Transformada de Laplace - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS E

1. Defini¸c˜ao e primeiros exemplos

O objecto de estudo neste cap´ıtulo é atransformada de Laplace (¹), a qual pertence a uma classe de transformadas, ditastransformadas integrais(por serem definidas à custa de integrais), que têm muito interesse quer em áreas teóricas, quer em áreas de aplica¸cão da Matemática. Um dos aspectos de interesse do estudo da transformada de Laplace decorre do facto de esta transformar certos tipos de equa¸cões diferenciais em equa¸cões algébricas. Na prática isto fornece um método simples de resolver certas equa¸cões deiferenciais: aplica-se a transformada de Laplace à equa¸cão diferencial, resolve-se a equa¸cão algébrica resultante e, finalmente, aplicando um método de inversão adequado (a chamada transformada in-versa de Laplace), obtém-se a solu¸c˜ao da equa¸cão diferencial de partida. Este método de resolu¸cão de equa¸cões diferenciais está perfeitamente implementado em “pacotes computa-cionais” (simbólicos ou numéricos) tais como oMathematicaou oMatlab. Além disso, é muito utilizado pelos engenheiros, nomeadamente na resolu¸cão de certos tipos de equa¸cões diferenciais nas quais intervêm fun¸cões descont´ınuas.

Definição 1.1. Seja I um intervalo de números reais que contém [0,+∞[ e seja f : I→R. Atransformada de Laplace def, designada porL{f(t)}ou F(s), é definida por

L{f(t)} ≡F(s) :=

Z +∞

f(t)e^−stdt , s∈D⊂R, desde que o integral seja convergente (exista).

Observação 1.1. A fun¸cão F(s) é definida para os valores reais de s para os quais o integral converge. Este conjunto de valores onde s varia, D, é chamado o dom´ınio de frequência, enquanto que o conjunto dos valores tonde f(t) está definida é dito o dom´ınio temporal.

Observação 1.2. O integral que define a transformada de Laplace é impróprio, pelo que o sentido que lhe deve ser atribu´ıdo é, naturalmente,

Z +∞

f(t)e⁻^stdt= lim

T→+∞

Z T

f(t)e⁻^stdt , e est´a definido quando este limite existir.

De acordo com a defini¸cão dada da transformada de Laplace, o comportamento da fun¸cão f(t) para valores det <0 não interessa, pelo queL{f(t)}contém informa¸cão relativa af(t) apenas para valores det≥0. Deste modo a transformada de Laplace não é um instrumento matemático adequado para estudar fenómenos nos quais o comportamento de f(t) para valores de t < 0 seja relevante, mas em muitos problemas concretos isto não constitui dificuldade, já que a variáveltrepresenta otempo.

1Em homenagem ao matem´atico francˆes Pierre Simon de Laplace (1749-1827).

Exemplos.

1. Considere-se a fun¸c˜ao

f(t) :=e^at, t≥0 (a∈R). Aplicando a defini¸c˜ao, vem

L{f(t)}=L{e^at}= Z +∞

e⁻^ste^atdt= lim

T→+∞

Z T

e⁻^(s⁻^a)tdt . Agora, se s = a ent˜ao RT

0 e^−(s−a)tdt = T → +∞ (quando T → +∞), logo o integral impróprio é divergente e, por conseguinte, a transformada de Laplace não está definida.

Considerando ent˜aos6=a, podemos escrever Z T

e^−(s−a)tdt=

− 1

s−ae^−(s−a)t

¸T

t=0

= 1

s−a

³1−e^−(s−a)T´ , e como

T→lim+∞e^−(s−a)T =

( 0 se s > a +∞ se s < a , decorre imediatamente que

(1.1) L{e^at}= 1

s−a , s > a . Em particular, paraa= 0 obt´em-se

L{1}= 1

s , s >0. 2. Considere-se agora a fun¸c˜ao

f(t) := sin(kt), t≥0 (k∈R).

E fácil justificar, usando o método de primitiva¸c˜´ ao por partes, que para quaisquer números reais não simultaneamente nulosaebé

e^atsin(bt) dt= 1

a²+b²e^at[asin(bt)−bcos(bt) ] +C (C∈R), e, consequentemente, para cadaT >0 obt´em-se

(1.2)

Z T

e⁻^stsin(kt) dt= 1 s²+k²

¡k−e⁻^sT [ssin(kT) +kcos(kT) ]¢ .

