O raciocínio difuso envolve duas partes distintas, solucionar o termo antecedente da regra e aplicar o resultado no termo consequente da regra. Nos sistemas clássicos, se o termo antecedente é verdadeiro, então o termo consequente também é verdadeiro. Nos sistemas difusos, onde o antecedente é uma proposição imprecisa, se o antecedente é verdadeiro em algum grau de pertinência, então o consequente também é verdadeiro no mesmo grau, desse modo, a conclusão pode ser obtida por meio de uma generalização do método modus pones (NEGNEVITSKY, 2005; ROSS, 2010).
Uma regra pode ser constituída por múltiplos antecedentes ou múltiplos consequentes, conforme indicado pelas Equações (3.13) e (3.14)
{ } { } { } { } { } { } { } { } Todas as partes do antecedente são calculadas simultaneamente por meio das operações de união ou interseção, resultando em um único valor. Quando a regra possui múltiplos consequentes, todos os termos do consequente são afetados igualmente pelo antecedente (ROSS, 2010).
3.3 Sistema de Inferência
O sistema de inferência difuso (Fuzzy Inference System - FIS), também chamado de sistema baseado em regras ou memória associativa, é uma parte importante da lógica difusa, sendo o responsável pela tomada de decisões. O FIS formula regras adequadas e com base nessas regras toma decisões. Este raciocínio é feito tendo com
base os conceitos de teoria dos conjuntos e nas regras difusas (SIVANANDAM; SUMATHI; DEEPA, 2007).
Um sistema de inferência difuso, conforme mostrado na Figura 3.9, é constituído basicamente de cinco blocos funcionais. A interface de codificação transforma as entradas numéricas em variáveis linguísticas. Essa conversão é feita tendo como base um conjunto de funções de pertinência. As entradas são comparadas com as funções de pertinência para se obter um valor de pertinência para cada variável linguística. O conjunto de regras combina os valores de pertinência de cada termo da entrada realizando as operações vistas anteriormente, como interseção ou união. Uma vez estabelecidos os valores dos termos antecedentes, são determinados os valores dos termos consequentes. A unidade de tomada de decisão realiza operações de inferência com as regras difusas. A interface de decodificação transforma os resultados difusos obtidos pela inferência em uma saída numérica (SIVANANDAM; SUMATHI; DEEPA, 2007), (NEGNEVITSKY, 2005).
Figura 3.9. Modelo de um Sistema de Inferência Difuso (FIS).
Fonte: Adaptado de (JANG, 1993)
Os dois sistemas de inferência mais comuns são o Mamdani e o Takagi-Sugeno, descritos nas seções 3.3.1 e 3.3.2, respectivamente.
3.3.1 Sistema de Inferência de Mamdani
O Sistema de Inferência Difuso de Mamdani é o método de inferência mais conhecido. Consiste basicamente de seis etapas (a) determinação do conjunto de regras difusas; (b) codificação das entradas usando funções de pertinência; (c) combinação das
entradas codificadas de acordo com as operações do termo antecedente; (d) determinação da saída de cada regra a partir do termo consequente; (e) combinação dos termos consequentes para se ter uma distribuição da saída; (f) decodificação da distribuição de saída (SIVANANDAM; SUMATHI; DEEPA, 2007; NEGNEVITSKY, 2005).
As regras são um conjunto de declarações linguísticas que descrevem como o sistema de inferência deve tomar decisões, isto é, controlar a saída (consequente) baseando-se na classificação das entradas (antecedente). As regras, em geral, têm a organização mostrada na Equação (3.15).
{ } { } { } Desse modo, existem funções de pertinência associadas (FP_01, FP_02 e FP_03) a cada uma das entradas (E_01, E_02) e à saída (S_01). Estas funções de pertinência estão associadas a conceitos difusos, como grande, pequeno, quente, frio, forte, fraco, que são variáveis linguísticas.
Em qualquer aplicação prática, os dados de entrada podem conter erros, ou seja, os dados podem ser imprecisos. Para contornar essa imprecisão, funções de pertinências adequadas devem ser escolhidas (SIVANDAM; SUMATHI; DEEPA, 2007).
As saídas dos termos consequentes são combinadas, ou seja, todos os termos consequentes de todas as regras são unidos em um único conjunto difuso. Desse modo, a entrada do processo de agregação consiste de uma lista de funções de pertinência dos termos consequentes e a saída é um único conjunto difuso para cada variável de saída.
O último passo do processo de inferência difusa consiste na decodificação. A imprecisão facilita resolução das regras difusas, mas a saída final de um sistema difuso deve ser uma variável não-linguística. A entrada do processo de codificação é o conjunto difuso da saída agregada e a saída deve ser uma grandeza numérica (SIVANDAM; SUMATHI; DEEPA, 2007).
Existem muitos métodos de decodificação. O método da centróide, também chamado de centro de gravidade, estabelece a saída como o ponto onde uma linha vertical pode dividir o conjunto agregado em duas partes iguais, conforme indicado na Equação (3.16)
∫
∫ Teoricamente, o método do centro de gravidade deve ser aplicado sobre todos os pontos contínuos da função de pertinência da saída agregada, mas na prática uma estimativa razoável pode ser obtida por meio do cálculo com base em pontos amostrados (NEGNEVITSKY, 2005). Esta aproximação é indicada na Equação (3.17).
∑
∑
O método de Mamdani armazena conhecimento de modo intuitivo, de modo muito similar ao realizado pelos seres humanos, assim, é largamente utilizado pra capturar conhecimento de especialistas. Entretanto, este método é computacionalmente custoso (NEGNEVITSKY, 2005).
3.3.2 Sistema de Inferência de Takagi-Sugeno.
O Sistema de Inferência de Takagi-Sugeno foi proposto como um esforço para formalizar um sistema de aproximação de geração de regras difusas a partir de um conjunto de entradas e saídas. O método de inferência Takagi-Sugeno é muito similar ao método Mamdani. O método Takagi-Sugeno modifica apenas o consequente da regra difusa. Em vez de um conjunto difuso, é usada uma expressão matemática em função dos dados de entrada (SIVANDAM; SUMATHI; DEEPA, 2007). A Equação (3.18),ilustra um exemplo de uma regra no método de inferência Takagi-Sugeno:
{ } { }
Na Equação (3.18), f(x,y) é uma função polinomial das variáveis de entrada x e
y, porém, qualquer outra função que melhor se adapte ao problema em estudo pode ser
utilizada. O método de Takagi-Sugeno mais usado é o de ordem-zero, onde o termo consequente é uma constante. A operação de agregação, isto é, a combinação dos
termos consequentes das regras, simplesmente combina esses termos. Em seguida determina-se a média ponderada dessas saídas. Para um sistema constituído por n regras, a média ponderada (Weighted Average– WE) da saída será dada pela Equação (3.19)
∑
∑
Desse modo, o método Takagi-Sugeno dispensa a etapa de decodificação, tornando este método computacionalmente mais eficiente, uma vez que uma operação de integração não necessita mais ser realizada (SIVANDAM; SUMATHI; DEEPA, 2007).
O método de Mamdani busca desenvolver o raciocínio de forma intuitiva, tornando-o facilmente interpretável. Com isso, constitui uma metodologia muito empregada. O método de Takagi-Sugeno é amplamente utilizado com técnicas de otimização e adaptativas, particularmente para sistemas dinâmicos não-lineares (MATHWORKS, 2013).