Soluções exatas para o Problema Cromático da Galeria de Arte

(1)

Mauricio Jose de Oliveira Zambon

“Solu¸

c˜

oes Exatas para o Problema Crom´

atico da

Galeria de Arte.”

CAMPINAS

2014

(2)

(3)

(4)

Ficha catalográfica

Universidade Estadual de Campinas

Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Ana Regina Machado - CRB 8/5467

Zambon, Mauricio Jose de Oliveira,

Z14s ZamSoluções exatas para o Problema Cromático da Galeria de Arte / Mauricio Jose de Oliveira Zambon. – Campinas, SP : [s.n.], 2014.

ZamOrientador: Pedro Jussieu de Rezende. ZamCoorientador: Cid Carvalho de Souza.

ZamDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Computação.

Zam1. Geometria computacional. 2. Programação inteira. 3. Coloração de grafos. I. Rezende, Pedro Jussieu de,1955-. II. Souza, Cid Carvalho de,1963-. III.

Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Computação. IV. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Exact solutions for the Chromatic Art Gallery Problem Palavras-chave em inglês:

Computational geometry Integer programming Graph coloring

Área de concentração: Ciência da Computação Titulação: Mestre em Ciência da Computação Banca examinadora:

Pedro Jussieu de Rezende [Orientador] Fábio Luiz Usberti

Cristina Gomes Fernandes Data de defesa: 27-11-2014

Programa de Pós-Graduação: Ciência da Computação

Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)

(5)

(6)

(7)

Instituto de Computa¸c˜ao Universidade Estadual de Campinas

Solu¸

c˜

oes Exatas para o Problema Crom´

atico da

Galeria de Arte.

Mauricio Jose de Oliveira Zambon

1

27 de novembro de 2014

Banca Examinadora:

• Prof. Dr. Pedro Jussieu de Rezende (Supervisor/Orientador ) • Prof. Dr. Cid Carvalho de Souza (Supervisor/Orientador ) • Prof. Dr. F´abio Luiz Usberti

Instituto de Computa¸c˜ao - UNICAMP • Profa. Dra. Cristina Gomes Fernandes

Instituto de Matem´atica e Estat´ıstica - USP • Prof. Dr. Diego de Freitas Aranha

Instituto de Computa¸c˜ao - UNICAMP (Substitute/Suplente) • Prof. Dr. Daniel Morgato Martin

Centro de Matem´atica, Computa¸c˜ao e Cogni¸c˜ao - UFABC (Substitute/Suplente)

1_{Financial support:} _Coordena¸_c˜_{ao de Aperfei¸}

coamento de Pessoal de N´ıvel Superior (Capes) #P-26329-2012, Funda¸c˜ao de Amparo `a Pesquisa do Estado de S˜_{ao Paulo (Fapesp)} #2012/24993-6/#2013/25104-3 (Bepe)

(8)

(9)

c

(10)

(11)

Abstract

In this dissertation, we present the first algorithmic approach and the first experimental results in the literature for solving the Discrete Chromatic Art Gallery Problem (dcagp). This problem is geometric in nature and consists of a variation of the classic Art Gallery Problem. In the latter, we want to find a minimum cardinality guard set that is able to watch over a given gallery. On the other hand, in the dcagp, the objective is to find a set of watchers that covers the gallery and admits a valid coloring with a minimum number of colors. A coloring is valid if two watchers that observe a same point are assigned different colors.

To solve this problem we apply two approaches: an exact and a heuristic one. Firstly, we present a primal heuristic able to provide good quality upper bounds, and subsequently an integer programming model that yields exact solutions for the dcagp. This method was able to solve all instances from an extensive set of galleries, represented by randomly generated simple polygons, of up to 2500 vertices, in less than one minute. On another set of instances, where the representation includes polygons with holes and fractal von Koch polygons, with up to 800 vertices, this method found proven optimal solutions for 80% of the instances in less than 30 minutes. In the context of these solutions, we discuss the use of lazy constraints and techniques for strengthening the model, besides a brief analysis of the hardness of the instances. Moreover, we report on results obtained through a Lagrangian relaxation, mainly as a means to obtain good upper bounds, as well as from a variation of the relax-and-fix technique. Lastly, we discuss a branch-and-price process for solving the dcagp to exactness.

(12)

(13)

Resumo

Nesta disserta¸cão, apresentamos a primeira abordagem algor´ıtmica e os primeiros resul-tados experimentais da literatura para tratamento do Problema Cromático Discreto da Galeria de Arte (dcagp). Trata-se de um problema de natureza geométrica que consiste de uma variante do clássico Problema da Galeria de Arte. Neste, deseja-se encontrar um conjunto de guardas com cardinalidade m´ınima que consiga vigiar toda uma dada galeria. J´_{a no dcagp temos por objetivo obter um conjunto de observadores que cubra a galeria e} que admita uma colora¸cão válida com o menor número de cores. Uma colora¸cão é válida se dois observadores que veem um mesmo ponto recebem cores distintas.

Abordamos a resolu¸cão deste problema através de duas abordagens: uma exata e uma heur´ıstica. Inicialmente, apresentamos uma heur´ıstica primal que fornece limitantes superiores de boa qualidade e, em seguida, um modelo de programa¸cão linear inteira para resolu¸c˜_{ao exata do dcagp. Este método foi capaz de resolver todas as instâncias de um} extenso conjunto de galerias, representadas por pol´ıgonos simples aleatoriamente gerados, de até 2500 vértices, em menos de um minuto. Já num outro conjunto de instâncias onde a representa¸cão inclui pol´ıgonos com buracos e pol´ıgonos fractais de von Koch com até 800 vértices, o método encontrou solu¸cões comprovadamente ótimas para 80% das instâncias em menos de 30 minutos. No contexto dessas solu¸c˜oes, discutimos o uso de lazy constraints e de técnicas de fortalecimento do modelo, assim como uma breve análise da dificuldade das instâncias. Reportamos ainda resultados da utiliza¸cão de relaxa¸cão Lagrangiana, para obten¸cão de bons limitantes, principalmente superiores, e também resultados obtidos por meio de uma varia¸cão da t´ecnica relax-and-fix. Finalmente, discutimos um processo de

branch-and-price para resolu¸c˜_{ao exata do dcagp.}

(14)

(15)

Aos meus pais.

(16)

(17)

Acknowledgements

Firstly, I would like to express my sincerest gratitude to my advisors, Prof. Rezende and Prof. Cid. I would like to thank them for their amazing job, for their advices, both professional and personal, for sharing their experiences, for trusting me and my work, for this incredible time of personal and professional growth, and for the occasional snacks, of course.

Secondly, I would like to thank my friends Alex and Bruno, for the always funny and insightful discussions. My special thanks to Bruno, for putting up with me back in Germany. It was, definitely, a much more enjoyable time because you were there. And my special thanks to Alex, always there, and always ready to help.

I would also like to thank Prof. Dr. S´andor Fekete, Dr. Michael Hemmer and Stephan Friedrichs, from Technische Universit¨at Braunschweig, for the fruitful discussions, and for helping make those months in Germany so pleasant.

I would also like to thank Prof. Dr. Cristina Gomes Fernandes and Prof. Dr. F´abio Luiz Usberti for their thorough revision of this dissertation.

Lastly, I gratefully acknowledge the Coordena¸cão de Aperfei¸coamento de Pessoal de N´ıvel Superior (Capes) and Funda¸cão de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (Fapesp) for funding my research, which made this work possible.

(18)

(19)

“They did not know it was impossible, so they did it!”

Mark Twain

(20)

(21)

Sum´

ario

Abstract xi Resumo xiii Dedication xv Acknowledgements xvii Epigraph xix 1 Introdu¸c˜ao 1

2 Terminologia e Formaliza¸c˜ao do Problema 5

3 Revis˜ao Bibliogr´afica 11

4 Metodologia 15 4.1 Pré-processamento . . . 15 4.2 Solu¸cão Inicial . . . 16 4.3 Modelo Natural . . . 17 4.3.1 Fortalecendo o modelo . . . 19 4.3.2 Lazy Constraints . . . . 23 4.4 Relaxa¸cão Lagrangiana . . . 24 4.4.1 Visão Geral . . . 24 4.4.2 Aplica¸c˜_{ao no cagp . . . 25} 4.5 Relax-and-fix . . . 27 4.5.1 Custom Relax-and-fix . . . . 28 4.6 Branch-and-price . . . . 28 5 Resultados Computacionais 33 5.1 Instâncias . . . 33 xxi

(22)

(23)

5.2 Pré-processamento . . . 35 5.3 Modelo Natural . . . 40 5.3.1 Pol´ıgonos Sem Buracos . . . 40 5.3.2 Pol´ıgonos Aleatórios com Buracos e de von Koch . . . 43 5.3.3 Oscila¸cões na resolu¸c˜_{ao do cplex . . . 48} 5.3.4 Gap de Instˆancias não Resolvidas . . . 50 5.3.5 Restri¸cões de Vizinhan¸ca . . . 50 5.3.6 Outras Considera¸cões . . . 51 5.4 Relaxa¸cão Lagrangiana . . . 54 5.5 Relax-and-fix . . . 56 5.6 Branch-and-price . . . . 57

