EQUAÇÕES DIFERENCIAIS E

(1)

EQUAC ¸ ˜ OES DIFERENCIAIS

E

MODELAC ¸ ˜ AO

2⁰ ano da Licenciatura em Matem´atica

Maria de F´atima da Silva Leite Jos´e Carlos Soares Petronilho

Departamento de Matem´atica (FCTUC) Coimbra, Setembro de 2004

i

(2)

Nota pr´evia

O texto que se apresenta serviu de apoio às aulas da disciplina deEqua¸cões Diferenciais e Modela¸cãoleccionada pelos autores nos dois últimos anos. Deve ter-se em mente que o texto não abarca a totalidade dos tópicos estudados, assim como inclui outros que não foram abordados, e que a ordem de apresenta¸cão não corresponde, em muitas situa¸cões, àquela em que a matéria foi, efectivamente, leccionada. Trata-se, pois, apenas de umas notas ainda em constru¸cão.

(3)

Indice

Cap´ıtulo 1. No¸c˜oes b´asicas 1

1. Primeiras defini¸c˜oes 1

2. Exerc´ıcios 5

Cap´ıtulo 2. Equa¸c˜oes diferenciais de primeira ordem 7

1. Considera¸c˜oes geom´etricas 7

2. Equa¸c˜oes exactas 11

3. Equa¸cões de variáveis separáveis 15

4. Equa¸c˜oes lineares de primeira ordem 18

5. Algumas EDO’s cl´assicas 20

6. Possibilidade de “invers˜ao” numa EDO de primeira ordem 24

7. Problema de Cauchy: y^′=f(t, y), y(t0) =y0 26

Cap´ıtulo 3. Aplica¸cões das ED’s de 1a ordem à Modela¸cão Matemática 39

1. O que é Modela¸cão Matemática ? 39

2. Lei do arrefecimento de Newton 40

3. Verdadeiro ou Falso? 42

4. Um modelo em Medicina 44

5. Modelos de Crescimento Populacional 46

Cap´ıtulo 4. Equa¸c˜oes diferenciais lineares de ordemn 49

1. Preliminares 49

2. Operador diferencial linear de ordemn 50

3. Equa¸c˜oes lineares homog´eneas 51

4. Equa¸cões lineares não homogéneas 57

5. M´etodo de D’Alembert ou de abaixamento de ordem 58

6. Método de Lagrange ou da varia¸cão das constantes arbitrárias 62

7. Equa¸c˜oes lineares de coeficientes constantes 65

8. Exerc´ıcios 76

Cap´ıtulo 5. Transformada de Laplace 79

1. Defini¸c˜ao e primeiros exemplos 79

2. Existˆencia da transformada de Laplace 80

3. Propriedades da transformada de Laplace 82

4. Invers˜ao da transformada de Laplace 87

5. Aplica¸cão à resolu¸cão de EDO’s 90

6. Teorema de Heaviside 94

7. “Pacotes” computacionais 98

Cap´ıtulo 6. Sistemas de Equa¸c˜oes Diferenciais 101

1. T´opicos da Teoria das Matrizes 101

iii

(4)

2. Exponencial matricial 111 3. Sistemas de equa¸cões diferenciais. No¸cões básicas 114

4. Teorema de existˆencia e unicidade 116

5. Sistemas diferenciais lineares 120

6. Sistemas diferenciais lineares homog´eneos 123

7. Sistemas diferenciais lineares homog´eneos de coeficientes constantes 125

8. Sistemas diferenciais lineares n˜ao homog´eneos 130

Bibliografia 133

(5)

No¸ c˜ oes b´ asicas

1. Primeiras defini¸c˜oes

Uma equa¸cão envolvendo derivadas de uma fun¸cão desconhecida dependente de uma ou mais variáveis (independentes) diz-se equa¸cão diferencial. Neste curso vamos supor que esta fun¸cão desconhecida depende apenas de uma única variável real, e que na equa¸cão figura apenas um número finito de derivadas. Uma tal equa¸cão diferencial diz-seordinária¹ (abreviadamente, escreveremos EDO) e pode sempre pôr-se na forma

(1.1) F³

t, y, y^′, y^′′,· · ·, y⁽ⁿ⁾´

= 0

onde y = y(t) é a fun¸cão incógnita, t é a variável independente, e F é uma fun¸cão de várias variáveis definida de uma forma adequada. Naturalmente, na equa¸cão (1.1) a plica representa a derivada relativamente à variável independente t. O número inteiro positivo n, que indica a ordem da derivada de maior ordem de todas as derivadas que figuram na equa¸cão diferencial, é designado por ordem da equa¸cão diferencial. No caso mais geral a fun¸cão desconheciday pode ser interpretada como uma matriz de fun¸cões reais,

y=y(t) = [yij(t) ]ⁱ⁼¹^,...,r

j=1,...,s ,

pelo queFpode ser considerada definida num subconjuntoD⊂IR^rs(n+1)+1e a tomar valores em IR^rs. Assim, em geral, o zero no segundo membro da equa¸c˜ao (1.1) pode identificar-se com a matriz nula de ordemr×s.

Por exemplo, considerandor=s= 1 (caso escalar), dy

dt =ty+ siny e d²y dt² −3

µd³y dt³

¶2

=t²e^t

são equa¸cões diferenciais ordinárias de ordens 1 e 3, respectivamente, tendo-se F(t, y, y^′) :=y^′−ty−siny e F(t, y, y^′, y^′′) := (y^′)²−3(y^′′)²−t²e^t. Pensando num exemplo mais elaborado, parar= 2 es= 3,

d²y dt² ≡





 d²y11

dt²

d²y12

dt²

d²y13

dt² d²y21

dt²

d²y22

dt²

d²y23

dt²







=





 d⁵y11

dt⁵ t⁴siny13 dy21

dt cos(t²) dy13

dt arccosd²y23

dt²







é uma equa¸cão diferencial (ordinária) de ordem 5, sendo neste caso a fun¸cão desconhecida do tipo

y=y(t) =

"

y11(t) y12(t) y13(t) y21(t) y22(t) y23(t)

# .

1No caso de na equa¸cão diferencial aparecerem mais que uma variável independente, a equa¸cão diz-se de derivadas parciais(e o seu estudo será realizado em disciplinas de anos posteriores).

1

(6)

SejaI um intervalo deReϕ:I→R^r×s uma fun¸cão que admite derivadas até à ordem n(inclusivé) para todo ot ∈I. A fun¸cãoϕdiz-se umasolu¸cão expl´ıcita em I da equa¸cão diferencial (1.1) se

F(t, ϕ(t), ϕ^′(t), . . . , ϕ⁽ⁿ⁾(t))≡0 emI .

Isto significa que ϕ é solu¸cão expl´ıcita em I da EDO (1.1) se substituindo nesta y e as suas sucessivas derivadas porϕ(t) e as suas sucessivas derivadas, respectivamente, a EDO é transformada numa identidade emI.

Uma rela¸c˜ao

ψ(t, y) = 0

diz-sesolu¸cão impl´ıcita emI da EDO (1.1) se define pelo menos uma fun¸cãoϕda variável realt, no intervaloI, tal que esta fun¸cão é uma solu¸cão expl´ıcita emI de (1.1).

Solu¸cões expl´ıcitas e solu¸cões impl´ıcitas de uma dada EDO denominam-se, usualmente, solu¸cões. Porresolverouintegraruma EDO entende-se determinar as suas solu¸cões.

Note-se que uma solu¸cão impl´ıcita não é uma fun¸cão (de acordo com a defini¸cão).

Sucede que por vezes não é poss´ıvel determinar uma solu¸cão expl´ıcita de uma EDO, pelo que se considera como “resolu¸cão satisfatória” dessa EDO a determina¸cão de uma rela¸cão impl´ıcita (equa¸cão) envolvendo apenas as variáveis independente e dependente (já “livre”

de derivadas!).

Por exemplo, a fun¸cãoϕ:R →R definida por ϕ(t) = e^t é solu¸cão expl´ıcita em R da EDO de ordem 2

y^′′=y .

