Sistemas de Equa¸ c˜ oes Diferenciais - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS E

A defini¸cão de equa¸cão diferencial ordinária dada no cap´ıtulo 1, bem como as no¸cões básicas a´ı apresentadas, são válidas desde que a fun¸cão desconhecidayesteja definida num intervalo real e tome valores em algum subconjunto deRⁿ. Nos cap´ıtulos seguintes, e até agora, foram estudadas várias equa¸cões diferenciais de primeira ordem e equa¸cões lineares de ordem arbitrária, mas considerando sempre o caso escalar, no qual a fun¸cão incógnita toma valores em R. Neste cap´ıtulo vamos estudar o caso vectorial, em que a fun¸cão incógnita

é uma fun¸cão vectorial. Uma tal equa¸cão pode ser reescrita em termos das componentes (reais) das fun¸cões que nela figuram. E esta forma de evidenciar as fun¸cões escalares que são as componentes da fun¸cão vectorial incógnita, justifica o nome porque são mais vulgarmente conhecidas estas equa¸cões diferenciais: sistemas de equa¸cões diferenciais. Este também será o termo adoptado neste curso. A forma normal mais geral de um tal sistema de primeira

ordem ´e 









y₁^′ =f1(t, y1, y2, . . . , yn) y₂^′ =f2(t, y1, y2, . . . , yn)

...

y_n^′ =fn(t, y1, y2, . . . , yn)

ondef1, f2, . . . , fnsão fun¸cões reais conhecidas definidas num certo subconjunto Ω⊂ I×Rⁿ, ondeI é um intervalo de números reais.

Se y é a fun¸cão vectorial de componentes y1, y2,· · ·, yn e f é a fun¸cão vectorial de componentesf1, f2, . . . , fn, o sistema anterior pode-se reescrever de forma condensada:

y^′=f(t,y).

O estudo destes destes sistemas diferenciais será realizado nas seçcões 3 e seguintes deste cap´ıtulo. Antes disso, nas seçcões 1 e 2, recordarmos alguns conceitos da teoria das matrizes que serão úteis nesse estudo.

1. T´opicos da Teoria das Matrizes

1.1. Valores e vectores próprios. Comecemos por recordar algumas defini¸cões e resultados àcerca de matrizes quadradas reais. Seja A ∈ Rⁿ^×ⁿ. Um escalar λ (real ou complexo) diz-sevalor própriodeAse for solu¸cão da equa¸cão caracter´ıstica deA, isto é, se

(1.1) det(A−λI) = 0.

Um vector não nulo v (real ou complexo) diz-se vector próprio de A, associado ao valor próprioλ, sevfor solu¸cão da equa¸cão linear

(1.2) (A−λI)v=0.

Convém observar que seλ verificar (1.1), então a equa¸cão (1.2) tem sempre solu¸cõesvnão triviais. Além disso,para matrizes de entradas reais, os valores próprios complexos ocorrem

101

em pares conjugadose, consequentemente, tambémos vectores próprios, associados a pares de valores próprios conjugados, ocorrem em pares com componentes conjugadas. De facto, seAtem entradas reais, tomando conjugados em ambos os membros da igualdadeAv=λv, obtém-seAv=λv, ondevé o vector cujas componentes são os conjugados das componentes dev.

Designaremos porσ(A) o conjunto dos valores próprios deA, também chamadoespectro deAe porρ(A) oraio espectraldeA, que é, por defini¸cão

ρ(A) := max

λ∈σ(A)|λ|.

Para cadaλ ∈ σ(A), S(λ) designará o conjunto de todas as solu¸cões v da equa¸cão (1.2), chamadosubespa¸co próprio deAassociado a λ. Verifica-se facilmente queS(λ)é um sube-spa¸co vectorial deRⁿ. Ainda, para cadaλ∈σ(A),ma(λ) denotará amultiplicidade algébrica deλ, isto é, o número de vezes que λé ra´ız da equa¸cão caracter´ıstica (1.1), emg(λ) des-ignará amultiplicidade geométricadeλ, que é exactamente a dimensão do subespa¸coS(λ).

Constata-se facilmente que

(1.3) 1≤mg(λ)≤ma(λ), ∀λ∈σ(A).

Teorema1.1. Vectores próprios associados a valores próprios distintos são linearmente independentes.