6 Trabalhos Futuros 59

6.1 Processamento do arranjo e constru¸c˜ao do grafo de conflitos . . . 59 6.2 Altera¸c˜oes na ramifica¸c˜ao do algoritmo de branch-and-price . . . . 66

7 Conclus˜ao 67

Referˆencias Bibliogr´aficas 69

A Interface Gr´afica 71

(24)

(25)

Lista de Tabelas

5.1 Instˆancias resolvidas para pol´ıgonos simples e ortogonais (sem buracos). . . 41 5.2 Instˆancias resolvidas para pol´ıgonos simples com buraco (SS), ortogonais

com buraco (OO) e de von Koch (VK). . . 44 5.3 Tempo gasto pelo resolvedor para as instˆancias SS, OO e VK. . . 45 5.4 Porcentagens do n´umero de testemunhas w utilizadas para concluir a

oti-miza¸c˜ao utilizando lazy constraints. . . . 47 5.5 Comparativo entre os tempos de execu¸c˜ao para o modelo sem e com

res-tri¸c˜oes de vizinhan¸ca. . . 51 5.6 Estat´ısticas obtidas com o uso da Relaxa¸c˜ao Lagrangiana. . . 55 5.7 Porcentagem %sde instˆancias e o tempo ts, em segundos, gasto para

encon-trar uma solu¸c˜ao vi´_{avel para o dcagp utilizando o m´etodo de relax-and-fix} com os valores de ∆t= {0.75, 0.85, 0.99}. . . . 57

5.8 Porcentagem de instˆancias resolvidas e os respectivos tempos m´edios utili-zando branch-and-price. . . . 58

(26)

(27)

Lista de Figuras

1.1 O conjunto de marca¸c˜oes G = {g1, g2, g3, g4, g5, g6} não garante a cobertura do ambiente e, na configura¸cão acima, o robô não vê nenhuma marca¸cão em G. . . . 3 1.2 Marca¸cões de mesma cor induzem instru¸cões amb´ıguas. . . 3 2.1 Visibilidade entre pontos. . . 6 2.2 Pol´ıgono de visibilidade de p. . . . 7 2.3 Pol´ıgono P , com conjuntos de candidatos a guarda G = {g1, . . . , g7}. . . 8 2.4 Arranjo ζ obtido com G = {g1, . . . , g10}. . . 9 2.5 _{Atomic Visibility Polygons. avps de sombra em cinza e de luz em amarelo.} 9 2.6 Grafo GT correspondente à instância da Figura 2.4. . . 10

2.7 Fam´ılia de pol´ıgonos com χ(P ) = 2, para a qual o n´umero minimo de guardas, k, n˜ao ´e 2-color´ıvel. . . 10 4.1 Subgrafo induzido de GC. . . 20

4.2 Intui¸cão sobre as restri¸cões (4.13). . . 23 5.1 Exemplos, com 100 vértices, do primeiro conjunto de instâncias. . . 34 5.2 Exemplos, com 100 vértices, do segundo conjunto de instâncias. . . 35 5.3 Tempos relativos às etapas de pré-processamento para instâncias simples

sem buracos. . . 36 5.4 Tempos relativos às etapas de pré-processamento para instâncias ortogonais

sem buracos. . . 37 5.5 Tempos totais médios da fase de pré-processamento para as instâncias sem

buracos. . . 38 5.6 Tempos relativos às etapas de pré-processamento para instâncias SS. . . 38 5.7 Tempos relativos às etapas de pré-processamento para instâncias OO. . . 38 5.8 Tempos relativos às etapas de pré-processamento para instâncias VK. . . 39 5.9 Tempos totais médios da fase de pré-processamento para as instâncias SS,

OO e VK. . . 39 xxvii

(28)

(29)

5.10 Porcentagens do tempo total gasto pelo pré-processamento e pelo resolve-dor para pol´ıgonos aleatórios simples sem buracos. . . 41 5.11 Porcentagens do tempo total gasto pelo pré-processamento e pelo

resolve-dor para pol´ıgonos aleat´orios ortogonais sem buracos. . . 42 5.12 Instˆancias resolvidas para pol´ıgonos simples com buraco (SS), ortogonais

com buraco (OO) e de von Koch (VK). . . 43 5.13 Porcentagens do tempo total gasto gastos pelo pr´e-processamento e pelo

resolvedor para pol´ıgonos SS. . . 46 5.14 Porcentagens do tempo total gasto pelo pr´e-processamento e pelo

resolve-dor para pol´ıgonos OO. . . 46 5.15 Porcentagens do tempo total gasto pelo pr´e-processamento e pelo

resolve-dor para pol´ıgonos VK. . . 47 5.16 Número de instâncias resolvidas em cada execu¸cão. . . 49 5.17 Número acumulado de instâncias resolvidas por intervalo de tempo para

múltiplas execu¸cões. . . 49 5.18 Gap m´ınimo para instˆancias não resolvidas e o tempo requerido para

ating´ı-los. . . 50 5.19 Propor¸c˜ao |W |/|G| (n´_{umero de testemunhas (avps de sombra) pela}

quan-tidade de candidatos a guarda) e a sua relevˆancia para se determinar a dificuldade de uma instˆancia. . . 52 5.20 Propor¸c˜ao |L|/|G| (n´_{umero de avps de luz pela quantidade de candidatos a}

guarda) e a sua relevância para se determinar a dificuldade de uma instância. 53 5.21 Número médio de não zeros na matriz de restri¸cões. Escala logar´ıtmica. . . 54 5.22 Porcentagem de instâncias para as quais a Relaxa¸cão Lagrangiana

encon-trou um limitante superior melhor ou igual ao melhor limitante superior encontrado pelo modelo natural. . . 56 6.1 Recorte de um arranjo. . . 61 6.2 Exemplo de execu¸c˜ao do algoritmo de varredura do arranjo, para

identi-fica¸cão de faces de sombra. . . 64 6.3 Instâncias com faces do arranjo não convexas. . . 65 A.1 Exemplo de um pol´ıgono aberto pela interface . . . 72 A.2 AVPs de luz em amarelo e AVPs de sombra em verde . . . 72 A.3 Solu¸cão ótima com 3 cores . . . 73 A.4 Grafo GT. Testemunhas em verde e guardas em cinza . . . 73

A.5 Detalhe do gráfico com informa¸cões da Relaxa¸cão Lagrangiana . . . 74 A.6 Detalhe do gráfico de tempos das execu¸cões de algoritmos . . . 74 A.7 Parâmetros configuráveis via interface . . . 75

(30)

(31)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸

c˜

ao

Robôs cada vez mais parecem fazer parte do nosso futuro. Obviamente são muitas as poss´ıveis aplica¸cões de tais entidades, principalmente no que se refere a atividades peri-gosas para seres humanos. Considere então uma aplica¸cão em que um robˆo simples, i.e., sem uma inteligência artificial complexa, está posicionado em um ambiente mapeado, e deseja-se guiar o mesmo utilizando para tanto marca¸cões no ambiente. Considere que tais marca¸cões são distingu´ıveis por alguma caracter´ıstica percept´ıvel pelo robô, como cor ou frequência de transmissão. Por simplicidade, iremos considerar que as marca¸cões são di-ferenciáveis por suas cores. Com o uso destas marca¸cões é poss´ıvel fornecer comandos ao robô como “se mova na dire¸cão da marca¸cão vermelha” ou “realize um movimento circular ao redor da posi¸cão da marca¸cão azul”. Para que este sistema funcione é preciso posicionar tais marca¸cões de forma que, independentemente de onde o robô esteja neste ambiente, ele sempre veja ou receba um sinal de ao menos uma marca¸cão (Figura 1.1) e que todas as marca¸cões sejam distingu´ıveis de forma a evitar instru¸cões amb´ıguas (Figura 1.2). Ob-viamente, um posicionamento que necessite de um menor número de diferentes marca¸cões (cores) é prefer´ıvel a um outro que necessite um sistema de identifica¸cão mais complexo, por razão de eficiência e simplicidade do sistema de reconhecimento de cores e consequen-temente da redu¸cão do custo do robô.

Uma analogia com o conhecido Problema da Galeria de Arte (agp) é inevitável. No agp, dado um ambiente como o descrito acima, estamos interessados em encontrar um conjunto m´ınimo de guardas/câmeras, tal que todo ponto neste ambiente seja visto por ao menos um guarda neste conjunto. Dizemos ent˜ao que tal conjunto cobre este ambiente, ou ainda que estes guardas formam uma cobertura deste ambiente. J´a na versão descrita acima, não estamos interessados em minimizar a cardinalidade do conjunto de guardas, ou seja, de marca¸cões, mas sim o número de cores requeridos para colorir uma cobertura deste ambiente. A esta varia¸cão se deu o nome de Problema Cromático da Galeria de Arte, em inglˆ_{es, Chromatic Art Gallery Problem (cagp). Nesta disserta¸cão, utilizaremos}

(32)

2 Cap´ıtulo 1. Introdu¸c˜ao

os termos marca¸c˜_{oes e guardas indistintamente. Discutimos aqui uma variante do cagp} em que um conjunto de potenciais localiza¸cões para os guardas também é fornecido na entrada, o qual chamaremos de candidatos a guarda, e que deve garantir a cobertura do ambiente. Nosso trabalho, portanto, é refinar este conjunto de candidatos e escolher um subconjunto destes guardas que possam ser coloridos com um número m´ınimo de cores, entre todas as coberturas compostas por guardas deste conjunto de candidatos. A esta variante damos o nome de Problema Cromático Discreto da Galeria de Arte, em inglês

Discrete Chromatic Art Gallery Problem (dcagp).