Por outro lado, a rela¸cãot²+y²= 2 é solu¸cão impl´ıcita em ]−√ 2,√

2[ da EDO

(1.2) yy^′ =−t ,

j´a que cada uma das fun¸c˜oesy=ϕ+(t) ey=ϕ−(t) definidas porϕ±:]−√ 2,√

2[→R(t7→

ϕ±(t) = ±√

2−t²) satisfaz a rela¸c˜ao t²+y² = 2 para todo o t∈]−√ 2,√

2[, e ´e solu¸c˜ao expl´ıcita em ]−√

2,√

2[ da EDO (1.2). Isto pode confirmar-se facilmente determinando as expressões designatórias que definem as fun¸cões derivadasϕ^′+e ϕ^′−, obtendo-seϕ^′±(t) =

∓t/√

2−t², e verificar (por substitui¸c˜ao directa) que comy=±√

2−t²e y^′=∓t/√ 2−t² (respectivamente) a equa¸c˜ao (1.2) se reduz a uma identidade para t ∈]−√

2,√

2[. Note- se também que por deriva¸cão em ambos os membros da igualdade t²+y² = 2 obtém- se 2t+ 2yy^′ = 0, donde yy^′ = −t, pelo que da mera comprova¸cão de que uma fun¸cão y=ϕ(t), diferenciável nalgum intervaloI ⊂R, satisfa¸ca à rela¸cãot²+y²= 2 emI, decorre imediatamente que essa fun¸cão é solu¸cão da EDO (1.2) emI.

Na prática, o problema que se coloca é o de saber se uma dada rela¸cão impl´ıcita define, de facto, alguma fun¸cão solu¸cão de uma dada EDO. Uma condi¸cão suficiente para que uma rela¸cão impl´ıcita defina uma rela¸cão expl´ıcita é dada pelo denominado Teorema das Fun¸cões Impl´ıcitas, estabelecido na disciplina de Análise Infinitesimal. Recordemos aqui uma versão simples deste importante resultado.

Teorema(existência de fun¸cões impl´ıcitas) SejamD um dom´ınio deR², (t0, y0) um ponto interior de D eG : D →R ((t, y)7→G(t, y)) uma fun¸cão. Suponha-se que as derivadas parciaisGt eGy existem e são cont´ınuas emD, e que

G(t0, y0) = 0 , Gy(t0, y0)6= 0.

Então existe um intervalo aberto,I, contendot0e uma única fun¸cãoϕdefinida e cont´ınua emI tal que

ϕ(t0) =y0 , Gy(t, ϕ(t))6= 0, ∀t∈I , G(t, ϕ(t)) = 0 , ∀t∈I .

(7)

Além disso,ϕé derivável (diferenciável) em I, sendo a derivada dada por

ϕ^′(t) =−Gt(t, ϕ(t))

Gy(t, ϕ(t)) , ∀t∈I .

Nas condi¸cões do teorema, diz-se que a equa¸cãoG(t, y) = 0 defineycomofun¸cão impl´ıcita det numa vizinhan¸ca det0. Recordemos que este é um resultado de natureza local, o que significa que se tem a garantia de existência de fun¸cão (expl´ıcita) a partir da rela¸cão impl´ıcita apenas numa vizinhan¸ca de certo ponto (sob as condi¸cões do teorema). Resultados gerais de natureza global (i.e., que garantam a existência da fun¸cão num intervalo fixadoa priori) não são conhecidos, embora esta “globalidade” possa ser testada nalguns casos particulares.

Concretizando, no caso do exemplo anterior envolvendo a equa¸c˜ao diferencial (1.2), o teorema precedente apenas garante que existe um intervalo aberto I ⊂ R, vizinhan¸ca do ponto 0 (toma-set0= 0 para fixar ideias), tal que a rela¸c˜aot²+y²= 2 define implicitamente uma

´

unica fun¸c˜ao (solu¸c˜ao da EDO (1.2)) y = ϕ(t) satisfazendoϕ(0) =√

2 para todo o t∈I.

Mas o Teorema nada diz àcerca da maior ou menor “extensão” desse intervaloI, nem dá um método para a determina¸cão (expl´ıcita) da fun¸cãoϕ. Contudo, no caso em discussão verifica-se que ϕseria a fun¸cãoϕ+ introduzida atrás (pois ϕ+(0) = √

2) e o “maior” (ou

“mais global”) intervaloI poss´ıvel seria ]−√ 2,√

2 [.

Observamos ainda, como se constata analisando este último exemplo, que para assegurar a unicidade da fun¸cão ϕ nas condi¸cões do teorema anterior é necessário requerer a sua continuidade. De facto, considerando (t0, y0) = (0,√

2) e G(t, y) = t²+y²−2, é fácil de verificar que as fun¸cõsϕ1:]−√

2,√

2[→Re ϕ2:]−√ 2,√

2[→R definidas por ϕ1(t) =ϕ+(t)≡p

2−t² e ϕ2(t) =

( ϕ+(t)≡√

2−t² , t∈]−√ 2,0]

ϕ−(t)≡ −√

2−t², t∈]0,√ 2 [

ambas satisfazem a rela¸c˜aoF(t, y)≡t²+y²−2 = 0 em qualquer vizinhan¸ca de 0 contida em ]−√

2,√

2 [ e ambas cumprem a condi¸c˜aoy(0) =√

2. O que se passa ´e queϕ1´e cont´ınua em qualquer vizinhan¸ca de 0 contida em ]−√

2,√

2 [, masϕ2não (já que é descont´ınua no ponto 0).

Naturalmente, nem sempre é poss´ıvel determinar uma solu¸cão (expl´ıcita ou impl´ıcita) de uma dada EDO (e pode até suceder que uma EDO não tenha solu¸cões, como, por exemplo,

|y^′|+y² = −1), mas em muitos problemas isso não é importante, bastando apenas saber justificar, por algum processo, que a solu¸cão (ou as solu¸cões) existe e que se comporta de determinada maneira (por exemplo, que à medida que t cresce a solu¸cão se mantém limitada, ou que certas altera¸cões na equa¸cão—tais como a substitui¸cão, na EDO dada, de certos termos por outros—não conduzem a altera¸cões significativas no comportamento das suas solu¸cões, etc.). Isto conduz ao estudo da chamada Teoria Qualitativa das EDO’s.

Um outro aspecto que também importa referir é que na maior parte das aplica¸cões não interessa conhecer todas as solu¸cões de uma dada EDO (mesmo que fosse poss´ıvel determiná-las), mas sim solu¸cões satisfazendo certas condi¸cões previamente fixadas. Assim, dá-se o nome deproblema de valores iniciais ouproblema de Cauchya todo o problema que consista em determinar a solu¸cão (ou as solu¸cões) de uma EDO requerendo que essa solu¸cão satisfa¸ca certas condi¸cões dadas num dado ponto (pertencente ao intervalo onde a EDO é dada). Estas condi¸cões dadas dizem-se condi¸cões iniciais. Por outro lado, dá-se o nome de problema de valores na fronteiraa todo o problema que consista em determinar a solu¸cão (ou as solu¸cões) de uma EDO requerendo que essa solu¸cão satisfa¸ca certas condi¸cões dadas em dois ou mais pontos dados.

(8)

Chama-sesolu¸cão geral(ou integral geralou, ainda,integral completo) de uma EDO ao conjunto de todas as suas solu¸cões. Em particular, sené a ordem da EDO, uma fam´ılia de fun¸cões

(1.3) Φ(t, y, c1, . . . , cn) = 0

(expl´ıcitas ou impl´ıcitas), dependente denparâmetros reaisc1,c2, ..., cn, define a solu¸cão geral se (i) todo o elemento da fam´ılia for solu¸cão dessa EDO nalgum intervalo; e (ii) toda a solu¸cão da equa¸cão se puder obter dessa fam´ılia por concretiza¸cão dec1,c2, ...,cn.

Note-se que é natural (apesar de não ser evidente!) que se existir uma expressão que seja o “mais geral poss´ıvel”, no sentido de englobar o maior número poss´ıvel de solu¸cões da EDO de ordemn(1.1), nessa expressão figuremnconstantes arbitrárias, porque no processo de integra¸cão (resolu¸cão) da EDO, intuitivamente tudo se passa como se efectuássemos n integra¸cões (primitiva¸cões), uma vez que na resolu¸cão de (1.1) procuramos y e em (1.1) aparece a derivada de ordemndey.