Assim, tomando o limite quandoT →+∞, constata-se que o limite existe se e s´o ses >0, o que permite obter

(1.3) L{sin(kt)}= k

s²+k² , s >0. 2. Existˆencia da transformada de Laplace

Uma vez que a transformada de Laplace foi definida recorrendo a um integral impróprio, tem interesse analisar condi¸cões gerais que permitam assegurar a convergência deste inte-gral. O objectivo desta seçcão é, precisamente, estabelecer uma condi¸cão suficiente para a existência da transformada de Laplace. Come¸camos por introduzir a seguinte

Definição2.1.Uma fun¸cãof, real de vari´avel real, diz-se deordem exponencial(quando t→+∞)se existem númerosσ∈R eM, T >0 tais que

(2.4) |f(t)| ≤M e^σt para todo o t > T .

Essencialmente, isto significa que f é de ordem exponencial se não cresce mais rapi-damente que alguma fun¸cão exponencial do tipo e^σt para todos os instantes t posteriores a um determinado instante fixoT > 0. Muitas fun¸cões de interesse prático são de ordem exponencial—tais como as que aparecem como solu¸cão de uma EDO linear de coeficientes constantes—, da´ı o interesse em introduzir este conceito.

Exemplos:

1. A fun¸cão f(t) := e^3t é de ordem exponencial. Basta observar que se cumpre a defini¸cão anterior escolhendo quaisquerσ,M e T tais queσ≥3,M ≥1 eT >0.

2. A fun¸cãof(t) :=tⁿ (n ∈N₀, fixo) é de ordem exponencial. De facto, podemos tomarσ >0 (qualquer),M=n!/σⁿeT >0 (qualquer). Isto decorre directamente do desenvolvimento em série de Taylor da fun¸cãoe^σt:

e^σt= 1 +σt+(σt)²

2! +· · ·+(σt)ⁿ

n! +· · ·> (σt)ⁿ n! = σⁿ

n! tⁿ, dondef(t) =tⁿ<(n!/σⁿ)e^σt para todo ot >0.

3. A fun¸cãof(t) :=e^t² não é de ordem exponencial. De facto, quaiquer que sejam os valores que se considerem paraM >0 eσ,e^t² cresce mais rapidamente à medida quetaumenta do queM e^σt, pois

e^t² M e^σt = 1

M e^t²⁻^σt→+∞ (quando t→+∞).

Decorre dos exemplos precedentes que, para uma dada fun¸cão de ordem exponencial, a escolha do valorσnão é única (nas condi¸cões da defini¸cão). O ´ınfimo do conjunto de todos os valoresσ para os quais se cumpre (2.4) chama-se abcissa de convergênciada fun¸cão (de ordem exponencial)f, e será designado porσf. Explicitamente,

σf := inf©

σ∈R : ∃M,T >0 : ∀t>T |f(t)|< M e^σtª .

No caso dos dois primeiros exemplos anteriores, constata-se facilmente que para a fun¸cão f(t) :=e^3téσf = 3, enquanto que paraf(t) :=tⁿ éσf= 0.

Estamos em condi¸cões de enunciar o resultado anteriormente anunciado. Para tal recordemos ainda que uma fun¸cão real de variável real, f, é dita seccionalmente cont´ınua num intervalo I de números reais (limitado ou não) se em cada subintervalo limitado de I a fun¸cão for cont´ınua em todos os pontos desse subintervalo com poss´ıvel excep¸cão de um número finito deles, que devem ser descontinuidades de primeira espécie (i.e., os limites laterais nos pontos de descontinuidade devem existir e ser finitos).

Teorema2.1 (condi¸cão suficiente de existência da transformada de Laplace). Sefé uma fun¸cão seccionalmente cont´ınua em[0,+∞[e de ordem exponencial, com abcissa de convergênciaσf, então a transformada de LaplaceL{f(t)} ≡F(s)existe paras > σf.

