Suprimento de ´agua para abastecimento de cidades, ind´ ustrias

Uma express˜ao bastante empregada na literatura (BRAND ˜AO, 2004) ´e minimizar o

desvio padr˜ao entre o suprimento e a demanda para cada intervalo de tempo em cada reservat´orio: min M X t=1 N X i=1

(Qabi,t − Dabi,t)2 (4.22)

onde Qabi,t ´e a vaz˜ao desviada do reservat´orio i e no intervalo de tempo t para o abas-

tecimento, e Dabi,t a demanda por suprimento de ´agua naquele intervalo de tempo e

reservat´orio.

4.4.2.4 Controle de Cheias

O controle da vaz˜ao a jusante de um reservat´orio contribui para evitar a inunda¸c˜ao de ´areas urbanas e agr´ıcolas. Quando m´etodos determin´ısticos s˜ao empregados, ´e necess´ario expressar esse objetivo na forma de uma fun¸c˜ao de derivada primeira cont´ınua, como a seguinte (BRAND ˜AO, 2004): min M X t=1 N X i=1 (Qd i,t− Q cc i,t)2 (4.23) onde Qcc

i,t´e um valor limite de vaz˜ao a jusante do reservat´orio i, a partir do qual come¸cam a

ocorrer problemas de inunda¸c˜ao. Essa forma imp˜oe puni¸c˜ao tanto quando a vaz˜ao excede o limite quanto quando ela ´e inferior a este.

Quando se empregam m´etodos evolutivos, n˜ao h´a necessidade da continuidade da deri- vada da fun¸c˜ao objetivo e formas mais aperfei¸coadas podem ser empregadas, considerando apenas os intervalos em que a vaz˜ao excede o limite, como aqui propomos:

min M X t=1 N X i=1 max(Qd i,t− Q cc i,t, 0) (4.24)

Neste cap´ıtulo foram apresentados os elementos b´asicos componentes de uma cen- tral hidroel´etrica, as vari´aveis envolvidas na opera¸c˜ao e otimiza¸c˜ao de um sistema de reservat´orios, as fun¸c˜oes objetivo que podem ser utilizadas na otimiza¸c˜ao e as restri¸c˜oes f´ısicas e operacionais envolvidas no processo de otimiza¸c˜ao da opera¸c˜ao de um sistema de reservat´orios.

5

Proposta desenvolvida

Apresenta-se, a seguir, a proposta de um modelo in´edito de otimiza¸c˜ao multiobjetivo, irrestrito e limitado, com o aprimoramento do desempenho do algoritmo evolutivo mul- tiobjetivo cl´assico NSGA-II, no tratamento do problema da otimiza¸c˜ao da opera¸c˜ao de sistemas de reservat´orios m´ultiplos.

O NSGA-II ´e utilizado como algoritmo base sendo modificado para lidar com as caracter´ısticas espec´ıficas do problema. A principal modifica¸c˜ao, que causa maior avan¸co no desempenho do algoritmo, ´e um novo esquema de codifica¸c˜ao que permite o manuseio impl´ıcito de v´arias restri¸c˜oes envolvidas no problema. Esse esquema evoluiu a partir de trˆes alternativas de tratamento das restri¸c˜oes de conserva¸c˜ao da massa e dos limites m´aximo e m´ınimo do volume armazenado no reservat´orio.

5.1

Modifica¸c˜oes ao NSGA-II

Inicialmente, empregou-se o algoritmo NSGA-II padr˜ao com a factibilidade sendo tra- tada como parte do operador de sele¸c˜ao (DEB et al., 2000). Foram utilizados dois operado- res de cruzamento e dois de muta¸c˜ao, cujos detalhes ser˜ao descritos a seguir. Ressalta-se aqui que existem muitas outras escolhas de operadores de cruzamento e muta¸c˜ao `a dis- posi¸c˜ao do usu´ario de algoritmos gen´eticos.

5.1.1

Operadores

Os operadores espec´ıficos utilizados no NSGA-II s˜ao apresentados nesta se¸c˜ao. Dois operadores, tanto para cruzamento quanto para a muta¸c˜ao, foram empregados.