Para muitas equa¸cões diferenciais, de ordemn, a solu¸cão geral reduz-se a uma fam´ılia dependente denparâmetros, do tipo (1.3). No entanto, existem casos em que isto não sucede.

Qualquer solu¸cão que se obtenha desta fam´ılia (1.3) por concretiza¸cão dasnconstantesc1, c2, ...,cn diz-se uma solu¸cão particularda EDO relativamente à fam´ılia em questão. Dada uma fam´ılia de solu¸cões comnparâmetros de uma EDO, chama-sesolu¸cão singularda EDO relativamente a esta fam´ılia a qualquer solu¸cão da EDO que não perten¸ca a essa fam´ılia.

Por exemplo,

y= 1/(c+t)² define uma fam´ılia de solu¸c˜oes com um parˆametro da EDO

(1.4) y^′=−2y^3/2,

no sentido de que para cada escolha decexiste um intervaloIondey= 1/(c+t)²define uma solu¸cão (emI) desta EDO. No entanto, a solu¸cãoy(t)≡0 não está inclu´ıda nessa fam´ılia e, por isso, é uma solu¸cão singular da EDO em questão (relativamente à fam´ılia definida por y= 1/(c+t)²). Para ilustrar a dependência dos conceitos de solu¸cão particular e de solu¸cão singular relativamente a uma fam´ılia de solu¸cões, considere-se a EDO de ordem 1

(1.5) y^′= ¹₂(y²−1).

Constata-se facilmente que a rela¸c˜ao

(1.6) y−1 =ce^t(y+ 1)

define uma fam´ılia de solu¸cões com um parâmetro de (1.5) (já que, fazendoc percorrerR, define implicitamente as fun¸cõesϕc(t) := (1 +ce^t)/(1−ce^t), e comprova-se por substitui¸cão directa que todas estas fun¸cões são solu¸cões da EDO em discussão, nalgum intervalo real).

Além disso,ϕ≡ −1 é solu¸cão da EDO, mas não se pode obter da fam´ılia (1.6) por nenhuma escolha da constante c, pelo que constitui uma solu¸cão singular da EDO relativamente à fam´ılia (1.6). Por outro lado, também a rela¸cão

c(y−1) = e^t(y+ 1)

define uma fam´ılia de solu¸cões com um parâmetro de (1.5). Porém, relativamente a esta fam´ılia,ϕ≡ −1 é solu¸cão particular (escolhendoc= 0) eϕ≡1 é solu¸cão singular.

Por vezes a equa¸c˜ao (1.1) pode ser resolvida explicitamente em termos dey⁽ⁿ⁾, obtendo- se

(1.7) y⁽ⁿ⁾=f(t, y, y^′, y^′′, . . . , y⁽ⁿ⁻¹⁾),

(9)

ondef é uma fun¸cão conhecida. Nesse caso, (1.7) diz-seforma normalda equa¸cão diferencial.

Observe-se que (1.1) pode corresponder a mais do que uma equa¸c˜ao na forma normal. De facto, por exemplo, (y^′)²−4y= 0 representa as duas equa¸c˜oes diferenciaisy^′=±2√y.

No caso mais simples,n= 1, a equa¸c˜ao (1.7) reduz-se a y^′=f(t, y).

O cap´ıtulo 2 tem por objectivo, justamente, o estudo deste tipo de equa¸cões (ou das que se podem reduzir a este tipo) na situa¸cão particular em que y é fun¸cão escalar, o que corresponde a tomar em (1.1)r=s= 1 (e, claro,n= 1).

2. Exerc´ıcios (1) Considere a igualdade coshα= ¹2sinβ .

(a) Justifique que n˜ao existem n´umeros reaisαeβque verifiquem a igualdade anterior.

(b) Será a rela¸cão coshy^′′= ¹2sin(πy) uma equa¸cão diferencial? Em caso afirmativo, o que poderá dizer relativamente ao conjunto das suas solu¸cões?

(2) Diga quais das rela¸cões indicadas a seguir são equa¸cões diferenciais a)y^′= cos(π/y) b) ^d_d²_t2^y= d^dy(√t+y) c)√y^′′′=−1 d)y^′= 0^ye^−t²dt e)y^′′= d^dt

t

0log(sy^′) ds f) _∂x^∂z+^∂z_∂y= ^∂x_∂y.

(3) Para cada uma das al´ıneas seguintes, verifique que as expressões indicadas à direita definem solu¸cões das equa¸cões diferenciais indicadas à esquerda (nalgum intervalo de números reais).

a)y^′′′= 8y; ϕ(t) :=e²^t−¹

b)t²y^′′+ty^′+y= 0 ; ϕ(t) := cos(logx) c) (1 +te^ty)y^′+ye^ty+ 1 = 0 ; t+y+e^ty= 0. (4) Considere a rela¸c˜ao impl´ıcita

(ty)²+ log(t²+y²+ǫ) = 0, ondeǫ´e um parˆametro positivo (fixo).

(a) Justifique que paraǫ≥1 a rela¸cão anterior não pode definirycomo fun¸cão detem nenhum intervalo (não degenerado) de números reais.

(b) Se 0< ǫ <1, use o Teorema da existência de fun¸cões impl´ıcitas para mostrar que aquela rela¸cão define implicitamente uma solu¸cão da equa¸cão diferencial

y^′=−t y

1 +ty(t²+y²+ǫ) 1 +t²(t²+y²+ǫ)

nalgum intervalo de n´umeros reais que contenha a origem.

(Sugest˜ao: Procure uma solu¸c˜ao tal quey(0) =√ 1−ǫ)

(10)

(11)

Equa¸ c˜ oes diferenciais de primeira ordem

Neste cap´ıtulo vamos estudar equa¸cões diferencias ordinárias de primeira ordem cuja fun¸cão desconhecida é escalar. De acordo com o exposto anteriormente, uma tal equa¸cão pode-se traduzir por uma rela¸cão do tipo

F(t, y, y^′) = 0,

ondeF é uma fun¸cão definida de modo adequado. Esta rela¸cão pode assumir uma forma extremamente simples, como

y^′= 0, ou uma forma bastante complicada, tal como

log|ty^′|+ sin[(t²y−e^y^′+ 1)y^′+p

t⁴+ 3 ] = 0. 1. Considera¸c˜oes geom´etricas

Vamos supor que a equa¸c˜ao geral de primeira ordem acima pode ser escrita na forma normal,

(1.1) y^′=f(t, y),

ondef ´e uma fun¸c˜ao real conhecida definida num certo conjunto Ω⊂R².

1.1. Campo de Direçcões. Recordemos que se uma fun¸cão real de variável real é derivável num certo intervalo então o valor da derivada da fun¸cão num ponto t0 desse intervalo é o declive da recta tangente ao gráfico da fun¸cão no ponto do gráfico cuja abcissa

´et0. Por outro lado, fixada a fun¸c˜aof, a cada ponto (t0, y0) de Ω pode associar-se a recta r≡rt0,y0 que passa por (t0, y0) e tem declivef(t0, y0), definida por

y−y0=f(t0, y0)(t−t0).

Por conseguinte, construindo um “pequeno” segmento de recta,ϕt0,y0, passando por (t0, y0) e paralelo art0,y0, e fazendo o mesmo para cada ponto (t, y) do dom´ınio Ω de f, obtém- se o chamado campo de direçcões definido pela equa¸cão (1.1). O gráfico de cada solu¸cão y=ϕ(t) de (1.1) é, pois, tangente ao segmentoϕt,ϕ(t)em cada ponto (t, ϕ(t)) de Ω; e, como

“perto” dos pontos de tangência o gráfico da fun¸cão tende a confundir-se com o conjunto dos correspondentes segmentos do campo de direçcões, conclui-se que o campo de direçcões permite ter uma ideia aproximada do comportamento geométrico das solu¸cões da EDO (1.1).

O campo de direçcões da equa¸cão diferencial y^′=t

é dado pelas figuras seguintes (na figura 1 tra¸cam-se apenas alguns segmentos do campo de direçcões, enquanto que na figura 2 já se indica uma curva representando um esbo¸co do gráfico de alguma solu¸cão).

7

(12)

-2 -1 1 2

Figura 1 Figura 2

Como segundo exemplo, damos o campo de direçcões da equa¸cão diferencial y^′=y .