Prova. A prova faz-se facilmente por indu¸c˜ao sobre o número de vectores próprios em análise.

1.2. Diagonaliza¸c˜ao e triangulariza¸c˜ao de matrizes. Teorema de Shur. Duas matrizesAeB dizem-sesemelhantesse existir uma matriz invert´ıvelP tal que

P⁻¹AP =B .

E importante reter que´ matrizes semelhantes têm os mesmos valores próprios, o mesmo tra¸co (que é, por defini¸cão, a soma dos elementos que figuram na diagonal principal da matriz)e o mesmo determinante. Uma matriz diz-sediagonalizávelse for semelhante a uma matriz diagonal. Neste caso, os elementos que figuram na diagonal desta matriz diagonal são justamente os valores próprios deA.

Teorema 1.2. Aé diagonalizável se e só semg(λ) =ma(λ),∀λ∈σ(A).

E ´´ util observar que, nas condi¸cões do teorema,as colunas da matriz P que diagonaliza Asão constitu´ıdas pelas componentes de n vectores próprios linearmente independentes, o que permite concluir que a diagonaliza¸cão a que se refere o teorema é uma diagonaliza¸cão emC, mesmo queAseja real.

Corolário 1.1. Se todos os valores próprios de A são distintos então A é diago-nalizável.

Prova. ´E uma consequência imediata do teorema 1.2 e de (1.3), já que afirmar queA tem valores próprios distintos significa quema(λ) = 1,∀λ∈σ(A).

Embora nem todas as matrizes quadradas sejam diagonalizáveis, o teorema que a seguir se estabelece garante que toda a matriz quadrada étriangularizável, isto é, semelhante a uma matriz triangular.

Teorema 1.3. (Schur) SeA´e uma matriz quadrada qualquer, existe uma matriz in-vert´ıvelP tal que

(1.4) P⁻¹AP =T,

ondeT ´e uma matriz triangular, tendo os valores pr´oprios deA ao longo da sua diagonal principal.

Prova. A demonstra¸c˜ao será feita por indu¸cão sobre a ordemndeAe admitindo, sem perda de generalidade, que T é triangular superior. Paran= 1 o teorema é trivialmente verdadeiro. Agora suponha-se que o teorema é verdadeiro para matrizesn×n(hipótese de indu¸cão) e prove-se que, então, também se verifica para matrizes (n+ 1)×(n+ 1).

SejaAuma matriz (n+ 1)×(n+ 1) eλ1,· · ·, λn+1os seus valores próprios, não neces-sariamente distintos. Seja, ainda,v1 um vector próprio associado a um determinado valor próprio, digamosλ1, isto é,Av1=λ1v1. SejaQuma matriz invert´ıvel cuja primeira coluna

é constitu´ıda pelas componentes de v1. (A existência deQ está garantida pelo teorema do completamento da base.) EntãoQe1=v1, onde e1 = [ 1 0 · · · 0 ]^T. Vamos mostrar que a matriz no segundo membro é semelhante à matrizA. Mas, por hipótese de indu¸cão, existeP1 invert´ıvel tal queP₁⁻¹A1P1=T1, ondeT1é triangular, tendo os valores próprios deA1ao longo da diagonal principal. Agora vamos mostrar que a matriz invert´ıvel

P =Q

o que conclui a demonstra¸c˜ao.

Para exemplificar o processo de triangulariza¸c˜ao indicado pelo teorema de Schur, considere-se a matriz

Esta matrizAtem apenas um valor pr´oprio,λ= 2, com multiplicidade alg´ebricama(2) = 2.

Agora, as únicas solu¸cões da equa¸cão linearAv= 2vsão os vectoresvda formav=£₁

¤, comα∈R, pelo que o subespa¸co próprio associado ao valor próprio 2 é gerado por apenas

um vector próprio, logomg(2) = 1. Consequentemente, a matrizA não é diagonalizável.

Vamos, por isso, triangulariz´a-la, seguindo o esquema da demonstra¸c˜ao do teorema de Schur.