Prova. Como f ´e de ordem exponencial com abcissa de convergˆencia σf, para cada σ > σf podemos escrever

|f(t)| ≤M e^σt , t≥T

para algum instanteT >0 e alguma constanteM >0. Além disso, comofé seccionalmente cont´ınua em [0,+∞[, então é integrável em qualquer subintervalo limitado de [0,+∞[, e em particular em [0, T]. Assim, para provar queR+∞

0 e^−stf(t) dt´e convergente (i.e., queL{f(t)} existe) basta mostrar queR+∞

T e^−stf(t) dt´e convergente. Com efeito, como

|e^−stf(t)| ≤M e^−(s−σ)t, t∈[T,+∞[, eR+∞

T e⁻^(s⁻^σ)tdt´e convergente (com valore⁻^(s⁻^σ)T/(s−σ)) para todo os > σ, conclui-se queR+∞

T e⁻^stf(t) dt´e convergente para todo os > σ(²). Comoσ foi escolhido arbitraria-mente de modo queσ > σf, segue-se queL{f(t)}existe paras > σf.

Observação2.1. Constata-se facilmente que todas as fun¸cões do tipo c t^me^αtsin(βt) e c t^me^αtcos(βt) , comc, α, β∈Rem∈N₀, são de ordem exponencial quandot→+∞. Como todas as solu¸cões de EDO’s lineares homogéneas de coeficientes constantes são combina¸cões lineares de fun¸cões deste tipo, decorre do Teorema precedente que as transformadas de Laplace de tais solu¸cões existe.

Observação 2.2. O teorema anterior dá apenas uma condi¸cão suficiente que garante a existência da transformada de Laplace. Porém, existem fun¸cões que têm transformada de Laplace mas que não são de ordem exponencial, como é o caso da fun¸cão f(t) := 1/√

t, para a qual se pode verificar queL{1/√

t}=p

π/s para s >0.

3. Propriedades da transformada de Laplace

Nesta seçcão vamos estabelecer algumas propriedades da transformada de Laplace que, em muitas circunstâncias, nos vão permitir determinar transformadas de certas fun¸cões à custa de transformadas de outras que, por algum processo, tenham já sido determinadas.

As demonstra¸cões de algumas das propriedades são relativamente simples, pelo que serão deixadas como exerc´ıcio.

Propriedade 3.1 (linearidade). Sejam f e g duas fun¸cões cujas transformadas de Laplace existam num mesmo dom´ınio de frequênciaD, e sejama, b∈R. Então

(3.5) L{af(t) +bg(t)}=aL{f(t)}+bL{g(t)} em D .

Observação3.1. Sef egsão de ordem exponencial, com abcissas de convergênciaσf

eσg (resp.), então tambémaf+bgé de ordem exponencial e tem abcissa de convergência menor ou igual que max{σf, σg} , pelo que, nestas condi¸cões, a igualdade (3.5) está bem definida no conjuntoD constitu´ıdo pelos pontosstais ques >max{σf, σg}.

Exemplos.

2Recorde-se o seguinteCritério de compara¸cão para integrais impróprios: Sendogehfun¸cões reais de variável real tais que 0≤g(t)≤h(t) para todo ot∈[a,+∞[ (ondea∈ , fixo), se a⁺^∞hé convergente então também a⁺^∞gé converge. Recorde-se ainda que sendofuma fun¸cão real de variável real integrável

a Riemann em cada subintervalo limitado de [a,+∞[, se a⁺^∞|f|é convergente então também a⁺^∞f é convergente.

1. Sejaf(t) := sinh(at), coma∈R(fixo). Como sinh(at) = ¹₂eât−¹2e^−at, e atendendo a que, por (1.1), é L{eât} = 1/(s−a) paras > a e L{e^−at} = 1/(s+a) para s >−a, usando a linearidade da transformada de Laplace deduz-se

L{sinh(at)} = 1

2L{e^at} −1

2L{e^−at}

= 1

2 1 s−a−1

2 1

s+a = a

s²−a² ,

igualdades que est˜ao bem definidas para s >max{a,−a}=|a|. Por conseguinte, L{sinh(at)}= a

s²−a² , s >|a|.

2. Analogamente, usando cosh(at) :=¹₂e^at+¹₂e^−at, verifica-se que L{cosh(at)}= s

s²−a² , s >|a|. 3. Considere-se agora f(t) := 3 + 2e^5t. Ent˜ao, ´e

L{3 + 2e^5t}= 3L{1}+ 2L{e^5t},

e como, por (1.1), ´e L{1} = 1/s para s > 0 e L{e^5t} = 1/(s−5) para s > 5, decorre que

L{3 + 2e^5t}= 3

s+ 2

s−5 = 5(s−3)

s(s−5) , s >max{0,5}= 5.

