Taxa Real e Taxa aparente
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
Amortização de uma dívida é o processo de extinção progressiva da dívida através de prestações que deverão ser pagas periodicamente.
As prestações devem ser suficientes para restituir o capital financiado bem como pagar os juros originados pelo financiamento do capital.
Os diferentes critérios utilizados para a composição dos valores das parcelas são chamados de sistemas de amortização.
Ao estudarmos um sistema de amortização, é útil considerarmos cada prestação como sendo o resultado da soma de duas partes componentes básicas: juro e cota de amortização.
Valor da prestação = (juro) + (cota de amortização)
Sistema Francês ou Price
O valor da prestação R é constante e periódico, podendo ser obtido pela fórmula baixo, onde P é o valor financiado (principal):
Sendo:
R o valor da prestação
P o valor financiado
i taxa utilizada
n número total de parcelas
O juro pago em uma dada prestação é sempre calculado sobre o saldo devedor do período imediatamente anterior, sendo menor a cada nova prestação.
_____________________________________________________________________________
Existe tabela PRICE para achar facilmente a fórmula dada indicada pelo símbolo:
Que na fórmula ficaria da seguinte forma:
A tabela é a seguinte:
Exercícios de Concursos Resolvidos
1. (FCC - 2007 - MPU - Analista - Atuarial) Nascimento emprestou junto ao Banco Crescente S.A. a quantia de R$ 50.000,00 para comprar sua primeira casa. O sistema de amortização pactuado no contrato é o Sistema de Amortização Francês (Sistema Price), a uma taxa de juros de 10% a.a., com pagamento em 5 parcelas anuais de (em R$)
_____________________________________________________________________________ d) 16.589,83 e) 16.805,05 Solução: Temos que, P = R$50.000,00 n = 5 i = 10% a. a.
Utilizando a fórmula do sistema francês(price):
R = 50000 . 0,26380 R = 13.190,00 ITEM CORRETO: ITEM A
2. (FCC - 2010 - Banco do Brasil - Escriturário) Um empréstimo no valor de R$ 80.000,00 deverá ser pago por meio de 5 prestações mensais, iguais e consecutivas, vencendo a primeira um mês após a data da concessão do empréstimo. Sabe-se que foi utilizado o Sistema Francês de Amortização (Tabela Price) com uma taxa de juros compostos de 3% ao mês, encontrando- se R$ 17.468,00 para o valor de cada prestação. Imediatamente após o pagamento da primeira prestação, se S representa o percentual do saldo devedor com relação ao valor do empréstimo, então
a) 77% < S < 78% b) 78% < S < 79% c) 79% < S < 80% d) 80% < S < 81% e) 81% < S < 82% Solução:
_____________________________________________________________________________ Temos que, P = R$80.000,00 n = 5 i = 3% a.m. R = R$17.468,00
Após 1 mês da concessão do empréstimo o saldo devedor imediatamente antes do pagamento da parcela é de(vamos abreviar Saldo Devedor por SD):
SD = 80000 . (1 + i)1 SD = 80000 . 1,03
SD = 82400
Logo, os juros gerados neste mês foram de:
J = 82400 – 80000 J = R$2.400,00
Assim, como foi pago neste mês a quantia de R$17.468,00 , sendo que R$2.400,00, que está dentro dessa parcela, corresponde aos juros, sobrando somente
A = 17468 – 2400 A = R$15.048,00
Que corresponde ao valor que abaterá da dívida original, gerando um novo saldo devedor:
SD1 = P – A
SD1 = 80000 – 15048
SD1 = R$64.952,00
Fazendo a divisão de SD1 por P achamos a porcentagem do novo saldo
devedor em relação ao valor do empréstimo original:
64952 / 80000 = 0,8119 = 81,19%
_____________________________________________________________________________
3. (FCC - 2006 - Banco do Brasil - Escriturário - 001 - DF) Uma pessoa assume, hoje, o compromisso de devolver um empréstimo no valor de R$ 15 000,00 em 10 prestações mensais iguais, vencendo a primeira daqui a um mês, à taxa de juros nominal de 24% ao ano, com capitalização mensal. Sabe- se que foi utilizado o Sistema Francês de Amortização (Sistema Price) e que, para a taxa de juros compostos de 2% ao período, o Fator de Recuperação de Capital (10 períodos) é igual a 0,111. O respectivo valor dos juros incluídos no pagamento da segunda prestação é
a) R$ 273,30 b) R$ 272,70 c) R$ 270,00 d) R$ 266,70 e) R$ 256,60 Solução: Temos que, P = R$15.000,00 n = 10
i = 24% a.a. (nominal) = 2% a.m. (efetiva)
Pessoal, o fator de recuperação nada mais é do que o fator da tabela price:
Assim, a questão já deu que,
Então, utilizando a fórmula Price, temos:
R = 15000 . 0,111 R = 1665
_____________________________________________________________________________
Acabamos de achar o valor o valor das parcelas, agora precisamos achar o saldo devedor imediatamente após o pagamento da 1ª parcela, para que possamos calcular os juros gerados do 1º ao 2º mês.