Considere-se o vector pr´oprio u:=£₁

¤. Como n˜ao existe nenhum outro vector pr´oprio deA linearmente independente comu, escolhemos um vector qualquer deR²que seja linearmente independente comu, por exemplo, w :=£₀

¤. Assim, a matriz P, cujas colunas são estes vectoresuew, triangularizaA. Efectuando cálculos elementares, tem-se então

(1.7) P := O resultado seguinte relaciona o tra¸co e o determinante de uma matriz com os seus valores pr´oprios.

Prova. ´E uma consequência imediata do teorema de Schur, se se atender a que os valores próprios de uma matriz triangular figuram na diagonal principal dessa matriz e a que matrizes semelhantes têm os mesmos valores próprios e o mesmo determinante. De facto, considerando o polinómio caracter´ıstico da matriz A = [aij]ⁿ_i,j=1, designado por pA(λ), expandindo o determinante que o define usando o teorema de Laplace (desenvolvendo ao longo da primeira coluna, e.g.), verificamos que

pA(λ) := det(A−λI)

= (a11−λ)(a22−λ)· · ·(ann−λ) + {termos de grau≤n−2}

= (−1)ⁿλⁿ+ (−1)ⁿ⁻¹(a11+· · ·+ann)λⁿ⁻¹+ {termos de grau≤n−2}

= (−1)ⁿλⁿ+ (−1)ⁿ⁻¹(tra¸co(A) )λⁿ⁻¹+ {termos de grau≤n−2}.

Agora, o teorema de Schur assegura queAé semelhante a uma matriz triangular,T, tendo os valores próprios de Aao longo da sua diagonal principal, e como matrizes semelhantes têm o mesmo polinómio caracter´ıstico, decorre que

pA(λ) = pT(λ) = det(T −λI)

= (−1)ⁿλⁿ+ (−1)ⁿ⁻¹(tra¸co(T) )λⁿ⁻¹+{termos de grau≤n−2}, logo tra¸co(A) = tra¸co(T) =Pn

i=1λi, sendo a última igualdade justificada pelo facto de a matrizT ter os valores próprios ao longo da diagonal principal. Isto prova (i). Observe-se que a fórmula (ii) também sai directamente da defini¸cão de valor próprio, pois também se pode escrever

pA(t) = (λ1−λ)· · ·(λn−λ), logo det(A) =pA(0) =Qn

i=1λi.

1.3. Matriz companheira. Matriz companheira´e qualquer matrizC da forma

(1.8) C =

ou cuja transposta tenha esta forma.

Teorema 1.4. Para uma matriz companheira,C, da forma(1.8), tem-se:

(i) det(C−λI) = (−1)ⁿ(λⁿ+an−1λⁿ⁻¹+· · ·+a1λ+a0) ;

(ii) Os vectores próprios deC, associados a um qualquer valor próprioλ, são múltiplos do vector

£ 1 λ λ² · · · λⁿ⁻¹ ¤T

Decorre de (i) que os valores próprios deC são as ra´ızes do polinómio p(λ) :=λⁿ+an−1λⁿ⁻¹+· · ·+a1λ+a0.

Por este motivo, há autores que se referem à matrizC como sendo a matriz companheira do polinómiop(λ). Decorre de (ii) que mg(λ) = 1,∀λ∈σ(C) , logouma matriz companheira é diagonalizável se e só se todos os seus valores próprios são distintos.

1.4. Vectores pr´oprios generalizados. Seja A uma matriz quadrada eλ ∈σ(A).

Um vector não nulov(real ou complexo) diz-se umvector próprio generalizdodeAassociado ao valor próprioλse verificar as duas condi¸cões seguintes:

(i) (A−λI)v6=0 (i.e.,vnão é vector próprio deA) ; (ii) existe um número inteiroℓ≥2 tal que (A−λI)^ℓv=0.

SeAé uma matriz real de ordemnqualquer, o resultado seguinte, cuja demonstra¸cão se omite, garante a existência de um conjunto de n vectores linearmente independentes, constitu´ıdo por vectores próprios e vectores próprios generalizados deA.

Lema1.1. Suponha-se que λ1,· · ·, λk são os valores próprios distintos de A∈Rⁿ^×ⁿ e quema(λi) =µi. Então, para cadai= 1,· · ·, k, existe um inteiro positivodi ≤µi tal que a equa¸cão (A−λiI)^dⁱv=0 tem pelo menos µi solu¸cões linearmente independentes. Além disso, estesµ1+· · ·+µk=nvectores são linearmente independentes.