Sendo um problema relativamente novo, proposto em 2010 [9], poucos são os trabalhos publicados acerca do cagp. Enquanto alguns resultados teóricos já existem, a menos de nossa publica¸cão [20], não há outros resultados práticos na literatura. Ao longo desta disserta¸cão discutiremos técnicas e seus resultados na solu¸c˜_{ao do dcagp que foram objeto} de estudo do presente projeto de Mestrado.

Este trabalho é organizado da seguinte forma. O Cap´ıtulo 2 apresenta a terminologia espec´ıfica que será usada nas se¸cões posteriores. No Cap´ıtulo 3 descrevemos os principais trabalhos que influenciaram este projeto, refor¸cando que este é o primeiro trabalho com resultados pr´_{aticos acerca do dcagp. Nas se¸cões do Cap´ıtulo 4 apresentamos os métodos} utilizados para atingir os resultados apresentados no Cap´ıtulo 5. Esse cap´ıtulo detalha o pré-processamento necessário para a discretiza¸cão do problema e uma heur´ıstica primal que é utilizada em diversas ocasiões nos métodos que se seguem. Em seguida, discutimos um modelo de programa¸c˜_{ao inteira para o dcagp, seguido de um algoritmo de relaxa¸cão} lagrangiana e uma versão customizada da t´ecnica de relax-and-fix. Nesse mesmo cap´ıtulo, também delineamos um algoritmo de gera¸cão de colunas associado a um processo de

branch-and-price. Por fim, apresentamos ideias para trabalhos futuros no Cap´ıtulo 6, o

que inclui o detalhamento de um algoritmo para aperfei¸coamento do pr´e-processamento, e conclu´ımos com o Cap´ıtulo 7, onde fazemos algumas considera¸c˜oes finais.

(33)

3 g1 g2 g3 g4 g5 g6

!

Figura 1.1: O conjunto de marca¸c˜oes G = {g1, g2, g3, g4, g5, g6} não garante a cobertura do ambiente e, na configura¸cão acima, o robô não vê nenhuma marca¸c˜ao em G.

g1 g2

g3

g4

g5 g6

?

(34)

(35)

Cap´ıtulo 2

Terminologia e Formaliza¸

c˜

ao do

Problema

Neste cap´ıtulo, apresentamos a terminologia utilizada ao longo desta disserta¸cão. Também recomendamos a leitura de [15] para conhecimentos básicos de Geometria Computacional, e dos cap´ıtulos iniciais de [18] para uma introdu¸cão a Programa¸cão Linear e a Programa¸cão Linear Inteira.

Considerando nossa motiva¸cão inicial, se faz necessário detalhar o ambiente que será percorrido pelo robˆ_{o. No contexto do cagp, podemos pensar numa representa¸cão dada} pela planta baixa do ambiente que também chamaremos de galeria, e simbolizá-la por um pol´ıgono simples, i.e., um pol´ıgono sem arestas intersectantes. Em situa¸c˜oes mais complexas, em que queremos representar áreas internas ao per´ımetro desta galeria, mas que pertencem ao exterior da constru¸cão, como por exemplo o fosso de um elevador, podemos fazer uso de buracos no interior desse pol´ıgono. Nessa representa¸cão, iremos considerar que um pol´ıgono simples P tem o seu bordo ∂P descrito pela sequˆencia anti-horária de seus vértices, ou seja, o lado esquerdo da cadeia poligonal corresponderá ao interior do pol´ıgono. Para pol´ıgonos com buracos, adicionalmente aos vértices da cadeia externa, esta descri¸cão conterá uma lista de v´ertices para cada buraco em P .

Neste pol´ıgono (ou galeria) dizemos que dois pontos p e q se veem se o segmento pq n˜ao intercepta o exterior de P (Figura 2.1). Estendendo este conceito, definimos o pol´ıgono de visibilidade de um ponto p, V(p), como o conjunto dos pontos de P vis´ıveis a partir de p, ou seja V(p) = {q ∈ P : pq ⊂ P } (Figura 2.2). Seja Γ um conjunto finito de pontos em P cuja uni˜ao dos respectivos pol´ıgonos de visibilidade seja igual a P , ou seja, [

γ∈Γ

V(γ) = P . Neste caso, dizemos que Γ cobre P . Considerando agora apenas pontos em Γ, dizemos que dois pontos (γ1, γ2) ∈ Γ s˜ao ditos conflitantes se V(γ1) ∩ V(γ2) 6= ∅, ou seja, se ambos os pol´ıgonos de visibilidade compartilham ao menos um ponto. Chamaremos os pontos

(36)

6 Cap´ıtulo 2. Terminologia e Formaliza¸c˜ao do Problema

de Γ de guardas. Denotaremos por C(Γ) o n´umero m´ınimo de cores suficiente para colorir os guardas, em Γ de modo que nenhum par de guardas conflitantes recebam a mesma cor. Na defini¸c˜ao abaixo, G representa um conjunto de candidatos a guarda (veja Figura 2.3), do qual queremos escolher um subconjunto Γ que minimiza o n´umero de cores utilizadas. Com isto, o Problema Crom´_{atico Discreto da Galeria de Arte, dcagp, pode ser descrito} por:

Dados um pol´ıgono simples P , possivelmente com buracos, e um conjunto G ⊂ P finito de pontos, determine:

χG(P ) = min Γ⊆G{C(Γ) : Γ cobre P }. p q (a) pq ⊂ P p q (b) pq 6⊂ P

Figura 2.1: Visibilidade entre pontos.

Considere um arranjo ζ composto pelas arestas de P juntamente com as arestas dos pol´ıgonos de visibilidade de G (Figura 2.4). Este arranjo divide o interior de P em regi˜_{oes fechadas, que chamaremos de faces internas ou avps, Atomic Visibility Polygons} (Figura 2.5). É f´acil observar que qualquer guarda g ∈ G capaz de enxergar um ponto no interior de um avp f também enxerga toda essa face uma vez que, se isto não fosse v´alido, para algum par de face f e guarda g, haveria uma aresta de V(g) dividindo f , o que contradiz o fato de f ser uma face. Considere agora uma face f deste arranjo, e S(f ) o conjunto de guardas de G que cobrem f . Podemos definir uma ordem parcial dos avps neste arranjo de forma que para duas faces f1e f2, f1 ≺ f2sse S(f1) ⊂ S(f2). Desta ordem parcial, estamos interessados nos elementos minimais, ou seja, nas faces cujo conjunto de

(37)

7

p

Figura 2.2: Pol´ıgono de visibilidade de p.

guardas que as cobrem ´_{e um m´ınimo local. Chamaremos tais faces de avps de Sombra.} Podemos observar que cobrindo este m´ınimos locais garantimos a cobertura do restante das faces, uma vez que qualquer guarda que cobre tal face, cobrirá também as faces mais altas na ordem parcial. Como explicado acima, a cobertura de um ponto interior a um avp resulta na cobertura da face toda (veja [7] para uma prova formal). Sendo assim, podemos extrair um ponto interior a cada avp de sombra, de forma a representá-la, já que uma cobertura destes pontos implica na cobertura dos respectivos avps e, portanto, na cobertura de P . Chamaremos estes pontos internos de testemunhas, e denotaremos por W o conjunto de todas elas. As faces representadas por m´aximos locais na ordem parcial ≺ s˜_{ao chamadas de avps de Luz. Na Figura 2.5, os avps em cinza são faces de} sombra (das quais s˜_{ao extra´ıdas as testemunhas), enquanto os avps em amarelo são faces} de luz.

O dcagp tamb´em pode ser visto como um problema em grafos. Seja GC = (G, EG) um

grafo cujos v´ertices correspondem aos candidatos a guarda de G, sendo que (g1, g2) ∈ EG

sse V(g1) ∩ V(g2) 6= ∅. Chamaremos GC de Grafo de Conflito (tamb´em conhecido como

2-link-visibility graph, veja [9]), pois representa a rela¸c˜ao entre guardas que n˜ao podem receber a mesma cor. Seja agora GW = (G ∪ W, EW) o grafo bipartido cujo conjunto

de v´ertices ´e a uni˜ao dos candidatos a guarda em G e das testemunhas em W , tal que (g, w) ∈ EW sse w ∈ V(g). Assim, o dcagp pode ser definido sobre o grafo GT = GC∪GW

(Figura 2.6), como o problema de determina¸c˜ao de uma dominˆancia D ⊆ G dos v´ertices em W que requer o menor n´umero de cores entre todas as dominˆancias de W em G.