-2 -1 1 2

Figura 3

Analisando este campo de direçcões, podemos inferir algumas conclusões àcerca das solu¸cões da equa¸cão diferencialy^′=y:

• A solu¸cão cresce com o tempo se a condi¸cão inicial for positiva; e decresce se a condi¸cão inicial for negativa.

• As solu¸c˜oes n˜ao podem mudar de sinal com o crescimento do tempo.

• As solu¸cões não constantes são ilimitadas.

• Se a condi¸cão inicial for nula, a solu¸cão é a fun¸cão identicamente nula.

• Não há solu¸cões constantes para além da solu¸cão nula.

(13)

Estas conclusões resultam da mera observa¸cão da figura 3. Porém, neste caso, podemos mesmo confirmar a sua veracidade, já que as solu¸cões da EDO y^′ = y são as fun¸cões da formaϕ(t) =ce^t, ondecé uma constante real qualquer.

A importância do conhecimento dos campos de direçcões está ligada, por exemplo, ao estudo de certas EDO’s cujas solu¸cões não podem ser determinadas explicitamente, tais como

y^′= cost², y^′= e^−t², y^′=p

1−ksin²t(0< k <1), y^′=t²+y², etc.

De facto, para cada uma das três primeiras destas equa¸cões, a resolu¸cão da EDO consiste, simplesmente, em determinar as primitivas (relativamente à variável t) das fun¸cões que figuram nos segundos membros das igualdades, e é bem conhecido da Análise Infinitesimal que cada uma das fun¸cões envolvidas nos segundos membros dessas equa¸cões não admite primitivas que se possam escrever como soma finita de fun¸cões elementares, i.e., fun¸cões polinomiais, racionais, exponenciais, logar´ıtmicas, circulares e hiperbólicas (e suas inversas).

Referimos, a t´ıtulo de curiosidade, que as fun¸cões que figuram nos segundos membros destas EDO’s têm interesse efectivo em problemas concretos: cost²é uma fun¸cão útil emOptica;´ e^−t² é fundamental naTeoria das Probabilidades; e p

1−ksin²t está ligada aos chamados integrais el´ıpticos, ´uteis no cálculo do comprimento de uma el´ıpse, por exemplo. Por outro lado, o campo de direçcões é constru´ıdo directamente a partir da equa¸cão diferencial em análise, procedimento que não envolve o conhecimento expl´ıcito das solu¸cões da equa¸cão, e em muitos casos permite tra¸car satisfatoriamente os gráficos dessas solu¸cões.

1.2. Isocl´ınicas. Para determinar o campo de direçcões correspondente a uma dada EDO, é útil, por vezes, determinar primeiramente as chamadas curvas isocl´ınicas (o que significa curvas de “igual inclina¸cão”). Fixada uma constantec ∈R, designa-se por curva isocl´ınica(ou, simplesmente,isocl´ınicaou, ainda,isóclina) da EDO (1.1) correspondente ac ao conjunto dos pontos (t, y)∈Ω tais que

f(t, y) =c .

Assim, cada isocl´ınica é uma curva (contida em Ω) ao longo da qual todas as tangentes definidas pelo campo de direçcões têm o mesmo declive.

No caso da EDOy^′=t, cujo campo de direçcões é o indicado na figura 1, as isocl´ınicas são todas as rectas verticais (o que é bem vis´ıvel a partir da referida figura), enquanto que para a EDOy^′=y as isocl´ınicas são todas as rectas horizontais (cf. figura 3).

Como terceiro exemplo, considere-se a EDO y^′=t/y .

As isocl´ınicas são as rectas definidas port=cycomc∈R\{0}(i.e., são todas as rectas que passam pela origem, com excep¸cão do eixo dostt). Observe-se que da própria EDOy^′=t/y se pode extra´ır a seguinte informa¸cão:

• Se uma curva integral (solu¸cão) intersecta o eixo dostt (respectivamente: o eixo dosyy) então ela é tangente a uma recta vertical (respectivamente: horizontal) em todos os pontos, excepto, possivelmente, o ponto (0,0).

• Os campos de direçcão cujas tangentes são definidas pelas isocl´ınicas correspondentes a c =±1 são as rectas y = ±t (respectivamente); e pode verificar-se que estas duas isocl´ınicas definem duas solu¸cões da EDO considerada (o que, geral- mente, não é uma propriedade das isocl´ınicas).

Na figura 4 podem ver-se os tra¸cados de algumas isocl´ınicas e dos correspondentes campos de direc¸c˜ao para a EDOy^′=t/y.

(14)

-2 -1 1 2

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2

Figura 4 Como ´ultimo exemplo, considere-se a EDO

y^′=t²+y².

Neste caso, as isocl´ınicas ou são conjuntos vazios (correspondentes a constantes c <0) ou são circunferências centradas na origem, de equa¸cões t²+y²=c, comc≥0 (figura 5).

-2 -1 1 2

Figura 5

Do exposto, a resolu¸cão da EDO (1.1) tem uma interpreta¸cão geométrica natural:fixada a fun¸cãof e o dom´ınioΩ, trata-se de determinar (se existirem) todas as curvas contidas em Ωcujas rectas tangentes em cada ponto(t, y)da curva coincidam com as dadas pelo campo de direçcões neste ponto.

(15)

2. Equa¸c˜oes exactas

2.1. Defini¸c˜ao. SejamM(t, y) eN(t, y) duas fun¸c˜oes definidas num determinado aberto Ω⊂R², e considere-se a EDO

(2.1) M(t, y) +N(t, y)y^′= 0.

SeN(t, y)6= 0 para todos os pontos (t, y)∈Ω, (2.1) pode reduzir-se `a forma normal (1.1) com

f(t, y) =−M(t, y) N(t, y).

A EDO (2.1) diz-sediferencial total exacta(ou, simplesmente, exacta) em Ω se existir uma fun¸c˜aou(t, y) definida em Ω tal que

(2.2) ∂u

∂t(t, y) =M(t, y), ∂u

∂y(t, y) =N(t, y), ∀(t, y)∈Ω.

A designa¸cão resulta do facto de, nas condi¸cões indicadas (e atendendo ao teorema da deriva¸cão da fun¸cão composta), ser

M(t, y) +N(t, y)y^′= ∂u

∂t(t, y) +∂u

∂y(t, y)dy dt(t) = d

dtu(t, y(t))

(i.e., M+N y^′ é exactamente a derivada total (ordinária), du/dt, da fun¸cão definida pela correspondênciat7→u(t, y(t))).

Observe-se que a rela¸cãoM+N y^′= du/dtpermite determinar as solu¸cões de (2.1), as quais são, portanto, definidas implicitamente pela fórmula

u(t, y) =C , ondeC ´e uma constante real arbitr´aria.

2.2. Teorema de caracteriza¸c˜ao.

Teorema2.1.SejamM(t, y)eN(t, y)duas fun¸cões definidas num rectânguloΩ, definido pelas condi¸cões

|t−t0|< a , |y−y0|< b (0< a, b <+∞),

e suponha-se queM eN s˜ao cont´ınuas e tˆem derivadas parciais cont´ınuas emΩ.

Então, a EDO(2.1)é exacta emΩse e só se

(2.3) ∂M

∂y = ∂N

∂t em Ω.

Nestas condi¸cões, as solu¸cões de(2.1)são dadas implicitamente pela rela¸cão (2.4)

Z y y0

N(t, s)ds+ Z t

t0

M(s, y0)ds=C , ondeC ´e uma constante real arbitr´aria.

Prova. (⇒) Suponha-se que (2.1) é exacta. Então, por (2.2), tem-se uty = My e uyt=Nt. Mas, por hipótese,My eNt são cont´ınuas em Ω, logo, pelo Teorema de Schwarz, deve ter-seuty=uytem Ω. Em consequência,M eN satisfazem necessariamente (2.3).

