Solu¸ c˜ ao Inicial - Cap´ıtulo 4 Metodologia

Cap´ıtulo 4 Metodologia

4.2 Solu¸ c˜ ao Inicial

Nas próximas se¸cões deste cap´ıtulo, muitas vezes se fará necessário o conhecimento de uma solu¸cão primal durante a execu¸cão de outros algoritmos. Esta informa¸cão é útil não apenas como uma solu¸cão inicial para o resolvedor de programa¸cão inteira, mas também na constru¸cão do próprio modelo de Programa¸cão Linear Inteira (PLI), influenciando o número de variáveis e restri¸cões que o compõem. Com este objetivo, desenvolvemos a Heur´ıstica 1, discutido a seguir.

O algoritmo se baseia em escolhas gulosas para construir conjuntos independentes de guardas, ou seja, sem conflitos de visibilidade, onde cada conjunto deverá receber uma cor diferente. Portanto minimizar o número destes conjuntos implica em minimizar a quantidade de cores. O algoritmo come¸ca considerando todas as testemunhas como não cobertas (Linha 3). A partir da´ı, dá-se in´ıcio a um processo iterativo, através da atribui¸cão de pesos aos guardas, que denotam o número de testemunhas não cobertas vistas por eles (Linha 6). Com estes pesos, um programa linear inteiro, cujo objetivo é encontrar um conjunto independente de guardas com a maior soma de pesos poss´ıvel, é resolvido. Com

4.3. Modelo Natural 17

Heur´ıstica 1 Solu¸c˜ao Inicial

1: _{function GreedyDCAGP(G, W , GW})

2: S ← ∅ . Solu¸c˜ao (vetor de conjuntos independentes).

3: U ← W . Testemunhas ainda n˜ao cobertas.

4: repeat

5: for all g ∈ G do

6: wg ← {w ∈ V(g) e w ∈ U }

7: x ← solu¸c˜ao do modelo (4.1)–(4.3)

8: T ← ∅ . Novo conjunto independente de guardas.

9: for all g ∈ G do 10: if xg = 1 then 11: T ← T ∪ {g} 12: U ← U \ {w ∈ V(g)} 13: S ← S ∪ T 14: until U = ∅ 15: return S 16: end function

isto, garantimos que o conjunto encontrado cobre o maior número poss´ıvel de novas testemunhas naquela itera¸cão, uma vez que, por constru¸cão, nenhuma testemunha é coberta duas vezes. Com este novo conjunto atualizamos as testemunhas cobertas (Linha 12) e a solu¸cão (Linha 13). O algoritmo continua enquanto houver testemunhas não cobertas.

Observe que o problema de encontrar um conjunto independente de peso máximo é NP-dif´ıcil [13]. Uma forma de resolvê-lo exatamente é através da solu¸cão da formula¸cão PLI abaixo. z = max X g∈G wgxg s. a (4.1) xu+ xv ≤ 1 ∀ (u, v) ∈ EG (4.2) xg ∈ B ∀ g ∈ G. (4.3)

Apesar da escolha de um novo conjunto independente na Linha 7 poder ser computada através de outro método, como uma heur´ıstica, em todas as instâncias testadas a resolu¸cão do modelo (4.1) − (4.3) se mostrou extremamente rápida e eficiente. Por isso, em nossos experimentos optamos por usar um resolvedor PLI para executar tal tarefa.

4.3 Modelo Natural

Para a resolu¸c˜_{ao exata do dcagp iremos empregar técnicas de Programa¸cão Linear In-} teira (PLI). Programa¸cão Inteira é amplamente usada para a resolu¸cão dos mais diversos

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problemas, principalmente aqueles da classe NP-dif´ıcil. Nesta se¸cãom iremos descrever um modelo de PLI para o problema, o qual chamaremos de Modelo Natural. Adicionalmente, descrevemos técnicas que irão ajudar na resolu¸cão do modelo pelo resolvedor, como o uso de lazy constraints.

O nome modelo natural deriva da forma como as vari´aveis da formula¸cão foram esco- lhidas, associadas às decisões que levam a uma transcri¸cão direta da solu¸cão do problema. No caso de problemas de colora¸cão em grafos, essa escolha se reflete nas restri¸cões de colora¸cão uma vez que, em uma modelagem básica, para cada par de vértices adjacentes (u, v), uma desigualdade do tipo xuk + xvk ≤ 1 impede que ambos os vértices recebam a mesma cor k, sendo que k varia entre 1 e K, um limitante superior do n´umero de cores necessárias. Este tipo de modelo para problemas de colora¸cão tem duas grandes desvantagens:

1. O n´umero de restri¸c˜oes pode ser muito grande, uma vez que depende de K, onde

K ∈ O(|G|);

2. Este modelo apresenta fortes problemas de simetria. Por exemplo, dada uma solu¸cão do problema linear que utiliza cores (nesta ordem) 1, 2 e 3, e k = 5, podemos cons- truir uma solu¸cão de mesmo custo simplesmente renomeando estas cores para 3, 1 e 2, ou 1, 5 e 2. Esta caracter´ıstica, em geral, leva o resolvedor a encontrar solu¸cões teoricamente iguais, que diferem apenas na atribui¸cão de cores aos guardas, e impedem que o resolvedor conclua a otimalidade de uma solu¸cão com maior rapidez. Além disso, a simetria ´e agravada quanto maior for o valor de K.

