Suavização: SES, SEH e HW

Para Makridakis et al. (1998), Pellegrini & Fogliatto (2001), Brockwell & Davis (2002), Morettin & Toloi (2006), Montgomery et al. (2008), Shumway & Stoer (2011) e De Losso (2011), a maioria dos métodos de previsão baseia-se na ideia de que observações passadas contêm informações sobre o padrão de comportamento da série temporal. Uma grande classe de métodos de previsão, que tenta traçar as características e causas das utuações em séries de tempo, é a das suavizações.

Uma técnica de suavização utilizada é a Média Móvel Ponderada Exponencial ou Expo- nentially Weighted Moving Averages na sigla em inglês EWMA, também conhecida como Suavização Exponencial Simples (SES).

Essa técnica remonta ao trabalho de Brown (1956), e, de acordo com os autores su- pracitados acima e Hyndman (2014), a técnica SES consiste em obter uma previsão de forma adaptativa, ponderando as observações passadas, desde que não tenha tendência nem sazonalidade. É um método com grande aceitação, pois é de fácil aplicação e produz resultados satisfatórios quando a série temporal possui uma média e variância constante ao longo do tempo.

O ponderamento aplicado a série é determinado em progressão geométrica, com os pesos maiores nas observações mais recentes, ou seja, dados mais antigos têm pesos me- nores.

Em vista disso, a série suavizada xt é obtida da seguinte forma:

xt= αyt+ α (1 − α) yt−1+ α (1 − α)2yt−2+ α (1 − α)3yt−3+ ... = = α ∞ X i=0 (1 − α)iyt−i (2.32)

O coeciente α está entre 0 e 1, e indica a importância das informações mais recentes na denição de xt. Logo, esses pesos decaem exponencialmente e somam 1:

α ∞ X i=0 (1 − α)iyt−i= α  1 1 − (1 − α)  = 1 (2.33)

(1 − α) xt−1= α (1 − α) yt−1+ α (1 − α) 2

yt−2+ α (1 − α) 3

yt−3+ ... (2.34)

Se for subtraída a Equação 2.34 da Equação 2.32, chega-se a:

xt = αyt+ (1 − α) xt−1 (2.35)

O problema, nesse caso, é encontrar o valor inicial x0 para compor a série suavizada.

Shumway & Stoer (2011) propõem que esse valor seja igual a zero. Makridakis et al. (1998) e Montgomery et al. (2008) informam que pode-se utilizar o método naïve, ou previsão ingênua, para x0, ou seja, x0 = y1. Os mesmos autores, também indicam que

pode-se optar em calcular a média aritmética dos quatro ou cinco valores iniciais da série e usar o mesmo como sendo o valor para x0.

Em termos de previsão, observe que:

xt+1 = αyt+1− (1 − α) xt =⇒

xt+1 = xt+ α (yt+1− xt) (2.36)

Seguindo o padrão, tem-se:

xt+2 = xt+1+ α (yt+2− xt+1) =⇒ xt+2 = xt+ α [(yt+2− xt+1) + (yt+1− xt)] (2.37) Logo: xt+h= xt+ α h−1 X j=0 (yt+j+1− xt+j) (2.38)

Pode-se ver que a nova previsão é simplesmente a previsão antiga mais um ajuste para o erro que ocorreu na última previsão. Quando α tem um valor próximo de 1, a nova previsão incluirá um ajuste substancial para o erro na previsão anterior. Inversamente, quando α é próximo de 0, a nova previsão incluirá pouco ajuste.

Morettin & Toloi (2006) e Montgomery et al. (2008) armam que quanto menor for o valor de α mais estáveis serão as previsões nais, uma vez que a utilização de baixo valor de α implica que pesos maiores serão dados às observações passadas e, consequentemente, qualquer utuação aleatória, no presente, exercerá um peso menor no cálculo da previsão. Em geral, quanto mais aleatória for a série, menores serão os valores da constante de suavização.

A denição do valor da constante de suavização α é arbitrária, e por tentativa e erro, e é escolhida aquela em que se obtém os menores erros de previsão. Brown (1962) faz alguns comentários sobre a determinação dessa constante em conformidade com alguns critérios, tais como: a análise da autocorrelação dos dados e o custo da previsão. Entretanto, o procedimento mais objetivo é a estimativa que minimiza o quadrado dos erros de previsão. Uma observação dada por Makridakis et al. (1998), Pellegrini & Fogliatto (2001), Lemos (2006), Montgomery et al. (2008) e Hyndman (2014) indica que o método SES, quando aplicado a uma série que apresente tendência linear positiva ou negativa, for- nece previsões que subestimam ou superestimam os valores reais. Para corrigir esse erro sistemático, sugere-se a dupla suavização. Este processo é conhecido como Double Ex- ponentially Weighted Moving Averages na sigla em inglês DEWMA, também conhecida como Suavização Exponencial Dupla ou Suavização Exponencial de Holt na sigla SEH. O método SEH é creditado a Holt (1957).

Esse método é similar, em princípio, à SES; entretanto, em vez de suavizar só o nível, ele utiliza uma nova constante de suavização para a tendência da série. Isso signica calcular:

xt = αyt+ (1 − α) (xt−1+ zt−1) , (2.39)

zt = β (xt− xt−1) + (1 − β) zt−1, (2.40)

yT +h = xT + zTh (2.41)

As Equações 2.39 e 2.40 representam a suavização do nível e da inclinação da série, res- pectivamente. Os coecientes de suavização (α, β) variam entre 0 e 1 e são independentes. A Equação 2.41 representa a mecânica da previsão para os h períodos à frente.