A fim de caracterizar uma importante dissimilaridade entre o agp e o cagp, a Fi-gura 2.7 retrata uma classe de pol´ıgonos caracterizados pela presen¸ca de “bicos”. ´E f´acil

(38)

8 Cap´ıtulo 2. Terminologia e Formaliza¸c˜ao do Problema g1 g2 g3 g4 g5 g6 g7

Figura 2.3: Pol´ıgono P , com conjuntos de candidatos a guarda G = {g1, . . . , g7}.

observar a necessidade de um guarda diferente para cobrir cada bico deste pol´ıgono, e se tais guardas cobrirem também os corredores correspondentes, fica claro que o número m´ınimo de guardas para cobrir um pol´ıgono de k bicos é k, ou seja, a solu¸c˜ao ótima Γ1 do agp para tal pol´ıgono tem tamanho k. Se tentarmos colorir os guardas desta solu¸cão ´

otima do agp precisaremos de k cores, uma vez que todos os guardas conflitam na parte inferior do pol´ıgono. Mas, se deslocarmos os guardas que cobrem cada bico e corredor para cobrirem somente os bicos, eliminamos os conflitos na parte central, e necessitaremos de apenas um guarda adicional para cobrir o restante do pol´ıgono. Ou seja, para um pol´ıgono com k bicos, serão suficientes k + 1 guardas e apenas duas cores. Para um pol´ıgono desta fam´ılia com n v´ertices temos que o número de bicos correspondente ´e n/4 e, portanto, para este mesmo pol´ıgono o número de cores necessárias para colorir uma solu¸cão ótima do agp é n/4. Sabendo que uma solu¸cão ótima Γ2 para o cagp para qualquer pol´ıgono desta fam´ılia sempre requer exatamente duas cores, temos que a rela¸cão entre o número de cores de uma solu¸cão ´_{otima do agp e do cagp pode ser tão alta quanto n/8.}

(39)

9 g1 g2 g3 g4 g5 g6 g7 g8 g9 g10

Figura 2.4: Arranjo ζ obtido com G = {g1, . . . , g10}.

g1 g2 g3 g4 g5 g6 g7 g8 g9 g10 w1 w2 w3 w4

(40)

10 Cap´ıtulo 2. Terminologia e Formaliza¸c˜ao do Problema g1 g2 g3 g4 g5 g6 g7 g8 g9 g10 w1 w2 w3 w4

Figura 2.6: Grafo GT correspondente `a instˆancia da Figura 2.4.

1 2 . . . k − 1 k Pol´ıgono P , G = ∂P 1 2 . . . k − 1 k |Γ1| = k, C(Γ1) = k 1 2 . . . k − 1 k |Γ2| = k + 1, C(Γ2) = 2 Figura 2.7: Fam´ılia de pol´ıgonos com χ(P ) = 2, para a qual o n´umero minimo de guardas,

(41)

Cap´ıtulo 3

Revis˜

ao Bibliogr´

afica

Neste cap´ıtulo, citamos os trabalhos relevantes para a elabora¸cão e conclusão deste pro-jeto. _{Como dito anteriormente, como o cagp é um problema relativamente novo, a} literatura é bastante escassa, sendo este o primeiro trabalho que fornece um tratamento algor´ıtmico para este problema. Inclu´ımos também algumas referências de interesse acerca do agp.

Bose et al. [3] apresenta uma forma de se decompor um pol´ıgono com o objetivo de responder rapidamente a diversos tipos de buscas. Esta decomposi¸cão se baseia no ar-ranjo formado pelas arestas dos pol´ıgonos de visibilidade dos vértices do pol´ıgono, e as consequentes regiões convexas que se formam no interior do pol´ıgono, que os autores cha-mam de regiões de visibilidade. Assim, ap´os um pr´e-processamento de tempo O(n3_{log n)} e espa¸co O(n3_{), sendo n o n´}_{umero de v´}_{ertices do pol´ıgono, ´}_{e poss´ıvel recuperar o n´}_umero de v´ertices vis´ıveis a partir de um ponto p, no interior ou exterior do pol´ıgono, em O(log n) e recuperar o pol´ıgono de visibilidade de tamanho k ou o conjunto dos k v´ertices vis´ıveis a partir de p em O(log n+k). Os autores ainda provam que há O(n3) regiões de visibilidade, sendo que O(n2) são m´ınimos locais com respeito ao conjunto de vértices que as cobrem, regi˜_{oes estas chamadas pelo autor de sinks (denominadas de avps de sombra no Cap´ıtulo} 2).

Chwa et al. [5] definem um conceito de testemunhas similar ao usado neste traba-lho: um conjunto de pontos pertencentes ao pol´ıgono que uma vez cobertos garantem a cobertura de todo o pol´ıgono. No entanto, no trabalho citado, tais testemunhas são independentes de um conjunto inicial de candidatos a guarda e inerentes à geometria do pol´ıgono. Infelizmente, nem todo pol´ıgono admite um conjunto finito destas testemunhas. Os autores demonstram que se existir tal conjunto, um conjunto minimal destas teste-munhas não pode conter nenhum ponto no interior do pol´ıgono, e haverá no máximo um ponto por aresta. A partir desta observa¸c˜ao, os autores definem como sendo testemunhável

um pol´ıgono que possui um conjunto finito de testemunhas, e apresentam um algoritmo 11

(42)

12 Cap´ıtulo 3. Revis˜ao Bibliogr´afica

de complexidade O(n2_{log n) para reportar tal conjunto, ou concluir que n˜}_{ao existe um} tal conjunto. Trataremos aqui de pol´ıgonos testemunháveis e não testemunháveis.

Couto et al. [7], descrevem um método de solu¸c˜_{ao exata para o agp a partir de} candidatos a guarda. Nesta discretiza¸cão é escolhido um conjunto inicial de testemunhas (cuja cobertura não necessariamente garante a cobertura de todo o pol´ıgono), e resolve-se um problema de cobertura de conjuntos (as testemunhas). Se com os guardas escolhidos nesta solu¸cão não for poss´ıvel cobrir todo o pol´ıgono, novas testemunhas são acrescentadas nas áreas não cobertas e o algoritmo itera resolvendo um novo modelo de cobertura. Prova-se, então, que este processo converge em um número polinomial de itera¸cões. Para a escolha de testemunhas iniciais, os autores realizaram testes com diversas estratégias, escolhendo apenas v´_{ertices convexos, subconjuntos dos avps de sombra, entre outros.}

Em Tozoni [16], o autor descreve um m´etodo iterativo para resolu¸c˜_{ao exata do agp,}

i.e., da vers˜ao continua do problema, onde guardas podem ser posicionados em qualquer ponto do interior ou do bordo do pol´ıgono. Este método baseia-se na otimiza¸cão iterativa de dois problemas: um para encontrar limitantes inferiores e outro para limitantes supe-riores. O método itera até que os ambos os limitantes sejam iguais e o valor encontrado, portanto, seja ótimo.

O trabalho [9] ´_{e considerado o primeiro a formalizar o cagp. Nesse relatório técnico,} Erickson e LaValle, além de definir o problema, demonstram que para qualquer pol´ıgono espiral PS, χ(PS) ≤ 2, e que para qualquer pol´ıgono escada PT, χ(PT) ≤ 3. Em [11], os

mesmos autores estendem [9] e mostram como construir pol´ıgonos de diversas classes que requerem pelo menos k cores: para todo k1 ≥ 3 existe um pol´ıgono Pk1 com 4k1v´ertices tal

que χ(Pk1) ≥ k1, para todo k2 ≥ 3 existe um pol´ıgono estritamente monotˆonico Pk2 com

3k2

2 v´ertices tal que χ(Pk2) ≥ k2, e para todo k3 ≥ 3, ´ımpar, existe um pol´ıgono ortogonal

monotˆonico Pk3 com 4k

2

3 + 10k3 + 10 v´ertices tal que χ(Pk3) ≥ k3. Em [10], Erickson

e LaValle tentaram provar que grafos de conflito são todos cordais, mas posteriormente apresentaram evidência da falsidade deste fato através de uma errata. No mesmo trabalho, provam corretamente que, dado k e um conjunto G de candidatos a guarda, decidir se existe G0 ⊆ G tal que χ(G0

) ≤ k ∈ N é NP-completo e, portanto, dcagp também o é. Em [4] B¨_{artschi e Suri consideram uma variante do agp, o Problema Cromático da} Galeria de Arte Sem Conflitos, em inglˆes Conflict-Free Chromatic Art Gallery Problem. Nesta variante, a restri¸cão de colora¸cão é relaxada: não é mais necessário que todos os guardas vis´ıveis a partir de um ponto do pol´ıgono sejam diferenciáveis, basta que apenas um seja distingu´ıvel entre aqueles vis´ıveis. Para esta variante os autores provam que o limitante superior para o número de cores diminui consideravelmente daqueles fornecidos para o cagp: para pol´ıgonos simples de n vértices, o limitante diminui de Ω(n) para

O(log2n) cores, enquanto para pol´ıgono ortogonais o limitante diminui de Ω(√n) para O(log n) cores.

