Neste cap´ıtulo, apresentamos a terminologia utilizada ao longo desta disserta¸c˜ao. Tamb´em recomendamos a leitura de [15] para conhecimentos b´asicos de Geometria Computacional, e dos cap´ıtulos iniciais de [18] para uma introdu¸c˜ao a Programa¸c˜ao Linear e a Programa¸c˜ao Linear Inteira.
Considerando nossa motiva¸c˜ao inicial, se faz necess´ario detalhar o ambiente que ser´a percorrido pelo robˆo. No contexto do cagp, podemos pensar numa representa¸c˜ao dada pela planta baixa do ambiente que tamb´em chamaremos de galeria, e simboliz´a-la por um pol´ıgono simples, i.e., um pol´ıgono sem arestas intersectantes. Em situa¸c˜oes mais complexas, em que queremos representar ´areas internas ao per´ımetro desta galeria, mas que pertencem ao exterior da constru¸c˜ao, como por exemplo o fosso de um elevador, podemos fazer uso de buracos no interior desse pol´ıgono. Nessa representa¸c˜ao, iremos considerar que um pol´ıgono simples P tem o seu bordo ∂P descrito pela sequˆencia anti- hor´aria de seus v´ertices, ou seja, o lado esquerdo da cadeia poligonal corresponder´a ao interior do pol´ıgono. Para pol´ıgonos com buracos, adicionalmente aos v´ertices da cadeia externa, esta descri¸c˜ao conter´a uma lista de v´ertices para cada buraco em P .
Neste pol´ıgono (ou galeria) dizemos que dois pontos p e q se veem se o segmento pq n˜ao intercepta o exterior de P (Figura 2.1). Estendendo este conceito, definimos o pol´ıgono de visibilidade de um ponto p, V(p), como o conjunto dos pontos de P vis´ıveis a partir de p, ou seja V(p) = {q ∈ P : pq ⊂ P } (Figura 2.2). Seja Γ um conjunto finito de pontos em P cuja uni˜ao dos respectivos pol´ıgonos de visibilidade seja igual a P , ou seja, [
γ∈Γ
V(γ) = P . Neste caso, dizemos que Γ cobre P . Considerando agora apenas pontos em Γ, dizemos que dois pontos (γ1, γ2) ∈ Γ s˜ao ditos conflitantes se V(γ1) ∩ V(γ2) 6= ∅, ou seja, se ambos
os pol´ıgonos de visibilidade compartilham ao menos um ponto. Chamaremos os pontos 5
6 Cap´ıtulo 2. Terminologia e Formaliza¸c˜ao do Problema
de Γ de guardas. Denotaremos por C(Γ) o n´umero m´ınimo de cores suficiente para colorir os guardas, em Γ de modo que nenhum par de guardas conflitantes recebam a mesma cor. Na defini¸c˜ao abaixo, G representa um conjunto de candidatos a guarda (veja Figura 2.3), do qual queremos escolher um subconjunto Γ que minimiza o n´umero de cores utilizadas. Com isto, o Problema Crom´atico Discreto da Galeria de Arte, dcagp, pode ser descrito por:
Dados um pol´ıgono simples P , possivelmente com buracos, e um conjunto G ⊂ P finito de pontos, determine:
χG(P ) = min Γ⊆G{C(Γ) : Γ cobre P }. p q (a) pq ⊂ P p q (b) pq 6⊂ P
Figura 2.1: Visibilidade entre pontos.
Considere um arranjo ζ composto pelas arestas de P juntamente com as arestas dos pol´ıgonos de visibilidade de G (Figura 2.4). Este arranjo divide o interior de P em regi˜oes fechadas, que chamaremos de faces internas ou avps, Atomic Visibility Polygons (Figura 2.5). ´E f´acil observar que qualquer guarda g ∈ G capaz de enxergar um ponto no interior de um avp f tamb´em enxerga toda essa face uma vez que, se isto n˜ao fosse v´alido, para algum par de face f e guarda g, haveria uma aresta de V(g) dividindo f , o que contradiz o fato de f ser uma face. Considere agora uma face f deste arranjo, e S(f ) o conjunto de guardas de G que cobrem f . Podemos definir uma ordem parcial dos avps neste arranjo de forma que para duas faces f1e f2, f1 ≺ f2sse S(f1) ⊂ S(f2). Desta ordem
7
p
Figura 2.2: Pol´ıgono de visibilidade de p.