1.5. Forma normal de Jordan. De acordo com o teorema 1.2, seA∈Rⁿ^×ⁿé diag-onalizável, existe um conjunto de vectores próprios de Alinearmente independentes cujas componentes formam as colunas da matriz que diagonalizaA. Contudo, no caso de Anão ser diagonalizável é poss´ıvel reduz´ı-la, através de uma transforma¸cão de semelhan¸ca, a uma forma canónica, chamada forma normal de Jordan, que, não sendo diagonal, tem quando muito entradas não nulas na diagonal principal e na diagonal imediatamente acima desta.

A forma normal de Jordan deA´e uma matriz diagonal por blocos,J, tal que P⁻¹AP =J ,

cujos blocos n˜ao nulos, chamadosblocos elementares de Jordan, s˜ao submatrizes da forma

(1.9) Jm(λ) =







λ 1

. .. ...

λ 1





 ,

onde m indica a ordem da submatriz. O escalar λ que figura em cada um dos blocos elementares de Jordan deAé valor próprio deA. As colunas da matrizP que permite reduzir Aà sua forma normal de Jordan são constitu´ıdas pelas componentes denvectores, que são

vectores próprios e vectores próprios generalizados linearmente independentes, ordenados de forma conveniente. A existência destesnvectores é garantida pelo lema 1.1. Observe-se que

Jm(λ) =λI+N , N=





 0 1

0 1

. .. ...

0 1







m×m

pelo que cada bloco elementar de Jordan se pode decompor na soma de uma matriz escalar (múltiplo da matriz identidade) com uma matriz nilpotente (i.e., existe uma poência da matriz que se reduz à matriz nula – no caso presente, éN^m= 0 ).

1.6. Normas vectoriais e matriciais. No que vai seguir-se vamos considerar uma norma matricial definida por

kAk:= max

1≤i≤n 1≤j≤m

|aij|,

ondeA´e uma matriz de ordemn×mcom entradasaij, i.e.,A= [aij]∈R^n,m. Em particular, para um dado vectorv= [vi]ⁿ_i=1∈Rⁿ, tem-se

kvk:= max

1≤i≤n|vi|. SendoA∈R^n,ke B∈R^k,m, ´e v´alida a desigualdade

(1.10) kABk ≤kkAk kBk.

Com efeito, pondoA= [aij] eB = [bij], por defini¸c˜ao do produtoAB, a entrada (i, j) desta matriz ´e (AB)ij=Pk

s=1aisbsj, logo kABk= max

1≤i≤n 1≤j≤m

|(AB)ij| ≤ Xk

s=1

max

1≤i≤n 1≤r≤k

|air| max

1≤r≤k 1≤j≤m

|brj|=kkAk kBk. Em particular, ´e ´util reter as seguintes desigualdades, paraA∈R^n,ne v∈Rⁿ: (1.11) kA^kk ≤n^k⁻¹kAk^k (k= 1,2,3,· · ·), kAvk ≤nkAk kvk.

Observac¸˜ao 1.1. Recorde-se que parav= (v1, . . . , vn)∈Rⁿ, a sua norma euclideana

´e definida por

kvk^e:=

v₁²+· · ·+v²_n,

sendo esta a norma usual que se considera no contexto das fun¸c˜oes vectoriais estudadas na An´alise Infinitesimal. Ora, pode provar-se que existem constantes C1 e C2, dependentes apenas den, tais que

C1kvk ≤ kvke≤C2kvk, v∈Rⁿ.

Assim, os resultados estabelecidos para fun¸cões vectoriais com base na defini¸cão da norma euclideana (como resultados de continuidade, e.g.) permanecem válidos quer se considere a normak · kou a normak · kê.