(43)

13

Recentemente, Fekete et al. [12] provaram que ´_{e NP-dif´ıcil determinar o número} crom´atico de um pol´ıgono simples P . Ou seja, considerando os infinitos pontos de P como poss´ıveis posi¸cões de guardas, é dif´ıcil encontrar qual o número m´ınimo de cores suficientes para colorir um conjunto de guardas que cobrem P . Nesse trabalho, os auto-res também mostram que ´_{e NP-completo decidir se é poss´ıvel colorir um pol´ıgono com} buracos com k cores, para k ≥ 2 fixo.

(44)

(45)

Cap´ıtulo 4

Metodologia

Neste cap´ıtulo, discutimos os processos algor´ıtmicos utilizados na resolu¸c˜_{ao do dcagp.} Come¸camos detalhando o pré-processamento, requerido pelos métodos seguintes, e res-ponsável por discretizar a instância de entrada. Na se¸cão seguinte, descrevemos uma heur´ıstica capaz de gerar bons limitantes superiores. Nas se¸cões posteriores, discutimos métodos baseados em programa¸cão linear para a resolu¸cão do problema come¸cando por um modelo de programa¸cão inteira, que obteve os melhores resultados entre todas as técnicas testadas, um algoritmo de relaxa¸cão lagrangiana, uma versão alternativa de um algoritmo de relax-and-fix, finalizando com uma versão simples de um algoritmo de branch-and-price para o dcagp.

4.1 Pr´

e-processamento

Para que os métodos descritos neste cap´ıtulo pudessem ser desenvolvidos e testados, se fez necessário um pré-processamento da entrada de forma a discretizá-la. Como podemos perceber pelo Cap´ıtulo 2, a visibilidade dos candidatos a guarda é essencial para a defini¸cão do problema. Assim, o pré-processamento se inicia com o cálculo dos pol´ıgonos de visibilidade para todo guarda g ∈ G. Para tanto, utilizamos a biblioteca <CGAL/Triangular expansion visibility 2 .h>, que integrará uma versão futura do cgal, fornecida pelo Dr. Michael Hemmer, da Technische Universität Braunschweig, du-rante o per´ıodo de estágio deste mestrando naquela universidade. Uma vez que possu´ımos todos os pol´ıgonos de visibilidade dos guardas em G, podemos iniciar a constru¸c˜ao do ar-ranjo. Este arranjo é modelado pela biblioteca <CGAL/Arrangement 2.h>, juntamente com a biblioteca <CGAL/Arr extended dcel.h> para a modelagem da Doubly Connected

Edge List, DCEL, e da biblioteca <CGAL/Arr observer.h> para a manipula¸c˜ao de even-tos. Durante a constru¸cão, as informa¸cões de luz/sombra são armazenadas nas arestas do próprio arranjo, tendo como base a orienta¸cão dos segmentos dos pol´ıgonos de visibilidade,

(46)

16 Cap´ıtulo 4. Metodologia

i.e., o lado correspondente ao interior do respectivo pol´ıgono de visibilidade ´e aquele de luz, ou de sombra, caso contrário . Ao terminar o procedimento, a fim de extrair apenas as faces que estamos interessados, i.e., as de luz e sombra, basta percorrer as arestas de uma dada face e verificar se todas são de luz ou sombra. Uma vez identificadas estas faces, computamos apenas um ponto interno de cada face com o propósito de representá-las. Nesta altura do pré-processamento, já temos os pol´ıgonos de visibilidade dos guardas em

G bem como um ponto para cada face de luz e sombra. Basta agora determinar quais

guardas enxergam quais faces.

O último passo do pré-processamento diz respeito à constru¸cão do grafo de conflitos. Contudo, a verifica¸cão de interseçc˜_{ao entre pol´ıgonos realizada pelo cgal não considera} o bordo do pol´ıgono, o que resulta em um grafo incompleto, uma vez que interseçcões que correspondem a apenas um vértice ou uma aresta não seriam computadas. Assim, por simplicidade, é feita uma compara¸cão aresta a aresta entre os pol´ıgonos de visibilidade a fim de se determinar a existência ou não de conflitos. Para aumentar a eficiência deste processo, primeiramente são verificados se os retângulos envolventes dos dois pol´ıgonos são disjuntos. Além disso, utilizamos as informa¸cões pré-computadas de visibilidade das faces de luz e sombra para verificar poss´ıveis faces em comum, e uma vez que utilizamos

bitsets para armazenar quais guardas veem quais faces, esta verifica¸c˜ao pode ser feita em tempo linear. Uma alternativa mais elegante, que une as constru¸cões do arranjo e do grafo de conflitos é descrita na Se¸cão 6.1. Infelizmente, não foi poss´ıvel testar a fundo tal op¸c˜_{ao devido a um bug [19] no cgal encontrado durante testes preliminares.}

4.2 Solu¸

c˜

ao Inicial

Nas próximas se¸cões deste cap´ıtulo, muitas vezes se fará necessário o conhecimento de uma solu¸cão primal durante a execu¸cão de outros algoritmos. Esta informa¸cão é útil não apenas como uma solu¸cão inicial para o resolvedor de programa¸cão inteira, mas também na constru¸cão do próprio modelo de Programa¸cão Linear Inteira (PLI), influenciando o número de variáveis e restri¸cões que o compõem. Com este objetivo, desenvolvemos a Heur´ıstica 1, discutido a seguir.

O algoritmo se baseia em escolhas gulosas para construir conjuntos independentes de guardas, ou seja, sem conflitos de visibilidade, onde cada conjunto deverá receber uma cor diferente. Portanto minimizar o número destes conjuntos implica em minimizar a quantidade de cores. O algoritmo come¸ca considerando todas as testemunhas como não cobertas (Linha 3). A partir da´ı, dá-se in´ıcio a um processo iterativo, através da atribui¸cão de pesos aos guardas, que denotam o número de testemunhas não cobertas vistas por eles (Linha 6). Com estes pesos, um programa linear inteiro, cujo objetivo é encontrar um conjunto independente de guardas com a maior soma de pesos poss´ıvel, é resolvido. Com

(47)

4.3. Modelo Natural 17

Heur´ıstica 1 Solu¸c˜ao Inicial

1: _{function GreedyDCAGP(G, W , G}_W)

2: S ← ∅ . Solu¸c˜ao (vetor de conjuntos independentes).

3: U ← W . Testemunhas ainda n˜ao cobertas.

4: repeat

5: for all g ∈ G do

6: wg ← {w ∈ V(g) e w ∈ U }

7: x ← solu¸c˜ao do modelo (4.1)–(4.3)

8: T ← ∅ . Novo conjunto independente de guardas.

9: for all g ∈ G do 10: if xg = 1 then 11: T ← T ∪ {g} 12: U ← U \ {w ∈ V(g)} 13: S ← S ∪ T 14: until U = ∅ 15: return S 16: end function

isto, garantimos que o conjunto encontrado cobre o maior número poss´ıvel de novas tes-temunhas naquela itera¸cão, uma vez que, por constru¸cão, nenhuma testemunha é coberta duas vezes. Com este novo conjunto atualizamos as testemunhas cobertas (Linha 12) e a solu¸cão (Linha 13). O algoritmo continua enquanto houver testemunhas não cobertas.

Observe que o problema de encontrar um conjunto independente de peso máximo é NP-dif´ıcil [13]. Uma forma de resolvê-lo exatamente é através da solu¸cão da formula¸cão PLI abaixo. z = max X g∈G wgxg s. a (4.1) xu+ xv ≤ 1 ∀ (u, v) ∈ EG (4.2) xg ∈ B ∀ g ∈ G. (4.3)

Apesar da escolha de um novo conjunto independente na Linha 7 poder ser computada através de outro método, como uma heur´ıstica, em todas as instâncias testadas a resolu¸cão do modelo (4.1) − (4.3) se mostrou extremamente rápida e eficiente. Por isso, em nossos experimentos optamos por usar um resolvedor PLI para executar tal tarefa.

4.3 Modelo Natural

Para a resolu¸c˜_{ao exata do dcagp iremos empregar técnicas de Programa¸cão Linear} In-teira (PLI). Programa¸cão Inteira é amplamente usada para a resolu¸cão dos mais diversos

(48)

problemas, principalmente aqueles da classe NP-dif´ıcil. Nesta se¸cãom iremos descrever um modelo de PLI para o problema, o qual chamaremos de Modelo Natural. Adicionalmente, descrevemos técnicas que irão ajudar na resolu¸cão do modelo pelo resolvedor, como o uso de lazy constraints.