Propriedade3.2 (transla¸cão no dom´ınio de frequência). Sefé uma fun¸cão cuja transformada de Laplace, L{f(t)} ≡ F(s), existe para s > σ, ent˜ao a fun¸cão eâtf, onde a∈R, tem transformada de Laplace paras > σ+a, e tem-se

L{e^atf(t)}=F(s−a), s > σ+a .

Observação 3.2. Uma forma útil de expressar esta igualdade é escrever L{eâtf(t)}= [L{f(t)}]_s_→_s₋_a= [F(s)]_s_→_s₋_a , s > σ+a . Exemplos.

1. Seja f(t) :=eâtsin(kt), coma, k ∈R. Então, atendendo a (1.3) e à Propriedade 3.2, vem

L{e^atsin(kt)}=

· k s²+k²

s→s−a

= k

(s−a)²+k² , rela¸cão que é válida paras >0 +a=a. Portanto,

L{e^atsin(kt)}= k

(s−a)²+k² , s > a .

2. Do mesmo modo, paraf(t) :=eâtcos(kt), com a, k∈R, obtém-se L{eâtcos(kt)}= s−a

(s−a)²+k² , s > a .

Propriedade3.3 (derivada da transformada). Sef é uma fun¸cão seccionalmente cont´ınua em[0,+∞[e de ordem exponencial, com abcissa de convergência σ, de modo que a transformada de LaplaceL{f(t)} ≡F(s)existe paras > σ, ent˜ao todas as fun¸cõestⁿf(t) (n= 0,1,2,· · ·) têm transformada de Laplace para s > σ, e tem-se

L{tⁿf(t)}= (−1)ⁿdⁿF(s)

dsⁿ , s > σ . Prova. Considere-se a igualdade

ds(s) = d ds

Z +∞

e⁻^stf(t) dt .

Atendendo às hipóteses consideradas sobref(t), podemos permutar a ordem de integra¸cão e deriva¸cão (³), de modo que, paras > σ, é

dF ds(s) =

Z +∞

d ds

¡e⁻^st¢

f(t) dt=− Z +∞

e⁻^stf(t) dt=L{tf(t)}. Isto prova a proposi¸c˜ao no cason= 1. O caso geral deduz-se por indu¸c˜ao.

Exemplos.

1. Sejaf(t) :=tⁿ, comn∈N₀. J´a vimos anteriormente queL{1}= 1/sparas >0.

Ent˜ao, pela Propriedade 3.3, vem L{tⁿ}=L{tⁿ·1}= (−1)ⁿ dⁿ

dsⁿ µ1

= n!

sⁿ⁺¹ , s >0.

2. Seja agora f(t) :=t²e^t. Sabemos j´a queL{e^t}= 1/(s−1) paras >1, logo L{t²e^t}= (−1)² d²

ds² µ 1

s−1

= µ 1

s−1

¶_′′

= 2

(s−1)³ , s >1.

A tabela seguinte resume alguns dos exemplos anteriormente analisados, e ser´a de grande utilidade nos desenvolvimentos seguintes.

f(t) L{f(t)} ≡F(s) Dom´ınio de convergˆencia

tⁿ (n∈ 0) n!

sⁿ⁺¹ s >0

e^at (a∈!) 1

s−a s > a

e^atsin(kt) (a, k∈!) k

(s−a)²+k² s > a

e^atcos(kt) (a, k∈!) s−a

(s−a)²+k² s > a

3Trata-se de uma aplica¸c˜ao da chamadaregra de Leibniz

Observação3.3. Os exemplos anteriores, bem como muitos outros, podem ser obtidos usando os programasMapleou Mathematica. Neste último a transformada de Laplace

´e implementada atrav´es do comando

LaplaceTransform[f[t],t,s].

Assim, por exemplo, o comando LaplaceTransform[Cos[3t],t,s] produz comooutputa express˜ao s

s²+9 (como podemos confirmar na tabela).

Para resolver equa¸cões diferenciais usando a transformada de Laplace é conveniente dispôr de uma fórmula que expresse as transformadas das derivadas da fun¸cão incógnita em termos da transformada de Laplace dessa fun¸cão.