Lembre-se do seguinte gráfico:
E lembre-se também que Jn representa o juros de cada parcela e que An
representa o valor de amortização da dívida, sendo que Jn + An = R
J1 = P. i J1 = 15000 . 0,02 J1 = 300 E como Jn + An = R, A1 = R – J1 A1 = 1665 – 300 A1 = 1365
E como o valor amortizado na primeira parcela foi de R$1.365,00, o no Saldo Devedor fica:
SD1 = 15000 – 1365
SD1 = 13635
E o juros que esse saldo vai gerar do 1º ao 2º mês é de:
J2 = 13635 . 0,02
J2 = 272,70
_____________________________________________________________________________ Sistema de amortização Constante (SAC)
A cota de amortização é constante em todas as prestações e o juro pago em cada uma das prestações corresponde ao total do juro sobre o saldo devedor do período anterior.
Como o saldo devedor decresce a cada período, o valor do juro vai ficando menor a cada prestação que, assim, apresentará valores decrescentes.
Assim, para se calcular a cota constante basta dividir o P por n.
Para se achar o juros de um certo período basta achar o saldo devedor e calcular o juros imediatos a ele.
Exercícios de Concursos Resolvidos
4. (CESGRANRIO - 2010 - ELETROBRÁS - Administrador) Um empréstimo de R$ 1.000,00, à taxa de 10% a.a., será pago em 5 prestações anuais. O valor da primeira prestação, a pagar pelo Sistema de Amortização Constante, e o saldo devedor, após esse pagamento, serão, em reais, respectivamente de
a) 200,00 e 800,00 b) 200,00 e 900,00 c) 300,00 e 700,00 d) 300,00 e 800,00 e) 300,00 e 900,00
_____________________________________________________________________________ Solução: Temos que, P = R$1.000,00 i = 10% a.a. n = 5
Vamos então achar a cota constante da parcela:
A = 1000/5 A = 200
Lembrando do seguinte gráfico, vamos achar J1
J1 = P . i
J1 = 1000 . 0,1
J1 = 100
Assim, o valor da primeira parcela será:
R1 = A + J1
R1 = 200 + 100
R1 = 300
E o novo saldo devedor será
SD1 = P – A
SD1 = 1000 – 200
_____________________________________________________________________________
5. (CESGRANRIO - 2010 - Banco do Brasil - Escriturário) Considere um financiamento de R$ 100.000,00, sem entrada, a ser pago em 100 prestações mensais, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). Sabendo-se que a taxa de juros, no regime de juros compostos, é de 1% ao mês, a prestação inicial, se o prazo de pagamento for duplicado, será reduzida em
a) 100% b) 50% c) 25% d) 10% e) 5% Solução: P = R$100.000,00 n = 100 i = 1% a.m.
Vamos calcular a prestação inicial baseada nos dados acima,
A = 100000 / 100 A = 1000
Achemos agora o juros da 1ª parcela:
J1 = P . i
J1 = 100000 . 0,01 = 1000
Logo a prestação inicial será:
R1 = J1 + A
R1 = 1000 + 1000
R1 = 2000
Agora, vejamos o caso para n = 200 (o dobro):
A = 100000 / 200 A = 500
_____________________________________________________________________________
E,
J1 = P . i
J1 = 100000 . 0,01 = 1000
Logo a nova prestação inicial será:
R1 = J1 + A
R1 = 1000 + 500
R1 = 1500
Ou seja, uma diminuição de 500, que representa
500/2000 = 0,25 = 25%
Logo, se dobrarmos o número de parcelas, diminuímos em 25% o valor da prestação inicial.
ITEM CORRETO: ITEM C
6. (CESGRANRIO - 2008 - Caixa - Escriturário) Um empréstimo de R$ 200,00 será pago em 4 prestações mensais, sendo a primeira delas paga 30 dias após o empréstimo, com juros de 10% ao mês, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). O valor, em reais, da terceira prestação será
a) 50,00 b) 55,00 c) 60,00 d) 65,00 e) 70,00 Solução: Temos que, P = 200,00 n = 4 i = 10% a.m.
_____________________________________________________________________________
Assim,
A = 200 / 4 A = 50,00
O saldo da devedor da 3ª parcela já foi amortizado duas vezes, pois já foi pago duas parcelas e como a cada parcela sempre é amortizado o mesmo valor de A temos que o saldo devedor após o pagamento de duas parcelas é:
SD3 = 200 – 50 . 2
SD3 = 100
Logo os juros da 3ª parcela é de:
J3 = SD3 .
J3 = 100 . 0,1
J3 = 10
Assim a 3ª parcela será
R3 = A + J3
R3 = 50 + 10
R3 = 60
ITEM CORRETO: ITEM C
Sistema de amortização misto (SAM)
Neste sistema, cada uma das prestações é a média aritmética das prestações correspondentes calculadas pelo Sistema Francês e pelo SAC.