O nome modelo natural deriva da forma como as vari´aveis da formula¸cão foram esco-lhidas, associadas às decisões que levam a uma transcri¸cão direta da solu¸cão do problema. No caso de problemas de colora¸cão em grafos, essa escolha se reflete nas restri¸cões de colora¸cão uma vez que, em uma modelagem básica, para cada par de vértices adjacentes (u, v), uma desigualdade do tipo xuk + xvk ≤ 1 impede que ambos os vértices recebam

a mesma cor k, sendo que k varia entre 1 e K, um limitante superior do n´umero de cores necess´arias. Este tipo de modelo para problemas de colora¸c˜ao tem duas grandes desvantagens:

1. O n´umero de restri¸c˜oes pode ser muito grande, uma vez que depende de K, onde

K ∈ O(|G|);

2. Este modelo apresenta fortes problemas de simetria. Por exemplo, dada uma solu¸cão do problema linear que utiliza cores (nesta ordem) 1, 2 e 3, e k = 5, podemos cons-truir uma solu¸cão de mesmo custo simplesmente renomeando estas cores para 3, 1 e 2, ou 1, 5 e 2. Esta caracter´ıstica, em geral, leva o resolvedor a encontrar solu¸cões teoricamente iguais, que diferem apenas na atribui¸cão de cores aos guardas, e im-pedem que o resolvedor conclua a otimalidade de uma solu¸cão com maior rapidez. Além disso, a simetria ´e agravada quanto maior for o valor de K.

Apesar das dificuldades acima, o cagp consegue amenizar drasticamente a desvanta-gem 1 devido à própria natureza do problema que, em geral, requer pouqu´ıssimas cores e, é claro, à nossa Heur´ıstica 1, que obtém solu¸cões viáveis (limitantes primais) de alta qualidade. Já com rela¸cão a desvantagem 2, além de poder ser amenizada pela obten¸cão de valores menores de K, ainda existem diversas formas de reduzir a simetria atrav´es de restri¸cões que limitam as escolhas de cores.

(49)

A seguir apresentamos o modelo natural para o cagp:

z = min X κ∈K cκ s. a (4.4) X g∈G|w∈V(g) X κ∈K xgκ≥ 1 ∀ w ∈ W (4.5) xuκ+ xvκ− cκ ≤ 0 ∀ (u, v) ∈ EG, κ ∈ {1, . . . , K} (4.6) X κ∈K xgκ≤ 1 ∀ g ∈ G (4.7) cκ− cκ+1≥ 0 ∀ κ ∈ {1, . . . , K − 1} (4.8) X g∈G xgκ− X g∈G xgκ+1 ≥ 0 ∀ κ ∈ {1, . . . , K − 1} (4.9) cκ ∈ B ∀ κ ∈ {1, . . . , K} (4.10) xgκ∈ B ∀ g ∈ G, κ ∈ {1, . . . , K} (4.11)

No modelo acima, as vari´aveis bin´arias cκrepresentam as poss´ıveis cores que os guardas

podem receber, enquanto as vari´aveis bin´arias xgκindicam se o guarda g com a cor κ ser´a

usado. A fun¸cão objetivo (4.4) minimiza o número de cores utilizadas. As restri¸cões (4.5) garantem que todas as testemunhas serão cobertas, e, consequentemente, todo o pol´ıgono. As restri¸cões (4.6) por sua vez asseguram que dois guardas adjacentes no grafo de conflitos não recebam a mesma cor, ao mesmo tempo garantindo que se um deles for usado, a respectiva cor também será. As restri¸cões (4.7) impedem que um mesmo guarda possa ser colorido com mais de uma cor. É fácil ver que se estas restri¸cões forem removidas do modelo o valor ótimo não se altera. Contudo, na prática, observou-se que a sua manuten¸cão diminui consideravelmente o tempo de computa¸cão. As restri¸cões (4.8) e (4.9) tentam reduzir a simetria intr´ınseca do problema. Enquanto (4.8) for¸ca que a cor κ + 1 só possa ser usada se a cor κ tamb´em o foi, as restri¸cões em (4.9) for¸cam que o conjunto de guardas de cor κ tenha cardinalidade maior ou igual ao conjunto de cor

κ + 1.

4.3.1 Fortalecendo o modelo

Enquanto o modelo acima pode ser usado sem nenhuma altera¸cão, ele pode ser fortale-cido, o que significa aproximá-lo mais da envoltória convexa dos pontos que representam solu¸cões desse problema. Nesta se¸cão, descrevemos uma forma de fortalecer o modelo (4.4)–(4.11).

A Figura 4.1 representa um subgrafo induzido de um grafo GC qualquer. De acordo

(50)

a este subgrafo corresponderiam a:

x1κ+ x2κ− cκ ≤ 0, x1κ+ x3κ− cκ ≤ 0, x2κ+ x3κ− cκ ≤ 0. g1 g2 g3

Figura 4.1: Subgrafo induzido de GC.

Estas três restri¸cões impedem que algum par de v´ertices em {g1, g2, g3} receba a mesma cor κ. N˜ao é dif´ıcil enxergar que, sendo as variáveis binárias, o mesmo efeito poderia ser obtido através da restri¸cão abaixo:

x1κ+ x2κ+ x3κ− cκ ≤ 0.

´

E fácil perceber que esta única restri¸cão é mais forte do que a união das três restri¸cões anteriores (coeficientes menores). Obviamente esta ideia pode ser estendida para outras cliques, i.e, subgrafos induzidos completos. Assim, podemos substituir as restri¸cões do tipo (4.6) por um conjunto de restri¸cões do tipo clique, como aquela vista acima. Para tanto, devemos encontrar cliques que cubram todas as arestas de GC, isto é, todos os

poss´ıveis conflitos entre guardas, formando o que se costuma chamar de cobertura de

arestas por cliques, ou em inglês, clique edge cover. Seja então H uma cobertura de arestas por cliques. Podemos agora substituir as restri¸cões (4.6) pelas restri¸cões (4.12):

X

g∈η

xgκ ≤ cκ ∀ η ∈ H, κ ∈ {1, . . . , K} (4.12)

Apesar de n˜ao podermos considerar formalmente como um fortalecimento, em vez de fazer uso de apenas uma cobertura por cliques, podemos fazer uso de K coberturas diferentes, uma para cada poss´ıvel cor do modelo. Intuitivamente, podemos pensar nessa modifica¸c˜ao como uma forma adicional de diminuir a simetria do modelo. Para esta tarefa empregamos o Algoritmo 2 que tenta construir coberturas diferentes. Neste algoritmo

N (v) e δ(v) representam, respectivamente, a vizinhan¸ca e o grau do v´ertice v.

O algoritmo come¸ca por construir um emparelhamento de tamanho K selecionando

K arestas com soma dos graus dos vizinhos dos seus extremos m´ınima (Linha 3). Estas

(51)

Algoritmo 2 Gera¸c˜ao de K Coberturas de Arestas por Cliques

1: _{function kCEC(G}_C, K)

2: Ψ ← ∅ . Conjunto que conter´a as K coberturas.

3: Construa um emparelhamento M , composto pelas K arestas com m´ınimo

X t∈N (u) δ(t) + X z∈N (v) δ(z), onde (u, v) ∈ EG 4: for all i ∈ {1, . . . , K} do

5: _{η ← Build Clique(M[i])} . M [i]: i-´esima aresta em M .

6: G0 ← GC\{e ∈ η} . Remove as arestas cobertas por η.

7: H ← η . Inicializa a i-´esima cobertura.

8: repeat 9: µ ← e ∈ G0 tal que X t∈N_G0(e.u) δ(t) + X z∈N_G0(e.v) δ(z) ´e m´ınimo. 10: _{η ← Build Clique(µ)}

11: G0 ← G0\{e ∈ η} . Remove as arestas cobertas de G0. 12: H ← H ∪ {η}

13: until todas as arestas estarem cobertas

14: Ψ ← Ψ ∪ {H}

15: return Ψ 16: end function

17: function Build Clique(e) . Rotina gulosa para constru¸c˜ao de cliques.

18: η ← {e.u, e.v} . η: v´ertices da clique.

19: C ← N (e.u) ∩ N (e.v) . C: v´ertices candidatos a estender a clique.

20: repeat

21: n ← γ ∈ C, onde γ adiciona mais arestas n˜ao cobertas `a clique que qualquer outro v´ertices em C

22: C ← C ∩ N (n) . Atualiza o conjunto de v´ertices candidatos.

23: η ← η ∪ {n} . Adiciona n `a clique atual.

24: until C = ∅ ou n˜ao existe v´ertice com arestas adjacentes n˜ao cobertas

25: return η 26: end function

(52)

criamos cada clique de forma gulosa, utilizando a fun¸c˜_{ao Build Clique (Linha 17).} Esta fun¸cão recebe como parâmetro apenas uma aresta cujos vértices serão os primeiros a compor a clique em constru¸cão (Linha 18). Com estes dois vértices refinamos os poss´ıveis candidatos que podem se juntar à clique. A partir destes vizinhos comuns selecionamos aquele que mais contribui com arestas novas para a cobertura e o adicionamos ao conjunto de vértices, ao mesmo tempo que filtramos os poss´ıveis candidatos a compor a clique e repetimos o processo. Estas itera¸cões se repetem até quando não houver mais vizinhos em comum entre os vértices na clique, ou se não houver arestas ainda não cobertas por outras cliques da cobertura (Linha 24). Voltando ao algoritmo principal, uma vez que a primeira clique é constru´ıda, o grafo é atualizado removendo-se as arestas já cobertas. O algoritmo continua selecionando uma nova aresta para construir a próxima clique, segundo a mesma regra utilizada para selecionar as arestas do emparelhamento, e este processo se repete até que todas as arestas do grafo estejam cobertas (Linha 14).