Para obter a fórmula desejada, considere-se uma fun¸cãof: [0,+∞[→Re suponha-se que f é de ordem exponencial com abcissa de convergênciaσ. Deste modo existe transformada de Laplace, definida paras > σ. É conveniente assumir algumas hipóteses adicionais sobre f, nomeadamente, que a fun¸cão derivada f^′ existe e é seccionalmente cont´ınua em [0,+∞[ (o que implica, em particular, quef é cont´ınua) e, ainda, que a transformada de Laplace desta fun¸cão derivada também existe paras > σ. Nestas condi¸cões, podemos escrever (3.6) L{f^′(t)}=

Z _∞

e⁻^stf^′(t) dt= lim

T→+∞

Z T

e⁻^stf^′(t) dt .

Usando integra¸cão por partes (come¸cando a integrar pelo segundo factor) e supondo, para simplificar, quef^′é cont´ınua (⁴), o último integral vem igual a

Z T

e⁻^stf^′(t) dt = £

e⁻^stf(t)¤T t=0+s

Z T

e⁻^stf(t) dt

= e⁻^sTf(T)−f(0) +s Z T

e⁻^stf(t) dt , s > σ . Agora, atendendo às hipóteses colocadas sobref, é

T→lim+∞e⁻^sTf(T) = 0 e lim

T→+∞

Z T

e⁻^stf(t) dt=L{f(t)} para s > σ

(note-se que a igualdade a 0 do primeiro destes limites decorre do facto def ser de ordem exponencial com abcissa de convergênciaσe, em consequência, existe uma constanteM >0 tal que se verifica uma desigualdade do tipo |e^−sTf(T)| ≤ M e^−(s−σ)T para s > σ) e, portanto, tomando o limite em (3.6) quandoT →+∞, obtém-se a fórmula procurada:

(3.7) L{f^′(t)}=sL{f(t)} −f(0)≡sF(s)−f(0), s > σ .

Procedendo de modo análogo para a segunda derivada, assumindo quef^′′existe em [0,+∞[ e que é a´ı seccionalmente cont´ınua e, ainda, que as fun¸cõesf ef^′ são de ordem exponencial com abcissas de convergência ≤ σ e que f^′′ tem transformada de Laplace para s > σ, deduz-se

L{f^′′(t)}=s²F(s)−sf(0)−f^′(0), s > σ .

E, enfim, aplicando sucessivamente o procedimento descrito, de um modo geral ´e poss´ıvel estabelecer o seguinte resultado:

4Se f^′ não for cont´ınua, como é seccionalmente cont´ınua, então basta particionar o intervalo [0, T]

em subintervalos, pelos pontos de descontinuidade def^′, e considerar como fun¸c˜oes integrandas em cada subintervalo as fun¸c˜oes cont´ınuas que coincidem come^−stf^′no interior de cada um desses subintervalos.

Propriedade 3.4 (transformada da derivada). Seja f uma fun¸cão cuja derivada de ordem n existe e é seccionalmente cont´ınua em [0,+∞[. Admita-se ainda que f e as suas sucessivas derivadas até à ordem n−1 são de ordem exponencial com abcissas de convergência ≤ σ, e que a transformada de Laplace de f⁽ⁿ⁾ também existe para s > σ.

Nestas condi¸c˜oes, para todo os > σ, tem-se

L{f⁽ⁿ⁾(t)}=sⁿF(s)−sⁿ⁻¹f(0)−sⁿ⁻²f^′(0)− · · · −sf⁽ⁿ⁻²⁾(0)−f⁽ⁿ⁻¹⁾(0). Exemplo. Determinar L {cos(kt)} usando (1.3).

Sejaf(t) := cos(kt). Ent˜aof(0) = 1 ef^′(t) =−ksin(kt) e, portanto, por (1.3), L {f^′(t)}=−kL{sin(kt)}=− k²

s²+k², s >0. Assim, atendendo a (3.7) tem-se − k²

s²+k² =L{−ksin(kt)}=sL{cos(kt)} −1 paras >0, donde

L{cos(kt)}= 1 s

1− k² s²+k²

= s

s²+k² , s >0. Como consequˆencia da propriedade anterior, pode deduzir-se a seguinte

Propriedade3.5 (transformada de um integral indefinido). Sendof uma fun¸cão cont´ınua em[0,+∞[ e de ordem exponencial com abcissa de convergênciaσ >0, então

½Z t

f(u) du

= 1

sF(s), s > σ . Exemplo. Determinar LnRt

£u³+ sin(2u)¤o .

