X. Se a ∈ ∂X então a também é aderente a X. Com efeito, para a ∈ ∂X, dado n ∈ N, existe xn∈ X tal que
d(a, xn) <
1
n. Como 1
n → 0 temos que xn→ a.
Definição 3.6. Chamamos fecho de X num espaço métrico M ao conjunto de todos os pontos de M que são aderentes a X, tal conjunto será denotado por X.
Exemplo 3.6. Observe em M = R o fecho de X em cada caso: • X = (1, 4] ⇒ X = [1, 4];