5.1.1.1 Cruzamento

Para cada par formado no processo de sele¸c˜ao, que segue o procedimento proposto por Deb et al. (2002), verifica-se a ocorrˆencia ou n˜ao do cruzamento com uma probabilidade de ocorrˆencia (pcross). Foram empregados dois operadores, sendo o primeiro, com 70% de

probabilidade de ocorrˆencia, um operador linear com tendˆencia `as vizinhan¸cas do pai de melhor aptid˜ao e o outro, um operador de cruzamento linear sem tendˆencia. Cada um dos dois operadores mencionados ser˜ao descritos a seguir:

• Cruzamento Linear sem Tendˆencia Se o paia for mais apto que o paib:

xg = xa+ ρ ∗ (xb− xa) (5.1) onde ρ ´e um n´umero aleat´orio com distribui¸c˜ao uniforme de ocorrˆencia no intervalo [−0.4, 1.4].

• Cruzamento Linear com Tendˆencia

xg = xa+ ρ ∗ (xb− xa

) (5.2)

onde ρ = 1, 4β − 0, 2, em que β ´e um n´umero aleat´orio gerado com distribui¸c˜ao de probabilidade Beta, com parˆametros 2 e 5, no intervalo [0, 1], ver Figura 12 para a distribui¸c˜ao de probabilidades Beta.

Ambos operadores de cruzamento utilizados s˜ao denominados operadores de recom- bina¸c˜ao intermedi´arios, aritm´eticos ou convexos com extrapola¸c˜ao nas extremidades, onde o novo indiv´ıduo ´e gerado por uma combina¸c˜ao convexa das vari´aveis dos indiv´ıduos pais. Como o n´umero aleat´orio ρ ´e o mesmo para todas as vari´aveis, a localiza¸c˜ao do indiv´ıduo gerado recai sobre o segmento de reta que liga os dois indiv´ıduos pais, com uma extra- pola¸c˜ao nas duas extremidades.

5.1.1.2 Muta¸c˜ao

A finalidade do operador de muta¸c˜ao ´e introduzir novas informa¸c˜oes gen´eticas na popula¸c˜ao ap´os a opera¸c˜ao de cruzamento, com o objetivo de aumentar a diversidade da mesma. Com a introdu¸c˜ao dessas altera¸c˜oes nos indiv´ıduos, novas regi˜oes da regi˜ao de busca podem ser exploradas.

FIGURA 12: Distribui¸c˜ao de probabilidades Beta.

Na codifica¸c˜ao real, em geral, os operadores de muta¸c˜ao introduzem uma perturba¸c˜ao nos indiv´ıduos da popula¸c˜ao com uma probabilidade de ocorrˆencia de pmut, conforme a

equa¸c˜ao:

xm = x + δ (5.3)

onde xm _{´e o indiv´ıduo mutado e δ representa o vetor de perturba¸c˜oes que o indiv´ıduo}

pode sofrer dado por:

δ = γ ∗ rmut/k (5.4)

em que γ ´e um n´umero aleat´orio com distribui¸c˜ao gaussiana, com m´edia zero e variˆancia um; rmut ´e o vetor de diferen¸ca entre os valores m´aximos e m´ınimos das var´aveis a serem

mutadas, e k ´e uma constante que controla o intervalo relativo da muta¸c˜ao.

Estuda-se aqui duas possibilidades de muta¸c˜ao: uma por indiv´ıduo e outra por vari´avel. No primeiro operador de muta¸c˜ao, quando ocorrer, o novo indiv´ıduo sofrer´a altera¸c˜ao em todas as suas vari´aveis, sendo constitu´ıdo pelo seu valor ap´os o cruzamento adicionado de uma fra¸c˜ao da maior diferen¸ca entre as vari´aveis dos indiv´ıduos anteriores ao cruzamento, submetida a uma distribui¸c˜ao normal de probabilidades.

No operador de muta¸c˜ao por vari´avel, primeiramente ´e feito um sorteio aleat´orio com distribui¸c˜ao uniforme de quais vari´aveis sofrer˜ao muta¸c˜ao na popula¸c˜ao p´os cruzamento.

As vari´aveis selecionadas sofrer˜ao, assim, muta¸c˜ao segundo a equa¸c˜ao descrita acima. Como ser´a mostrado no cap´ıtulo de experimentos computacionais, o operador de muta¸c˜ao por indiv´ıduo n˜ao logra bom desempenho no tratamento do problema com sis- temas de reservat´orios, exigindo que se utilize um operador de muta¸c˜ao por vari´avel.