Neste caso, ´e f(t) =t³+ sin(2t) , logo (usando a linearidade da transformada e a tabela) F(s) =L©

t³ª

+L {sin(2t)}= 6 s⁴+ 2

s²+ 4 , s >0. Consequentemente, pela Propriedade 3.5,

½Z t

£u³+ sin(2u)¤¾

= 6

s⁵+ 2

s(s²+ 4) , s >0.

Para concluir este primeiro grupo de propriedades, vamos estabelecer uma fórmula que permite determinar de forma eficaz a transformada de Laplace de uma fun¸cão periódica.

Recorde-se que uma fun¸cãof : [0,+∞[→Ré ditaperiódicase existir um número realT >0 (chamadoper´ıododef) tal que

f(t+T) =f(t), t≥0.

Propriedade3.6 (transformada de uma fun¸cão periódica). Sejaf(t)uma fun¸cão periódica em [0,+∞[, com per´ıodo T > 0, e admita-se ainda que f(t) é seccionalmente cont´ınua. Então

L {f(t)}= 1 1−e⁻^sT

Z T

e^−stf(t) dt , s >0.

Prova. Sendof periódica e seccionalmente cont´ınua em [0,+∞[, é claro que é limitada neste intervalo. Isto implica quef é também de ordem exponencial com abcissa de con-vergênciaσf= 0, pelo que a transformada de Laplace existe paras >0. Assim, paras >0 podemos escrever sendo a última igualdade justificada pelo facto de f ser periódica de per´ıodo T. Conse-quentemente, substituindo acima vem

Exemplo. DeterminarL {f(t)}, sendo f(t) a fun¸c˜ao peri´odica de per´ıodo 2π definida por

f(t) :=

( sint se 0≤t≤π 0 se π≤t <2π .

E claro que para esta fun¸c˜´ aof todas as hipóteses da Propriedade 3.6 são cumpridas, pelo que paras >0 é Agora, o valor do último integral pode obter-se como caso particular de (1.2), pelo que

L {f(t)}= 1 1−e^−2πs

1 +e^−sπ

s²+ 1 = 1

(1 +s²)(1−e^−πs) , s >0. 4. Invers˜ao da transformada de Laplace

Na resolu¸cão de muitos problemas de interesse prático (equa¸cões diferenciais, por ex-emplo) é importante, dada uma fun¸cão F(s), definida num determinado intervalo, saber se essa fun¸cão é a transformada de Laplace de alguma fun¸cãof(t). Conforme sabemos, a transformada de Laplace L{f(t)} ≡ F(s) apenas contém informa¸cão sobre a fun¸cão f(t) para valores det ≥ 0, pelo que, dadaF(s), estaremos apenas interessados em encontrar

fun¸cões f(t) definidas para t ≥ 0 tais queL{f(t)} = F(s). Naturalmente, como a trans-formada de Laplace é definida à custa de um integral envolvendo o produto de uma fun¸cão exponencial pela fun¸cãof(t), e o valor do integral não é afectado se modificarmos o valor da fun¸cão nalgum ponto isolado, e.g., é claro que, dadaF(s), existe uma infinidade de fun¸cões f(t) para as quaisL{f(t)}=F(s). No entanto, é poss´ıvel demonstrar que se duas fun¸cões f(t) eg(t) têm a mesma transformada de Laplace, apenas uma delas pode ser cont´ınua. De facto, podemos dizer um pouco mais. DesigneV o conjunto constitu´ıdo pela totalidade das fun¸cões cont´ınuas definidas em [0,+∞[ e de ordem exponencial quandot→+∞. De acordo com a Propriedade 3.1 e a observa¸cão que se lhe segue, podemos afirmar queV é um espa¸co vectorial e que a aplica¸cão (operador) L:V → R(V), ondeR(V) designa o contradom´ınio da aplica¸cãoL, é linear e, obviamente, sobrejectiva. Além disso, pode mostrar-se queL é também injectiva e, por conseguinte, é invert´ıvel. Deste modo, existe a aplica¸cão inversa L⁻¹:R(V)→V, à qual chamaremosoperador transformada inversa de Laplace. Porém, se retirarmos aos elementos de V a exigência de serem fun¸cões cont´ınuas, deixa de ser ver-dade que o operadorLé invert´ıvel e, por conseguinte, dada uma fun¸cãoF(s), existe uma infinidade de fun¸cões seccionalmente cont´ınuas que verificam L{f(t)} = F(s). Tendo em mente as considera¸cões precedentes, adoptaremos como “satisfatória”a seguinte defini¸cão:

O s´ımbolo L⁻¹{F(s)}—a que chamaremos transformada inversa de Laplace de F(s)—

designar´a uma fun¸c˜aof(t)cont´ınua em[0,+∞[cuja transformada de Laplace sejaF(s), i.e., L{f(t)} ≡F(s). No caso de todas as fun¸c˜oesf(t)que satisfazem a igualdadeL{f(t)} ≡F(s) serem descont´ınuas em[0,+∞[, seleccionamos uma fun¸c˜ao seccionalmente cont´ınuaf(t)que verifique esta igualdade e tomamo-la paraL⁻¹{F(s)}.

Deste modo, escreveremos

f(t) =L⁻¹{F(s)} (t≥0) sempre que L{f(t)} ≡F(s) (s∈D⊂R), seleccionando, se poss´ıvel,f cont´ınua.

Por exemplo,

como L{e^at}= 1

s−a ent˜ao L⁻¹

½ 1 s−a

=e^at (t≥0). Do mesmo modo,

como L{sin(at)}= a

s²+a² ent˜ao L⁻¹

½ a s²+a²

= sin(at) (t≥0).

Observamos que, da propriedade de linearidade paraLse deduz que tamb´em L⁻¹´e linear, i.e.,

L⁻¹{aF(s) +bG(s)}=aL⁻¹{F(s)}+bL⁻¹{G(s)}

para quaisquer constantes a, b ∈ R e para quaisquer fun¸c˜oes F(s) e G(s) que estejam definidas num dom´ınio de frequˆencia comum.

Exemplo. Determinar L⁻¹

½ s+ 1 s²(s²+ 9)

¾ . Come¸camos por decompˆor F(s) = s+ 1

s²(s²+ 9) como soma de fraçcões elementares. Os zeros do polinómio que figura em denominador são as ra´ızes da equa¸cão algébricas²(s²+9) =

0, logo s˜ao os n´umeros 0 (zero duplo) e±3i(zeros complexos simples). Assim,

ondeA, B, C eD s˜ao constantes reais a determinar. A determina¸c˜ao da constante Apode fazer-se imediatamente pela “regra do tapa”, obtendo-se

Para determinarC eDtem-se (multiplicando ambos os membros de (4.8) por s²+ 9 e, em seguida, fazendos= 3i—que é um dos zeros des²+ 9) donde (atendendo a que dois números complexos coincidem se e só se coincidem as suas partes real e imaginária, resp.) C=−¹9 e 3D=−¹3, i.e.,

C=D=−1 9 .

Resta determinar a constanteB. Um processo poss´ıvel para a determina¸cão desta constante (e que permite também obter todas as outras constantes) consiste em reduzir o segundo membro da expressão (4.8) a uma só fraçcão (com denominador igual ao da fraçcão do primeiro membro de (4.8)) e em seguida, da igualdade entre os numeradores das fraçcões nos primeiro e segundo membros da igualdade resultante, deduz-se

s+ 1 = A(s²+ 9) +Bs(s²+ 9) + (c+Ds)

= (B+D)s³+ (9A+C)s²+ 9Bs+ 9A , donde, por compara¸c˜ao de coeficientes, se obt´em

0 =B+D , 0 = 9A+C , 1 = 9B , 1 = 9A .

Em particular, daqui deduz-se B = ¹₉. (Note-se que, como já haviam sido determinados os valores deA, C e D, bastaria, por exemplo, ter comparado os coeficientes de s³, o que conduziria à rela¸cão 0 = B+D, a qual, conjuntamente com o facto de já se saber que D=−¹9, permitiria determinar o valor deB.) Assim, (4.8) dá lugar a

Finalmente, usando a linearidade deL⁻¹, e como, de acordo com os resultados da tabela de transformadas de Laplace, ´e

Tal como a linearidade, também a Propriedade 3.2 (transla¸cão) da transformada de Laplace dá lugar a uma propriedade análoga para a transformada inversa, nomeadamente

L⁻¹{F(s−a)}=e^atf(t), t≥0.