Para pol´ıgonos n˜ao triviais, i.e., que n˜ao requerem apenas uma cor e, portanto, apenas um guarda, podemos fortalecer o modelo ainda mais. Observe a Figura 4.2, e considere novamente a motiva¸c˜ao para este problema citada anteriormente (guiar um robˆo dentro de um ambiente previamente marcado). Nesta figura, temos apenas as marca¸c˜oes g1 e

g2 para guiar o robˆo. As regi˜oes em cinza demarcam os pol´ıgonos de visibilidade de g1 e

g2. Considere agora o trajeto realizado pelo robˆo com in´ıcio em p1 e t´ermino em p2. Ao atingir p2, no bordo do pol´ıgono de visibilidade de g2, não há nenhuma outra marca¸cão vis´ıvel a partir de p2. Fica claro que precisamos de outra marca¸cão para conseguir mover o robô al´em de p2, e esta marca¸cão necessariamente ir´a conflitar com g2. Generalizando esta observa¸cão vemos que, ao se escolher um guarda para fazer parte da solu¸cão, obriga-toriamente devemos escolher pelo menos um dos seus vizinhos para também fazer parte desta solu¸cão. A partir dessa observa¸cão podemos construir o conjunto de restri¸cões dada por: X κ∈{1,...,K} xgκ≤ X v∈N (g) X κ∈{1,...,K} xvκ ∀g ∈ G. (4.13)

(53)

g1

g2

p2

p1

Figura 4.2: Intui¸c˜ao sobre as restri¸c˜oes (4.13).

4.3.2 Lazy Constraints

De acordo com [3], o número de testemunhas pode ser t˜ao grande quanto Θ(n2) para um pol´ıgono com n v´ertices, o que implica no mesmo limitante para o número de res-tri¸cões (4.5) no modelo natural. Pensando em minimizar o impacto deste número de restri¸c˜oes no modelo, utilizamos as chamadas lazy constraints. Esta op¸c˜ao, presente na maioria dos resolvedores do estado-da-arte, permite que marquemos um conjunto de res-tri¸c˜oes do nosso modelo como sendo lazy, de forma que o resolvedor n˜ao as incluirá no modelo inicialmente, mas verificará se há viola¸cão de alguma delas quando uma solu¸cão inteira for encontrada. Ao contrário de técnicas clássicas de planos de corte, em geral restri¸c˜oes marcadas como lazy n˜ao podem ser derivadas de outras restri¸cões do modelo,

i.e., a presen¸ca ou ausˆencia de tais restri¸cões pode mudar significativamente tanto o pro-cesso de otimiza¸cão do resolvedor quanto a própria solu¸cão. Tendo isso em mente, os resolvedores devem garantir a verifica¸cão de poss´ıveis viola¸cões destas restri¸cões antes de declarar uma solu¸cão como sendo ótima, mais uma vez diferentemente de cortes clássicos, onde não há quaisquer garantias de que o resolvedor irá considerar tais restri¸cões. Para o modelo natural, a formula¸cão inicial contém apenas as restri¸cões (4.5) referentes às |G| testemunhas enxergadas pelo menor conjunto de guardas. Em nossos testes, como será mostrado na se¸cão de resultados, menos de 40% das testemunhas foi necessária para finalizar o processo de otimiza¸cão de instâncias dif´ıceis. Apesar disso, não foi poss´ıvel constatar a vantagem do uso de lazy constraints nos casos em que se pode carregar e resolver todo o modelo em memória.

(54)

4.4 Relaxa¸

c˜

ao Lagrangiana

Relaxa¸cão Lagrangiana é uma técnica muito conhecida e utilizada para se obter bons limitantes, e até mesmo solu¸cões ótimas em modelos de dif´ıcil resolu¸cão. A técnica se beneficia de uma caracter´ıstica presente em vários modelos: a existência de um conjunto de restri¸cões que tornam o problema dif´ıcil de resolver. Para contornar tais restri¸cões, estas são removidas da formula¸cão e levadas para a fun¸cão objetivo multiplicadas por uma penaliza¸cão que torna menos atraentes as solu¸cões que não as satisfa¸cam. Diz-se que essas restri¸c˜oes foram dualizadas.

4.4.1 Vis˜

ao Geral

Nesta subse¸cão, faz-se um breve resumo da técnica de Relaxa¸cão Lagrangiana. Para um tratamento formal do assunto, recomenda-se a leitura de [1].

Considere o seguinte problema gen´erico de minimiza¸c˜ao, escrito na forma matricial: min cx

s. a Ax ≥ b, Bx ≥ d,

x ∈ B ∀ x ∈ X.

(4.14)

Vamos considerar que Bx ≥ d, onde B tem dimensões m e n, s˜ao as restri¸cões com-plicadoras deste modelo. Ou seja, supõe-se que o problema sem estas restri¸cões possa ser resolvido de forma bastante eficiente, pelo menos na prática. Para levarmos estas restri¸cões complicadoras para a fun¸cão objetivo devemos introduzir os chamados multi-plicadores de Lagrange λ como mostrado abaixo:

min cx + λ(d − Bx)

s. a Ax ≥ b

x ∈ B ∀ x ∈ X.

(4.15)

Pode-se mostrar que, para todo λ ≥ 0, o valor ´otimo do problema (4.15), denominado de primal Lagrangiano, fornece um limitante inferior para o problema original. Obvia-mente, queremos o limitante mais pr´oximo poss´ıvel do valor ´otimo do problema inteiro, o que implica em resolver o problema abaixo, chamado dual Lagrangiano:

max λ≥0          min cx + λ(d − Bx) s. a Ax ≥ b x ∈ B ∀ x ∈ X          (4.16)

(55)

4.4. Relaxa¸c˜ao Lagrangiana 25

Para esta tarefa ´e comum empregar-se o m´etodo do subgradiente, que iterativamente

atualiza os multiplicadores até que um determinado critério de convergência seja atingido. O método é composto das seguintes etapas:

1. Seja π um parˆametro tal que 0 < π ≤ 2, e zU B o valor do melhor limitante superior

conhecido até o momento (inicializado através de alguma heur´ıstica, por exemplo). Também é necess´ario iniciar os multiplicadores λ, tipicamente com 0;

2. Resolva o problema primal Lagrangiano com os multiplicadores atuais. Seja X a solu¸c˜ao encontrada, com valor zLB;

3. O subgradiente Gi para as restri¸c˜oes relaxadas ´e definido como:

Gi = di− n

X

j=1

bijXj ∀i ∈ {1, . . . , m}. (4.17)

4. Com os dados acima, podemos definir o tamanho do passo que iremos dar para atualizar os multiplicadores:

T = π(z_PU B_m− zLB)

i=1G2i

. (4.18)

5. Finalmente, atualizamos os multiplicadores e reiniciamos o processo na etapa 2:

λi = max(0, λi+ T Gi) ∀i ∈ {1, . . . , m}. (4.19)

6. O algoritmo em geral termina quando π atinge um valor muito pequeno, ou ´e claro se zLB = zU B.

Al´em de um limitante inferior, podem ser desenvolvidas as chamadas heur´ısticas

La-grangianas, que se aproveitam dos resultados parciais de cada itera¸c˜ao do algoritmo acima a fim de tentar melhorar o limitante superior, e em geral s˜ao desenvolvidas especificamente para cada problema. No algoritmo acima, um limitante primal melhor, i.e., zU B menor,

ajuda a calcular um passo T mais justo, levando em geral a uma convergˆencia mais r´apida do algoritmo.

4.4.2 Aplica¸

c˜

_{ao no cagp}

Considere o modelo natural descrito na se¸cão anterior. Neste modelo, temos dois con-juntos de restri¸cões dif´ıceis: as restri¸cões de cobertura das testemunhas e as referentes às cliques maximais. Com isso, foram testados dois modelos de relaxa¸cão lagrangiana, cada

(56)

um dualizando um destes conjuntos de restri¸cões complicadoras. Enquanto dualizar as restri¸cões de cobertura demonstrou ser uma boa escolha, dualizar as restri¸cões de cliques maximais não resultou em nenhuma melhora vis´ıvel, provavelmente pela grande quanti-dade de multiplicadores a serem calibrados durante a otimiza¸cão. Assim, reportamos a seguir apenas o primeiro caso.

Para o modelo (4.20)–(4.26), e considerando os passos descritos na subse¸c˜ao anterior, algumas especializa¸c˜_{oes foram implementadas para o tratamento do dcagp:}

• Enquanto o limitante inferior crescer de forma cont´ınua, π ´e reiniciado em 0.5 a cada itera¸c˜ao;

• Seja zM ax o valor do melhor limitante at´e o momento. O valor de π ´e iniciado em

0.5, e decresce em 50% ap´os 30 itera¸c˜oes em que zM ax n˜ao melhore;

• Se zLB parar de crescer, π ´e reiniciado em 0.0625;

• zU B ´e iniciado com o valor da solu¸c˜ao retornada pelo Heur´ıstica 1;

• O algoritmo termina se π ≤ 0.005 ou zU B = zLB.