1.7. Sucessões e séries de matrizes. As no¸cões de limite de uma sucessão de ma-trizes, bem como as de série e soma de uma série de mama-trizes, são definidas da maneira natural, em termos dos correspondentes conceitos para as respectivas sucessões das entradas das matrizes que figuram na sucessão ou série em causa. Assim, se{Ak}k∈N é uma sucessão de matrizes, todas da mesma ordem, e A é uma matriz também da mesma ordem que a ordem comum das matrizes que constituem os termos da sucessão, diz-se que{Ak}^k∈N con-verge para A (ou que tem tem limite A), e escreve-se limk→∞Ak = A, ou Ak → A, se para cada par (i, j), a sucessão das entradas que figuram na posi¸cão (i, j) na sucessão de matrizes A1, A2, . . . convergir para a entrada (i, j) da matriz A. Por conseguinte, pondo Ak= [a^(k)_ij ]î=1,...,r

j=1,...,s eB= [aij]^i=1,...,r

j=1,...,s (onder×sé a ordem comum das matrizes envolvidas), temos ade-quadas (de modo a que as rela¸cões abaixo fa¸cam sentido), convergentes para as matrizesA eB, respectivamente, então

(i) AkBk→AB

(ii) αAk+βBk →αA+βB (iii) P AkQ→P AQ ,

ondeP eQsão matrizes fixas (de ordem apropriada) eαe βsão números complexos.

Vamos agora explicitar o que se entende por série matricial. Dada uma sucessão de matrizes{Ak}k∈N, asérie (matricial) cujo termo geral é esta sucessão é a expressão

X∞

k=0

Ak.

Como usualmente, esta s´erie diz-se convergente se a sua sucess˜ao associada (das somas parciais){Sp}^p∈N, onde

Sp:=

k=0

for convergente para alguma matrizS. Por exemplo, X∞

Como se sabe, dada uma série numérica, se esta for absolutamente convergente (i.e., se convergir a série cujos termos são os módulo dos termos correpondentes da série dada) então

é também convergente. A proposi¸cão seguinte pode ser interpretada como sendo o resultado análogo para séries matriciais.

Teorema 1.5. Seja{Ak}^k∈N₀ uma qualquer sucess˜ao de matrizes da mesma ordem, e suponha-se que

(1.12) kAkk ≤ak (k= 0,1,2, . . .),

onde{ak}^k∈N₀ é uma sucessão numérica de termos não negativos. Nestas condi¸cões, se a série numérica P_∞

k=0ak for convergente, o mesmo sucede `a s´erie matricial P_∞

k=0Ak. Prova. Por uma questão de simplicidade, vamos provar o resultado supondo que as matrizes Ak são quadradas de ordem n, mas isso não é essencial na prova. Designando por a^(k)_ij as entradas de A^k, por defini¸cão de série matricial temos que mostrar que para i, j = 1, . . . , n cada uma das séries numéricas P_∞

k=0a^(k)_ij é convergente. DesigneS_N^(i,j) o termo geral da sucessão associada desta série numérica, i.e., S_N^(i,j) = PN

k=0a^(k)_ij . Ent˜ao,

Como, por hipótese, a série numérica P_∞

k=0ak ´e convergente, ent˜ao PM

k=N+1ak → 0 para M, N → ∞, logo também |S_M^(i,j)−S_N^(i,j)| → 0 para M, N → ∞. Isto significa que {S_N^(i,j)}N∈N₀ é uma sucessão de Cauchy para todo o par (i, j), logo cada uma das séries numéricas P_∞

k=0a^(k)_ij ´e convergente.

A proposi¸cão seguinte depende do conhecimento de algumas no¸cões elementares de fun¸cões de variável complexa, mas dela não depende nenhum resultado a estabelecer no seguimento do curso (pelo que a sua leitura pode ser omitida). Contudo, trata-se de um resultado interessante já que permite gerar séries matriciais convergentes a partir de séries de potências de fun¸cões, estabelecendo condi¸cões que permitem substituir a variável que figura na série de potências por uma matriz (de modo a obter uma série matricial convergente).

Além disso, a prova faz uso da forma canónica de Jordan, pelo que tem interesse apresentá-la como exemplo de aplica¸cão desta forma canónica.

Teorema1.6.Designef(z)a fun¸cão definida pela série de potênciasf(z) =P_∞

k=0ckz^k, convergente para |z|< r. Ent˜ao a s´erie de potˆencias

f(A) :=

X∞

k=0

ckA^k

´e convergente para toda a matriz quadradaA tal que ρ(A)< r.