(⇐) Suponha-se agora que se verifica (2.3) e prove-se que (2.1) é exacta. Para isso, vamos mostrar que existe uma fun¸cãou=u(t, y) satisfazendo (2.2). Ora, se uma tal fun¸cão

(16)

existir, deve verificarut=M. Integrando ambos os membros desta igualdade a respeito de t, entret0e t, obt´em-se

(2.5) u(t, y) =

Z t t0

M(s, y)ds+g(y)

ondeg(y) é, em princ´ıpio, uma fun¸cão arbitrária de y (que desempenha o papel das constantes de integra¸cão nos processos de primitiva¸cão usuais). Para determinarg, vamos usar a segunda condi¸cão,uy=N, a queu(existindo) também deve satisfazer. Assim, derivando ambos os membros de (2.5) relativamente ay, obtém-se

(2.6) g^′(y) =N(t, y)− ∂

∂y Z t

t0

M(s, y)ds , e como

∂

∂t µ

N− ∂

∂y Z t

t0

M(s, y)ds

¶

=Nt−My= 0

(atenda-se ao Teorema de Schwarz para fun¸cões reais de duas variáveis reais e ao Teorema Fundamental do Cálculo Integral para fun¸cões reais de uma variável real), conclui-se que o segundo membro de (2.6) depende, de facto, apenas de y. Consequentemente, g pode obter-se de (2.6) e decorre que a fun¸cãouprocurada é dada por (2.5). Portanto, mostrámos que a condi¸cão (2.3) é suficiente para que a EDO (2.1) seja exacta.

Para concluir a demonstra¸cão resta mostrar que a fórmula (2.4) define uma solu¸cão impl´ıcita de (2.1), para cada constante realC. Para isso, come¸camos por calcular g(y) a partir de (2.6), obtendo-se (integrando ambos os membros de (2.6) entrey0ey)

g(y) =g(y0) + Z y

y0

N(t, s)ds− Z t

t0

M(s, y)ds+ Z t

t0

M(s, y0)ds , donde, atendendo a (2.5),

u(t, y) = Z y

y0

N(t, s)ds+ Z t

t0

M(s, y0)ds+g(y0), o que mostra que (2.4) ´e uma solu¸c˜ao impl´ıcita de (2.1) para cadaC ∈R.

Observação2.1. Como decorre da demonstra¸cão, no enunciado do teorema precedente pode substituir-se a condi¸cão de Ω ser um rectângulo pela condi¸cão de ser um conjunto aberto e convexo deR²(e, nesse caso, supor que (t0, y0)∈Ω).

Observação 2.2. Em (2.5), a escolha det0 ey0é arbitrária, impondo-se apenas que sejam escolhidos por forma a que os integrais envolvidos se mantenham próprios.

2.3. Factores integrantes. Por vezes, é poss´ıvel transformar uma EDO não exacta numa exacta, multiplicando ambos os membros da EDO (não exacta) por um certo factor µ≡µ(t, y), chamadofactor integrante, tal que

(2.7) µ(t, y)M(t, y) +µ(t, y)N(t, y)y^′= 0

seja uma EDO exacta. Observe-se, no entanto, que as EDO’s (2.1) e (2.7) podem não ser equivalentes, pois podemos “perder” ou “ganhar” solu¸cões com a introdu¸cão do factor integrante. Por exemplo, a EDO

(2.8) y+ 3ty^′ = 0

(17)

não é exacta, já que ^∂M_∂y ≡ 1 6= 3 ≡ ^∂N∂t. Porém, multiplicando ambos os membros desta EDO pory², obtém-se

(2.9) y³+ 3ty²y^′= 0,

que já é uma equa¸cão exacta, pois _∂y^∂(y³) = 3y²= _∂t^∂(3y²t). Neste caso, o factor integrante

é, pois,µ(t, y) =y². É claro que (2.8) e (2.9) são EDO’s equivalentes (no sentido de terem as mesmas solu¸cões), considerando Ω um rectângulo qualquer deR². Por outro lado, observe-se que multiplicando ambos os membros de (2.8) porµ(t, y) =t^−2/3obtém-se

(2.10) t^−2/3y+ 3t^1/3y^′= 0,

que é também uma equa¸cão exacta, pois _∂y^∂ (t^−2/3y) =t^−2/3= _∂t^∂(3t^1/3) parat6= 0. Porém, (2.10) não é exacta em qualquer rectângulo deR², mas apenas em qualquer rectângulo Ω que não intersecte o eixo das abcissas, pelo que apenas podemos afirmar que (2.8) e (2.10) são equivalentes desde que Ω seja um rectângulo nestas condi¸cões.

De acordo com o exposto, a questão que se coloca é, pois, a da determina¸cão de um factor integrante para uma equa¸cão do tipo (2.1) que não seja exacta. Nestas condi¸cões, de acordo com o Teorema 2.1, (2.7) será uma EDO exacta se e só se

∂

∂y(µM) = ∂

∂t(µN) em Ω, i.e.,µ(t, y) deve satisfazer `a condi¸c˜ao

(2.11) µ

µ∂M

∂y −∂N

∂t

¶

=N∂µ

∂t −M∂µ

∂y , (t, y)∈Ω.

Esta rela¸cão permite determinar o factor integranteµ(t, y), o qual pode não ser único, como decorre do exposto atrás. Note-se, aliás, que (2.11) é uma equa¸cão diferencial de derivadas parciais de primeira ordem (com variáveis independentest e y e variável dependenteµ) e pode mostrar-se que tem sempre solu¸cão. Isto significa que (2.1) admite sempre (!) factor integrante, que é solu¸cão de (2.11). Acontece que, na prática, esta solu¸cão não pode, em geral, determinar-se analiticamente e, portanto, na maioria dos casos não tem qualquer utilidade – para a resolu¸cão de (2.1), que é o nosso objectivo! – saber que existe factor integrante de (2.1). Contudo, nalguns casos simples é poss´ıvel determinar analiticamente um factor integrante. Isto sucede,e.g., se alguma das fun¸c˜oes T ouY definidas por

(2.12) T = 1

N µ∂M

∂y −∂N

∂t

¶

e Y =− 1 M

µ∂M

∂y −∂N

∂t

¶ , for fun¸c˜ao apenas detouy (respectivamente), i.e.,

(2.13) T ≡T(t) e Y ≡Y(y).

Nesse caso, um factor integrante ser´a dado por

µ(t) = e ^T(t)dt ou µ(y) = e ^Y^(y)dy

(respectivamente), como se comprova por substitui¸c˜ao directa em (2.11).

Assim, por exemplo, considerando novamente a EDO (2.8), tem-se 1

N µ∂M

∂y − ∂N

∂t

¶

=−2

3t ≡T(t), logo

µ(t) = e ⁻³²^t^dt=t^−2/3

(18)

´e factor integrante de (2.8), como anteriormente se tinha visto. Por outro lado, tem-se tamb´em

− 1 M

µ∂M

∂y −∂N

∂t

¶

= 2

y ≡Y(y), pelo que

µ(y) = e ^y²^dy=y²

´e tamb´em factor integrante de (2.8).

Agora, considerando a EDO exacta que resulta de (2.8) pela multiplica¸cão do factor integrantey², i.e., a EDO (2.9), usando a fórmula (2.3) do Teorema 2.1 conclui-se que as solu¸cões de (2.8) são dadas por

Z y y0

3ts²ds+ Z t

t0

y³₀ds=C , i.e. , ty³=C , C∈R.

Podemos tamb´em pensar em determinar factores integrantes (para a EDO (2.1)) da forma

µ=µ(ξ),

ondeξ é uma fun¸cão conhecida, det e y. Se existir factor integrante desta forma, deverá satisfazer a rela¸cão (2.11), logo deve verificar-se

µ µ∂M

∂y −∂N

∂t

¶

=N∂µ

∂t −M∂µ

∂y = µ

N∂ξ

∂t−M∂ξ

∂y

¶dµ dξ , donde

(2.14) 1

µ dµ

dξ = My−Nt

N ξt−M ξy.

Consequentemente, se o segundo membro desta igualdade se puder escrever como fun¸c˜ao apenas deξ, digamos

My−Nt

N ξt−M ξy

=φ(ξ), ent˜ao um factor integrante da EDO (2.1) ´e dado por

µ(ξ) = e ^φ(ξ)dξ

(isto pode comprovar-se verificando directamente queµ(ξ) assim definido ´e solu¸c˜ao de (2.11) ou de (2.14)).