[F(s) ]_s_→_s₋_aª

=e^atf(t), t≥0, ou, ainda,

L⁻¹©

[F(s) ]_s_→_s₋_aª

=e^atL⁻¹{F(s)} , t≥0.

Exemplo. Determinar L⁻¹

½ 2

s²+ 6s+ 13

¾ . Observando que

s²+ 6s+ 13= 2

(s+ 3)²+ 2² =

· 2 s²+ 2²

s→s+3

e atendendo a que (pela tabela), a F(s) = 2

s²+ 2² corresponde f(t) =L⁻¹{F(s)}= sin(2t), vem

L⁻¹

½ 2

s²+ 6s+ 13

=e^−3t sin(2t), t≥0.

Observação 4.1. No programaMathematica a transformada inversa de Laplace é implementada através do comando

InverseLaplaceTransform[F[s],s,t]. Assim, por exemplo, o comando InverseLaplaceTransform[ s

s²+9,s,t] produz como outputa express˜ao Cos[3t].

5. Aplica¸cão à resolu¸cão de EDO’s

Conforme descrito no in´ıcio do cap´ıtulo, uma das aplica¸cões mais úteis da transfor-mada de Laplace é à resolu¸cão de equa¸cões e de sistemas de equa¸cões diferenciais ordinárias (EDO’s). Tipicamente, a transformada de Laplace pode aplicar-se com sucesso quando procuramos solu¸cões de EDO’s lineares de coeficientes constantes, definidas em intervalos I⊂[0,+∞[ , do tipo

(5.9) a0dⁿy

dtⁿ +a1dⁿ⁻¹y

dtⁿ⁻¹ +· · ·+an−1dy

dt +any=f(t),

onde a0, a1,· · ·, an são constantes reais, a0 6= 0, e f é uma fun¸cão dada. Como se sabe, muitas vezes é necessário explicitar certas condi¸cões inciais (a velocidade inicial, ou a pop-ula¸cão inicial, por exemplo), o que corresponde a procurar solu¸cões y = y(t) tais quey e as suas sucessivas derivadas até à ordemn−1 satisfa¸cam certos valores pré-fixados num determinado instante (usualmentet= 0), digamos,

(5.10) y(0) =c0, dy

dt(0) =c1, · · · , dⁿ⁻¹y

dtⁿ⁻¹(0) =cn−1,

ondec0, c1,· · ·, cn−1s˜ao osnvalores (iniciais) pr´e-fixados.

Vejamos então como é que a transformada de Laplace pode ser usada para determinar solu¸cões da EDO (5.9) sujeita às condi¸cões iniciais (5.10). Para evitar formalismos (que neste contexto são desnecessários) vamos supôr que as condi¸cões da propriedade Propriedade 3.4 são verificadas. Em primeiro lugar, aplica-se a transformada de Laplace (admitindo que esta existe para todas as fun¸cões envolvidas) a ambos os membros da igualdade (5.9), obtendo-se (5.11) a0L (trans-formada da fun¸cão procuraday), atendendo à Propriedade 3.4 cada uma das transformadas L {· · · } que aparece no primeiro membro de (5.11) pode exprimir-se em termos da trans-formadaY(s) de y(t) por meio de uma expressão que também envolve as constantes inici-ais c0, c1,· · ·, cn−1, logo, substituindo em (5.11) as expressões assim obtidas, após alguns cálculos (que para as equa¸cões dos exemplos concretos que iremos tratar são geralmente simples de realizar) obtém-se

Q(s)Y(s) =F(s) +P(s),

ondeP(s) eQ(s) são polinómios na variávelsdefinidos explicitamente por Q(s) :=

de modo que a solu¸cão da equa¸cão diferencial (5.9) proposta, sujeita às condi¸cões iniciais (5.10) especificadas, se pode agora obter por aplica¸cão da transformada inversa de Laplace:

y(t) =L⁻¹{Y(s)}=L⁻¹

1. Quando a ordem da EDO ´e muito elevada, o processo descrito pode tornar-se

“fastidioso”, mas ´e poss´ıvel amenizar esta dificuldade usando m´etodos matriciais (e, claro, computacionais!).

2. E usual encontrar sistemas modelizados n˜ao apenas por uma, mas antes por´

No documento EQUAÇÕES DIFERENCIAIS E (páginas 83-105)