Prova. Considerando a forma normal de Jordan para a matrizA, P⁻¹AP =J ,

observamos que basta provar o teorema para o caso em queJ consiste num ´unico bloco de Por conseguinte, se provarmos que a s´erie matricial f(J) :=P_∞

k=0ckJ^k converge, usando a defini¸cão de série matricial e a propriedade (iii) acima, ter-se-á

plim→∞

k=0

ckA^k =P⁻¹f(J)P , o que justificará a convergência da sérief(A), obtendo-se ainda

f(A) =P f(J)P⁻¹.

Prove-se, então, a convergência da série f(J) . Como as matrizes λI e N comutam entre si, um cálculo directo mostra que

J^k= (λI+N)^k = Mas, tendo em conta queN^m= 0 , podemos escrever

J^k=

sendo a última igualdade justificada pelo facto de a fun¸cão f(z) (que é definida por uma série de potências) ter derivadas de todas as ordens nos pontosztais que|z|< r, as quais podem ser calculadas derivando a série termo a termo, tendo-se

f^(ℓ)(z) =ℓ!

Decorre de (1.13) que a s´erie definida porf(J) converge, o que conclui a prova.

Observação1.2. As sucessivas potências da matriz nilpotenteNtêm todas as entradas iguais a zero com excep¸cão das entradas de uma diagonal paralela à diagonal principal, as quais são todas iguais a 1. Mais concretamente, as únicas entradas não nulas e iguais a 1 da matrizN^ℓ, paraℓ= 2,3, . . . , m−1, são as entradas que figuram na posi¸cão (i, i+ℓ) para

i= 1,· · ·, m−ℓ. Assim, conhecida a fun¸c˜aof, a matriz que figura no ´ultimo membro de (1.13) pode calcular-se explicitamente, obtendo-se

(1.14) f(Jm(λ)) =

Recorde-se que dada uma matriz A(t) quadrada de ordem n (na verdade, no que a seguir se vai expor, não é necessário impor que a matriz seja quadrada), cujas entradas são fun¸cões detderiváveis nalgum intervalo de números reais, a derivada matricial deA(t) nesse intervalo é, por defini¸cão, a matriz que se obtém deA(t) derivando todas as entradas desta matriz, i.e., se A(t) = [aij(t)]ⁿ_i,j=1 então

A^′(t) = [a^′_ij(t)]ⁿ_i,j=1.

Analogamente, se as entradas aij(t) são fun¸cões integráveis nalgum intervalo de números reais [a, b], o integral matricial deA(t) nesse intervalo é, por defini¸cão, a matriz que se obtém deA(t) integrando todas as entradas desta matriz, i.e.,

Z b

As proposi¸cões seguintes estabelecem que uma série de potências de matrizes convergente num intervalo de números reais pode ser derivada termo a termo no interior desse intervalo e integrada termo a termo em qualquer subintervalo.

Teorema 1.7. Seja {Ak}k∈N₀ uma sucessão de matrizes de ordem n e suponha-se que esta sucessão é o termo geral de uma série (matricial) de potências convergente num intervaloI ⊂R. Então

(i)A s´erie pode ser derivada termo a termo no interior deI, i.e., d (ii)A s´erie pode ser integrada termo a termo em I, i.e.,

Z t por hip´otese, a s´erie matricial P_∞

k=0Akt^k é convergente para todo o t ∈ I então, por defini¸cão de série matricial convergente, cada uma das séries (de potências) de números reais P_∞

donde, por defini¸c˜ao de derivada de uma matriz,

Agora, as séries que figuram nas entradas da matriz do segundo membro desta igualdade são séries de potências convergentes para todo ot∈I, pelo que podem ser derivadas termo a termo no interior do seu intervalo de convergência (que, naturalmente, tem que conterI⁰), obtendo-se

2.1. Defini¸cão e exemplos. Como se sabe, sendo a um número real ou complexo qualquer, a série numérica P_∞

k=0a^k/k! é convergente e tem por soma eâ. Tal como sucede para um dado número, também o conceito de exponencial pode ser introduzido para uma dada matriz (quadrada)A, definindo-se expAcomo sendo a soma de uma série de matrizes adequada, definida à custa deA.

Teorema2.1. Dada uma matrizAreal de ordemn, a s´erie P_∞

k=0A^k/k! converge para uma matriz real de ordemn.