Como exemplo ilustrativo desta situa¸c˜ao, considere-se a EDO (2.15) (3ty+y²) + (3ty+t²)y^′= 0,

e mostremos que admite um factor integrante do tipoµ=µ(ξ), comξ=t+y. Ora, tem-se My−Nt=t−y ,

e conclui-se que não existe factor integrante dependente apenas detou dependente apenas dey(já que, neste caso, as fun¸cõesT eY definidas por (2.12) não satisfazem (2.13)). Porém, tem-se

My−Nt

N ξt−M ξy = t−y

t(3y+t)ξt−y(3t+y)ξy; logo, escolhendoξ≡ξ(t, y) =t+y, esta rela¸c˜ao reduz-se a

My−Nt

N ξt−M ξy

= 1

t+y = 1

ξ ≡φ(ξ),

(19)

e decorre que podemos calcular

µ(ξ) = e ^φ(ξ)dξ = e ¹^ξ^dξ =|ξ|. Isto permite concluir que um factor integrante da EDO (2.15) ´e

µ(t, y) =t+y , pelo que a EDO

(2.16) (3ty+y²)(t+y) + (3ty+t²)(t+y)y^′= 0

é exacta e equivalente a (2.15)¹. Finalmente, usando o Teorema 2.1 conclui-se que as solu¸cões de (2.15) são dadas por

t³y+ 2t²y²+ty³=C , C∈R. 3. Equa¸cões de variáveis separáveis As EDO’s mais simples que se podem considerar são as do tipo

(3.1) y^′=g(t),

ondeg é uma fun¸cão (conhecida) apenas det. Claramente, resolver esta EDO reduz-se a determinar uma primitiva deg. Assim, supondo que esta fun¸cão é primitivável num certo intervaloI, as solu¸cões de (3.1) neste intervalo são as fun¸cõesϕ:I →Rdadas por

ϕ(t) = Z

g(t) dt+C (C∈R), ondeR

g(t) dtrepresenta uma primitiva qualquer (concreta) deg.

A EDO (3.1) ´e caso particular da equa¸c˜ao mais geral do tipo

(3.2) h(y)y^′=g(t),

ondegehsão fun¸cões (conhecidas) detey, respectivamente. A EDO (3.2) diz-se uma EDO devariáveis separadas(por nela as expressões envolvendoteyfigurarem separadamente nos membros da equa¸cão). Uma EDO que se possa escrever na forma (3.2) diz-se uma EDO de variáveis separáveis. Por exemplo,

yy^′=t²

´e uma EDO de vari´aveis separadas, enquanto que

(1 +y²)t−(1 +t²)yy^′= 0

é uma EDO de variáveis separáveis, já que se pode reescrever na forma equivalente y

1 +y²y^′= t 1 +t².

Para resolver (3.2) suponha-se queg e h são primitiváveis (em intervalos adequados), relativamente às variáveistey, respectivamente, e designemG(t) eH(y) primitivas (quais- quer) degeh (nos intervalos considerados), respectivamente. Então, considerandoycomo fun¸cão det,y=y(t), de acordo com o teorema da deriva¸cão da fun¸cão composta, tem-se

d

dtH(y) = d

dt(H◦y)(t) =h(y(t)).y^′(t) =h(y)y^′,

1Observe-se que, aparentemente, introduzimos uma solu¸cão suplementar à equa¸cão (2.15), nomeadamente,ϕ(t) :=−t, a qual resulta da possibilidade de sery+t= 0—sendo, portanto, solu¸cão de (2.16)—;

mas comprova-se por verifica¸cão directa queϕassim definida é também solu¸cão de (2.15), pelo que (2.15) e (2.16) são, efectivamente, equa¸cões equivalentes.

(20)

i.e.,H(y) é uma primitiva, relativamente à variávelt, deh(y)y^′. Assim, de acordo com o que se expôs para a resolu¸cão de (3.1), é agora claro como resolver (3.2): primitivam-se ambos os membros de (3.2) relativamente at, obtendo-se

H(y) =G(t) +C (C∈R), ou, usando uma nota¸c˜ao mais sugestiva,

(3.3)

Z

h(y) dy= Z

g(t) dt+C (C ∈R).

Observe-se que nesta expressão estão abarcadas todas as solu¸cões de (3.2), por constru¸cão, pelo que (3.3) constitui a solu¸cão geral de (3.2).

Como primeiro exemplo, considere-se a EDO

(3.4) y^′= e^−2ycost .

Multiplicando ambos os membros da equa¸c˜ao por e^2y, obt´em-se e^2yy^′= cost, pelo que (3.4)

é uma EDO de variáveis separáveis, cuja solu¸cão geral é determinada por Z

e^2ydy= Z

costdt+C , i.e. , e^2y= 2 sint+C (C∈R),

rela¸cão que define implicitamente as solu¸cões de (3.4). Neste caso é claro que, considerando intervalos adequados para a varia¸cão det, as solu¸cões podem mesmo explicitar-se, de modo que (em intervalos adequados) as solu¸cões de (3.4) são definidas por

ϕ(t) = log√

2 sint+C (C∈R).

Como se constata imediatamente, e (3.4) sugere, uma EDO de vari´aveis separ´aveis

é, essencialmente, uma EDO de primeira ordem que se pode escrever na forma normal y^′=f(t, y) onde a fun¸cãof(t, y) é factorizável como produto de duas fun¸cões, uma apenas dete outra apenas de y, digamos,f(t, y) =g(t)h1(y), ou seja, é essencialmente uma EDO da forma

(3.5) y^′=g(t)h1(y).

Note-se que seh1(y)6= 0 nalgum intervalo então, nesse intervalo, (3.5) é equivalente a (3.2), pondoh(y) = 1/h1(y) e, de acordo com (3.3), a solu¸cão geral de (3.5) é dada por

(3.6)

Z 1 h1(y)dy=

Z

g(t) dt+C (C ∈R).

Porém, seh1(y0) = 0 para algumy0, então é óbvio que a fun¸cão constante definida por ϕ(t)≡y0

é solu¸cão de (3.5) em qualquer intervalo ondegesteja bem definida (e, claro, seja a´ı primi- tivável).

Como segundo exemplo, considere-se a EDO

(3.7) y^′= (3−y)y .

Referimos que EDO’s deste tipo dizem-selog´ısticase aparecem frequentemente em problemas de varia¸cão populacional. É óbvio, por um lado, que

ϕ1(t)≡0 e ϕ2(t)≡3

(21)

são solu¸cões de (3.7) em qualquer intervalo de R. Por outro lado, considerando Ω um dom´ınio deR² que não intersecte as rectas y= 0 e y= 3, separando as variáveis na EDO (3.7), tem-se

1

(3−y)yy^′= 1. Agora, de acordo com (3.6), deduz-se

Z 1

(3−y)ydy=t+C , i.e. , ¹₃ Z µ

1 y+ 1

3−y

¶

dy=t+C , ou seja,

log

¯

¯ y 3−y

¯

¯= 3t+C (C ∈R).

Esta rela¸cão define implicitamente uma fam´ılia de solu¸cões da EDO (3.7) nalgum intervalo I. Observe-se que esta última pode reescrever-se na forma equivalente

(3.8)

¯

¯ y 3−y

¯

=Ce^3t (C >0).

Daqui, paraC >0 (fixo) resulta que y/(3−y) =±Ce^3t para todo o t∈I. Porém, como procuramosy=y(t) como solu¸cão de uma EDO no intervaloI, logo, em particular,ydeverá ser uma fun¸cão cont´ınua detemI, terá for¸cosamente de ser ouy/(3−y) =Ce^3tpara todo o t∈I, ouy/(3−y) =−Ce^3tpara todo ot∈I. Estas duas situa¸cões podem ser descritas por uma mesma expressão, atribuindo maior liberdade à constanteC, e deduz-se que a rela¸cão

(3.9) y

3−y =Ce^3t (C ∈R)

define implicitamente uma fam´ılia de solu¸cões da EDO (3.7) nalgum intervaloI. Note-se que a solu¸cãoϕ1≡0 se obtém desta fam´ılia de solu¸cões como solu¸cão particular, escolhendo C = 0. Foi por isso que se pôsC ∈R e nãoC∈R\{0}, em (3.9). Observe-se também que a solu¸cãoϕ2≡3 não se pode obter de (3.9) por concretiza¸cão deC, pelo que constitui uma solu¸cão singular da EDO (3.7) relativamente a esta fam´ılia de solu¸cões (3.9). Além disso, resolvendo (3.9) [ou (3.8)] relativamente a y, conclui-se que as solu¸cões de (3.7) são dadas explicitamente por

(3.10) ϕ(t) =











3Ce^3t/(Ce^3t−1) , y <0

0 , y= 0

3Ce^3t/(Ce^3t+ 1) , 0< y <3

3 , y= 3

3Ce^3t/(Ce^3t−1) , y >3 , ondeC ´e uma constante arbitr´aria e positiva (C >0).