guardas que as cobrem ´e um m´ınimo local. Chamaremos tais faces de avps de Sombra. Podemos observar que cobrindo este m´ınimos locais garantimos a cobertura do restante das faces, uma vez que qualquer guarda que cobre tal face, cobrir´a tamb´em as faces mais altas na ordem parcial. Como explicado acima, a cobertura de um ponto interior a um avp resulta na cobertura da face toda (veja [7] para uma prova formal). Sendo assim, podemos extrair um ponto interior a cada avp de sombra, de forma a represent´a-la, j´a que uma cobertura destes pontos implica na cobertura dos respectivos avps e, portanto, na cobertura de P . Chamaremos estes pontos internos de testemunhas, e denotaremos por W o conjunto de todas elas. As faces representadas por m´aximos locais na ordem parcial ≺ s˜ao chamadas de avps de Luz. Na Figura 2.5, os avps em cinza s˜ao faces de sombra (das quais s˜ao extra´ıdas as testemunhas), enquanto os avps em amarelo s˜ao faces de luz.
O dcagp tamb´em pode ser visto como um problema em grafos. Seja GC = (G, EG) um grafo cujos v´ertices correspondem aos candidatos a guarda de G, sendo que (g1, g2) ∈ EG
sse V(g1) ∩ V(g2) 6= ∅. Chamaremos GC de Grafo de Conflito (tamb´em conhecido como
2-link-visibility graph, veja [9]), pois representa a rela¸c˜ao entre guardas que n˜ao podem receber a mesma cor. Seja agora GW = (G ∪ W, EW) o grafo bipartido cujo conjunto de v´ertices ´e a uni˜ao dos candidatos a guarda em G e das testemunhas em W , tal que (g, w) ∈ EW sse w ∈ V(g). Assim, o dcagp pode ser definido sobre o grafo GT = GC∪GW (Figura 2.6), como o problema de determina¸c˜ao de uma dominˆancia D ⊆ G dos v´ertices em W que requer o menor n´umero de cores entre todas as dominˆancias de W em G.
A fim de caracterizar uma importante dissimilaridade entre o agp e o cagp, a Fi- gura 2.7 retrata uma classe de pol´ıgonos caracterizados pela presen¸ca de “bicos”. ´E f´acil
8 Cap´ıtulo 2. Terminologia e Formaliza¸c˜ao do Problema g1 g2 g3 g4 g5 g6 g7
Figura 2.3: Pol´ıgono P , com conjuntos de candidatos a guarda G = {g1, . . . , g7}.
observar a necessidade de um guarda diferente para cobrir cada bico deste pol´ıgono, e se tais guardas cobrirem tamb´em os corredores correspondentes, fica claro que o n´umero m´ınimo de guardas para cobrir um pol´ıgono de k bicos ´e k, ou seja, a solu¸c˜ao ´otima Γ1
do agp para tal pol´ıgono tem tamanho k. Se tentarmos colorir os guardas desta solu¸c˜ao ´
otima do agp precisaremos de k cores, uma vez que todos os guardas conflitam na parte inferior do pol´ıgono. Mas, se deslocarmos os guardas que cobrem cada bico e corredor para cobrirem somente os bicos, eliminamos os conflitos na parte central, e necessitaremos de apenas um guarda adicional para cobrir o restante do pol´ıgono. Ou seja, para um pol´ıgono com k bicos, ser˜ao suficientes k + 1 guardas e apenas duas cores. Para um pol´ıgono desta fam´ılia com n v´ertices temos que o n´umero de bicos correspondente ´e n/4 e, portanto, para este mesmo pol´ıgono o n´umero de cores necess´arias para colorir uma solu¸c˜ao ´otima do agp ´e n/4. Sabendo que uma solu¸c˜ao ´otima Γ2 para o cagp para qualquer pol´ıgono
desta fam´ılia sempre requer exatamente duas cores, temos que a rela¸c˜ao entre o n´umero de cores de uma solu¸c˜ao ´otima do agp e do cagp pode ser t˜ao alta quanto n/8.
9 g1 g2 g3 g4 g5 g6 g7 g8 g9 g10
Figura 2.4: Arranjo ζ obtido com G = {g1, . . . , g10}.
g1 g2 g3 g4 g5 g6 g7 g8 g9 g10 w1 w2 w3 w4
10 Cap´ıtulo 2. Terminologia e Formaliza¸c˜ao do Problema g1 g2 g3 g4 g5 g6 g7 g8 g9 g10 w1 w2 w3 w4
Figura 2.6: Grafo GT correspondente `a instˆancia da Figura 2.4.
1 2 . . . k − 1 k Pol´ıgono P , G = ∂P 1 2 . . . k − 1 k |Γ1| = k, C(Γ1) = k 1 2 . . . k − 1 k |Γ2| = k + 1, C(Γ2) = 2
Figura 2.7: Fam´ılia de pol´ıgonos com χ(P ) = 2, para a qual o n´umero minimo de guardas,