Prova. Basta observar que, pondoa:=kAk, atendendo a (1.11) ékA^k/k!k=kA^kk/k!≤ n^k−1kAk^k/k! ≤ (na)^k/k! para todo o k∈ N₀. Consequentemente, como a série numérica P_∞

k=0(na)^k/k! converge (para e^na), decorre do teorema 1.5 que a s´erie matricial P_∞

k=0A^k/k!

tamb´em converge.

Observação 2.1. Uma demonstra¸cão alternativa (e igualmente imediata) do teorema precedente é a seguinte: comoρ(A)< a para alguma >0, e a fun¸cão definida porf(z) :=

P_∞

k=0z^k/k! converge (para e^z) em |z|< a, o teorema 1.6 assegura que a s´erie de matrizes f(A) = P_∞

k=0A^k/k! é convergente. Note-se, contudo, que esta demonstra¸cão, por ser baseada no teorema 1.6, depende de conhecimentos sobre fun¸cões de variável complexa.

Uma outra demonstra¸cão aternativa, que também não envolve tais conhecimentos, pode fazer-se com argumentos de equa¸cões diferenciais, com base no teorema 5.1 adiante (cf.

observa¸c˜ao 5.3).

A soma da série anterior convencionou-se chamar exponencial da matriz` A. Mais pre-cisamente, dada uma matriz A real de ordem n, exponencial da matriz A, designada por expA ou eÂ, é a matriz real de ordemndefinida por

(2.1) expA=I+A+A²

2! +· · ·+A^k k! +· · ·, ondeI denota a matriz identidade de ordemn.

Deste modo, podemos definir a fun¸c˜ao matricial exptA,t∈R, (2.2) exptA=I+tA+A²t²

2! +· · ·+A^kt^k k! +· · ·.

Exemplos. O cálculo da exponencial de uma matriz por recurso à defini¸cão pode ser extremamente complicado, mesmo para matrizes de ordem muito pequena. A seguir apresentam-se alguns exemplos simples.

•SejaAumamatriz diagonal, digamos,

A= diag{λ1,· · ·, λn}. Ent˜ao para cadak∈N´eA^k= diag{λ^k₁,· · ·, λ^k_n}, logo

exptA= diag{e^tλ¹,· · ·,e^tλⁿ}.

•SejaAumamatriz diagonal por blocos,

A= diag{A1,· · ·, Aj},

•Finalmente, considere-se a matriz nilpotente

(2.3) N =

Vimos já anteriormente que as únicas entradas não nulas (e que são iguais a 1) da matriz N^k, para k = 2,3, . . . , n−1, são as entradas na posi¸cão (i, i+k) para i = 1,· · ·, n−k.

2.2. Propriedades. Neste parágrafo estabelecemos algumas propriedades da exponen-cial matriexponen-cial que serão de grande utilidade nas seçcões seguintes.

Teorema 2.2. SejamA, B, P ∈R^n,n, sendoP invert´ıvel. Ent˜ao

Prova. A propriedade (i) é imediata. Para provar (ii) basta notar que a série de potências (matricial)P_∞

k=0A^kt^k/k! =: expAt ´e convergente para todo ot∈R, pelo que, de acordo com o teorema 1.7, pode ser derivada termo a termo, o que permite escrever

d consequência imediata do corolário 1.2. Na verdade, seλ1,· · ·, λn são os valores próprios deA, então pode-se escrever

det (expA) = Yn

i=1

e^λⁱ= e ⁿⁱ⁼¹^λⁱ= etra¸co^(A).

Remete-se a prova de (iv) para mais tarde (cf. observa¸c˜ao 7.2). A invertibilidade da exponencial matricial ´e garantida por (iii). Assim, para provar (v) basta observar que exp (tA) exp (−tA) = I, igualdade esta que resulta da propriedade (iv), com B = −A.

Finalmente, (vi) decorre da defini¸c˜ao de exponencial matricial e da f´ormula (P⁻¹AP)^k=P⁻¹A^kP , ∀k∈N,

cuja demonstra¸c˜ao se faz facilmente por indu¸c˜ao sobrek.

Observação2.2. De acordo com a propriedade (iv), seAeBsão matrizes comutativas então a exponencial matricial da somaA+Bé igual ao produto das exponenciais matriciais de cada parcela. Porém, quando A e B não comutam este facto pode não se verificar.

Para justificar esta afirma¸c˜ao, considere-se uma matriz referida num exemplo anterior e cuja

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