As escolhas acima foram feitas após testes preliminares, em que permit´ıamos que o algoritmo executasse por longos per´ıodos. Percebemos que não havia melhoras aparentes mesmo após horas de processamento, e que quando havia melhora no limitante retornado pelo Heur´ıstica 1, isso ocorria em geral dentro das primeiras 100 itera¸cões do algoritmo. Assim, os parâmetros escolhidos acima têm por objetivo que a otimiza¸cão seja relativa-mente rápida, na tentativa de se obter um melhor limitante superior rapidamente.

Dualizando as restri¸c˜oes de cobertura

Para a elabora¸cão da Relaxa¸cão Lagrangiana, utilizamos como base o modelo {(4.4) − −(4.11)}, incluindo a substitui¸cão pelas restri¸cões (4.12), descrita na se¸cão anterior. As-sim, dualizando as restri¸cões de cobertura de testemunhas (4.5), obtemos o problema primal Lagrangiano dado por:

(57)

4.5. Relax-and-fix 27 z = min X κ∈{1,...,K} cκ− X w∈W λw(1 − X g∈G|w∈V(g) X κ∈{1,...,K} xgκ) s. a (4.20) X g∈η xgκ≤ cκ ∀ η ∈ H, κ ∈ {1, . . . , K} (4.21) X κ∈K xgκ≤ 1 ∀ g ∈ G (4.22) cκ− cκ+1≥ 0 ∀ κ ∈ {1, . . . , K − 1} (4.23) X g∈G xgκ− X g∈G xgκ+1≥ 0 ∀ κ ∈ {1, . . . , K − 1} (4.24) xgκ ∈ B ∀ g ∈ G, κ ∈ {1, . . . , K} (4.25) cκ ∈ B ∀ κ ∈ {1, . . . , K} (4.26)

Após resolver o modelo acima, fica claro que as escolhas dos guardas respeitam as imposi¸cões feitas pelo grafo de conflitos, mas não garante que todas as testemunhas foram cobertas. Assim, a heur´ıstica Lagrangiana para este modelo fixa os guardas às cores nos casos em que xgκ = 1, e resolve o modelo natural completo com estas variáveis fixadas.

Obviamente, não precisamos saber se existe uma solu¸c˜ao que utiliza K cores, uma vez que já temos uma solu¸cão com esta cardinalidade fornecida pela Heur´ıstica 1. Assim, a heur´ıstica Lagrangiana além de resolver um modelo com muitas variáveis fixadas, também tenta encontrar apenas solu¸c˜oes com cardinalidade K − 1 ou menor, fatores estes que ajudam a acelerar de forma impactante a resolu¸cão do modelo de programa¸cão inteira.

4.5 Relax-and-fix

A dificuldade da resolu¸cão de problemas de programa¸cão inteira reside no dom´ınio discreto das variáveis. Tendo isto em mente, o primeiro passo de t´ecnicas de relax-and-fix ´e relaxar o dom´ınio de um subconjunto das variáveis inteiras. Após esta relaxa¸cão, as variáveis neste subconjunto são iterativamente trazidas de volta ao dom´ınio inteiro, sendo algumas delas fixadas a cada itera¸cão. Esta fixa¸cão é feita baseando-se na resolu¸cão no modelo misto. Enquanto testes realizados mostraram a ineficácia desta técnica na resolu¸cão do dcagp, apoiando-se na ideia descrita acima desenvolvemos uma versão especializada de

relax-and-fix, apresentada a seguir, que apresentou resultados interessantes na resolu¸c˜ao desse problema.

(58)

4.5.1 Custom Relax-and-fix

O Algoritmo 3 descreve a especializa¸cão citada acima. Neste algoritmo, em vez de relaxar um subconjunto de variáveis e depois trazê-las novamente para o dom´ınio inteiro, relaxa-mos as vari´aveis x, que permanecer˜ao relaxadas até o fim do algoritmo. O algoritmo itera fixando as vari´aveis x, agora cont´ınuas, em 1. Para que uma vari´avel seja fixada, primeira-mente o modelo relaxado é resolvido (Linha 3). Caso o modelo tenha se tornado inviável devido às fixa¸cões feitas previamente, o algoritmo termina sem uma solu¸cão (Linha 4). Se o modelo continuar vi´avel, extra´ımos o maior valor xmax atribu´ıdo a uma das vari´aveis x que ainda n˜ao foi fixada (Linha 5), e estabelecemos um limiar t, que corresponde a ∆t do

valor de xmax, onde ∆t´e um parˆametro entre 0 e 1 (Linha 6). Baseado em t, selecionamos

para fixar em 1 todas as vari´aveis x cujo valor seja igual ou exceda esse limiar e repetimos o processo até que não seja necessário fixar nenhuma variável.

Algoritmo 3 CustomRelaxAndFix

1: _{function CustomRnF(G}_C, K)

2: repeat

3: Resolva o modelo (4.4) − (4.10), i.e., o modelo natural sem as restri¸c˜oes

de integralidade das vari´aveis x (4.11).

4: Se o modelo acima for invi´avel, termine o algoritmo.

5: xmax ← valor da maior vari´avel x ainda n˜ao fixada.

6: t ← xmax× ∆t.

7: for all i ∈ {1, . . . , |G|} do

8: for all κ ∈ {1, . . . , K} do

9: if xiκ≥ t e gi n˜ao conflita com nenhum guarda j´a fixado

com a cor κ then

10: Fixe xiκ em 1.

11: until n˜ao seja poss´ıvel fixar nenhuma vari´avel.

12: end function

Uma das vantagens da variante acima, com rela¸cão à técnica cl´assica de

relax-and-fix, ´e que não mudamos o dom´ınio de nenhuma vari´avel durante o algoritmo , i.e., do dom´ınio cont´ınuo para o discreto. Como veremos no Cap´ıtulo 5, a escolha do parâmetro ∆t também é essencial para a obten¸cão de bons resultados.

4.6 Branch-and-price

T´ecnicas de branch-and-price s˜ao empregadas em modelos que possuem um grande número de variáveis. Tais técnicas correspondem a uma hibridiza¸cão dos m´etodos de

(59)

4.6. Branch-and-price 29

resolu¸cão iterativa de dois problemas: um problema mestre, modelado como um PLI, e um subproblema. Este último, tamb´em chamado de pricing problem, ´e responsável pela escolha de novas colunas a serem adicionadas a uma versão restrita do problema mestre,

i.e., com um n´umero reduzido de colunas. Nota-se que a op¸cão por trabalhar com uma versão restrita do problema mestre justifica-se pelo seu elevado número de colunas que torna quase imposs´ıvel resolvê-lo diretamente.

Assim, supondo um problema de minimiza¸cão, o algoritmo, após a resolu¸cão da re-laxa¸cão linear de uma versão restrita do problema mestre, tenta encontrar nova(s) co-luna(s) de custo reduzido negativo resolvendo o subproblema, seja de forma exata ou heur´ıstica. Nota-se que, deste modo, a fun¸cão de custo do subproblema depende das variáveis duais ótimas da relaxa¸cão linear do problema mestre restrito. Então, se colunas com custo reduzido negativo forem encontradas, a relaxa¸cão linear ainda não foi resolvida até a otimalidade. Portanto, elas são adicionadas ao problema restrito, que é resolvido novamente. Este processo se repete enquanto for poss´ıvel encontrar colunas com custo reduzido negativo. Quando não existir nenhuma outra coluna com tal caracter´ıstica, se a solu¸cão da última relaxa¸cão linear do problema restrito for inteira, o algoritmo termina, e a solu¸cão encontrada é ótima. Caso contrário, é necess´ario fazer branch e reiniciar o processo acima em outro nó da árvore.

Para o dcagp, iremos considerar o modelo abaixo baseado naquele apresentado em [14]. Nele, evitam-se os conflitos entre os candidatos a guarda agrupando-os em conjuntos inde-pendentes, i.e., guardas pertencentes a um mesmo conjunto independente podem receber uma mesma cor. Sejam Υ o conjunto de todos os conjuntos independentes maximais em

GC, yυ, ∀υ ∈ Υ, a vari´avel bin´aria correspondente ao conjunto independente υ, e xg a

vari´avel bin´aria correspondente ao guarda g. O problema mestre ´e descrito a seguir:

z = minX υ∈Υ yυ s. a (4.27) X g∈G|w∈V(g) xg, ≥ 1 ∀ w ∈ W, (4.28) X υ∈Υ|g∈Υ yυ− xg ≥ 0, ∀ g ∈ G, (4.29) xg ∈ B, ∀ g ∈ G, (4.30) yυ ∈ B, ∀ υ ∈ Υ. (4.31)

No modelo (4.27)–(4.31), cada conjunto independente da solu¸cão estará associado a uma cor diferente. Isso significa que, ao minimizar o número de cores na fun¸cão obje-tivo (4.27), estamos minimizando o número de cores atribu´ıdas aos guardas, como reque-rido no dcagp. As restri¸cões (4.28) garantem que todas as testemunhas, e portanto todo o pol´ıgono, estão cobertas. Por sua vez, as restri¸cões (4.29) garantem que se um guarda