O juro pago em cada prestação corresponde ao total de juro sobre o saldo devedor do período anterior. Em consequência, tanto a componente do juro quanto a da cota de amortização de uma da parcela serão também as médias aritméticas dos valores correspondentes pelos sistema Francês e SAC.
_____________________________________________________________________________
Exemplo:
1. Um empréstimo de R$5.000,00 deverá ser pago em 10 prestações pelo SAM, com juros de 5% a.m. Qual será o valor da 7ª prestação?
Solução:
1º) Cálculo da 7ª prestação no Sistema Francês P = 5000
i = 5%
n = 10
Utilizaremos a tabela price para achar o valor do fator :
Logo,
R = 5000 . 0,12950 = 647,50
2º) Cálculo da 7ª prestação pelo SAC
Cada prestação é composta de uma cota de amortização (que é constante no SAC) mais o juro sobre o saldo devedor do período anterior.
Cota de amortização
Valor do juro na 7ª parcela:
Se estamos calculando os juros sobre a 7ª parcela significa que já
foi paga até a 6ª parcela, ou seja, como a cota de amortização é constante então foi amortizado da dívida total
_____________________________________________________________________________
Logo o Saldo Devedor é de
5000 – 3000 = 2000
Assim o juros do Saldo devedor do 6º para o 7º mês foi de J = 2000 x i
J = 2000 x 0,05 J = 100,00 Valor da 7ª prestação pelo SAC:
R7 = A + J7
R7 = 500 + 100 = 600,00 3º) Cálculo da 7ª prestação pelo SAM
É a média aritmética entre as prestações correspondentes pelos sistemas Francês e SAC:
Exercícios de Concursos Resolvidos
7. (CESGRANRIO - 2013 - BNDES - Profissional Básico - Engenharia) Um banco concedeu a uma empresa de pequeno porte um empréstimo no valor de R$ 50.000,00, cujo contrato prevê um pagamento de 5 prestações mensais postecipadas pelo sistema de amortização misto (SAM), à taxa de juros de 4% ao mês.
Sabendo-se que pelo sistema francês de amortização (Price) a amortização da 1a parcela será de R$ 9.231,36, o valor da 2a prestação que a empresa deverá pagar, de acordo com o contrato, será, em reais, de
a) 11.231,36 b) 11.415,68 c) 11.600,00 d) 11.615,68 e) 12.000,00
_____________________________________________________________________________ Sistema Americano de Amortização
O sistema americano de amortização é aquele no qual o valor das prestações , que são periódicas, corresponde apenas aos juros do período, exceto na última prestação em que o total financiado é acrescido ao pagamento dos juros, amortizando integralmente a dívida.
Sinking Fund
O tomador do empréstimo pode formar um fundo de reserva (ou sinking fund) reservando, periodicamente, certa quantia, de tal modo que, na data do pagamento da parcela final do empréstimo, esse fundo de reserva tenha acumulado um montante suficiente para amortizar o valor total financiado.
Sistema americano com Sinking Fund a Uma e a Duas Taxas
Quando a taxa de juros utilizada na formação do fundo de reserva é
igual à taxa do empréstimo, dizemos tratar-se de sistema americano a uma taxa.
Quando a taxa de juros utilizada na formação do fundo de reserva é
diferente, dizemos tratar-se de sistema americano a duas taxas.
Valor da provisão mensal para formação do Sinking Fund:
Utiliza-se a fórmula acima para se achar o valor que deverá ser provisionado para a formação do Sinking Fund, onde:
P Valor total do empréstimo
R Valor da provisão mensal
_____________________________________________________________________________
E o fator
Pode ser calculado utilizando a seguinte tabela:
Exercícios de Concursos Resolvidos
8. (FUNIVERSA - 2010 - SEJUS-DF - Especialista em Assistência Social - Ciências Contábeis) Uma dona de casa fez um empréstimo que será pago segundo o sistema americano de amortizações. Sabendo que o valor do empréstimo foi de R$ 28.926,82, e a taxa cobrada pela instituição financeira foi de 3,457% ao mês, o valor do juro mensal a ser pago por essa dona de casa será de, aproximadamente,
a) R$ 9.000,00. b) R$ 6.000,00. c) R$ 4.000,00. d) R$ 2.000,00. e) R$ 1.000,00.
_____________________________________________________________________________
9. Um empréstimo no valor de R$200.000,00 deve ser pago pelo sistema americano em 24 prestações mensais. Considerando uma taxa de juros compostos de 1,2% a.m., o valor da 5ª prestação será igual a:
a) R$1.100,00 b) R$1.200,00 c) R$1.400,00 d) R$2.400,00 e) R$4.600,00 Solução:
Todas as parcelas do sistema americano são iguais tirando a última, que é amortizado o valor integral. Todas as parcelas correspondem apenas ao valor dos juros gerados no mês.
Como em todo mês é pago apenas os juros o valor do Saldo Devedor é sempre o mesmo, ou seja, o valor integral do empréstimo. Assim,
n n
Repetindo, como toda prestação corresponde ao valor dos juros, o valor da 5ª parcela é também R$2.400,00.