Apesar das dificuldades acima, o cagp consegue amenizar drasticamente a desvantagem 1 devido à própria natureza do problema que, em geral, requer pouqu´ıssimas cores e, é claro, à nossa Heur´ıstica 1, que obtém solu¸cões viáveis (limitantes primais) de alta qualidade. Já com rela¸cão a desvantagem 2, além de poder ser amenizada pela obten¸cão de valores menores de K, ainda existem diversas formas de reduzir a simetria atrav´es de restri¸cões que limitam as escolhas de cores.

4.3. Modelo Natural 19

A seguir apresentamos o modelo natural para o cagp:

z = min X κ∈K cκ s. a (4.4) X g∈G|w∈V(g) X κ∈K xgκ≥ 1 ∀ w ∈ W (4.5) xuκ+ xvκ− cκ ≤ 0 ∀ (u, v) ∈ EG, κ ∈ {1, . . . , K} (4.6) X κ∈K xgκ≤ 1 ∀ g ∈ G (4.7) cκ− cκ+1≥ 0 ∀ κ ∈ {1, . . . , K − 1} (4.8) X g∈G xgκ− X g∈G xgκ+1 ≥ 0 ∀ κ ∈ {1, . . . , K − 1} (4.9) cκ ∈ B ∀ κ ∈ {1, . . . , K} (4.10) xgκ∈ B ∀ g ∈ G, κ ∈ {1, . . . , K} (4.11) No modelo acima, as variáveis bin´arias cκrepresentam as poss´ıveis cores que os guardas podem receber, enquanto as variáveis bin´arias xgκindicam se o guarda g com a cor κ ser´a usado. A fun¸cão objetivo (4.4) minimiza o número de cores utilizadas. As restri¸cões (4.5) garantem que todas as testemunhas serão cobertas, e, consequentemente, todo o pol´ıgono. As restri¸cões (4.6) por sua vez asseguram que dois guardas adjacentes no grafo de conflitos não recebam a mesma cor, ao mesmo tempo garantindo que se um deles for usado, a respectiva cor também será. As restri¸cões (4.7) impedem que um mesmo guarda possa ser colorido com mais de uma cor. É fácil ver que se estas restri¸cões forem removidas do modelo o valor ótimo não se altera. Contudo, na prática, observou-se que a sua manuten¸cão diminui consideravelmente o tempo de computa¸cão. As restri¸cões (4.8) e (4.9) tentam reduzir a simetria intr´ınseca do problema. Enquanto (4.8) for¸ca que a cor κ + 1 só possa ser usada se a cor κ tamb´em o foi, as restri¸cões em (4.9) for¸cam que o conjunto de guardas de cor κ tenha cardinalidade maior ou igual ao conjunto de cor

κ + 1.

4.3.1 Fortalecendo o modelo

Enquanto o modelo acima pode ser usado sem nenhuma altera¸cão, ele pode ser fortale- cido, o que significa aproximá-lo mais da envoltória convexa dos pontos que representam solu¸cões desse problema. Nesta se¸cão, descrevemos uma forma de fortalecer o modelo (4.4)–(4.11).

A Figura 4.1 representa um subgrafo induzido de um grafo GC qualquer. De acordo com o modelo da se¸c˜ao anterior, as restri¸c˜oes do tipo (4.6), para uma dada cor κ, referentes

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a este subgrafo corresponderiam a:

x1κ+ x2κ− cκ ≤ 0, x1κ+ x3κ− cκ ≤ 0, x2κ+ x3κ− cκ ≤ 0. g1 g2 g3

Figura 4.1: Subgrafo induzido de GC.

Estas trˆes restri¸c˜oes impedem que algum par de v´ertices em {g1, g2, g3} receba a mesma

cor κ. N˜ao é dif´ıcil enxergar que, sendo as variáveis binárias, o mesmo efeito poderia ser obtido através da restri¸cão abaixo:

x1κ+ x2κ+ x3κ− cκ ≤ 0. ´

E fácil perceber que esta única restri¸cão é mais forte do que a união das três restri¸cões anteriores (coeficientes menores). Obviamente esta ideia pode ser estendida para outras cliques, i.e, subgrafos induzidos completos. Assim, podemos substituir as restri¸cões do tipo (4.6) por um conjunto de restri¸cões do tipo clique, como aquela vista acima. Para tanto, devemos encontrar cliques que cubram todas as arestas de GC, isto é, todos os poss´ıveis conflitos entre guardas, formando o que se costuma chamar de cobertura de

arestas por cliques, ou em inglês, clique edge cover. Seja então H uma cobertura de arestas por cliques. Podemos agora substituir as restri¸cões (4.6) pelas restri¸cões (4.12):

g∈η

xgκ ≤ cκ ∀ η ∈ H, κ ∈ {1, . . . , K} (4.12) Apesar de n˜ao podermos considerar formalmente como um fortalecimento, em vez de fazer uso de apenas uma cobertura por cliques, podemos fazer uso de K coberturas diferentes, uma para cada poss´ıvel cor do modelo. Intuitivamente, podemos pensar nessa modifica¸c˜ao como uma forma adicional de diminuir a simetria do modelo. Para esta tarefa empregamos o Algoritmo 2 que tenta construir coberturas diferentes. Neste algoritmo

N (v) e δ(v) representam, respectivamente, a vizinhan¸ca e o grau do v´ertice v.

O algoritmo come¸ca por construir um emparelhamento de tamanho K selecionando

K arestas com soma dos graus dos vizinhos dos seus extremos m´ınima (Linha 3). Estas

4.3. Modelo Natural 21

No documento Soluções exatas para o Problema Cromático da Galeria de Arte (páginas 46-51)