Observe-se que cada solu¸cão definida por (3.10) fica perfeitamente especificada se fixar- mos uma condi¸cão inicial. Isto é, por cada ponto (t0, y0)∈R² fixado a priori passa uma e uma só solu¸cão, que é explicitamente definida por algum dos ramos que compõem a expressão (3.10). Note-se também que para cada escolha deC >0 existem três possibilidades para a solu¸cão, e que o intervalo de defini¸cão da solu¸cão depende da escolha deC, podendo existir ass´ımptotas horizontais (para as solu¸cões que se situam na faixa definida por 0< y < 3) ou simultaneamente ass´ımptotas verticais e horizontais (para as solu¸cões que se situam nos semi-planos definidos pory <0 ouy >3). Estas ass´ımptotas verticais dependem da escolha da constanteC >0, sendo definidas port=−¹3logC.

(22)

Observação 3.1. Sendo dtum acréscimo não nulo da variável independente, a EDO (3.2) pode reescrever-se como

h(y)y^′dt=g(t) dt .

Considerandoycomo fun¸cão det, digamos, y=y(t), o diferencial da variável dependente é dado por dy=y^′dt, o que permite reescrever novamente a EDO (3.2) na forma

(3.11) h(y) dy=g(t) dt .

Esta é uma forma usual de escrever uma EDO de variáveis separáveis, a qual tem algumas vantagens práticas. Com efeito, comparando esta rela¸cão com a fórmula (3.3), anteriormente estabelecida para as solu¸cões de (3.2),

Z

h(y) dy= Z

g(t) dt+C (C ∈R),

somos conduzidos à seguinte regra prática para a determina¸cão das solu¸cões da EDO de variáveis separadas na forma (3.2): basta “aplicar integrais” a ambos os membros da igualdade (3.11).

Assim, por exemplo, para resolver a EDOyy^′=t², reescrevemo-la na formaydy=t²dt e, “aplicando integrais”, segue-se que as suas solu¸c˜oes s˜ao dadas porR

ydy= R

t²dt+C, ou seja, s˜ao definidas implicitamente pela rela¸c˜ao

y² 2 = t³

3 +C (C∈R).

Observação 3.2. Do mesmo modo, em vez da EDO do tipo (2.1), anteriormente considerada, também é corrente (e rigoroso) escrever

(3.12) M(t, y) dt+N(t, y) dy= 0.

Contudo, neste caso as vantagens não são tão evidentes como no caso acima, pois as variáveis te y figuram nas fun¸cões que aparecem como factores de ambos os acréscimos dt e dy na equa¸cão, pelo que não faz sentido “aplicar integrais” a (3.12).

4. Equa¸c˜oes lineares de primeira ordem

Sejama0,a1eb fun¸c˜oes definidas num intervaloI⊂R. A equa¸c˜ao diferencial a0(t)y^′+a1(t)y=b(t)

diz-se umaequa¸cão diferencial linear de primeira ordem, designa¸cão justificada pelo facto de tal equa¸cão poder ser encarada como uma combina¸cão linear das variáveisy ey^′ (sendo os coeficientes da combina¸cão linear as fun¸cõesa0ea1, independentes dey ey^′).

Se o segundo membro da equa¸cão,b, for a fun¸cão identicamente nula emI, a equa¸cão diz-sehomogénea; caso contrário, diz-senão homogéneaoucompleta.

Neste parágrafo vamos admitir que a fun¸cãoa0 nunca se anula no intervalosI e, além disso, quea0,a1ebsão fun¸cões cont´ınuas emI, hipóteses que simplificam consideravelmente o estudo destas equa¸cões diferenciais. Deste modo (dividindo ambos os membros pora0(t)) a equa¸cão diferencial pode reescrever-se na forma equivalente

(4.1) y^′+P(t)y=Q(t),

ondeP eQsão fun¸cões cont´ınuas no intervaloI. Para a resolu¸cão de (4.1) podem adoptar- se vários métodos, nomeadamente ométodo do factor integrantee ométodo da varia¸cão das constantes arbitrárias, que a seguir se expõem. Como, sob as hipóteses consideradas, qualquer destes métodos de resolu¸cão é sempre aplicável, em particular conclui-se que a EDO (4.1) admite sempre solu¸cão emI.

(23)

4.1. M´etodo do factor integrante. Multiplicando ambos os membros de (4.1) por µ(t) := e ^P^(t)dt

(dito factor integrante), onde R

P(t)dt ´e qualquer primitiva deP emI, obt´em-se e ^P^(t)dty^′+P(t) e ^P^(t)dt=Q(t) e ^P^(t)dt,

express˜ao que se pode reescrever na forma d

dt

³

e ^P(t)dty´

=Q(t) e ^P^(t)dt. Integrando ambos os membros relativamente at, vem

e ^P^(t)dty= Z ³

Q(t) e ^P^(t)dt´

dt+C ,

ondeC é uma constante real arbitrária, logo o integral geral da EDO (4.1) é

(4.2) y=

µZ ³

Q(t) e ^P^(t)dt´ dt+C

¶

e⁻ ^P^(t)dt, C∈R.

Observação 4.1. A introdu¸cão do factor integranteµ, tal como definido acima, pode justificar-se no contexto da teoria devenvolvida para as equa¸cões diferenciais totais exactas.

Com efeito, (4.1) ´e do tipo (2.1), com M(t, y) := P(t)y −Q(t) e N(t, y) ≡ 1 . Como

∂M/∂y=P(t) e ∂N/∂t= 0 , a equa¸cão não é total exacta. Porém, _N¹ ³

∂M

∂y −^∂N∂t

´

=P(t) , que só depende de t, pelo que existe factor integrante como fun¸cão apenas de t, que é justamente o factorµintroduzido acima.

4.2. Método da varia¸cão das constantes arbitrárias. Este método consiste em resolver a EDO (4.1) em duas etapas, determinando primeiramente a solu¸cão geral da equa¸cão homogénea associada,

(4.3) y^′+P(t)y= 0,

que é uma equa¸cão de variáveis separáveis (e, portanto, sabemos já como resolver), e em seguida fazendo variar a constante arbitrária, C, que figura na solu¸cão geral que já se determinou (da equa¸cão homogénea), considerando momentaneamente que essa constante é fun¸cão det, digamos,C =C(t), e determinando em seguidaC(t) de modo que a expressão da solu¸cão geral da equa¸cão homogénea, comC(t) em vez deC, seja uma solu¸cão particular da equa¸cão completa (4.1). É óbvio que y(t)≡ 0 é uma solu¸cão de (4.3). Supondo então y6= 0 nalgum intervalo, nesse intervalo deduz-se sucessivamente

1

ydy=−P(t) dt ⇒ Z 1

ydy=− Z

P(t) dt+c

⇒ log|y|=− Z

P(t) dt+c

⇒ |y|= e^ce⁻ ^P^(t)dt,

ondecé uma constante real arbitrária. Pela continuidade da solu¸cão de uma EDO, decorre que a solu¸cão geral da equa¸cão homogénea (4.3) é dada por

y=Ce⁻ ^P^(t)dt, C∈R.

(24)

Supondo agora queCé fun¸cão det, determine-seC(t) de modo que y(t) =C(t) e⁻ ^P^(t)dt seja solu¸cão de (4.1). Como y^′(t) = [C^′(t)−P(t)C(t)] e⁻ ^P^(t)dt, substituindo estas ex- pressões dey(t) ey^′(t) em (4.1), obtém-se

C^′(t) =Q(t) e⁻ ^P^(t)dt ⇒ C(t) = Z ³

Q(t) e ^P^(t)dt´

dt+C , C ∈R;

logo, substituindo esta expressão para C(t) em y(t) = C(t) e⁻ ^P^(t)dt, somos novamente conduzidos à expressão (4.2) para a solu¸cão geral de (4.1).