Como no caso da SES, o método SEH requer os valores iniciais x0 e z0. Makridakis

et al. (1998) indicam que para o caso x0 pode-se usar a previsão ingênua, ou seja, o último

valor observado, que neste caso, x0 = y1. Já para z0 os autores indicam duas maneiras:

z0 = y2− y1 (2.42)

z0 =

y4− y1

3 (2.43)

Outra forma de estimação é realizar uma regressão por mínimos quadrados ordinários para o primeiro período sazonal da série, na forma y = β0 + β1x, e utilizar os valores

iniciais sendo: x0 = β0 e z0 = β1. Os parâmetros (α, β) são estimados de forma arbitrária

ou por tentativa e erro de modo que se diminua os erros de previsão assim como na SES. Como visto até o momento, os modelos SES e SEH não contemplam o fator sazonal de uma série de tempo. Sendo assim, como visto na decomposição clássica, há séries que

apresentam esse padrão sazonal. Portanto, para modelar esse comportamento Winters (1960) introduz mais um parâmetro no modelo de Holt (1957) e seu modelo é então denominado Holt-Winters, na sigla HW.

Como no método de decomposição clássica, Winters (1960) identicou que a sazonali- dade possui uma característica aditiva ou multiplicativa. E, consequentemente, o mesmo elaborou dois modelos: um aditivo e outro multiplicativo.

Para o modelo aditivo as equações são formuladas:

xt= α (yt− ct−q) + (1 − α) (xt−1+ zt−1) (2.44)

zt= β (xt− xt−1) + (1 − β) zt−1 (2.45)

ct= γ (yt− xt) + (1 − γ) ct−q (2.46)

Para o modelo multiplicativo as equações são formuladas

xt = α yt ct−q + (1 − α) (xt−1+ zt−1) (2.47) zt = β (xt− xt−1) + (1 − β) zt−1 (2.48) ct = γ yt xt + (1 − γ) ct−q (2.49)

Para ambos os modelos, xt representa a suavização do nível; zt suaviza a tendência;

ct captura a sazonalidade e q é a frequência da sazonalidade. Os coecientes (α, β, γ)

continuam no intervalo 0 e 1, são independentes e como nos modelos SES e SEH são estimados arbitrariamente de modo que minimize os erros de previsão.

Da mesma forma que o método de Holt, a previsão do método de HW é dada pela soma das parcelas, logo:

yT +h = xT + zTh + cT +h−q (2.50)

Pode-se notar que as Equações 2.45 e 2.48 são as mesmas para os dois modelos HW e idênticas à Equação 2.40 utilizada no modelo de Holt. Isto é um ponto importante, pois para que esses modelos sejam ecientes é desejável que a tendência utue dentro de uma média e variância constante. As Equações 2.44 e 2.47 diferem da Equação 2.39 pois neste caso, se é necessário descontar o fator sazonal do nível da série, ou seja, é realizada a dessazonalização da mesma. Já as Equações 2.46 e 2.49 apresentam o ltro linear para a sazonalidade.

O mesmo problema aparece aqui quanto à estimação dos valores iniciais da série. Sendo assim, para o modelo multiplicativo Makridakis et al. (1998) sugerem que para iniciar os valores xq, deve-se tomar a média do primeiro q período da série que contempla

o ciclo sazonal. Formalmente: xq = 1 q q X t=1 yt (2.51)

Ainda no modelo multiplicativo, para inicializar zq Makridakis et al. (1998) sugerem

que se tome a média móvel de duas temporadas sazonais completas:

zq = 1 q  yq+1− y1 q + yq+2− y2 q + ... + yq+t− yt q  (2.52) Para o fator cq Makridakis et al. (1998) sugerem o seguinte procedimento para o

modelo multiplicativo: c1 = y1 xq ; c2 = y2 xq ; cq= yt xq (2.53) Para o modelo aditivo Makridakis et al. (1998) armam que os parâmetros xq e zq são

estimados da mesma maneira, entretanto para o parâmetro cq, a estimação dos valores

deve ser:

c1 = y1− xq; c2 = y2− xq; cq= yt− xq (2.54)

Note que os padrões sazonais se repetem posteriormente ao longo de cada bloco de q períodos sazonais.

Há vários outros métodos de inicialização dos parâmetros, Brockwell & Davis (2002), Morettin & Toloi (2006) e Montgomery et al. (2008) abordam esse tema e sugerem outras formas de inicialização. Há também inicializações amparadas em regressões por MQO como mencionado no método de Holt e utilização dos fatores sazonais encontrados na Decomposição Clássica.

O intervalo de conança, pode ser calculado identicamente ao modelo de Decomposição Clássica, pelo princípio da distribuição normal sendo:

ˆ

yt(inf erior/superiror) = yˆt(n´ıvel)± zα(S(n´ıvel)yˆt(n´ıvel)) (2.55)

com ˆyt(n´ıvel) o valor da previsão no nível da série no tempo t, zα sendo a signicância

estatística escolhida e S(n´ıvel) o valor do desvio-padrão dos valores da previsão em nível.

O modelo de Holt-Winters tem sido o mais aplicado entre os modelos clássicos de pre- visão ao longo dos anos; estimado da forma adequada é bem eciente e tem sua eciência comparada aos modelos ARIMA(0,1,1) ou ARIMA(0,2,2) conforme Chateld (2000) e Hyndman (2014). Os modelos ARIMA serão apresentados mais adiante neste trabalho.

(2014) trazem maiores informações e especicidades dos modelos que, sem dúvida, con- tribuem para uma visão mais ampa dos mesmos.