5. Algumas EDO’s cl´assicas

Nesta seçcão apresentaremos algumas EDO’s que estiveram na origem da Teoria das Equa¸cões Diferenciais. Muitas destas EDO’s podem ser resolvidas utilizando uma mudan¸ca de variável adequada, a qual permite, em cada caso, reduzir a EDO em análise a um dos tipos já estudado.

5.1. Equa¸cão homogénea. Sendok um número real, uma fun¸cãoh : Ω⊂ R² →R diz-sehomogénea de graukno dom´ınio Ω se

(5.1) h(λt, λy) =λ^kh(t, y)

para todos os pares (t, y)∈Ω e para todos os n´umeros reaisλ tais que (λt, λy)∈Ω.

As fun¸cões abaixo fornecem alguns exemplos de fun¸cões homogéneas (kindica o grau de homogeneidade, em cada caso):

• h(t, y) := 3t²−ty−y² ,k= 2 ;

• h(t, y) := sin(t²/(t²−y²)) ,k= 0 ;

• h(t, y) := 6e^y/t/(t^2/3y^1/3) ,k=−1 ;

• h(t, y) := (t⁴+ 7y⁴)^1/5 ,k= 4/5 .

Chama-seequa¸c˜ao diferencial homog´eneaa toda a EDO do tipo

(5.2) y^′ =f(t, y)

ondef é uma fun¸cão homogénea de grau zero nalgum dom´ınio Ω⊂R². Observe-se que, fazendo em (5.1)λ= 1/tvem

t^kf³ 1,y

t

´

=f(t, y),

o que implica que uma fun¸cão homogénea de grauk= 0 pode ser vista como uma fun¸cão de uma só variável, nomeadamentev=y/t. Assim, a EDO homogénea (5.2) é essencialmente uma EDO da forma

(5.3) y^′=g³y

t

´ ,

ondegé uma fun¸cão real de variável real. Para resolver esta equa¸cão, efectue-se a mudan¸ca de variável dependente (y→v) definida por

y=tv , i.e., v=y/t . Então, é y^′=v+tv^′, logo por substitui¸cão em (5.3) obtém-se

(5.4) tv^′=g(v)−v ,

que é uma EDO de variáveis separáveis, pelo que pode aplicar-se a teoria desenvolvida para a resolu¸cão deste tipo de equa¸cões. Assim, por um lado, se para algumv0∈Rforg(v0) =v0, decorre quev(t)≡v0é uma solu¸cão de (5.4), logo

y(t) :=v0t

(25)

é uma solu¸cão da equa¸cão homogénea (5.3). Por outro lado, seg(v)6=vnalgum intervaloJ, admitindo quegé cont´ınua emJ, de (5.4) deduz-se que R _dv

g(v)−v =R _dt

t +C= log|t|+C, ondeC ´e uma constante real arbitr´aria, pelo que, pondo

G(x) :=

Z dx

g(x)−x (escolhe-se uma qualquer primitiva emJ),

uma fam´ılia de solu¸cões (nalgum intervalo adequado que não contenha a origem) da EDO (5.3) é dada por

(5.5) G³y

t

´

= log|t|+C , C ∈R. Observação 5.1. E fácil constatar que uma EDO do tipo´

M(t, y)dt +N(t, y)dy= 0,

ondeM eN são fun¸cões homogéneas do mesmo grau nalgum dom´ınio Ω ondeN nunca se anule, é uma EDO homogénea.

Como exemplo, considere-se a EDO

(t²−ty+y²)dt+t²dy= 0.

Tem-se M(t, y) := t²−ty +y² e N(t, y) := t², logo M e N são fun¸cões homogéneas do mesmo grau k = 2. Por conseguinte, a EDO em questão é homogénea em intervalos adequados, que não contenham a origem. Considerando dom´ınios Ω que não contenham pontos do eixo dosyy, esta EDO pode reescrever-se na forma equivalente

y^′=−1 +y t −³y

t

´2

≡g³y t

´ ,

ondeg(v) :=−1 +v−v². Observe-se que não existem pontosv0tais queg(v0) =v0. Assim, efectuando a mudan¸ca de variável (y →v) definida pory = tv, e atendendo a que, neste caso, é

G(x) :=− Z dx

1 +x² = arctanx ,

deduz-se de (5.5) que, em intervalos adequados, uma fam´ılia de solu¸c˜oes da EDO em an´alise

´e

y=ttan (C−log|t|), C∈R.

5.2. Equa¸cão homográfica. Chama-se equa¸cãohomográficaa uma EDO do tipo

(5.6) y^′=g

µa1t+b1y+c1

a2t+b2y+c2

¶ ,

ondegé uma fun¸cão cont´ınua nalgum intervalo eai, bi, ci (i= 1,2) são números reais fixos tais que|a2|+|b2|+|c2|>0.

Note-se que sea1=a2= 0 oub1=b2= 0 a equa¸cão reduz-se a uma EDO de variáveis separáveis, e se c1 = c2 = 0 ela é redut´ıvel a uma EDO homogénea. Em qualquer destes casos sabemos já como resolver a equa¸cão, pelo que no que vai seguir-se podemos supor que em (5.6) nenhum dos pares (a1, a2), (b1, b2) e (c1, c2) coincide com o par (0,0).

A determina¸cão das solu¸cões da EDO (5.6) será feita analisando separadamente dois casos, de acordo com a posi¸cão relativa das rectas definidas pelas equa¸cões a1t+b1y+c1= 0 e a2t+b2y+c2= 0 .

(26)

Caso 1: As rectas são concorrentes. Designando por (t0, y0) o ponto de interseçcão destas rectas, (5.6) resolve-se efectuando a substitui¸cão definida por

½ t=u+t0

y=v+y0.

Daqui vem y^′ =v^′ e, comoa1t0+b1y0+c1= 0 =a2t0+b2y0+c2= 0 , tamb´em a1t+b1y+c1

a2t+b2y+c2 = a1u+b1v

a2u+b2v = a1+b1v/u a2+b2v/u, pelo que (5.6) se converte na EDO homog´enea

v^′=h³v u

´, onde h(x) :=g

µa1+b1x a2+b2x

¶ .

Caso 2: As rectas são paralelas (eventualmente coincidentes). Ent˜ao, ou a1 e a2 são simultaneamente nulos, ou são ambos não nulos, e analogamente parab1eb2, pelo que podemos supor que nenhum dos números a1, a2, b1, b2 é zero. Agora, a condi¸cão de paralelismo implica

a1

a2

= b1

b2 ≡λ , logo

a1t+b1y+c1

a2t+b2y+c2

= λ(a2t+b2y) +c1

a2t+b2y+c2

, pelo que a substitui¸c˜ao

a2t+b2y=u permite reduzir (5.6) `a forma

u^′−a2

b2

=g

µλu+c1

u+c2

¶ ,

que é uma EDO de variáveis separáveis (na variável dependenteu).

5.3. EDO’s redut´ıveis a lineares de primeira ordem. Certas EDO’s não lineares podem, por vezes, converter-se em EDO’s lineares, através de uma mudan¸ca de variável (dependente) adequada. Nesta seçcão vamos estudar algumas EDO’s em que isso sucede.

5.3.1. Equa¸c˜ao de Bernoulli. Chama-seequa¸c˜ao de Bernoullia uma EDO do tipo (5.1) a0(t)y^′+a1(t)y=b(t)yⁿ,

onde se supõe quea0, a1, bsão fun¸cões cont´ınuas nalgum intervaloI ené um número real (que pode ou não ser inteiro).

Claramente, sen= 0 a equa¸cão anterior é linear; e, sen= 1 trata-se de uma equa¸cão de variáveis separáveis.

Sen6= 0 en6= 1, multiplicando ambos os membros de (5.1) pory⁻ⁿ, obt´em-se (5.2) a0(t)y⁻ⁿy^′+a1(t)y¹⁻ⁿ=b(t).

Isto sugere que se efectue a mudan¸ca de vari´avel (y→v) definida por v=y¹⁻ⁿ.

Ter-se-á então, derivando,y⁻ⁿy^′=v^′/(1−n); logo, substituindo em (5.2), conclui-se que a equa¸cão (5.1) é transformada na equa¸cão

a0(t)

1−nv^′+a1(t)v=b(t),